Контроль выхода летательных аппаратов за пределы трассы (оценка по среднему значению биноминального распределения) Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА №90(8)

серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники.

Безопасность полетов

УДК 656. 7. 052. 002. 5

КОНТРОЛЬ ВЫХОДА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ЗА ПРЕДЕЛЫ ТРАССЫ (ОЦЕНКА ПО СРЕДНЕМУ ЗНАЧЕНИЮ БИНОМИНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ)

Н.П. МАРЬИН

Рассмотрен контроль местоположения летательного аппарата (ЛА) при его движении вблизи границы

трассы.

1. Постановка задачи

Ниже рассматривается возможный алгоритм контроля сдерживания линии пути летательным аппаратом в условиях требуемых навигационных характеристик (RNP). Предложенный алгоритм контроля может быть полезен в случае внедрения новых средств аэронавигации, а также технологий для обеспечения полетов по приборам по трассам или схемам заходов на посадку, посадок и вылетов согласно концепции CNS/ATM (связь, навигация, наблюю-дения/организация воздушного движения). Пригодность навигационной системы для сдерживания линии заданного пути (ЛЗП) на трассах или при точных заходах на посадку устанавливается путем сравнения основных параметров сдерживания линии пути, предоставляемых навигационной системой, с требуемыми навигационными характеристиками [1, 2, 3].

Требуемые навигационные характеристики определяют основные четыре параметра: точность, целостность, непрерывность и готовность сдерживания линии заданного пути. По этим параметрам можно определить предельно допустимую вероятность отказа (риск отказа) системы и сформулировать системные требования как для самолетных, так и для вне самолетных подсистем. Значения точности сдерживания ЛЗП зависят от параметров конкретных существующих навигационных систем. В контексте RNP точность означает различие между истинным и намеченным местоположением воздушного судна в данный момент времени. Это различие определяется как общая погрешность системы (TSE), которая состоит из следующих компонент: погрешности навигационной системы (NSE) и погрешности, обусловленной техникой пилотирования (FTE, рис.1).

Рассмотрим один из возможных критериев оценки безопасности полетов согласно RNP -это признак выхода ЛА за границы трассы или нарушение сдерживания линии пути [1-3].

Пусть х—случайная величина пребывания ЛА в пределах трассы, которая может принимать только два значения 0 и 1. Обозначим через р неизвестную вероятность того, что при i-м измерении х принимает значение 1, т.е. произошло смещение ЛА в сторону выхода из трассы, а через 1- р неизвестную вероятность того, что х принимает значение 0, при котором смещение ЛА в сторону выхода из трассы не обнаружено. Тогда величина х, получающаяся в результате определения местоположения ЛА, может принимать только значения 1 или 0 с вероятностью р или 1—р соответственно. Также можно задать такую величину р', что прир<р’ ЛА находится в пределах трассы, а при p > p' — вне трассы.

Таким образом, задача о пребывании ЛА в пределах трассы, решение которой дается на основании выборочной проверки, может быть поставлена как задача проверки гипотезы о том, чтор<р', против гипотезыр>р' [ 4, 5].

Другими словами для выборочного контроля местоположения ЛА может быть сформулирована следующая задача: необходимо найти подходящий план выборочного контроля (методики проверки) для принятия решения о том, должна ли система контроля выдать команду о необходимости проведения коррекции местоположения ЛА по резервным

радиомаякам (РМ, источникам навигационной информации) или считать, что продолжается нормальный полет.

2. Допускаемый риск, связанный с принятием неправильных решений

Любой план контроля, который обеспечивает проверку, может привести к неверному решению, полагая, что полет протекает нормально, когда р>р', или ЛА находится вне трассы, когда р <р'. При полной проверке имеет место некоторый риск принятия неправильных решений. Чтобы составить подходящий план выборочного контроля, следует установить максимум связанного с неправильными решениями риска, который можно считать

допустимым.

