Контактные метрические структуры на нечетномерных единичных сферах Текст научной статьи по специальности «Физика»

2014 Математика и механика № 6(32)

УДК 514.76

Я.В. Славолюбова

КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА НЕЧЕТНОМЕРНЫХ ЕДИНИЧНЫХ СФЕРАХ1

Рассмотрены контактные метрические структуры на единичных сферах S3 и получены выражения в координатах стереографической проекции контактной метрической структуры на 3-мерной единичной сфере S3, изучена связь между контактной структурой на 7-мерной единичной сфере и почти комплексной структурой на 3-мерном проективном пространстве СР3.

Ключевые слова: контактные структуры, контактные метрические структуры, 3-мерная сфера, 7-мерная сфера, риманова метрика.

1. Предварительные сведения

Напомним основные понятия о контактных многообразиях. Определение 1 ([1]). Дифференцируемое (2"+1)-мерное многообразие М2"+1 класса (См) называется контактным многообразием или имеет контактную структуру, если на нем задана глобальная дифференциальная 1-форма п, такая, что П л (йп)" * 0 всюду на М2и+1.

Контактная структура задает 2"-мерное распределение Е,

Е = {Х е ТМ2"+1 : п(Х) = 0},

которое называют контактным распределением, и ненулевое векторное поле 4, такое, что п© = 1, й п(§, X) = 0 для всех векторных полей X на М2"+1. Это векторное поле определяет 1-мерное распределение, дополнительное к Е, и называется характеристическим векторным полем контактной структуры.

Определение 2 ([1]). Говорят, что дифференцируемое многообразие М2"+1 имеет (п, 4, ф)-структуру, если оно допускает поле ф эндоморфизмов касательных пространств, векторное поле 4 и 1-форму п, удовлетворяющую условиям

П© = 1, Ф2 =-1 + , (1)

где I - тождественное преобразование ТМ2"+1.

Также имеют место следующие условия: ф% = 0 и п ° Ф = 0 в определении (п, 4, ф)-структуры, вытекающие из условий (1).

Определение 3 ([1]). Если многообразие М2п+1 с заданной (п, 4, ф)-структурой допускает риманову метрику g, такую, что

ё (ФХ, ф¥) = g (X, ¥) - п( X )п(¥), (2)

й п( X, ¥) = ё (X, ф¥)

для любых векторных полей X, ¥, тогда говорят, что М2"+1 имеет (п, 4, ф, ё)-струк-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке фонда гранта Президента РФ (проект НШ-4382.2014.1).

туру или контактную метрическую структуру. Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоциированной метрикой.

Полагая У — в равенстве (2), получим

П( х) = g & X).

2. Контактная метрическая структура на 53

Определим контактную структуру на 53 и вычислим ее основные характеристики в координатах стереографической проекции. Рассмотрим Б3 как сферу в С2, т.е. Б3 = {(г1, г2) е С2: ^Т+И2 = 1}.

На сфере 53 подействуем справа группой О — {е" , 0 < t < 2п} . Ее можно отождествить с единичной сферой Б1. Группа О действует по правилу

Н /1 и 2 и \ г • е — (г • е , г • е ).

Тогда ^/Б1 = СР1. Получим отображение Б^СР1, которое называется расслоением Хопфа. Прообразом каждой точки из СР1 при этом отображении является окружность Б1 = {е" }. Так как СР1 диффеоморфно двумерной сфере Б2, тогда

получим отображение

Контактная структура на Б3 строится следующим образом.

Действие Б1 на Б3 порождает характеристическое векторное поле Его значение в комплексных координатах С2

$(г) = ^ I 0 (г • е") = = г • г • еи ^=о = г • г — г(г1,г2).

М t=0

Контактная форма определяется как ц( X) = g0 (§, X) для всех векторных полей X на Б3, где g0 - риманова метрика.

Аффинор ф определяется из соотношения ёц^, У) = g0(X, фУ) для любых векторных полей X, У на Б3.

Контактное распределение Е определяется следующим образом:

Е — {X е ТБ3 : ц^) — о}.

Найдем контактную структуру на Б3 в локальных координатах.

Пусть г: - вложение сферы Б3 в Я4 и пусть (у1, у2, у3, у4) - декартовы ко-

ординаты на Я4. Рассмотрим стереографическую проекцию из северного полюса £(0,0,0,1) и соответствующие координаты (хь х2, х3).

Локальные координаты (х1, х2, х3) на сфере Б3 следующие:

= У1 = У2 = У3

X — , Х'2 — , Х3 — .

1 - У4 1 - У4 1 - У4

Координаты (у1, у2, у3, у4) точки сферы Б3 выражаются через стереографические координаты следующим образом:

2 х1 2 х

2

У1 Л 2 2 2 , У2 л 2 2 2 '

1 + х12 + х22 + х32 1 + х12 + х22 + х32

2 х3 2 х4

У3 = 1 2 2 2, У4 = 1 2 2 2.

