CC BY
66
2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА №90(8)
серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники.
Безопасность полетов
УДК 629. 735. 015. 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ СДЕРЖИВАНИЯ ЛИНИИ ПУТИ ВС ПРИ НАЛИЧИИ НАВИГАЦИОННОЙ ОБЩЕЙ СИСТЕМНОЙ ОШИБКИ
Н.П. МАРЬИН
Представлен возможный метод моделирования движения ВС по линии заданного пути при наличии общей системной ошибки в системе навигации. Рассчитана зависимость от времени вероятности пребывания ВС в пределах трассы с установленным типом RNP
Одним из важных факторов повышения безопасности полетов является введение системного контроля наземных и бортовых устройств навигации. Оценка безопасности полетов и проверка надежности системы должны происходить как в процессе предполетной подготовки, так и полета летательного аппарата.
Существенным элементом этой оценки может быть моделирование процесса полета в условиях возможных ошибок системы управления, которые могут охватывать все аспекты программного обеспечения, аппаратных средств и данных, которые являются частью навигационной системы.
Для удобства напомним [1-5], что общая системная ошибка (TSE, рис.1) определяется как корень квадратный из суммы квадратов ошибок навигационных устройств (NSE) или системы зональной навигации (RNAV) и ошибки техники пилотирования (FTE).
Рис. 1. Погрешности системы при полете по трассе (маршруту ИМЛ V). Упрощенное представление о TSE,NSE и ¥ТЕ
В настоящее время оценка этих ошибок производится либо в процессе проектирования систем, либо в ходе подготовки полетов. Причем условия, для которых производиться эта оценка, отличаются от обстановки, в которой протекает полет. Поэтому в перспективных системах такая обработка погрешностей должна также производиться апостериорно на основании измерений в процессе полета. К сожалению, когда самолет оказывается в полете, апостериорно становится измеримым только один элемент TSE (точность сдерживания ЛЗП в ВП с назначенным типом RNP RNAV) [5].
Навигационные системы, обслуживающие полеты ВС по трассам, в аэродромной зоне при заходе на посадку или вылете, относят к системам так называемого порогового типа, нормальная работа которых обеспечивается лишь в том случае, если какой-либо характерный параметр этой системы не выходят за допустимые пределы. Задачи о нарушении допустимых навигационных параметров из-за случайных отказов, воздействий различного рода помех можно решать с помощью теории марковских процессов.
В качестве конкретного примера можно указать на задачу о нарушении требуемых навигационных характеристик (RNP) при полете ВС по трассе или маршруту RNAV , при заходе на посадку или вылете из-за суммарной погрешности навигационной системы (TSE), задачу о срыве автоматического слежения за информационным параметром сигнала из-за помех. Ниже определяется вероятность не выхода ЛА за пределы трассы по одной из координат (например, по боковому уклонению).
Методы решения подобных задач впервые были развиты в работе российских ученых Л. С. Понтрягина, А. А. Андронова и А. А. Витта [6]. В дальнейшем эти методы успешно использовались и развивались для решения конкретных задач в работах российских ученых [7-9].
Вероятность достижения ВС предельно допустимой границы логализованного
воздушного пространства
Рассмотрим движение ВС в воздушном пространстве, которое ограничено предельно допустимым интервалом (c, d) в горизонтальной (или вертикальной) плоскости требуемыми навигационными характеристиками. Такое движение ВС можно представить в виде непрерывного одномерного стационарного марковского процесса X (t). В начальный момент времени t = 0 этот процесс имеет фиксированное значение 1(0)=10, находящееся внутри интервала (с, d), т. е. начальная плотность вероятности является дельта-функцией
Р(1, 0) = Po(l) = S(l-lc), lüî (c, d). (1)
Нужно найти вероятность pc,d(t,10) того, что движущийся из точки 10 самолет, имеющий начальное значение 10 в течение времени t > О, достигнет границ интервала (с, d), т. е. достигнет либо границу с, либо границу d.
