Контактне деформування балки кінцевої довжини на односторонній інерційній основі Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Канд. техн. наук А. В. Засовенко Запорiзький нацюнальний технiчний унiверситет, м. Запорiжжя

КОНТАКТНЕ ДЕФОРМУВАННЯ БАЛКИ К1НЦЕВО1 ДОВЖИНИ НА ОДНОСТОРОНН1Й 1НЕРЦ1ЙН1Й ОСНОВ1

Розглядаеться нестацгонарне контактне деформування пружног шарнгрно обпертог балки к1нцево1 довжини, що лежить на одностороннш терцшнш основI. Прямий чисельний розв 'язок засновано на використаннI методу характеристик.

Ключовi слова: терщйна основа, пружна балка, основа типу Втклера, метод характеристик.

Дослвдження яшсних законом1рностей взаемоди ба-лочних конструкцш з р1зними основами представляють штерес при ощнщ мщносп 1 стшкосп !х при да нестаць онарних навантажень, оск1льки порушення контакту при сум1снш деформацл не тшьки к1льк1сно, але 1 яшс-но зм1нюе характер динам1чного процесу.

Розглянемо систему шнцево! довжини, що скла-даеться з балки, 1 пружно! односторонньо! шерцшно! основи. Одностороннш зв'язок м1ж балкою 1 основою обумовлений тим, що основа чинить отр тшьки втис-куванню балки 1 не заважае Н вщходу. Цей зв'язок виз-начае характер контактного тиску, що виникае м1ж балкою 1 основою в процеа сушсного деформування, -воно не може бути негативним.

Р1вняння, що моделюють деформування балки з урахуванням шерцд обертання 1 впливу зрушення в розм1рному вигляд1 доповнюемо р1внянням, що ввдпо-ввдае за реакцш основи:

„ Тд 2ш с<( дw1 ^ тд 2ш EJ—+ k 2 GSI —1 -ш 1 = р J—3-;

с*2 I дг Л Р дt2

k2 GS

(2

д w1

дг2

ч

Я( х, t) = 2а

дш дг

Л

= р S

+ Я( х, t) - ^ •

дt

2

5

д w2 , д w2

--2 - bw2 - т-

2 2 2

(1)

дх 2

дt2

напрямку, нормальному до в1с1 балки;

а = •

Ео5

4(1 + По)

Е 5 Н

\у)йу; Ь = —^ \у)йу;

о 1 Ло о

По о

т = то5_[ш2(у)йУ; Ео =•

Е,

м . „ _ Лм

—; По =

1 -пМ '" 1-Пм

Причому Ем { пм - в1дпов1дно модуль пружносп 1

коефщент Пуассона матер1алу основи; 5 - ширина

балки; ш( у) - функщя, що характеризуе розподш пе-

ремщень у основц то - щшьшсть основи. Товщина

основи о < Н < ж .

Основою е шар, що стискаеться, завтовшки Н , роз-ташований на несшнченно жорстк1й основа Систему початкових та крайових умов приймемо у форм1:

дWl( х, о) дw2( х,о) w1(х,0) = —1-= W2(х,0) = ——-= о;

дг

дг

^(о, г) = w1(/, г) = w2(0, г) =

дх

дх

= W2(l, г) = о.

Використовуючи вже вщомий зв'язок з безрозм1р-ними змшними [1, 2], запишемо р1вняння в безрозм1р-ному витляда

Тут Е - модуль пружносп матер1алу балки, О - модуль зрушення, J - момент шерцд поперечного перетину балки, £ - площа поперечного перетину балки, k2 - коефщент зрушення, р - щшьшсть матер1алу балки, ш (х,г) - кут повороту нормального елементу балки, w1(х, г) - прогинання балки, х - вадстань, вим1рю-

вана уздовж вю1 недеформовано! балки (о < х < Ь), г -

9( х, г) . п/ ч

- розподшене навантаження, Я(х, г) - ре-

час,

5

акщя основи, w2(х, г)- перемщення точок основи у

д 2ш 1 д2ш С2 372

д 2 W-i 1 3

д^2 С22 372

д 2 1 3 2>Р2

д^2 С32 372

дWl

1 =

- /и

= ^ + ДЙ,7) - 7Й,7)5я + Р - /2;

= ^2 W2 - Я & 7) - /3.

