Ассоциированные контактные метрические структуры на 7-мерной единичной сфере S7 Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016 Математика и механика № 4(42)

УДК 514.76

Б01 10.17223/19988621/42/5

Я.В. Славолюбова1

АССОЦИИРОВАННЫЕ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА 7-МЕРНОЙ ЕДИНИЧНОЙ СФЕРЕ S7

Построены новые примеры ассоциированных контактных метрических структур (п, 4, ф, ё*) на 7-мерной единичной сфере Б1. Для полученных структур установлено соответствие ассоциированных метрик ё неинтегри-руемому семейству ассоциированных почти комплексных структур * в 3-мерном комплексном проективном пространстве СР3.

Ключевые слова: контактные структуры, ассоциированные контактные метрические структуры, 7-мерная сфера.

1. Предварительные сведения

Напомним основные понятия о контактных многообразиях. Определение 1 ([1]). Дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие М2п+1 класса С™ называется контактным многообразием или имеет контактную структуру, если на нём задана глобальная дифференциальная 1-форма п, такая, что

цл^п)п

всюду на М2п+1.

Контактная структура задает 2п-мерное распределение

Е = {ХеГМ2п+1:п(X) = о},

которое называют контактным распределением, и ненулевое векторное поле 4, такое, что

п©=1, X)=о

для всех векторных полей Хна М2п+1. Это векторное поле определяет 1-мерное распределение, дополнительное к распределению Е, и называется характеристическим векторным полем контактной структуры.

Определение 2 ([1]). Говорят, что дифференцируемое многообразие М2п+1 имеет (п, 4, ф)-структуру, если оно допускает поле ф эндоморфизмов касательных пространств, векторное поле 4 и 1-форму п, удовлетворяющую условиям

П© = 1, Ф2 =-1 , (1)

где I - тождественное преобразование ТМ2п+1.

Также имеют место следующие условия: ф% = 0 и п ° Ф = 0 в определении (п, 4, ф)-структуры, вытекающие из условий (1).

Определение 3 ([1]). Если многообразие М2п+1 с заданной (п, 4, ф)-структурой допускает риманову метрику ё, такую, что

ё (фХ ,ф7) = ё (X ,¥)-п( X )п(7)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке фонда гранта Президента РФ (проект НШ-4382.2014.1)

для любых векторных полей X, У , тогда говорят, что М2и+1 имеет (п, 4, Ф, g)-структуру или почти контактную метрическую структуру и g называется совместимой метрикой.

Определение 4 ([1]). Пусть многообразие М2"+1 имеет почти контактную метрическую структуру (т), 4, Ф, g), g - совместимая метрика и пусть определена 2-форма Ф :

Ф (X У) = g (X ,ФУ).

Почти контактную метрическую структуру (п, 4, Ф, g) с Ф = ёп называют ассоциированной почти контактной метрической структурой для контактной структуры п или более проще её также называют контактной метрической структурой (П, 4, Ф, g), а метрику g - ассоциированной метрикой.

2. Контактная метрическая структура на 7-мерной единичной сфере £7

Рассмотрим Б1 как сферу в пространстве С4, то есть Б1 = {(х:,х2,х3,х4) е С4:

хТ+хТ+хГ+И2 = 1}.

На сфере Б1 подействуем справа группой О={е1' ,0 < '< 2п} . Её можно отождествить с единичной сферой Б1. Группа О действует по правилу

' /1 1' 2 1' 3 1' 4 1' \

х • е = (х • е , г • е , г • е , г • е ).

Тогда = СР3. Получим отображение Б7^-СР3, которое называется расслоением Хопфа. Прообразом каждой точки пространства СР3 при этом отображении является окружность Б1 ={е1'} . Контактная структура на сфере Б1 строится

следующим образом.

Действие Б1 на Б7 порождает характеристическое векторное поле 4 [2]. Его зна-

4

чение в комплексных координатах пространства С

4(х) = ||'=0 (х• е1') = х•/• е1'1=0 = 1 • х = 1 (х1,х2,х3,х4) .

Контактная форма определяется как п(X) = g0(4,X) для всех векторных полей

X на сфере Б7, где g0 - риманова метрика на сфере Б1.