Еслир=р’ (р'=0,05 согласно ЯЫР) , то полет находится как раз на грани допустимого, и не определено, какое решение принять. При р > р' предпочтительно перейти к корректировке курса полета и степень предпочтения этого решения увеличивается с увеличением р. При р<р’ отдается предпочтение нормальному режиму полета, и степень этого предпочтения увеличивается с уменьшением р. Если р незначительно превышает р’, степень предпочтения, оказываемого корректировке полета, невелика, и принятие решения не будет рассматриваться как ошибка, имеющая практические последствия. Аналогично, если р немного меньше р’, корректировка полета не является серьезной ошибкой. Таким образом, представляется возможным определить две такие величины р0 и р1 (р0 меньше р’ и р1 больше рг), что отказ от корректировки полета рассматривается как ошибка, имеющая практические последствия, тогда (и только тогда), когда р >р1, и принятие решения о корректировке рассматривается как ошибка с практическими последствиями в том (и только в том) случае, когда р <р0. Если р лежит между р0 и р1, нет обоснования тому, какое решение принимать.

После того как, исходя из КЫР, выбраны величины р0 и р\, риск, связанный с принятием неправильных решений, который можно было бы допустить, должен быть определен следующим образом:

вероятность принять решение о переходе в режим корректировки не должна превышать некоторой наперед заданной малой величины «(ошибка первого рода), когдар<р0, и вероятность считать полет протекающим нормально не должна превышать некоторой наперед заданной малой величины / (ошибка второго рода), когда р >р1.

Таким образом, допускаемый риск характеризуется четырьмя числами: р0, р1, а, /. Выбор этих четырех величин не является статистической проблемой. Они выбираются из практических соображений в каждом частном случае. Соответствующий план выборочного контроля, как будет показано в следующем пункте, может быть определен после того, как эти четыре величины выбраны.

3. Последовательная оценка отношения вероятностей, соответствующая

величинам ро, ръ а и /

Аналитические зависимости для последовательной проверки или план выборочного контроля, для которого вероятность принять решение о переходе в режим корректировки не превышает а , когда р<р0, и вероятность считать полет нормальным не превышает / , когда р > р1, можно задать при помощи последовательной оценки отношения вероятностей для проверки гипотезы р=р0 против гипотезы р=р1. Этот критерий определяется следующим образом [4, 5]. Пусть х/ означает результат /-го измерения, т. е. х=1, если /-е, проведенное измерение оказалось вне трассы, и хг= 0 в противоположном случае. Если р означает относительное число измерений вне трассы, то вероятность получения выборки (х1, . .., хт) определяется формулой

(1)

рт = ^(1-р)т-'т = т \р‘1т {1-рГ>''

ат\[т-ат )! тт

где ат означает число измерений вне трассы среди первых т проведенных.

Математическое ожидание переменной ат биноминального закона (1) равно

ёт = тр,

дисперсия переменной ат равна

Б = тр(1 - р),

а среднеквадратичное отклонение

<г = ±т1 тр(1 - р).

Продолжительности измерений предполагается достаточно большое время, чтобы последовательные наблюдения х1, х2, ... можно было считать независимыми. Если верна гипотезар=р1, то вероятность (1) равна

рг = СТтр^т (1-р1)тат, (2)

а если верна гипотезар=р0, то вероятность (1) равна

р0т = СГтр^ (1-р0 )П^т . (3)

Последовательная оценка отношения вероятностей проводится следующим образом. На

каждом этапе при проведении т-го измерения для каждого положительного целого значения т

вычисляем

1пр0г = ат 1п р+(т - ёт )1п1-р0 = ёт +т1п^-р° (4)

т \ т) л т л л V“)

рг р1 1-р1 р1 1-р0 1-А

Проверка продолжается до тех пор, пока

1пЬ < 1пр1Г < ¡П1-^ (5)

1-а р0т а ’

илиХ < ln< h ,

x 1 b ^ 1 -b

где x= ln----------- и h = ln---------

1 -a a

и прекращается при нарушении неравенств (5). Если на этом последнем этапе имеем

Pom a

то принимается решение о корректировке полета, а если

lnPm >h = ln—b, (6)

lnPm £X = lnb (7)

Pom 1-a’ ()

0m

то считается, что полет протекает нормально.