Вместо вероятности достижения границ pc,d(t,10) можно интересоваться вероятностью
qc,d (t,1o) = 1 - Pc,d(t,h)) (2)
недостижения границы с или d ВС. Начавшееся движение ВС из некоторой точки 10 интервала (c, d) характеризуется марковским процессом, имеющим то же начальное значение 10 . Другими словами,
qc,d(t,10) = Р { c< 1(t)< d, 0< t< T}, le (c, d) , (3)
где Т = Т (с, 10, d) — случайный момент времени первого достижения границы с или d. Следуя работам [6-9], введем плотность вероятности р (X, t; 10) перехода ВС за время t из точки 10 в интервал (X, X+dX) За это время траектория ВС (за время реализации процесса) ни разу не касается границы c или d .
Вероятность того, что ВС, выйдя из точки 10, ни разу не достигнув границы с или d, будет ко времени t >0 находиться в какой-либо внутренней точке интервала (с, d), с одной
стороны, равна
1 - pc,d (t, lo), а с другой стороны - I P(X, t;10 № , поэтому
[ p(x, t;1o )dX+Pc,d(t Л ) =1 (4)
Вероятностьpcd (t +t, 10) того, что достижение границ (с, d) произойдет за время t + t, равна сумме двух вероятностей: вероятности pc,d (t, 10) достижения границ за время t и вероятности того, что за время t границы не будут достигнуты, а это достижение осуществляется за оставшийся промежуток времени t. Эта вторая вероятность равна
t;1o)Pc,d(£ t d.
Действительно, так как достижение границ происходит за время t + t, то в течение предшествующего промежутка времени t ВС с вероятностью р(Х, t;10) переходит из
начального положения 10 в некоторую внутреннюю точку Х^ (с, d), а затем из этой точки X за время t достигает границы с или d (рис. 2).
Рис. 2. Достижение границ (с, й) из начальной точки Л0 через промежуточное состояние £в момент Т
Следовательно, можно написать
Ре,а (г + Т,Л0 ) = Ре,а (ТбЛ0) + £ ~г'; Л0 )Рс,а г № ■ (5)
Из этого соотношения можно получить основное (первое) дифференциальное уравнение Л.С. Понтрягина для вероятности рс,а (г, Л0)
Э р с, л(г, Л0)/ Э г = а (Л0) Э р с, ¿г, Л0)/Э Л0 + (1/2) ¿(Л0) Э 2 р с, А(г, Л0)/ Э Л02. (6)
Здесь используются следующие обозначения коэффициентов: сноса -
а(Л, г) = КД, г) = Нш(1/Аг)<{Л (г + Аг) - Л(г)} I Л(г)>, (7)
д г ® 0
диффузии -
Ь (Л, г) = К2(Л, г) = Нш(1/Аг)<{Л (г + Аг) - Л(г)}2 I Л(г)>. (8)
А г ® 0
Здесь для любых случайных процессов коэффициенты КП(Л, г) определяются соотношением
Кп(Л, г) = Иш(1/Аг)<{Л (г + Аг) - Л(г)}п I Л(г)>, п = 1,2, ...
А г ® 0
В частном случае, когда первые два коэффициента К1(Л, г) и К2(Л, г) отличны от нуля, а остальные коэффициенты Кп(Л, г) при п > 3 равны нулю, т.е.
Кп(Л, г) Ф 0, п = 1,2; Кп(Л, г) = 0, п > 3, (9)
марковские процессы называются диффузными.
Как следует из (7), коэффициент сноса а (Л, г) характеризует среднее значение локальной
скорости, а коэффициент Ь (Л, г) - локальную скорость изменения дисперсии приращения
марковского процесса. Установлено, что среднее приращение процесса за малое время Аг имеет 1/2
порядок (Аг) .Конечные скачки процесса проявляются с нулевой вероятностью, и траектории
процесса непрерывны с вероятностью единицы.
Начальные и граничные условия для полученного дифференциального уравнения в частных производных имеют следующий вид. Для всех значений Л0 , находящихся внутри интервала (с, а), вероятность достижения границ ВС при г = 0, равна нулю, т. е.
Р с, а(0, Л0) = 0, с < Л0 < а . (10)
При Л0 = с или Л0 = а вероятность достижения границ для любого г равна единице, т. е.