Вычислим риманову метрику g0 в комплексных координатах:

go(4,X) = (4,X)|С4, X = (X\X2,X3,X4);

(4,X) = (/'• х,X) = 1(х1 X1 + х2 X2 + х3 X3 + х4X4), где ёх (X) = X , 1 = 1,4 . Получим выражение формы п в комплексных координа-

4

тах пространства С :

П=1х1ёх1 + 1х2ёх2 + 1хъёхъ + 1х4ёх4 . (2)

С учётом в данном выражении для формы п соотношения х1 х1 + х2х2 + х3х3 + х4х4 =1 на координаты (х1,х2,х3,х4) получим ограничение формы п в пространстве С4 на сферу Б1.

Проверим условие пл(ёп)3 ^0 на Б1. Для этого найдем это выражение в С4, а затем ограничим его на Б1.

о л 1 10 0 'З 'З Л.

пл(Сп) =6г лсе лСЕ лdz лСЕ лdz лСЕ лСЕ + +6г3 л dzl л СЕ1 л dz 2 л йЕ2 л dz4 л dz4 л СЕ3 + +6г2 л СЕ л СЕ1 л dz3 л СЕ3 л dz4 л С24 л dZ2 + +6Е лсе2 лйЕ2 лсе3 лСЕ3 лСЕ4 лСЕ4 лСЕ1 = 6/Ец, где ц = йе1 лСЕ1 лСЕ2 лСЕ2 лСг3 лсЕ лСЕ4 лСЕ4 . Нетрудно заметить, что вычисленное выражение пл(Сп)3 ^0 в ограничении на сферу Б7. Следовательно, так определённая 1-форма п^) = ё0(4, X) является контактной формой.

Определим по контактной форме п контактное распределение Е: ЕеТБ7: п^) = 0}. ОчевидноX±г , где г - радиус сферы, г = (е1,е2,е3,е4). Контактное распределение задается уравнениями:

Г 1—1 2—2 3—3 4—4

I /(2 X + Е2 X + Е3 X + Е4 X ) = 0, | Е1 X1 + Е 2 X 2 + Е3 X3 + Е4 X 4 = 0,

где X е Е, X = (X1,..., X4) - искомые координаты.

Аффинор ф определяется из соотношения Сп^,У) = g0(X,фУ) и обладает свойствами ф2 |Е = -1 и ф(|) = 0.

Таким образом, определены все характеристики контактной структуры на сфере Б7: п, йп, 4, Е, ф.

3. Связь между контактной структурой на сфере £7 и почти комплексной структурой в пространстве СР3

При отображении Б7^-СР3 контактные метрические структуры и почти комплексные структуры соответствуют друг другу, то есть данное отображение аффинор ф переводит в почти комплексную структуру 3.

Рассмотрим проекцию л:С4\{0}^СР3. Используя естественную комплексную координатную систему ( Е1,Е2,Е3,Е4) в пространстве С4\{0}, имеем фундаментальную форму Ф в пространстве СР3, а также метрику Фубини - Штуди ё(X,У) = Ф(Ж,У) для любых векторных полейX, У.

Докажем, что С п = п*Ф. Рассмотрим в пространстве С4\{0} форму

Ф = -4/дд1п[]Г 2кЕк | = -4/д V к=1

4

X 2ксЕк

к=1

X е"е"

ЕЕ

к—к

Е

V к=1 )

4

XЙЕкЙЕк |-|ХЕкСЕк |.|ХЕкСЕк к=1 ) V к=1 ) V к=1

т^к

Е 2

Форма Ф проектируется на форму Ф, то есть п Ф = Ф . Рассмотрим ограничение формы Ф в пространстве С4\{0} на сферу Б7:

Б7 = { (х1,х2,х3,х4)е С4: |х112 +|х212 +|х312 +|х4|2 = 1}, х еБ7: х>х1 + х2 х2 + х3 х3 + х4 х 4 =1.

Продифференцировав равенство получим

х1 х1 + х 2 х 2 + х3 х3 + х 4 х 4 =1,

£ хкёхк + £ хкёхк = 0, к=1 к=1

£хкёхк = -£хкёхк .

