Конструирование криволинейного отражателя Текст научной статьи по специальности «Математика»

№

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 004.925.8:628.952 С. Н. ЛИТУНОВ

Н. В. РЕВЗИНА В. Ю. ЮРКОВ

Омский государственный технический университет

Омский государственный институт сервиса

КОНСТРУИРОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ОТРАЖАТЕЛЯ

В статье рассмотрен алгоритм геометрического моделирования криволинейного рефлектора, порождающего поток отраженной энергии, компенсирующий неравномерный характер прямого облучения. Построение линейной картины приведет к решению пространственной задачи. Математические модели визуализированы при помощи программного обеспечения CorelDraw.

Ключевые слова: свет, аппарат отражения, рефлектор, интенсивность излучения.

Отражатели лучистой энергии применяются в широком диапазоне отраслей промышленности. В технических устройствах рефлекторы перераспределяют световой поток, рассеивая, концентрируя или перенаправляя его в соответствии с заданной целью. В полиграфии используют свето-направляющие конструкции для УФ-ламп, которые применяются для всех видов печати и лакирования на экспонирующем оборудовании, в офсетных копировальных рамах, УФ-полимеризации [1]. Оптимальное использование световой энергии при УФ-сушке определяет необходимую мощность ламп,

а значит, затраты на производство и скорость изготовления продукции. Рефлекторы перераспределяют лучистый поток, находясь на малом расстоянии от принимающей поверхности и источника излучения. Для того чтобы суммарная функция дополнительной освещенности была достаточно равномерной, требуется эффективное конструкторское решение [2].

Основная сложность заключается в том, чтобы найти такое положение источника 5, а также положение и форму отражателя Ь, при которых отраженная энергия компенсировала бы неравномерный

Рис. 1. Расчетная схема криволинейного отражателя

характер прямого освещения. На практике такая задача может решаться различными способами. Рассмотрим случай, когда длина облучаемой поверхности значительно больше размеров источника излучения, отражатель имеет криволинейную геометрию, а функция энергетической освещенности задана постоянной.

Пусть на отрезке [о, а] стационарный источник Бд дает энергетическую освещенность Е0. В точке Ь, 0 < Ь < а, она равна

Eo(t) =

или, если

со$ф0 =

Eo(t) =

I ■ cosф0

t2 + h2

h

It

2 + h2 I ■ h

(t2 + h2 J"

Расчетная аема приведена на рис. 1.

Пусть Е = const — требуемая энергетическая освещенность Е > E0(0). Можно принять E = k ■ E0(О) = k ■ , где k — коэффициент, характеризующий отличие между прямой освещенностью и требуемой, 1< k <2.

Дополнительную освещенность в точке t будет создавать мнимый источник S, который может располагаться в любой точке некоторой кривой S, симметричной относительно прямой x=t.

Дополнительная

I■cosф - Е =--—

Ео (t - х )2 + У2

17 17- 1 ■ У

освещенность

равна

или, если cosф =

0 [(, - х )2 + у • р'

I I ■ h I ■ у

Таким образом, к -т^ = т---=7-

h2 (г2 + h2 [(г - х)2 + у2 р

есть уравнение кривой Б — геометрического места мнимых источников Б(х,у) для заданного параметра Ь. При изменении Ь эти кривые образуют семейство, зависящее от параметра Ь. Следовательно, дифференцируя это уравнение по параметру Ь, получим огибающую этого семейства.

Эта огибающая есть криволинейный отражатель, дающий равномерную освещенность на отрезке [о, а].

Уравнение огибающей имеет вид:

k

- h(t2 + h2- y [(t - x )2 + y2 f3/2

= 0

[h(t2 + h2)- 5/2 • t + y [(t - x)2 + y2} 52 • (t - x)

( STOP )

Рис. 2. Алгоритм нахождения точек кривой отражателя

Если из этой системы выразить Ь, то получим уравнение огибающей в явном виде: у=1(х).

Однако сделать это, очевидно, не удастся. Поэтому можно предложить следующий алгоритм (рис. 2).

го приближения можно положить х=Ь и из первого уравнения системы

k

- h(t2 + h2 уЗА -

y

y =

= 0 получить значение у:

-, У > 0.

yjk - h3 (t2 + h2 )-

(2)

В ре ультате работы алгоритма будет получено множество точек (хдуд), .., (хпуп) огибающей, то есть множество мнимых источников Бд,.., Бп. Каждый из них создает энергетическую освещенность в определенной точке Ьд,.., Ь отрезка [о,а].

Второй этап заключается в получении множества точек Ь<у..,Ь криволинейного отражателя.