1 + х/ + х22 + х32 1 + х{ + х2 + х3

Под действием группы S1 = {eu } получим отображение

(У'У2'Уз'y4) ^(У1(tXУ2(t)Уз(t)>У4(t)) ' где y(t) = y cos t - y2sin t, y2(t) = y sint + y2cos t,

Уз (t) = Уз cos t - y4 sin t' y4 (t) = Уз sin t + y4 cos t . Также получим

(x1, x2, хз) ^ (x1 (t), x2 (t), хз (t)),

где

Xi(t)—, X2(t)—, x,(t)—- yз(t)

1 - У4 (t) 1 - У4 (t)

Введем предварительные обозначения:

1 - У4 (t)

2 2 2 2 •Xi ^ о — XXi I x^ I Xn ' x

2 2 2 2 1-2з — -X1 - X2 + Хз .

Характеристическое векторное поле 4 задается:

" dx1 (t) dx2 (t) dx3 (t)

dt

dt

dt

где

dx1 (t) dt

4 x хз + 2 X2 (X12з 1)

(х12з2 +1 - 2хз sin t - (х12з2 - 1)cos t)2

2( х12з2 +1)( x1 sin t + x2 cos t) (х12з2 +1 - 2хз sin t - (х12з2 - 1)cos t)2

dx2 (t) dt

4 x2 хз 2 x1 (x12 з 1)

(х12з +1 -2x^int-(х2з - 1)cost)

2(х2з1 +1)(x1 cos t - x2 sin t)

(х12з2 +1 -2хз sint-(х12з2 - 1)cost)2

dx3 (t) dt

4хз2 + (хш2 -1)

(х12з2 +1 - 2хз sint - (х12з2 - 1)cos t)2

(х12з2 +1)(2хз sin t + (х12з2 - 1)cos t) (х12з2 +1 - 2хз sint - (х12з2 - 1)cost)2

Характеристическое векторное поле 4 в локальных координатах имеет вид

lit—0 =

1 + х-1_

2

Метрика g0 на сфере S в локальных координатах

(12з2 +1)2

((dx1 )2 + (dx2 )2 + (0хз )2 ) .

Матрица О — (g г*) метрики g0:

О —

(хш2 +1)2 0

0

(хш2 +1)2

0

2 , 1\2

(хш2 +1)

(3)

Вычислим дифференциал контактной формы ёп в локальных координатах. Для всех векторных полейXна Б3 имеет место следующее равенство: ц^) — g0 (%,X). Поскольку

ц — gl] (х)% (х)X* (х) — gl] (х)% (х)ёх* (X),

следовательно,

ё ц— (g * % )ёхк л ёх} — % -^Г ёхк л ёх} + g * д л ёх} —

'У йхк

дхк * дхк

((1 + х-1-232 )ёх1 л ёх2 + 2(х2х3 + х1 )ёх3 л ёх1 + 2(х1х3 - х2 )ёх2 л ёх3).

(хш2 +1)

Окончательно получим

ё ц —

(х,232 +1)3

((1 + х-1-232 )ёх1 л ёх2 +

+2(х2х3 + х1 )ёх3 л ёх1 + 2(х1 х3 - х2 )ёх2 л ёх3).

(4)

Матрица А — (а*) дифференциала контактной формы ёп имеет следующий вид:

2

0 1 + х-1-23 -2( х2 х3 + х1)

0 2(х1 х3 - х2)

А — I

-(1 + х_!-232)

2( х2 х3 + х^) 2( х^х3 х2)

0

где I — -

8

2\3 '

(1 + х!232)'

Вычислим в локальных координатах аффинор ф. Из определения ассоциированной метрики ё ц^, У) — g (X, фУ) для любых векторных полей X, У. Используя данное равенство, имеем

а* (х) ГУ] — g1k (х) X фк (х)У*;

аг, (х) — glk (х)ф^(х);

ф"* (х) — gы (х)а* (х).

8

Используя (3), запишем

ё-1 =

8„-.

2 \2 У

В матричном виде

G = -

(1 + хш2)2

(1 + Х^)

-I, G-1 = I.

