Нестационарное деформирование однопролетной балки под действием подвижной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

II КОНСТРУКЦ1ЙН1 I ФУНКЦЮНАЛЬН! МАТЕР1АЛИ

УДК 539.374

Канд. техн. наук Ю. В. Мастиновский, А. В. Засовенко Национальный технический университет, г. Запорожье

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОДНОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

Рассматриваются упругие волны в однопролетной шарнирно опертой балке, вызванные действием перемещающейся силы. Балка лежит на упругом одностороннем основании модели Винклера, а подвижная нагрузка распределена на достаточно малом участке балки. Движения балки описываются уравнениями типа Тимошенко. Прямое численное решение не автомодельной задачи основано на использовании метода характеристик. Приведен анализ полученных результатов для различных скоростей движения нагрузки.

1 Введение

Проблема динамического воздействия подвижных нагрузок на балочные конструкции актуальна для машиностроения, транспорта и строительства. В последнее время, в связи с изношенностью подвижного состава и путепроводов, с увеличением нагрузок и скоростей движения на транспорте, возникает необходимость изучить вопрос о деформировании балочных систем с изменяющимися характеристиками балки и нагрузки.

Решению подобных задач посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей [1-4]. Аналитические решения, как и решения, построенные на условии стационарного режима колебаний, т. е. в подвижной системе координат, приводят к громоздким выкладкам, затрудняющим анализ полученных решений.

Данная работа посвящена созданию модели и методу расчета рассматриваемой конструкции, приемлемой для практики. Уточненные уравнения движения учитывают инерцию вращения и сдвиг элемента балки. Взаимодействие балки и основания одностороннее.

2 Постановка задачи

Физическая модель шарнирно опертой балки, на упругом одностороннем основании, на которую действует перемещающаяся сила, показана на рис. 1. Правила знаков и обозначения определяются из представленной модели.

Уравнения движения балки имеют вид [2, 6]:

ЕЗ -Р 3 ^ = -к 2 СА (|У-у

дх2

дг2

дх

л д2 у .д2 у ,2^ , Зш ч а( х, г)

к2 С А—2 -р а—2- = к2 С А— + Я(х, г) - 4 ' + Р.

дх

дг2

дх

(1)

где Е - модуль упругости материала балки (модуль Юнга), С - модуль сдвига, 3 - момент инерции поперечного сечения балки, А - площадь поперечного

сечения балки, к - коэффициент сдвига, р - плотность материала балки, х - координата, измеряемая от левого конца балки (о < х < ь), у( х, г) - прогиб оси

балки, г - время,

д( х, г)

- распределенная нагрузка

8

ду

(8 << Ь ), К(х,г) - реакция основания, Р = -у— -

дг

внутренние силы сопротивления, пропорциональные скорости смещения балки с коэффициентом у . Используя связь с безразмерными величинами

х геъ у

С = ь' т = ' w = Ь' перепишем систему уравнений (1) в безразмерном виде:

д 2ш

дС2

д 2м>1

1 д ш иг ди-1 С,2 дт дС

1_ ^ =дС + ^ т) - ~(С, т) + Р , /2;

2 ОС,

дс2

с2 дт

Я(С, т) = ^2 ^2-

(2)

Рис. 1. Балка на упругом основании под действием распределенной на интервале 8 силы

а

© Ю. В. Мастиновский, А. В. Засовенко, 2008

40

Здесь = 1

С = 1;с2 = ^; [сь = >/ЕР; = ^кЧр]

- ско-

рости распространения волн, а м и м - поперечные перемещения балки и основания соответственно, ^2 - жесткость основания.

Если ввести четыре новые безразмерные переменные:

М =--— - изгибающий момент; Ж = —— - уг-

дГ, Зт

ловая скорость поперечного сечения;

г, дм тл дм О =--— - перерезывающая сила; V =--ско-

«£, дт

рость поперечного движения, то уравнения (2) можно переписать так:

дМ__1_ дЖ_

д£, с2 дт

= т - Л;

дО 1 дV ~ „ „ ~ _

■дг—2 к (Г, т) - ~(Г,т)+р - Л2;

д£, С2 дт

Я(Г, т) = ^2 М2.

(3)

ТУ Г- к 2ОЛ1?

Как и в уравнениях (2) здесь =- и

Ь2Кр

= —г-- безразмерные коэффициенты, где Кр -

к2ал р

коэффициент постели основания.

Дополним уравнения (3) нулевыми начальными и граничными условиями, которые соответствуют шарнирному закреплению балки на концах:

У (х, 0) = V (х, 0) = — (х, 0) = Ж (х, 0) = 0;

у(0, т) = М (0, т) = у( Ь, т) = М (Ь, т) = 0. (4)

3 Численное решение

В соответствии с методом численного решения с использованием сетки характеристик [5, 6] система уравнений (3) преобразуется к виду:

дт

вдоль характеристик первого семейства — = ±С

получаем

О (Ж) + С1О (М )± С1 ЛОТ = 0,

дГ

дт

(5)

соответственно

о (V)+С2й (О )± с1л1ог = 0. (6)

Для проведения расчетов строится сетка характеристических линий первого семейства, с шагом

Д2, = Ат , покрывающая всю полосу 0 < Г < 1, т^ 0. Данные из точек пересечения линий С± с характеристиками С± переносятся в регулярные узлы по формулам интерполяции. Методика расчета и алгоритм взаимодействия балки и основания приводятся в работах [5, 6].

Одностороннее действие упругого основания Я (Г, т) определяется прогибами балки в области контакта следующим образом:

Я(Г, т) =

М2 при М>1 > 0 (^1 = М>2) 0 при м>1 < 0.