При этом должно соблюдаться условие взаимного однозначного соответствия между множествами {Б;} и {Ь}.

Точки Ь. получаются по схеме, представленной на рис. 3.

Уравнение прямой ББ.:

У si ~ h , y = —--х + h .

Уравнение прямой St:

У =

Yi

x -1

Уравнени e прямой l.:

У =

h - У,

■■ x +

Yi • t x -1

h2 - Уf - xf 2(h - y,)

(3)

(4)

(5)

Из двр£ последних уравнений определяются координаты точки L:

v _(h2 - У,2 - х,2 -1) + 2t • yt (h - yt)

У, - xihxi - 4 + 2t • УЛп - Уi 2 • yt(h - yt)-2x,(xt -1)

yLi =

yi

X - t

y±±

x -1

(6)

- x) = 0.

В результате будет получено множество точек { Ь.}, г—0,..,л , отражателя . При этом в каждой точке Ь. определена касательная 1.

2

h

h

то

У

Хс:

Si

x-

x

Li

■ X-

2

6

Рис. 3. Схема построения точек L.

Задачей первого этапа является представление множества {(Ь.,1.)} в виде непрерывной гладкой кривой. Возможны следующие варианты: 1) представление в виде многочлена

y=P(x) степени 2n; 2) представление в виде сплайна

n-1

y = U P3i W дефекта 2;

3) представление в виде сплайна, различные участки которого являются многочленами разных степеней.

Вернемся к системе (1). Теоретически можно решить эту систему относительно х и у:

х=х(Ь), у=у(Ь).

Практически — множество точек (х0у0),..,(хпуп) интерполировать многочленами Х(Ь), У(Ь) подходящей степени. Тогда получим однопараметрическое множество прямых 1:

X(t) h2 - Y2(t) - X2(t) .

-—— x - y л--—-— = 0

h - Y(t) J 2(h - Y(t))

(7)

Дифференцируя это уравнение по t, получим систему уравнений

2 • X(t) • х - 2(h - Y(t)) • y + + (h2 - Y2(t) - X2(t))= 0,

2 • X(t) • x - 2(h - Y(t)) • y +' + (h2 - Y2(t) - X2(t))

= 0,

(8)

из которой, теоретически, можно получить уравнение отражателя в явном виде у=Цх).

Практически придется решать систему (8), задавая значения Ь0,..., Ьп и получая множество точек Ь0(хдгу0)г...г Ьп(хп,уп). После этого снова возвращаемся к пунктам 1, 2, 3, описанным выше.

Проверим выполнимость начальных условий, которые появляются при проектировании отражателя. Пусть Ь = 0. Тогда х = 0 и система уравнений

к___1 1

л ^ " л5

и у =

(1) становится одним уравнением -уу —у- —у- = 0.

2 h

отсюда y =

У

k -1

л/k -1

dy

То есть y > h и -= 0..

dx

Уравнение прямой l0 будет:

У =

h + У 0 2

h +

-Jk -1

2

- h 1 = 2 ylk -1

(9)

Пусть t=a. Мнимый источник излучения Sn (xn,yn) создает освещенность в точке t=a. Точка отражателя Ln (a,o) совпадает с концом облучаемого отрезка. Эти условия аналитически записываются в виде уравнения окружности — геометрического места точек Sn:

(х - а)2 + y2 = a2 + h2.

Система уэ авнений (1) принимает вид:

(10)

k

h(a2 + h2- y((x - a)2 + y2 )-3/2 = 0

h(a2 + h2 )-5// • a + y((x - a)2 + y2)-^ (a - x) = 0 . (11)

(x - a)2 + y2 = a2 + h2

Отсюда

_ _k

yn ~ T"2

k V(a2 + h2 )3 - h > 0,

aj (a2 + h2 )3 (a2 + h2 )3 -

> a.

(12)

k

Тем амым доказано существование криволинейного отражателя, дающего равномерное облучение круговой области.

Определим пределы изменения длины отрезка

[о, а]. Из условия имеем -к ^{а2 + h2)3 — h = h

или а = - 1 • л = а„„ .

2 ^

То есть 0 < а < ^ I " 1 ' ^ .

Таким образом, достигается поставленная цель определения геометрии конструкции, позволяющей компенсировать неравномерный характер прямого облучения с помощью отраженной энергии в случае, когда длина облучаемой поверхности значительно больше размеров источника излучения, отражатель имеет криволинейную геометрию, а функция энергетической освещенности задана постоянной. Техническим результатом, достигаемым применением устройства, является повышение производительности и ресурсосбережение.

Библиографический список

1. Гуторов, М. М. Основы светотехники и источники света : учеб. пособие для вузов / М. М. Гуторов. — М. : Энерго-атомиздат, 1983. - С. 311-318.