Неравенства (5), (6) и (7) могут быть, как легко видеть, заменены следующими эквивалентными неравенствами:

1п

ь

1-а

1п

1п

Рх_

Ро

+ т-

1-Ро

1 - Рі

1п

1 -р

1п

1п

-р_

-Ро

1п

Рх_

Ро

< <-

а

1п

-Рх_

-Ро

1п

Рх_

Ро

+ т-

1 - Ро 1-Р1

1п

-Рг_

-Ро

1п

Рх_

Ро

1п

-Рх_

-Ро

(8)

или

где

X С 11 с

— + т ■ — < ^ <— + т • —,

С = 1п

1 - Рі 1 - Ро

* = 1п

1п

1 - Р1 1 - Ро

1

1

1

1

о

т

х.

1=1 1

Л V

ат >- + т(9) X X

X V

<Зт > — + т —. (10)

X X

При каждом т правую часть неравенства (10) обозначают через ат и называют ее приемочным числом. Аналогично, правую часть (9) обозначают через гт и называют браковочным числом. При практических расчетах более удобно использовать неравенства (8), (9), (10) вместо исходных неравенств (5), (6), (7) [4]. На основе неравенств (8), (9) и (10) последовательный анализ отношения вероятностей применяется следующим образом. На каждом этапе вычисляем приемочное и браковочное числа. Проверка продолжается до тех пор,

пока ат < ёт< гт. Как только на т-м испытании число выходов за границы трассы ёт = '<ут_

в первый раз оказывается за пределами этого интервала, проверка прекращается и принимается соответствующее решение: если ёт > гт, принимается решение о необходимости проведения

коррекции, а если ёт < ат, полет протекает нормально. Начинается новый этап контроля.

4. Методы проведения контроля

Табличный метод проведения контроля. Составляется таблица, в которую

предварительно заносятся величины т= 1,2, ...; в процессе контроля - величины ёт = ^”_ Вычисляются браковочное число

Л V

гт =- + т — (11)

X X

и приемочное число

X V

ат =- +т — , (12)

X X

которые зависят только от величин р0, р1, а и Ь. Таким образом, они могут быть

рассчитаны и табулированы и внесены в память вычислительной машины перед началом

измерений. Если ат не целое число, можем заменить его наибольшим целым числом < ат. Точно так же, если гт не целое число, можем заменить его наименьшим целым числом > гт.

В качестве иллюстрации рассмотрим вариант, когда согласно ЯКР вероятность выхода за пределы трассы не должна превышать р=0,05 ( 5% от полного полетного времени). Пусть р1=

0,06, р0=0,04, а =0,02 и Ь= 0,03. Приемочное и браковочное числа и результаты наблюдений при эксперименте (моделировании) приведены в табл. 1. В этом примере проверка может закончиться в точке (ё =13, т = 450) с принятием решения о том, что полет проходит нормально. Однако в одной из проверок возможен и другой исход контроля, когда проверка закончится в точке (35, 500); пунктирная линия на рис. 1) и будет выдана команда о проведении корректировки местоположения ЛА по резервированным источникам навигационной информации.

Таблица 1

т число прове- денных измерен ат= - 8,2 + т о,о494 приемочное число ёт число обнаруженных выходов за установленные пределы трассы rm = 9,1 +m 0,0494 браковочное число

Вари Вар

50 о 0 11,7

100 о 2 14,1

150 о 3 16,6

165 о 4 17,4

200 2 5 19,1

250 4,9 12 21,6

300 6,6 13 24,0

350 9,1 14 26,4

400 11,6 15 28,9

450 14,о 15 31,3

500 16,5 15 33,8

550 19,о 15 36,3

Графический метод проведения контроля. При контроле можно пользоваться также графическим методом. Этот метод демонстрируется на рис.1.