к=1 к=1

Ф1Б7 =-41 ([£ ёхк л ёхк ] + [£ хкёхк ]л[£ хкёхк ||= -41]Г ёхк л ёхк .

Ик=1 ) V к=1 ) V к=1 )) к=1

Рассмотрим глобальную дифференциальную 1-форму п (2), определенную в разделе 2,

П=1х1ёх1 +1х2ёх2 +1х3ёхъ +1х4ёх4 = /£хкёхк .

к=1

Вычислим внешний дифференциал формы п:

4 -

ёп=£ёхк лёхк .

к=1

Сравнивая выражения формы Ф |^7 и дифференциала ёп, получим ёп = Ф 7

*

или ёп = п Ф|^7 с точностью до коэффициента из С.

4. Метрика Фубини - Штуди

Пусть СР3 есть 3-мерное комплексное проективное пространство с однородными координатами х0,х:,_,х3. Пусть и0 - открытое подмножество в пространстве

3 0 к хк

СР3, определенное условием х0 ф0 . Пусть ч>к =—, к = 0,.. .,3. Метрика Фубини -

х

Штуди в пространстве СР3 определяется (в координатной плоскости П0) следующим образом:

3 3 3 3

(1 + £ w1w1)(£ём>1 • ёЪ1) - (£ w1ёw1) • (£ м>гё^г) ё$2 = 4-ы-1=1_

3

(1 + £ w1W1)

1=1

Данная метрика в пространстве СР3 кэлерова.

Определим метрику в пространстве СР3 в комплексных локальных координа-

тах ж1, w2, w3.

3 3 3 3

(1+Xж1ж1)(XСж1• Сж1) - (Xж1Сж1)• (Xw'dw') С52 = 4--^-1=-^-=

(1+ X ж1ж1) 1=1

1+Xж1 • ж1 • Сж1 + Сж2 • Сж2 + Сж3 • Сж3)-

-(ж1 • Сж1 + ж2 • Сж2 + ж3 • Сж3 )(ж'Сж' + ж2 • Сж2 + ж3 • Сж3) ] = 4 г[(+ж2ж2 + ж3ж3)) • Сж1 +(1+ж1 ж1 + ж3ж3)х

2 ~~ 2 / 1 1 2 — 2 \ 3 3 1 2 1 2 хСж • Сж +(1+ж ж + ж ж )Сж • Сж - ж ж Сж • Сж

-ж2ж3Сж2 • Сж3 - ж3ж1См>3 • Сж1 - ж3ж2Сж3 • Сж2 ] =

г[( + ж2ж2 + ж3ж3)) ® Сж1 + (1 + ж2ж2 + ж3ж3)Сж' ® Сж1 ■

+(1+ж'ж1 + ж3ж3)Сж2 ® Сж2 + (1 + ж'ж1 + ж3ж3)Сж2 ® Сж2 +

+(1+ж'ж1 + ж2ж2)Сж3 ® Сж3 + (1 + ж'ж1 + ж2ж2)Сж3 ® Сж3 -

-ж'ж2Сж1 ® Сж2 -ж'ж2Сж2 ® Сж1 -ж1ж3Сж1 ® Сж3 --ж:ж3Сж3 ® Сж1 - ж2ж'Сж2 ® Сж1 - ж2ж^Сж1 ® Сж2 --ж 2ж3Сж2 ® Сж3 - ж2ж3йж3 ® Сж2 - ж3ж'Сж3 ® Сж1 --ж3ж'Сж1 ® Сж3 - ж3ж2Сж3 ® Сж2 - ж3ж2Сж3 ® Сж2 ].

Матрица метрики ё имеет вид

ё=т

Г1 -ж2 ж1 -ж3 ж1 Л

-ж'ж2

W2 -ж3 ж2

1—3 2—3

-ж ж -ж ж

W3

W1

-ж2 ж1

-ж'ж2 -ж'ж3 W 2 -ж2 ж3

3 — 1 3 —2

V-w ж -ж ж

W3

где

W1 =1+| |ж||2 - ж1ж1, W 2 =1+| ж||2 - ж2 ж2, W3 =

\ж\\2 - ж3 ж3.

