CC BY
46
УДК 621.01:514.181.2 А. С. НИТЕЙСКИЙ ч
Омский государственный технический университет
КОНСТРУИРОВАНИЕ ТОРСОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО ТРЕХГРАННИКА ФРЕНЕ__________________________________________
Рассмотрен подход к конструирования торсовых поверхностей методом подвижного трехгранника Френе на основе плоских кривых. Выполнены некоторые примеры конструирования на основе кривых второго порядка. Полученные результаты исследований могут быть положены в основу проектирования сложных технических линейчатых развертывающихся поверхностей оболочек деталей машин.
Ключевые слова: торсовая поверхность, трехгранник Френе, условие компланарности векторов, глубокорыхлитель.
В геометрической науке известен способ конструирования линейчатых поверхностей, основанный на их выделении из конгруэнции прямых [1—4]. Исследованию общего случая линейчатых развертывающихся поверхностей — торсовых поверхностей (ТП), посвящено незначительное количество работ, среди которых выделяется работа [2], содержащая теоретические основы конструктивно-геометрического метода конструирования ТП.
В настоящем исследовании рассматривается дифференциально-геометрический метод конструирования ТП, основанный на использовании подвижного трехгранника Френе (ТФ) пространственной кривой линии. Пусть в точке Л отрезка кривой линии, состоящего из ее обыкновенных точек, определен ТФ, в котором 1, п, Ь — соответственно орты касательной, нормали и бинормали. Будем рассматривать образование линейчатой поверхности, орт 1 образующей которой проходит через точку Л кривой (рис. 1).
Координатное положение орта определяется углами: а = 1л11п; Р = 11пМ, где 11п — ортогональная проекция орта 1 на соприкасающейся плоскости (1, п) кривой в точке Л. Как известно, положение ТФ определяется натуральным параметром 8 кривой линии. В этой связи принимаем, что каждый из углов а и (3 является функцией параметра 5. В таком случае имеет место уравнение:
l =(t • cos b + n • sin b) • cos a + b • sin a
(1)
Известно, что необходимым и достаточным условием того, чтобы линейчатая поверхность была развертывающейся, является условие компланарности векторов [5]:
t Л ^ 1 = 0.
ds
(2)
Исходя из уравнения (1) и рассматривая случай плоской кривой, можно получить следующее выражение для производной
dl (( db Л . n q . da) -
— = II---------— - к | sin b • cos a - cos b • sin a-----------| • t +
ds ^ ds 0 ds 0
((, db) b b . da) _
+ I I к + — | cos b • cos a - sin b • sin a------------| • n +
11 ds 0 F F ds J
Рис. 1. Положение образующей l линейчатой поверхности
- d a
+ b • cos a —.
ds
(3)
где к — кривизна кривой в точке Л.
Уравнение (2) для рассматриваемого случая на основании (1) и (3) принимает вид:
da
:------к • ctgb • ds - ctgb • db = 0. (4)
cos a • sin a
Выполним интегрирование обеих частей последнего уравнения:
da
cos a • sin a
;------J к • ctgb • ds - J ctgb • d b = 0.
Поскольку к-ёБ=ёд, где d5 — приращение угла наклона 5 орта 1 от первоначального положения при 5 = 0, получаем:
da
cos a • sin a
:------J ctgb • d8 - J ctgb • db = 0. (5)
или
ln | tga |= J ctgb • dd + ln | sin b | +C. (6)
Из уравнения (6) следует, что если будет известна функциональная зависимость угла Ь от угла касательной 5, то после вычисления интеграла в формуле (6) зависимость углов а, Ь и 5 становится определенной. Пусть угол Ь меняется линейно, например, Ь = ш.5, где т постоянная скалярная величина. В этом
J
J
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
152
случае получаем dS = dp/m и уравнение (6) принимает вид:
1п| гда |= 1п( ят(Р) I) + 1п | в1п р | +С. (7)
т
Откуда получаем решение для угла а:
а = аг^дI еС ■ ^ш(р)|~т I, (8)
где nn<a <(2n+ 1)<я/2.
Рассмотрим пример применения формулы (8) для случая единичной окружности g = cos t ■ i + sin t ■ j, в параметрических уравнениях которой t — текущий скалярный параметр, опредекляющий угловое положение радиус вектора ее точки относительно орта i. Поскольку угол b зависит от угла касательной 8 окружности, а он определяется в случае единичной окружности как 8 = t, то получаем: b = mt. Формула (8) перепишется соответственно:
a = arctg\ e
1(b)
m +1 m
Если принять С=0, то в зависимости от того, каким выбирается коэфициент m, можно получить семейство ТП (рис. 2). Расчет ТП выполнен в системе компьютерной алгебры Maple.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (4) для окружности в частных случаях.