Число наблюдений т откладывается по горизонтальной оси, а число скачков за установленные пределы трассы ёт по вертикальной оси для двух вариантов. Точки (т. ат ) лежат на прямой линии Ь0, так как ат линейная функция т. Точно так же точки (т, гт) лежат на прямой линии Ь}. Прямая Ьо пересекает вертикальную ось в точке

X

К =с (13)

и прямая L1—в точке

Линии Ьо и Ь1 параллельны и их общий угловой коэффициент равен

.£

С

Две прямые линии Ьо и Ь1. наносятся на экране дисплея перед началом контроля. Точки (т, ёт) наносятся на график по мере того, как идет проверка. Продолжаем проверку добавочных изделий до тех пор, пока точка (т. ёт) лежит между линиями Ьо и Ь1. Проверка прекращается, как только в первый раз точка (т, ёт) не попадает между линиями Ьо и Ь1.

Если (т, ёт) лежит на Ьо или ниже, принимается решение о нормальном полете.

Если (т, ёт) лежит на Ь1 или выше, выдается сигнал о проведении коррекции местоположения ЛА.

Рис. 1 иллюстрирует графический метод на примере, рассмотренном в табличном методе проведения контроля и представленном табл. 1. Пунктиром показан вариант, когда процесс проверки свидетельствует о выходе ЛА из трассы.

5. Оперативная характеристика критерия Ь(р)

Вероятность принятия решения о том, что полет проходит нормально (в рассматриваемом случае принятия гипотезы Но) обозначают Ь(р) и называют оперативной характеристикой. Значение оперативной характеристики Ь(р) равно вероятности того, что полет проходит нормально, когда относительная доля выходов ЛА из трассы за время полета равна р.

Легко проверить, что

4(0)=l и 4(l)=0. (16)

Так как методика проверки составляется так, что вероятность принятия решения о том, что

полет проходит нормально прир=р0, равна 1— а, а вероятность принятия решения о том, что

полет проходит нормально прир=р1, равна b ,то

1{ро)=1~а и 4# )=Д (17)

Когда

1- Ро

ln-

р = s-

1- Р1

ln* -ln1-Р

Ро

1- Ро

и тогда получаем

L(sУ

h

К

+

(18)

где Ио и И1 — свободные члены в уравнениях прямых Ьо и Ь1 . В рассматриваем^іх примерах величина ^ = р = о,о5.

Ввиду того, что Ь(р) монотонно убывает с увеличением р, пять точек графика оперативной характеристики, соответствующие р=о, 1, ро, р1 и s, почти точно определят форму кривой оперативной характеристики в целом.

Часто этого достаточно для практических целей, и расчет Ь(р) для других значений р не нужен. Эту кривую можно изобразить, нанеся на график точки (р, Ь(р)), соответствующие указанным значениям р. На рис. 2 изображена типичная кривая оперативной характеристики.

dm

0

200 400 600 800

Рис. 2. Кривая оперативной характеристики

m

Строгий расчет оперативной характеристики изложен в [4].

6. Среднее число выходов ЛА за пределы трассы

Пусть п означает число наблюдений, потребовавшихся при проведении последовательного анализа возможных выходов за пределы трассы. Тогда п —случайная величина, так как она зависит от исходов наблюдений. Математическое ожидание величины п зависит от относительного числа выходов ЛА за пределы трассы и обозначается через Ер (п). Эту зависимость можно представить графически, откладывая р по горизонтальной оси, а Ер (п) по вертикальной оси. Типичная кривая среднего числа испытаний показана на рис. 3.

Рис. 3. Кривая среднего числа испытаний

Эта кривая называется кривой среднего числа наблюдений критерия, т.е. признака выхода ЛА за пределы трассы.