4 Анализ полученных результатов

Для упрощения анализа в качестве примера приводятся результаты действия на балку нагрузки с интенсивностью Ц, движущейся с постоянной скоростью С0 и равномерно распределенной на участке е (ДГ < е << 1):

~(Г, т) =

ц , [С0т—; с0т+ 2

0, г« Сот — -; 0>т + -]

а вдоль характеристик второго семейства — = ±С

При расчетах задавались следующие значения исходных параметров:

ДГ = Дт = 0,005; ц = 1; у = 0;

^ = 0,375; = 165; е = 0,05.

Распределения изгибающих моментов приведены на рисунках 2, 3 и 4. Слева на рисунках показаны распределения для упругой балки с односторонним основанием, справа - распределения без основания при т1 = 0,5; т2 = 1; т3 = 1,5; т4 = 2. Безразмерная скорость нагрузки С0 варьировалась от 0,2 до 0,9.

Как видно из графиков, амплитуды изгибающего момента зависят от скорости движения нагрузки, а наличие контакта с упругим основанием значительно изменяет как величину изгибающего момента, так и характер его распределения. Интенсивность упругой волны после прохода нагрузки больше, чем во время ее действия.

Расслоение конструкции (образование зон «отрыва» балки от основания в процессе их динамического

1607-6885 Новi маmерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2008

41

Рис. 2. Распределение изгибающего момента в упругой балке с основанием и без основания (скорость нагрузки 0,2)

Рис. 3. Распределение изгибающего момента в упругой балке с основанием и без основания (скорость нагрузки 0,5)

Рис. 4. Распределение изгибающего момента в упругой балке с основанием и без основания (скорость нагрузки 0,9)

взаимодействия) качественно и количественно меняют картину волнового процесса. Это видно из рис. 5, буквой (а) показано одностороннее взаимодействие, (Ъ) - «жесткий» контакт балки и основания, на оси выделена зона «отрыва».

Влияние параметра У , характеризующего внутреннее трение упругой системы, на движения балки наиболее существенно при у > 1. При у ~ 10 прогиб значительно сглаживается, приближаясь к статическому. Если 0 < у < 1, то кривые деформирования балки близки к прогибам балки без трения (у = 0 ).

Независимо от С0 - скорости движения нагрузки, максимальный прогиб балки находится сзади фронта нагрузки. При С0 < 1 (С0 Ф С2) деформации впереди фронта нагрузки существенно (на порядок и более) меньше, чем сзади него. В «сверхзвуковом» режиме (С0 > 1) имеют место интенсивные колебания сзади места приложения движущейся нагрузки. При С0 = С\ или С0 = С2, нагрузка движется вдоль характеристик, и наблюдаются незначительные осцилляции вблизи места приложения движущейся силы, которые могут быть сглажены подбором параметра у , а амплитуды упругой волны растут с течением времени.

Рис. 5. Распределение изгибающего момента в упругой балке с односторонним основанием и «жестко» закрепленной с основанием (скорость нагрузки 0,5; момент времени Т4 = 2)

Прямое численное решение, основанное на использовании характеристик определяющей системы уравнений, имеет ряд преимуществ по сравнению с другими методами. Оно позволяет рассматривать задачи с различными граничными условиями без изменения расчетной схемы, выделять и учитывать разрывы в граничных и начальных условиях или в правой части (если только эти уравнения являются гиперболическими), решать задачи сложного взаимодействия с учетом «отрыва» составляющих конструкций, численно исследовать волновые процессы, вызванные нестационарным движением нагрузки.

Предложенная методика расчета позволяет с достаточной степенью точности численно моделировать процесс нестационарного воздействия движущейся распределенной нагрузки на одно- и многопролетную балочную конструкцию с различными типами оснований.

Перечень ссылок

1. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций. - Киев: Наукова Думка, 1974. - 174 с.

2. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках - Киев: Наукова Думка, 1980. - 232 с.

3. Муравский Г.Б. Действие подвижной нагрузки на балку, лежащую на одностороннем упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений. - 1975. -№ 4. - С. 42-46.

4. Глинов А.П., Анализ изгибных колебаний балки, обусловленных движением погонной нагрузки //Прикладная математика и механика. -1995. - №4. - С. 626-633.

5. Чоу, Мортимер, Решение одномерных задач о распространении упругих волн методом характеристик //Прикладная механика. Труды американского общества инженеров-механиков (русский перевод). -1967. - № 3. -С. 308-315.

6. Засовенко А. В., Мастиновский Ю. В. Одностороннее взаимодействие балки с упругим основанием //Н^ ма-терiали i технологи в металургй та машинобудуванш. -2005. - № 1. - С. 105-107.

Одержано 14.02.2008

Розглядаються пружн xeuni в однопролтнш шартрно опертш балщ, що викликан дieю рухомог сили. Балка лежить на пружнiй одностороннiй пiдставi моделi Вiнклера, а рухоме навантаження розподтене на достатньо малш дiлянцi балки. Рухи балки описуються рiвняннями типу Тимошенка. Пряме чисельне рiшення неавтомодельно'1 задачi Трунтуеться на використаннi методу характеристик. Приведено анализ отриманих результатiв дляргзних швидкостейруху навантаження.

Elastic waves in one-flying simply supported beam, caused by the action of moving force, are examined. A beam lies on resilient one-sidedfoundation of Vinkler model, and the mobile loading is distributed on the small enough area of beam. Beam motions are described with the equalizations of Timoshenko type. The direct numeral solution of notautomodel task is based on the use of descriptions method. The analysis of the obtained results for the different rates of loading movement is given.

ISSN 1607-6885 Нов1 матер1али i технологи в металургй та машинобудуванш №2, 2008 43