р с, а(г, с) = р с, а(г, о =1. (11)
Это означает, что при Л0 = с или Л0 = О граница достоверно будет достигнута уже при г = 0. Кроме этих условий, обычно должно выполняться соотношение
Нш рс, а (г, Л0) = 1 с < Л0 < О, (12)
г ® ¥
выражающее тот факт, что вероятность пересечь границы когда-нибудь за достаточно большое время равна единице.
Обязательное выполнение условий (10) и (11) физически следует из того, что ВС с вероятностью единицы смещается за конечное время на конечное расстояние. Скорость ВС все время меняет направление. Если ВС находится на некотором конечном расстоянии от границ, то он не может их достигнуть мгновенно—условие (10). Наоборот, если ВС находится вблизи границ, то оно обязательно пересечет их — условие (11).
Отметим, что аналогично решаются задачи о вероятности выхода либо только через левую границу с, либо только через правую границу а, либо о вероятности невыхода из допустимой области (с, а). При этом уравнение (6) остается в силе, а изменяются лишь краевые условия. В частности, для вероятности ^с, а (г, Л0) того, что траектория рассматриваемого ВС в течение времени г будет находиться внутри интервала (с, а), дифференциальное уравнение и соответствующие начальные и граничные условия будут иметь вид
1с,а (г, Л0 ) (л )Э^ (г, Л0 )+ 1 7(3 )Э (г,Л0 )
1Г-=а(Л0 ^ ЭЛ 2Ь(Л"^ ЭЛЛ ’ <13)
ЧсЖ0, с) = 1, с < Л < а, (14)
Чс,ё(г,с) = Чс4(г,а) = 0 . (15)
Полные вероятности pc (lo) и pd (lo) первого достижения границы с или d соответственно определяются решением стационарного уравнения (6) при надлежащих граничных условиях. Например, вероятность pd (10) того, что за сколь угодно большое время ВС из первоначального состояния 10 попадет в состояние d (а не с), есть решение уравнения
а (1о)Э p c, d(t, 1о)/Э lo + (1 /2) b(lo) Э 2 p c, d(t, lo)/ Э lo2 = 0 (16)
при условиях
рс(с) = o, pd(d) = 1. (17)
Решение уравнения (16) с граничными условиями (17) может быть получено в виде
exp[- j( x)]dx
pd = ------Г“, (18)
J exp[-j(x)]dx
где
jx) = 2 J [a(x) / b (x) ] dx . (19)
Отметим, что pd (1o) < 1 при с < 1o < d.
Наконец, можно интересоваться вероятностью достижения границы ВС, начальное значение которого 1o - случайно. В этом случае сначала решается задача для фиксированного начального значения lo, а затем производится осреднение по всем возможным значениям lo. При этом, если начальное значение 1o распределено на интервале (с1, d1) з (с, d) с плотностью вероятности fo(1o), то по теореме сложения вероятностей полная вероятность достижения границ с и d определяется соотношением d
Pc, d (t) = J pc, d (t, lo ) fo (lo) d lo + P {C1 < lo < c, t = o} + P {d < lo < db t = o}. (19а)
с
Для определения вероятности недостижения границы ВС можно указать способ, состоящий в решении уравнения (13) с начальными и граничными условиями (14), (15) методом разделения переменных [Ю-12]. Вероятность достижения границы далее легко определяется из соотношения (2). Применение метода разделения переменных непосредственно для решения уравнения (6) с начальными и граничными условиями (7), (8) может привести к неоднородными граничным условиям (8). В этом случае соответствующая система собственных функций может быть неортогональна.
Представим искомое решение уравнения (13) в виде
qc, d (t, lo) = T(t) L(lo).
Применяя обычную процедуру разделения переменных, для функций T(t) и L(1o) получим следующую систему уравнений:
d T(t)/dt + g2 T(t) = o, (2o)
(1/2) b(lo) d2 L(lo) / dlo2 + a(lo) d L(lo) / dlo + g2 L(lo) = o. (21)
Решение уравнения (20) имеет вид Т (г) = ехр ( - у2 г).
Предположим, что найдено общее решение уравнения (21)
Л(Л0) = С*1 Л1(Л0 , у) + С*2 Л2(Л0 , у).