1. Предположим, что b = const. Тогда из (4) следует:
da
cos a ■ sin a
- J к ■ ctgb ■ ds = 0;
ln | tga |= ctgb ■ J к ■ ds + С = ctgb ■ 5 + С.
Принимая С=0, получаем решение угла для окружности: a = arctg(et ctgb) (рис. 3а).
2. Предположим, что a = const. Тогда из (4) при С = 0 следует:
db = —kds; b = -J к ■ ds = -5.
Для рассматриваемой окружности получим: b = = — t (рис. 3б).
Рассмотрим пример применения формулы (8) для случая логарифмической спирали g = a ■ et cost ■ i + + a ■ et sin t ■ j, в параметрических уравнениях которой t — текущий параметр, определяющий угловое положение радиус вектора ее точки; а — параметр отвечающий за частоту витков. Рассматриваемая плоская кривая может использоваться в качестве поперечного профиля стойки некоторых глубокорых-лителей. Поскольку угол b зависит от угла 8 касательной логарифмической спирали и определяется
5 г, , , | g' х g" |
как 5 = I к ■ ds, тогда для ее кривизны k = _ 3—-
g
| g' х g'' |
получим b = m ■ 5 = m J —^ ds. Переходя к нату-
g'
ральной параметризации, найдем ds: ds =| g' | dt = = a ■ etdt.
Вычисляя
интеграл b = mJ| g * g | ■ a ■ etdt полу-J g'3
чим: b=±mt.
Формула (8) в этом случае примет вид:
a = arctanl |sin(mt)|
m+1 m
В зависимости от выбора параметров спирали а и коэффициента т, можно получить различные ТП (рис. 4 а).
Рассмотрим пример применения формулы (8) для случая произвольной параболы д = 4^ ■ I + 8^ ■ 7 , в параметрических уравнениях которой I — текущий параметр, представляющий собой положение радиус вектора ее точки. Именно эту кривую используют в качестве продольного профиля стойки глубоко-рыхлителей для снижения тягового сопротивления рабочего органа. Поскольку угол Р зависит от угла 8 касательной параболы, который определяется как
5 = | к ■ ds , то, учитывая кривизну параболы к =
_ |д" х д''|
g'3
о г г | д' х д' ' | , т-,
получим р = т ■ о = т I _ 31 ds. Перед
ходя к натуральной параметризации, найдем <38: ds = 8^^^+t2dt . Вычисляя интеграл р = т \| д *д—|х
д
х8лД +12 dt, получим: b = m-arctgt.
Формула (8) в этом случае примет вид:
a = arct gl |sin(m • arctgt)|
m+1 m
В зависимости от значения коэфициент т можно также получить различные ТП (рис. 4 б, рис. 5).
Полученные алгоритмы могут лечь в основу разработки конструкторской САПР для проектирования различных технических линейчатых развертывающихся поверхностей, применяемых в изделиях транспортного и сельскохозяйственного машиностроения. В частности, для получения лемешных поверхностей закрепляемых на стойке глубокорых-лителей.
Библиографический список
1. Иванов, Г. С. Теоретические основы начертательной геометрии: учебное пособие / Г. С. Иванов. — М. : Машиностроение, 1998. — 158 с.
Рис. 5. ТП для логарифмической спирали при p=const=-1,34 рад
2. Михайленко, В. Е. Формообразование оболочек в архитектуре / В. Е. Михайленко, В. С. Обухова, А. А Подгорный. — Киев : Буддвельник, 1972. —208 с.
3. Трухина, В. Д. Моделирование и анализ линейчатых технических поверхностей (на примере изделий сельскохозяйственного машиностроения) / В. Д. Трухина. — Барнаул : Изд-во АлтГТУ им. И.И. Ползунова, 1996. — 65 с.
4. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Springer Verlag. — Berlin, 2001. — 565 p.
5. Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии : учебник для гос. ун-тов / П. К. Рашевский. — 4-е изд., испр. — М. : Едиториал УРСС, 2003. - 428 с.
НИТЕИСКИИ Антон Сергеевич, аспирант кафедры «Инженерная геометрия и САПР».
Адрес для переписки: antonqth@qmai1.com
Статья поступила в редакцию 04.04.2013 г.
© А. С. Нитейский
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