(2)

Тут Сз ^^;=

k2 ОБЬ2

EJ

; /2 =

2

Ь

2а (1 -по)

ь

© А. В. Засовенко, 2014

1ББМ 1607-6885 Нов1 матер1али г технологи в металурги та машинобудувант №1, 2014

135

Причому для С3 швидк1сть

% = >/Ем/2то(!-Пм)(1 +п0) • Навантаження задаемо у вигляда: ) = ф()(%), де ) = 7в

и(%) =

0

%е (0,4; 0,6) (0,4; 0,6)

(3)

Розв'язання системи (2) будуеться чисельно на основ! атково-характеристичного методу [1, 2]. Розрахун-ки проводилися при наступних значениях початкових параметр1в:

А~ = 0,005; ^ = 0,375; = 1,95; С2 = 0,312; С3 = 0,568; ц = 1.

Результати деяких розрахуншв наведеш на рис. 1 у вигляд1 розпод1лу прогинань балки на одностороннш шерцшнш основ1 уздовж Н довжини в р1зш моменти

часу: ~ 1 = 0,5 ; ~2 = 1; ~3 = 1,5; ~4 = 2 • На графжах, з мiркуваиня симетрп, показаш розподши прогинань для

0,5 < % < 1.

Для пор1вняння на рис. 2 наведет розподши прогинань балки, що лежить на одностороннш основ1 типу Вшклера, для тих же моменпв часу. Розрахунки проводилися для наступних значень початкових параметр1в:

А~ = 0,005; ^ = 0,375;

= 325; С2 = 0,312; ц = 1.

Пор1внюючи крив1 на двох графшах, можна бачити, що шерщйна основа надае сильтший отр при втиску-ванш в нього балки, чим одностороння основа типу Вшклера.

Слад зазначити, що в данш задач значення коефще-нта постел1 для односторонньо! основи типу Вшклера бралося достатньо великим. Отримаш результати добре узгоджуються з вже опублшованими Ю. С. Воробй-овим, А. В. Колодяжним 1 ш [3].

Як можна добре бачити, яюсно характер прогинань для обох основ повторюеться. Можна зробити висно-вок, що при розрахунках, для спрощення обчислень, допустимо використовувати модель односторонньо! основи типу Вшклера (з великими коефщентами постел1).

В цшому, для 1мпульсних (ступ1нчастих) навантажень необхщно враховувати шерщю руху основи, а у раз1 навантажень, що плавно змшюються (гладких), безшер-цшна основа типу Вшклера дае добре наближення.

Рис. 1. Розподiл прогинань балки, що лежить на одностороннш шерцшшй основi

Рис. 2. Розподш прогинань балки, що лежить на основi типу Вiиклера

Список лтератури

1. Мастиновский Ю. В. Нестационарное деформирование упруго-вязкопластической балки / Ю. В. Мастиновский, А. В. Засовенко // Вестник двигателестроения - За-портжжя. - 2008. - № 1. - С. 147-150.

2. Засовенко А. В. Контактное деформирование двух балок конечной длины / А. В. Засовенко Ю. В. Мастинов-

ский // Новi матерiали i технологи в металургй та маши-нобудуванш - Запорiжжя : ЗНТУ, 2005. - № 2. - С. 4042.

3. Скоростное деформирование элементов конструкций / [Ю. С. Воробьев, А. В. Колодяжный, В. И. Севрюков, Е. Г. Янютин]. - К. : Наук. думка, 1989. - 192 с.

Одержано 03.06.2014

Засовенко А.В. Контактное деформирование балки конечной длины на одностороннем инерционном основании

Рассматривается нестационарное контактное деформирование упругой шарнирно опертой балки конечной длины, что лежит на одностороннем инерционном основании. Прямое численное решение основано на использовании метода характеристик.

Ключевые слова: инерционное основание, упругая балка, основание типа Винклера, метод характеристик.

Zasovenko A. Contact strain of finite length beam based on one way inertia

The non-stationary contact deformation of elastic hinged finite length beam, lying on the single-sided inertial foundation was considered. The direct numerical solution is based on the method of characteristics.

Key words: inertial basis, elastic beam, basis type of Winkler, method of characteristics.

ISSN 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудувант №1, 2014 137