1=1

2

т =

Рассмотрим правый верхний блок и приведём его к более удобному виду: 2

(1+1 N12 )2

W1 - w2 ж1 - W3 N

- wW2 W 2 -w3 N

1 —3 - N N 2 —3 N W3

(1+1 N12 )2

Г1 0 01

(1+1 N12) 0 1 0 -

V 0 0 1У

^ М!1М!1 М>2 М!1 М!Ъ М!1 ^

1 —2 2 —2 3 —2

N N N N N N

1 —3 2 —3 3 —3

N N N N N N V У У

(1+1 N112 )2

1

Г1 0 01 N

(1+1N2) 0 1 0 - N

V 0 0 1У N

' 1 2 34

N N N I

(1+1N2)

Тогда метрика примет вид

_ 2

Обозначим компоненты:

(1+1N2)

V У

0 01

0 1 0

0 0 1

(1+1N2)

1 0У V NN 0

-_(0 0'• -_

0 »а*1 ("ав)' 0

где

("ав)_

^ 1 —1 2 —1 3 —1 Л

N N N N N N

1 —2 2 —2 3 —2

N N N N N N

1 —3 2 —3 3 —3

N N N N N N

V У

Ввиду данных обозначений метрика g может быть представлена матрицей:

я тл* ((N2 2 - ^

(1+1 N112 2

Фундаментальная 2-форма эрмитовой метрики g задается:

Ф _-2'Еgap ^л^ ,

где gав - элементы матрицы эрмитовой формы

(3)

_ 2Хgapdzа- в .

а, в

5. Ассоциированные контактные метрические структуры на £7 и ассоциированные почти комплексные структуры на СР3

Из определения контактной метрической структуры следует, что ёп(Х,У) = ё(X,фУ). Если зафиксировать п, ёц, 4, то по аффинору ф можно определить метрику ё. То есть за счет вариаций аффинора ф можем построить новые примеры ассоциированных контактных метрических структур. Так как при отображении Б7^СР3 существует связь между контактной метрической структурой и почти комплексной структурой, аффинор ф соответствует почти комплексной структуре 3, то необходимо построить новые примеры ассоциированных почти комплексных структур в пространстве СР3.

Большой класс почти комплексных структур образуют ассоциированные почти комплексные структуры. Почти комплексная структура 3 называется положительной ассоциированной с формой Ф, если для любых векторных полей X, У выполняются условия: Ф(3Х,3У) = Ф(Х,У) и Ф(Х,3Х)>0, если Xф0 [3].

Построим в пространстве СР3 ассоциированную почти комплексную структуру 3, отличную от стандартной почти комплексной структуры 30. Положительную ассоциированную почти комплексную структуру можно получить в следующем виде:

J = J0 (1+R)(1 - R)-1, где R - симметрический эндоморфизм R:TCP3 ^TCP3

антикоммутирующий с iI 0

почти комплексной структурой 30. При этом Я = (1 - 330) (1+330), 30 = Матрица Я, антикоммутирующая с матрицей 30 , имеет вид

0 -iI

R =

v Rp

V а

Re 0

. где R„P =

( 1 1 1 >

1 Г2_ 1

2 2 2

r2 r3

3 3 3

r2 r3

V /

Это легко проверить. Вычислив J0R и RJ0

0

-iI

0R

v R а

V а

0

f

0

-iR!

iRa

v R

V а

видим, что J0 R = -RJ0

R e 0

iI 0 0 -iI

R

-R 0

(

0 0

-R

i 0

Для симметричности оператора Я достаточно, чтобы матрица ёЯ = ёарЯ^ была

бы симметрической. Из выражения (3) метрики ё следует, что для этого матрицы АЯ и ВЯ должны быть симметрическими. Вычислим матрицу АЯ:

AR =

0

v R

V а

R 0

Re

а 0

0

Re

Для симметричности матрицы ЛЯ достаточно взять матрицу Я^ симметрической, а именно:

Яв =

( 1 1 1А

1 1

1 2 2

Г2 Г2_ 1

1 2 3

V '3 '3 'г)

Для симметричности матрицы ВЯ достаточно выполнения следующего равенства:

ь - яв=ь - яа.