Пусть F = (ф;/) - матрица аффинора ф. Тогда получим

1 Л = (1 + Х\2ъ)2 1Л = (1_г х123 / ^ =

F = G-l A =

-М =

(1 + ^з2)2

= m

0 1 + Х-^

-(1 + х^2) 0

2( X2 Xз + Х^) 2( Х^ХЗ X2 )

2 (X2 Xз I ХХ^ ) 2 ( ХХ^ Х3 Х2 ) 0

где т = -

2

2\3 '

(1 + Х!232)'

Контактная 1-форма п на сфере 53 задается как

п = 1*(у1йу2 - у2 йу1 + у3йу4 - у4 йу3). Вычислим ее в локальных координатах. Она имеет вид

п = р(2(х1 хз -х2)йх1 +2(х2хз +х1)йх2 +(1 + х-1-232)йх3),

где р = -

2

2 \2 '

(1 + Х!232)2

Вычислим внешний дифференциал 1-формы п = п1йх1 по формуле

дц-

й п = —'- йх1 л йх1 [2]. В результате вычислений

дх1

й п = -

8

(Х1232 +1)

-((1 + х-1-232)йх1 лйх2 +

+2(х2х3 + х1 )йх3 л йх1 + 2(х1 х3 - х2 )йх2 л йХ).

Сравнивая полученное выражение с (4), видим, что они совпадают.

Легко проверить в матричном виде выполнение следующих равенств: = 0 и

п ° ф = 0 .

Таким образом получены выражения в координатах стереографической проекции (локальных координатах) контактной метрической структуры (п, 4, ф, ё) на сфере 53. Сведем их в следующую теорему.

Теорема 1. Пусть (х1, х2, х3) - стереографические координаты на сфере £3, тогда контактная метрическая структура (п, 4, ф, ё0) в данных координатах задается контактной формой п:

п = р(2(х1 х3 -х2)йх1 +2(х2хз +х1)йх2 +(1 + х-1-232)йх3),

где р — -

2

(1 + хш2)2

■; характеристическим векторным полем

—0 —

X1 х3 х2, х2 х3 + х ,

1+х 1

2

аффинором ф с матрицей вида

(

т

0

-(1 + х- !-232)

1 I х 1 23 2 (х^2 I х^ )

0

где т —

2

(1 + х!232)'

2( х2 х3 + х^) 2( х^ х3 х2)

\

23 , и метрикой gо с матрицей вида

2 (х^ х3 х2) 0

(

(хш2 +1)2 0

0

0 4

(хш2 +1)2 0

0 4

(х!232 + 1)2 ,

2 „2 . „2 , „ 2

2 „2 „2 ,„2

2. Контактная метрическая структура на Я7

Рассмотрим Б1 как сферу в С4, т.е. Б1 = {(г1///4) е С4: |г1|2+|г2|2+|г3|2+|г4|2 = 1}.

На сфере Б7 подействуем справа группой О — {е1 t ,0 < t < 2п} . Ее можно отождествить с единичной сферой Б1. Группа О действует по правилу

t /1 и 2 и 3 и 4 и \

г • е — (г •е ,г •е ,г •е ,г •е ).

Тогда = СР3. Получим отображение Б7^СР3, которое называется расслоением Хопфа. Прообразом каждой точки из СР3 при этом отображении является окружность Б1 — {е1 t}. Контактная структура на Б1 строится следующим образом.

Действие Б1 на Б1 порождает характеристическое векторное поле Его значение в комплексных координатах С

г) — ё I—0 (г • е1) — г • 1 • е1 —0 — 1 • г — г г2, г3, г4 ) .

Контактная форма определяется ц(X) — g0(%, X) для всех векторных полей X на Б, где g0 - риманова метрика на Б.

Вычислим риманову метрику g0 в комплексных координатах

gо(%,X) — (%,X)|с4 , X — (X1,X2,X3,X4).

(4, X) = (1 • 2, X) = 1(21 X1 + 22 X2 + 23X3 + 24X4) ,

где й22 (X) = X' , 1 = 1,4 , получим выражение формы п в комплексных координатах С4:

п= 121й21 +122й22 +123й23 +124й24 . Полагая в данном выражении для формы п на координаты (21,22,23,24) соотношение 2121 + 22 22 + 23 23 + 24 24 = 1, получим ограничение формы п в С4 на Б7.

Проверим условие п л (йп)3 * 0 на Б1. Для этого найдем это выражение в С4, а затем ограничим его на Б7:

пл(йп) = 6 2 л й2 л й2 л й2 лй2 лй2 лй2 лй2 +

+623 л й21 л й2 л й2 2 л й22 л й24 л й24 л й23 +

+622 л й2 л й2 л й23 л й23 л й24 л й24 л й2 2 +

+62 л й22 л й22 л й23 л й23 л й24 л й24 л й2 = ,

где ц = й2 л й2 л й22 л й22 л й2Ъ л й23 л й24 л й24 . Нетрудно заметить, что вычисленное выражение пл(йп)3 * 0 в ограничении на Б7. Следовательно, так определенная 1-форма п(X) = ё0(4, X) является контактной формой. Определим по контактной форме п контактное распределение Е:

Е = {X е ТБ7: п^) = 0}.