Для определенных постоянного С1 и С2 из граничных условий (15) следует система алгебраических уравнений
С1 Л1(с , у) + С2 Л2(с , у) = 0,
Ci Ai(d , g) + C2 A2(d , g) = 0. (22)
Так как нас интересует нетривиальное решение этой системы, то должно выполняться условие
Ai(c , g) L2(d , g) - Ai(d , g) A2(c , g)= 0. (23)
Условие (23) выполняется при некоторых значениях g = gk, которые называются
собственными числами. Таким образом, (23) можно рассматривать как алгебраическое
уравнение для определения собственных чисел gk. Это уравнение называется характеристическим. Кроме того, из (22) следует связь между постоянными C1 и С2. Например,
C2 = - (Ai(c , g)/A2(c , g)) Ci. (24)
Таким образом, в зависимости от gk, собственные функции A(10 , g) с точностью до постоянной будут иметь вид
Ak( 1о, gk) = Ai( 1o, gk) - [Ai( c, gk)/A2( c, gk)] A2( 1o, gk). (25)
Суммируя по всем k, для вероятности недостижения границ qc, d (t, 10) получим
qc, d (t, I0) = E Ck Ak(l0, gk) exp ( - gk2 t ). (26)
Постоянные Ck определяются из начальных условий (i4) с использованием
ортогональности собственных функций Ak.
У множая обе части последнего равенства на Ak (10, gk) и интегрируя по всем значениям 10, имеем
i*d z*d „
Ck = I A k (Ig )dl0 / i Ak (l.n )dl0 . (27)
Следовательно, если может быть найдено общее решение уравнения (2i), то для вероятности qc, d(t, 10) из (25) - (27) получается аналитическое выражение.
Характеристическое уравнение (23) для определения собственных чисел gk , как правило, будет трансцендентным. Кроме этого, не всегда можно найти общее решение уравнения (2i). Поэтому применение численных методов непосредственно для решения уравнения (i3) на ЭВМ может оказаться более эффективным.
Пример 1. В этом примере иллюстрируется применение метода разделения переменных в задаче об определении вероятности невыхода ВС за заданные границы трассы. Пусть требуется найти вероятность невыхода за границы (—h, h) ВС, поведение которого определяется стохастическим дифференциальным уравнением (винеровским случайным процессом X(t))
d X(t)/dt = n (t). (28)
Здесь под n (t) будем понимать TSE, представляющую собой нормальный стационарный случайный процесс с нулевым средним значением и дельтообразной ковариацией
M(n(t)) = 0, cov(n) = M(n(ti )n(t2 )) = iN0d(t2 - ti ),
где N0 - интенсивность (высота) одностороннего энергетического спектра, 5 (х) - дельтафункция.
Согласно (28) среднее значение и дисперсия процесса x(t) равны
M(x(t)) = ^ S (t) = i lM(n(t )n(t2 ))dtdt2 = N0t /2,
где s (t ) — мощность (дисперсия) суммарной погрешности TSE, которая представлена в
виде нормального «белого» шум с нулевым средним значением и дельта-функцией корреляции. Среднеквадратическое значение TSE можно представить в виде коэффициента счисления пути
к , т.е. (г) = к . Из уравнения (28) следует, что
Х(г2 )-Х(г1 )= Г п(г,
*’г1
а дисперсия приращений пропорциональна разности рассматриваемых моментов времени
М(г2 ) - Х(г1 )]2 } = 2 К0 (г2 - г1 ), г2 > г1.
На основании последнего соотношения можно считать, что коэффициент счисления пути к связан с величиной Ы0 формулой
*Ч ^ •
где д - независимая случайная величина, распределенная по нормальному закону, выбирается в процессе расчетов. Коэффициент счисления пути k рассматривается как среднеквадратичное отклонение от линии пути за время Dt (например, за час полета).
В рассматриваемом случае в уравнении (21)
а (10) = 0, b(1o) = N0/2
и оно принимает вид
(No/4) d2 Л/dlo2 + g2 L = 0.
Общее решение этого уравнения
Л(1о) = Ci cos( 2g1o / No1/2) + C2 sin( 2g1o / No1/2),
где собственные числа gk согласно (23) равны
gk = No1/2 к p/(4h), к = o,1,2, ...