ар У уР а

В результате произведения матриц Ь^ и Я^ , получим

/1 —1 2 —1 3 —1

1 —2 2 —2 3 —2

1 —3 2 —3 3 —3 V )

V^ ^ ^)

'1 '2

'2 '2

г1 Г2

Г3 г 2 3 ' ^11 ^'12 ^'13 4

= ^21 ^22 ^23

г3 '3) V ^31 ^32 ^33 )

где

1 —11 2 —11 3 —11 1 —11 2 —12 3 —12

^г11 = V V ' + V V г2 + V V г3 ; wr12 = + V w г2 + ;

1 —11 2 —12 3 —1 3 1 —2 1 2 —2 1 3 —2 1

^г13 = + + ; wr21 = + +

1—2 1 2—2 2 3—2 2 1—2 1 2—2 2 3—2 3

wr22 = + + ; ^г23 = + + ;

1 —3 1 2 —3 1 3 —3 1 1 —3 1 2 —3 2 3 —3 2 wr31 = V V г1 + V V г2 + V V г3 ; ^г32 = V V г2 + V V г2 + V V г3 ;

1 —3 1 2 —3 2 3 —3 3 ^Г33 = V V Г3 + V V Г3 + V V г3 .

Учитывая равенство Ьар Я^ = Ь^ Я^, имеем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

' 1 —11 2 —12 3 —12 1 —2 1 2 — 2 1 3 —2 1 + + = + +

1 —11 2 —12 3 —13 1 —3 1 2 —3 1 3 —3 1 + + = + +

1 —2 1 2 —2 2 3 —2 3 1 —3 1 2 —3 2 3 —3 2 V V Г3 + V V Г3 + V V Г3 = V V ' + V V ' + V V г3 .

13 ^ УУ УУ 13 ^ уу уу 13 — уу уу 12

Решая данную систему, получим общее решение:

(

1 V2 Т V2 2 (V2V2 - V3V3) Г2 = ~' --1Г2 + "-—3-¿Г3 + ~'3

3 —2

2 , ^ V 3 _

(4)

/ 2 — 2 1 —1 3 — 3 ( V - V V + V V

) >2 )2 ,, А

(,,,' )22 2

3 1 2—2 V ( V - V

V)

г22, г32, г33 - любые.

где комплексные числа '3 , '2 , '3 , '3

Можно найти несколько частных решений системы (4) и соответствующие им ассоциированные почти комплексные структуры.

Случай 1. Пусть r3: = 0, r32 = 0,

1 —12 3

1 = w'w2w. Следовательно,

3 1 2 —3 2 1 —2 3

r =www , r =www.

тогда r1 = 0 .

Re =

(w'w2 w3

1 —2 3

www

1 2—3 www

Эндоморфизм R:TCP3 ^ TCP3 определен только в локальной карте U0. Про-

должим его на всё пространство CP нулем, т.е. R

TCP3\(n') (U0)

= 0, где

п': TCP3 ^ CP3 - естественная проекция. Для этого умножим матрицу R на глад-

кую функцию

1

f (w)

обращающуюся в нуль на бесконечности быстрее, чем воз-

1 2 3 1 ~~ 2 3 12 3

растают выражения: www , www или www . В качестве функции f (w).

например, можно взять функцию вида f (w) = (1+||w||)4 . Окончательно имеем вид эндоморфизма

R=

f (w)

0 Re R 0.

Определенная данным эндоморфизмом Я почти комплексная структура 3 = 30(1+Я)(1 - Я)-1 совпадает со стандартной структурой 30 в «бесконечной точке» пространства СР3, 3(да) = 30(да).

Проведем простые вычисления для нахождения (1+Я)(1 - Я)-1: (1 - Я)(1+Я) = (1 - Я)(1+Я);

(1 - Я)-1(1 - Я)(1+Я) = (1+Я);

(1 - Я)-1 = (1+Я)(1 - Я 2)-1.