Так как X е ТБ7, тогда X ± г, где г - радиус сферы, г = (21,22,23,24). Контактное распределение задается уравнениями

1(2 X1 + 22X2 + 23X3 + 24X4) = 0, 2 X1 + 22X2 + 23X3 + 24X4 = 0,

где X е Е, X = (XX4) - искомые координаты.

Аффинор ф определяется из соотношения йп^, ¥) = , ф¥) и обладает свойствами ф2 |Е = -1 и ф(4) = 0 .

Таким образом определены все характеристики контактной структуры на Б7: п,

4, Е, ф.

3. Связь между контактной структурой на S7 и почти комплексной структурой на СР3

При отображении Б7^-СР3 контактные метрические структуры и почти комплексные структуры соответствуют друг другу, т.е. данное отображение аффинор ф переводит в почти комплексную структуру 3.

Рассмотрим проекцию л:С4\{0}^СР3. Используя естественную комплексную координатную систему (21,22,23,24) в С4\{0}, имеем фундаментальную форму Ф на СР3, а также метрику Фубини - Штуди ё (X, ¥) = Ф(Ж, ¥) для любых X, ¥.

Докажем, что dп = п Ф . Рассмотрим в C \{0} форму

| 4 -Л

Xzkdzk

к=1

Ф = -4/55lnI X zkzk | = -4/5 V к=1

X Z"Z"

к к

z

V к=1 )

zkzk 1 • f X dzkdzk 1 -1X zkdzk | • IX zkdz 4 ^

= -4i

к=1

к=1

к=1

к=1

-к к z z

Форма Ф проектируется на Ф, т.е. п Ф — Ф . Рассмотрим ограничение формы Ф в С4\{0} на сферу Б7:

£ = {(г1, г2, г3, г4) е С4: И2 + |г2|2 + |г3|2 + гУ = 1},

г е Б7: г1 г1 + г27 + г37 + г47 — 1.

Продифференцировав равенство z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z4 z4 = 1, получим

X 7dzk +X zkd7k=o,

к=1 4

k=1

X zkdzk =-X zkdzk .

к=1

k=1

Ф = -4/1 I Xdzk лdzk 1 + 1 Xzkdzk |л| Xzkdzk 11= -4/Xdzk лdzk .

VVk=1 ) Vk=1 ) Vk=1 )) к=1

Рассмотрим глобальную дифференциальную 1-форму п, определенную в разделе 3:

ц — ¡г1ёг1 Иг2ёг2 +1гъёгъ +гг4ёг4 —/^гкёгк .

к—1

Вычислим внешний дифференциал формы п:

4 -

ёц — / ^ ёгк лёгк .

к—1

Сравнивая выражения для Ф I7 и ёп, получим ёц — Ф | б7 или ёц — п ФI7 с точностью до коэффициента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Progress in Mathematics. Vol. 203. Birkhauser Boston, 2002. 304 p.

2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 и Т. 2. М.: Наука, 1981. 344 с.

Статья поступила 09.07.2014 г.

54

H.B. Cnasonmbosa

Slavolyubova Y.V. CONTACT METRIC STRUCTURES ON ODD-DIMENSIONAL UNIT SPHERES

In this work, the contact structure on the 3-dimensional unit sphere S3 c R4 = C2 which arises in Hopfs map S1^ S3^ S2 is considered. The group S1 acts on the sphere S3 c R4 = C2 by the rule (z1, z2)e'9 = (z1e'9, z2e'9). The field of speeds of this action defines a characteristic vector field 4 and 2-dimensional subspaces Ex orthogonal to the vector field 4 form a contact structure. The contact form n is defined by the equality n(X) = (4, X). These constructions are generalized in the case of considering the 7-dimensional unit sphere S7. On the 3-dimensional unit sphere S3, expressions of the contact metric structure in local coordinates of a stereographic projection are received, the corresponding characteristics are determined: contact form n, external differential of the contact form dn, characteristic vector field 4, contact distribution E, and affinor 9. A contact metric structure on the 7-dimensional unit sphere is constructed. For the sphere, main characteristics are determined: contact form n, external differential of the contact form dn, characteristic vector field 4, contact distribution E, and affinor 9 are determined. The relation between the contact structure on the 7-dimensional unit sphere S7 and almost complex structure J established by means of a projection n: S7^ CP3 on the 3-dimensional projective.

Keywords: contact structures, contact metric structures, 3-dimensional sphere, 7-dimensional sphere, Riemannian metrics.

SLAVOLYUBOVA Yaroslavna Viktorovna (Candidate of Physics and Mathematics, Kemerovo Institute of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics, vol. 203. Birkhauser Boston, 2002. 304 p.

2. Kobayasi Sh., Nomidzu K. Osnovy differentsial'noy geometrii, vol. 1, 2. Moskow, Nauka Publ., 1981. 344 p. (in Russian)