Из соотношений (25), (27) следует
Lk(1k,gk)=cos( kp1o/2h), k=o,l,2,...,
Ck = (4/kp) sin (kp/2) = \ (4/kp) (-1)(k -1)/2, k=2n +1; o, k=2n, n=1,2, ...
Подставляя найденные значения собственных чисел, собственных функций и постоянных в (26), получим
ч. (t Л) = p z:. o^277^+Tcos(^¿27r(2n+^exp
(2n +1)2
16h2 V '
(29)
По формуле (29) проведены расчеты зависимости вероятности недостижения границы трассы ВС от времени полета. Результаты представлены на рис. 3.
В расчетах было учтено, что коэффициент счисления пути к=4 км/ч (для ВС Ил-96, Ту-204)
2к2 •
и к = 9 км/ч (для Ил-86). Принято, что N = —------, где к = 4 и 9 км, д = 1,5 ; Лг = 3600 с. Ы0 =
V •Лг
0,004; 0,02 км2/с; к= 1,852 км (ЯКР 1) при начальном положении ВС на оси трассы (10 =0).
q-h,hos>5 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
0 800 1600 2400 3200 4000
t, С
Рис. 3. Зависимость от времени вероятности недостижения ВС границы трассы с RNP1
Отметим, что для произвольных границ (с, d) аналитическое выражение может быть получено простой заменой переменных
qc, d(t, 10) = q- (d -c)/2, (d -с)/2(^ 1 - (c +d)/2). (30)
Наконец, если начальное значение 10 — случайно и равномерно распределено на [ -h, h], то можно вычислить безусловную вероятность (не зависящую от 10) пребывания в заданной области по формуле
N 0tp2 (2n +1)2 16h2
(31)
Результаты расчета по формуле (31) зависимости вероятности недостижения границы трассы от времени полета ВС представлены на том же рис.3, где было принято так же, как на рис.3, что N0 = 0,004; 0,02; h= 1,852 км, а начальное положение ВС на интервале (c,d) имеет случайное равномерное распределение.
На рис.3 видно, что вероятность недостижения границ трассы ВС q_hh тем быстрее
уменьшается, чем больше N0. При N0 = 0,02 время уменьшения q=hh до 0,1 составляет около
700 с, а при N0 = 0,004, это время увеличивается до 2000 с. Из-за случайного равномерного распределения начального положения ВС на интервале (c,d).
Пример 2. Пусть, как и в примере 1, требуется определить вероятность невыхода за границы (-h, h) траектории винеровскрго процесса X (/), поведение которого описывается стохастическим дифференциальным уравнением (28). В этом случае условная плотность вероятности Р (X, t I X) на неограниченном интервале Х^ (—¥ ¥) является фундаментальным решением прямого уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова
ЭР = N0 ЭР dt ~ 4 д£2 ’
т. е. решением уравнения (49) с начальным условием
р (Х, 0 I Хо) = 5 (Х - Xo)
и граничными условиями
P(X, t IXo
= 0.
Согласно (14.20) оно имеет вид
Р(Х, X):
1
exp
(Х-Х0 )2 N 0t
Чтобы построить решение прямого уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова (13) с граничными условиями (14), (15), зная фундаментальное решение для бесконечно удаленных границ, воспользуемся известным математическим методом отражения [10]. В результате проведенных вычислений можно получить вероятность невыхода к моменту времени I траектории винеровского процесса Х(0 за границы (- И, И), которая равна
q-hh(t,X) = 22 Е
Ф (4т - l)h + Х0 -Ф (4т - 3)h — Х0
_ 4л/N 0t _ _ 4д/N 0t _
(32)
Хотя полученное выражение (32) по форме отличается от (29), однако согласно [10] они эквивалентны.
Пример 3. Рассмотрим движение ВС вдоль трассы с учетом суммарных погрешностей системы навигационного обслуживания полета и при наличии бокового ветра. Модель этого движения можно представить в виде одномерного марковского процесса, поведение которого описывается стохастическим дифференциальным уравнением
dX = -a% + n(t), (33)
где a - коэффициент сноса, n (/) — нормальный белый шум. В этом случае прямое уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова для плотности вероятности Р (ХХ) имеет вид
ЭР = a—(XP)+ ^ Ц • (34)
dt ЭХ 4 ЭХ2
Решение уравнения (56) с начальным условием Р(Х,0|Х0) = 5(Х—Х0) в неограниченной области - ¥< Х < ¥ представляет собой хорошо известную нормальную плотность вероятности.