R 2 =-

1

(Re Ry

(f (w))2

0

r? Rаy

1

((f (w))2

| wV 2w3121;

1-R2 =1 1-

1

(( f (w))2

r|wVw3|2 11>0;

(1 - R)-1 = (1+R)(1 - R2)-1 =

(f (w))2

((f (w))2 -1 w1w2w312

(1+R);

(1+R)(1 - R 2)-1 =

(f (w))2

((f (w))2 -1 w1w2 w3|2

(1 + 2R + R2);

(1+R)(1 - R)-1 = I + 2 R + 2-

| w1w2w312

|2

((f (w))2 -1 w'w2 w

(I + R).

1

Окончательно получим

((f(w))2

J — Jо + 2 Jо

((f (w))2-jwVw312

-R +-

j w1w2w3 j2

((f (w))2-jwVw3 j2

Нетрудно проверить, что 32 =-1. При вычислении используем равенство Я3о = -3оЯ .

Найдем еще три частных решения системы (4).

Случай 2. Пусть ^ = -м1м2м3, '2 = 0, т23 = (V1)2 м3, '33 = (V1)2 м3, тогда

I2 = м1м3(М2 -м3), I1 = м3(2м2м3 -м2м2 + м1м1). Следовательно,

f 3 2 ^3 1 2 ^2 1 3 _2 3 1 2 3 Л

w (2w w + ww - w w ) ww (w - w ) -w w w

Re —

w:w3(w2 - w3)

1 2 —3

-w w w

0

(w1)2 w3

(w1)2 w3 (w1)2 w3

Эндоморфизм Я:ТСР3 ^ ТСР3 определен только в локальной карте и0. Продолжим его на всё пространство СР3 нулем. Для этого умножим матрицу Я на гладкую функцию 1//(м), обращающуюся в нуль на бесконечности быстрее, чем

о 3 2 __3 1 1 2^—2 1 3 _2 3

возрастают элементы матрицы Я^ : м (2м м + мм - мм ), мм (м - м ),

1 2 _о 1 о _о

-м мм, (м ) м . В качестве функции /(м), например, можно взять функцию вида /(м) = (1+||м|)4 .

Случай 3. Пусть '31 = 0, '22 = 0, '33 = 0; ^ = м1^2м2 -м3м3), '11 = м2(м1м1 -м2м2 + м3м3). Следовательно,

r32 — (w1)2 w3,

f 2 1 1 2 ^2 3 3 1 2 ^2 3 3

w (ww - ww + ww ) w (ww - ww )

Re —

w1 (w2w2 - w3w3)

(w1)2 w3

(w1)2 w3

тогда

Эндоморфизм R:TCP ^ TCP определен только в локальной карте U0. Продолжим его на всё пространство CP3 нулем. Для этого умножим R на гладкую функцию 1/ f (w), обращающуюся в нуль на бесконечности быстрее, чем возрастают элементы матрицыRe. В качестве функции f (w), например, можно взять функцию вида f (w) — (1+1|w||)4 .

Случай 4. Пусть r31 — 0 , r22 — 0, r32 — 0, r33 — (w1)2w3, тогда r11 — w3(w1w1 -w2w2),

1 1 —2 3 r2 — w w w .

Следовательно,

0

Re —

i 3 1 1 2^—2 1 — 2 3

w (ww - ww ) www

wW 0 0

0

0

(w1)2 w3

Матрица эндоморфизма Я имеет вид

Я =-

1

/ ( Н)

0 Яа

чЯ«Р 0

В качестве функции /(н), например, можно взять функцию вида /(н) = (1+|Н|)4 .

Более подробно рассмотрим случай 1. Для эндоморфизма Я, соответствующего первому случаю, найдем соответствующую почти комплексную структуру 3.

В качестве функции /(н) возьмем следующую функцию: /(н) = (1+1н|)4 . Тогда

матрица почти комплексной структуры 3 имеет вид

3 = /х(м>1, м>2, м>ъ)

II

у-1/2^\Н2, Н3) Яв

г/2(н\ ^3)Я,Р -II

где

1 ^ ^ = (1+1Н1)8 +1 НУ^|2

Л (1+1 Н|)8 -1 нН Н3|2

/2(н1, Н2, Н3) =

2(1+1 н|)4

(1+1 н|)8 +1 Н^2Н3 |2

Проверим найденную почти контактную структуру на интегрируемость. Найдем выражение для матрицы почти комплексной структуры 3 в действительных координатах пространства Я8.