Общая формула для среднего числа наблюдений в последовательном критерии отношения вероятностей, примененная к биномиальному распределению, имеет вид

Ег(п)= 1(Р)Х+[1 ~1(Р)]г , (23)

р 1п — + (1 - р )• д

Ро

1 1 -Р £ , Р ТГ ч

где г/ = 1п---- и X = 1п------ и Ь(р) означает вероятность того, что проверка закончится

а 1 -а

принятием решения о нормальном течении полета. Пользуясь этой формулой, рассчитаем Ер(п) дляр=0, Р0, Р1 и 1. Так как Ц0)=1, значение Ер (п) прир= 0 определяется формулой

X

Ер (п) = V' (24)

Для р = ро имеем Ь(р) = 1 -а и из (23) получаем

Е (п)= (1 ~а>х + аг . (25)

р0 4 ' р 4 '

Ро1п—+(1 - Ро Уд Ро

Дляр=р1 имеем Ь( р )= р и из (23) получаем

() р • X+(1 - Р) • г

Ер1 (п)= р -• (26)

рх 1п-^ + (1 - рх )д

ро

Так как £(1)=о, то имеем при р = 1

Ер (п)

г

■*;- 1^_р1- (27)

ро

Величина Ер (п), когда р равно общему угловому коэффициенту $ линий принятия и браковки, т. е. когда

р = $ = д, С

равна

Е (п) -{?)• (г)

Е, (п)=— , (28)

1пр д

ро

На практике часто можно удовлетвориться определением пяти точек кривой среднего числа наблюдений, определяемых формулами (24), (25), (26), (27), (28), так как эти пять точек уже

дают довольно хорошее представление о форме кривой в целом. Среднее число наблюдений

обычно возрастает при изменении р от о до ро и убывает при изменении р от р1 до 1. В интервале (ро, р1) среднее число наблюдений возрастает при увеличении р от ро до некоторого р’ и убывает, когдар меняется отр’ дор1. Значениер’ обычно равно $ или очень близко к $. Если желательно начертить кривую среднего числа наблюдений при всех значениях р, необходимо рассчитать оперативную характеристику Ь(р). Величина Ер (п) может быть затем просто определена из (23) для любого р.

7. Группировка наблюдений

На практике может быть предпочтительнее производить наблюдения группами, а не поодиночке. При этом проверка проводится следующим образом. Из потока наблюдений извлекается группа ^1, состоящая из и измерений. Если число выходов ЛА из трассы в этой

группе g1, меньше или равно приемочному числу ау, проверка заканчивается принятием решения о том, что полет проходит нормально (рис. 4).

Если больше или равно браковочному числу ги, проверка заканчивается решением о корректировке местоположения. Если же аь < йь< ть, берется для проверки вторая группа изделий g2. Опять принимается решение о нормальном течении полета, если общее число выходов в двух группах меньше или равно аь и принимается решение о корректировке, если

аь< йь< ть , и берется третья группа g3 из и изделий, если ау < ё2у < ть. Процесс продолжается, пока не будет принято решение о корректировки , либо о нормальности полета.

Таким образом, когда наблюдения производятся над группами по и измерений, число обнаруженных дефектов ёт сравнивается с соответствующим приемочным числом ат и

браковочным числом гт, только при т=и, 2и, Зи, ...

Рис. 4 .Поток наблюдений ЛИТЕРАТУРА

1. Руководство по требуемым навигационным характеристикам (RNP). Изд. 2-ое, Doc 9613

- AN/937,1999.

2. Приложение 10. ИКАО.

3. Федеральные правила использования воздушного пространства РФ. 2000.

4. Вальд А.. Последовательный анализ. Под ред Б.А. Севастьянова. Гос. Издательство Физмат. - М., 1960.

5. Абчук В.А., Матвейчук Ф.А., Томашевский Л.П. Справочник по исследованию операций. Воен. издат. Мо СССР. - М., 1979.

THE CONTROL OF OUTPUT{EXIT} ЛА OVER LIMITS OF A LINE (AN ESTIMATION ON AVERAGE

VALUE БИНОМИНАЛЬНОГО DISTRIBUTIONS)

Marjin N. P.

The control of a site of the flying device (ЛА) is considered at his(its) movement near to border of a line

Сведения об авторе

Марьин Николай Петрович, 1922 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского (1952), профессор, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник Г осНИИ «Аэронавигация», автор более 200 научных работ, область научных интересов - проблемы аэронавигации, безопасность воздушного движения.