Чтобы определить вероятность невыхода к моменту времени t траектории марковского
процесса за границы (—h, h), нужно решить уравнение (34) с тем же начальным условием и нулевыми граничными условиями на концах интервала. Будем искать это решение методом разделения переменных. В данном случае, применительно к процессу (33), решать уравнение (34) этим методом проще, чем непосредственно уравнение Понтрягина (9).
Заменой переменных т = at, x = %/s (s2 = N0/4a) уравнение (34) приводится к виду
ЭР Э2 Р ЭР 7 7 Л ( ,
— = —— + х------+ Р, - h < х < h (h = c/ s). (35)
Эт Эх Эх
Требуется найти функцию Р (х, т | х0), удовлетворяющую уравнению (35), начальному условию
Р (х, т | х0)= 5 (х - х0) (36)
и граничным условиям
Р (-И, т\ х0) = 0, Р (И, т\ х0) = 0. (37)
Будем искать решение в виде
Р( х,г|х„) = £"гт. (Г)Х, (х) • (38)
Применяя обычную процедуру разделения переменных, для функций Т, X, получим
Тг (0 = exp(-rгт), (39)
^ + У +!) X г = 0. (40)
Мх мх
Общее решение (40) при ограниченных значениях И согласно [10-12] имеет вид
X, = ехр(- г2)[с„В„(х) + С„вй (-х)], (41)
где Бу (х) — функция параболического цилиндра.
Для определения собственных чисел у/ получим характеристическое уравнение
Б2(И) - БуУ(-И) = 0. (42)
Собственные функции срг определяются соотношением
р,= С„ ехр(- ^)[ог (х)Оу} (-И) + Б, (-х)Пу: (И)]. (43)
Таким образом, будем иметь
Р(х,т\ х0 ) = 2 С, Рг (х) еХР( У; О . (44)
Постоянные С1 определяются начальным условием (58). Для этого умножим обе части последнего равенства на р1 (х) и проинтегрируем по х при т= 0 по всем х е [ -И, И]. Так как функции рг (х) ортогональны, то получим
С;=-РЬ. (45)
Вероятность нахождения к моменту времени і траектории процесса Х(0 внутри границ интервала (—И, И), ни разу его не покинув, можно получить обратной заменой переменных в соотношении
гк
І И
_ИР(х,т\ х0№.
Количественные оценки зависимости величины q-И И от различных параметров, входящих в ряд (44), довольно легко реализуются с помощью ЭВМ.
ЛИТЕРАТУРА
1. ФП ИВП. 1999.
2. Руководство по требуемым навигационным характеристикам (RNP). ИКАО. Doc. 9613.
1999
3. RTCA Paper N 207-99/SC 181 - 103 (Стандарт минимальных требований к авиационным системам, MASPS) .
4. Национальный план для систем CNS/ATM. ИКАО, 1999.
5. Глобальный аэронавигационный план применительно к системам CNS/ATM Doc 9750 -AN /963 . ИКАО , 2000.
6. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статическом рассмотрении динамических систем. «ЖТЭФ», 1933, т. 3, № 3.
7. Леонтович М.А. Статистическая физика. М.: Гостехиздат, 1944.
8. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.
9. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.
10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
11. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1958.
12. Корн Г.и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.
MODELLING OF RESTRAINT OF TRACK LINE ВС AT PRESENCE OF A NAVIGATIONAL
GENERAL{COMMON} SYSTEM ERROR
Marjin N.R
The possible{probable} method of modelling of motion ВС on a desired track is submitted{shown} at presence of the general{common} system error in a system of navigation. The relation to time of probability of stay ВС is designed within the limits of a line{route} with established type RNP
Сведения об авторе
Марьин Николай Петрович, 1922 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского (1952), профессор, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник ГосНИИ «Аэронавигация», автор более 200 научных работ, область научных интересов - проблемы аэронавигации, безопасность воздушного движения.