2. Толивер-Нигро, Х. Технологии печати : учеб. пособие для вузов / Х. Толивер-Нигро ; пер. с англ. Н. Романова. — М. : Принт-медиа центр, 2006. — 73 с.

ЛИТУНОВ Сергей Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры оборудования и технологии полиграфического производства Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: [email protected]

>

h

Xn =

3

к=1

РЕВЗИНА Наталия Владимировна, аспирантка кафедры «Конструирование и технологии изделий лёгкой промышленности» Омского государственного института сервиса (ОГИС). Адрес для переписки: [email protected] ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Конструирование и тех-

нологии изделий лёгкой промышленности» ОГИС. Адрес для переписки [email protected]

Статья поступила в редакцию 13.11.2014 г. © С. Н. Литунов, Н. В. Ревзина, В. Ю. Юрков

УДК 514.185.2

В. А. КОРОТКИМ

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОСРЕДСТВОМ ЕЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Рассмотрен способ построения поверхности, проходящей через замкнутый контур, основанный на повышении размерности объемлющего пространства. Для конструктивной реализации соответствующего графического алгоритма используется гиперэпюр Наумович. Даны примеры построения поверхности, проходящей через трех- и четырехзвенный контуры, образованные плоскими кривыми линиями.

Ключевые слова: начертательная геометрия, гиперэпюр Наумович, обобщенный чертеж Монжа, гладкая поверхность на замкнутом контуре, цилиндроид, коноид.

Одним из способов моделирования поверхностей является ключевой способ, в соответствии с которым определитель поверхности содержит некоторое геометрическое условие («ключ»), посредством которого задается закон изменения формы образующей. Ключ проекционно связан с главными видами, что позволяет рассматривать чертеж с изображением ключа как чертеж двумерной по -верхности, находящейся в четырехмерном пространстве, на что впервые обратил внимание профессор И. И. Котов [1]. Обобщенная трактовка всех ключевых способов формирования поверхности как задачи начертательной геометрии четырехмерного пространства Е4 дана в [2].

Постановка задачи. В расширенном евклидовом пространстве хуг имеется замкнутый четырех-звенный контур, заданный плоскими кривыми линиями АВ, ВС, СВ, ВА, лежащими в плоскостях и, т, п, Р соответственно (рис. 1). Требуется сформировать гладкую (всюду дифференцируемую) поверхность, проходящую через данный контур.

В трехмерном пространстве задачу следует считать неопределенной [1, 2]. Для устранения неопределенности предлагается выполнить отображение плоскостей и, т, п, Р, вместе с находящимися в них звеньями контура ДБСБ, на четырехмерное пространство E4(xyzt). С этой целью отмечаем в каждой из плоскостей три произвольные точки и «выносим» их из Г(xyz) в Е4, присваивая им произвольные координаты по оси 1 Например, на рис. 2 точкам 1=хпи, 2 = упи, 3 = znи, имеющим нулевые

значения координаты ^ поставлены в соответствие точки 10, 20, 30 (с произвольными, отличными от нуля значениями координаты Ц, определяющие плоскость и0 в пространстве Е4. При этом реализуется биекция (взаимно однозначное отображение) множества точек плоскости и как прообраза, вложенного в трехмерное пространство Г, на множество точек образа — плоскости и0, лежащей в Е4. Плоскости и и и0, пересекаясь по прямой MNK, принадлежащей гиперплоскости Г(xyz), в свою очередь определяют в Е4 некоторую гиперплоскость Т(ипи0), содержащую несобственную точку Т" координатной оси 1 Взаимно однозначное отображение и^и0 обеспечивается проецированием точек плоскостей и, и0 друг на друга пучком проецирующих прямых 1 — 10, 2 — 20, 3 — 30,... с центром в точке Т". Все проецирующие прямые вложены в гиперплоскость Т. Плоское криволинейное звено ЛББ ^ и отображается в звено Л^ Б0 ^ и0 (см. рис. 2).

Отображая плоскости всех звеньев контура ЛБСБ на E4(xyzt), получаем некоторый замкнутый контур w0 = A0B0C0D0, размещенный в четырехмерном пространстве. Исходный контур ABCD будем считать ортогональной проекцией контура w0 на гиперплоскость Г(xyz); при этом формулировка поставленной задачи изменяется.

В расширенном евклидовом четырехмерном пространстве Е4(хугЬ) дан замкнутый контур ш^АВСВу образованный плоскими криволинейными звеньями. Плоскости и0, т0, п0, Р0 звеньев А0В0, В0С0, С0В0, ВА0 пересекаются в узлах А0, В0, С0, В0