Имеют место следующие соответствия:

/ (Н1,Н2,Н3) ^ х1,у1, X2,у2,х3,у3),

/2 (Н1,Н2,Н3) ^£2 (х1,у1,X2,у 2,х3,у3) ,

(1+1 Н|)8 =(1 + 7 (X1)2 + (у1)2 + (х2)2 + (у2)2 + (х3)2 + (у3)2 )4,

|нН2 Н3 |2 = (х1 х2 х3 - х3 у1 у2 - х1 у2 у3 - х2 у1 у3)2 +

+(х>х3 у2 + у'х2 х3 + х1 х2 у3 - у1 у2 у3)2 .

Таким образом, в действительных координатах матрица почти комплексной метрической структуры 3 имеет следующий вид:

3 = /

-21 + /2 |я!+

/2(Я!-яа) -21+/2( -21 -/2(яв+яа) /2(Я!-яв)

где

/2(Яв- Яв) = 2 /2

(1т! 0 0 1

2 /2 0 1т2 0

1 0 0 1тз,

1т1 = х'х3у2 - х2 х3у1 + х1 х2у3 + у1 у2у3.

Im2 = х2 х3 y1 - х1 x3y2 + x1 x2y3 + y1 y2у3.

Im3 = х1 х3 y 2 + х2 х3 y1 - х'х2 y3 + y1 y2 y3,

(1 ± /2RCI

-2/ + f2( Rae + Rae) = -2 f2

0 0 1 1± f>Re2 0

0 1± f2Re3 у

Re1 = х1 х2 х3 + х3y1 y2 - х1 y2y3 + х2y1 y3, Re2 = х1х2 х3 + х3y1 y2 - х2y1 y3 + х1 y2y3,

Re3 = х1 х2 х3 - х3y1 y2 + х1 y2y3 + х2y1 y3.

Вычисляя тензор Нейенхейса N для почти комплексной структуры J с помощью системы аналитических вычислений Maple, получим N Ф 0 (108 ненулевых компонент). Следовательно, построенная структура J не интегрируема.

Полученная структура позволяет получить новые классы ассоциированных контактных метрических структур (п, 4, Ф, g).

Вычислим ассоциированную метрику gJ в матричном виде. Согласно равенству g(X,Y) = Ф(JX,Y), имеем

ф0 =- g0 J0.

Следовательно, форма Ф0 имеет матрицу вида

Ф0 =-

( 0 Sap1 (i/ 0 1= ' 0

V gap 0 / V 0 -i/ J= ,-igaP 0 J

Воспользовавшись полученным выражением, имеем

( 0 ig -1 и 'Sap

0

gJ =Ф0 J = fi (w1,w2,w3)

V igaP у

i/ if2(w\ w2, w3) Rj

-/f2(w1,w2,w3)RP -i/

( r s.,.1 ,,,2 ,,,34„ Dp

(

= f1(wl, w2, w3)

f2(w1, w2, w3) gag R

'ap

/

f2(w1, w2, w3) gap R

Y У

где

gap RF='

' W1 - w2 w1 - w3 w

m1 - w'w2 W 2 -w3 w

-w'w3 2—3 -w w W3

3—1 —1 2 3

3-M/ w1w2 w

0 w'w2 w3

1 2—3

www

( wVw2w3

1—1 2 —2 3

- w w w w w

1 —1 2 —2 3 1 —1 2 3 —3 Л

-w w w w w - w w w w w

W 2 wV2 w3

1 —1 2 3 —3 1 2 —2 3 —3

-w w w w w -w w w w w

1 2—2 3—3

- w w w w w W3 w1w2 w3

Таким образом, матрица ассоциированной метрики g имеет следующий вид:

gJ =

(

g>,|i g fyu g

Л

I/

где gXu = g Ш и gX|= g^u

g^u = m1f1f2

( Wlwlw2w3

1 —1 2 —2 3

-w w w w w

1 —1 2 —2 3 1 —12 3 —3 Л

- w w w w w - w w w w w

W 2 wlw2 w3

1 —1 2 3—3 1 2—2 3 —3

-w w w w w -w w w w w

1 2 — 2 3 —3

-w w w w w

w 3 wV w3

gxu= m1f1

W1

- w'w2

1—3 2—3

-w w -w w

2 —1 3 —1 Л

-w w - w w

3—2

- w w

W2

W3

m =-

W1 =1+| |w||2 - wV

(1+| w2 )2

W2 =1 + ||w||2 - w2w2, W3 =1+||w||2 - w3w3,

1, w2, w3) = (1+| w |)88 +| w|w2 w3|2

1 (1+1w|)8-1w w2w |2

f2(wl, w2, w3) =

2(1+1 w|)4

(1+1w|)8 +1w1w2w3|2 '

Аналогичным образом были рассмотрены случаи 2-4.

Таким образом, построены новые примеры ассоциированных контактных метрических структур (п, 4, Ф, gJ) на 7-мерной единичной сфере S1. Кроме того, найденное семейство ассоциированных метрик gJ соответствует неинтегрируемому семейству ассоциированных почти комплексных структур J в 3-мерном комплексном проективном пространстве СР3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Progress in Mathematics. V. 203. Birkhauser Boston, 2002. 304 p.

2. Славолюбова Я.В. Контактные метрические структуры на нечетномерных единичных сферах // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 6(32). C. 46-54.

3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1 и Т.2. М.: Наука, 1981. 344 с.

Статья поступила 15.12.2015 г.

2

Slavolyubova Ya.V. (2016) ASSOCIATED CONTACT METRIC STRUCTURES ON THE 7-DIMENSIONAL UNIT SPHERE S7. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4(42). pp. 44-57

DOI 10.17223/19988621/42/5

In this paper, we construct new examples of associated contact metric structures (n, 9, gJ) on the 7-dimensional unit sphere S7, other than standard.

The construction involved a Hopf bundle n: S7^CP3. This projection maps affinor 9 into an almost complex structure J. Therefore, it became necessary to build new examples of associated almost complex structures J in the 3-dimensional complex projective space CP3.

Let ® be a nondegenerate 2-form (a Fubini-Study form). An almost complex structure J is called positively associated with the form ® if the following conditions are satisfied for any vector fields X, Y:

®(JX, JY) = ®(X,Y) and ®(X, JX) > 0 , if X * 0 . Each positively associated almost complex structure J defines a Riemannian metric gJ by the equality g(X,Y) = ®(X,JY); the metric is also called associated. The associated metric has the following properties:

g(JX, JY) = g(X, JY), g(JX,Y) = ®(X,Y) . The positively associated almost complex structure can be obtained as follows:

J - J 0(1 + R)(1 - R) -1,

where R is a symmetric endomorphism R: TCP3 ^ TCP3 anticommuting with the standard structure J0,

J 0

J° 0 -il

In this paper, we have found a series of matrices R satisfying these conditions. Each matrix of this kind defines an associated almost complex structure in the space СP3. One of these matrices,

R

' 0 RP

(1+ I W I)4

v Ra 0

where the block RÜ =

f—i 2 3 n n Л

www 0 0

r\ 1—2 3 n

0 www 0

0 0 wtw2w

, has been considered in more detail.

For this endomorphism, the relevant almost complex structure J and a Hermite metric g have been found in the space СP3. It has been verified that the constructed structure J is not integrable.

Keywords: contact structures, associated contact metric structures, 7-dimensional sphere.

1

SLAVOLYUBOVA Yaroslavna Viktorovna (Candidate of Physics and Mathematics, Kemerovo

Institute of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Blair D.E. (2002) Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics. 203. Birkhauser Boston.

2. Slavolyubova Ya.V. (2014) Kontaktnye metricheskie struktury na nechetnomernykh edinich-nykh sferakh [Contact metric structures on odd-dimensional unit spheres]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 6 (32). pp. 46-54.

3. Kobayashi Sh., Nomizu K. (1963) Foundations of differential geometry. Vol. 1, 2. New York, London: Interscience Publishers.