CC BY
13
Рисунок 7
ВЫВОДЫ
Таким образом, моделирование движения КА на параллельных вычислительных системах с помощью параллельных блочных методов интегрирования может быть эффективным по точности [3] и эффективным по быстродействию при определенных значениях произво-
дительности процессоров, коммуникационных средств и сложности модели. Результаты исследований предполагается использовать при создании программно-аппаратных средств моделирования для наземной отработки и испытаний системы управления КА.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления.-СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.
2. Фельдман Л.П., Дмитриева O.A. Разработка и обоснование параллельных блочных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений на SIMD-структурах // Нау-ков1 прац Донецького нацюнального техшчного ушверситету. Вип. 29. - Донецьк, 2001. С. 70-79.
3. Пиза Н.Д., Кудерметов Р.К. Применение параллельных блочных методов для моделирования движения космического аппарата // Вюник технолопчного ушверситету Под1лля. - 2003. - № 3. т. 1. - С. 93-96.
4. Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г. Управление космическими летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1974. -300 с.
5. Бранец В.А., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. - М.: Наука, 1973. -320 с.
6. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Абалкин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А. и др. Изд.2-е.-М.: Наука, 1971.-584 с.
7. Системы параллельной обработки / Под ред. Д. Ивенса. -М.: Мир, 1985. -416 с.
8. Молчанов И.Н. Введение в алгоритмы параллельных вычислений / АН УССР, Институт кибернетики им. В.М. Глушко-ва. - К.: Наукова думка, 1990. -127 с.
9. Андреев А.Н., Воеводин В.В. Методика измерения основных характеристик программно-аппаратной среды (www.dvo.ru/bbc/benchmarks.html).
УДК 514.1/8:519.8/71
КОНФИГУРАЦИЯ ОБЪЕКТА КАК ИНТЕРФЕЙС МЕЖДУ МАТЕМАТИЧЕСКИМ И ФИЗИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ МОДЕЛИ
В.П.Сизиков
Установлено, что конфигурация объекта или поля является физически значимой характеристикой, а для адекватного учета конфигурации объекта необходимо держать ориентир на ее 3-мерную пространственную протяженность. Картина развернута на примере движения объекта в физическом поле, в том числе, космического аппарата с тросой системой.
It is established that the configuration of an object or a field is a physically meaningful characteristic and to adequately consider the configuration of an object it is necessary to be orientated on it's 3-dimensional spatial extent. The picture is developed on the example of movement of an object in the physical field including the space apparatus with cable system.
ВВЕДЕНИЕ
В [1] M.M. Лаврентьев справедливо указывает, что в математической физике XX в. значительное место занимают модели с недостаточно осмысленным содержанием, а процедуры моделирования в основном сводятся к подгонке теоретических положений под эмпирический материал. Это же относится и к другим предметным
областям, использующим математические методы. Перенос математических методов не сопровождается должной онтологической проработкой и адаптацией моделей систем, с которыми работает конкретная тематика. По сути, специалисты, работая с предметными областями, не имеющими онтологической проработки, применяют математические формализмы в ранге "серых ящиков". Сложилась характерная для естествознания ситуация, когда между теоретической и прикладной математикой отсутствует особый интерфейс, задачи которого - в онтологической проработке математических моделей.
Потребности к формированию указанного интерфейса у автора возникли после получения и проработки им серии результатов по тематике управления [2-4]. Вначале традиционно главное внимание уделялось учету понятий полных управляемости и наблюдаемости для систем управления, вырабатывались соответствующие критерии в терминах полноты ранга подходящих матриц. Но когда такие критерии удалось обобщить на разные варианты систем и форм управления, выяснилось, что выпо-
лнимость условий полной управляемости и наблюдаемости в системе никак не связана ни с моделью описания системы на языке уравнений, ни с формой управления. Другими словами, эти условия выступают характеристиками системы управления как единого физического объекта. Потенциально возможным оказалось и управление движением механического объекта без знания самого уравнения движения [3], проблема оставалась за преодолением стохастичности, возникающей при реализации управления [4]. Предстояло определиться, где и как в системах управления должна учитываться физическая сущность объектов, а где остается полная свобода за математическим аппаратом.
Первые шаги к формированию указанного интерфейса в ранге теории динамических информационных систем (ТДИС) [5] были сделаны на базе онтолого-метафи-зического подхода, использующего аппарат категориаль-носистемной методологии [6]. К настоящему времени определились также логико-топологический и аналитико-реалистичный подходы к становлению ТДИС. Сам аппарат ТДИС продолжает расширяться и совершенствоваться, затрагивая проработку и физических понятий [7-10].
ТДИС не раз уже "призывала" к необходимости учета конфигурации объекта при изучении физических явлений, и то, насколько этот "призыв" оказался актуальным, демонстрируется на примере движения объекта в физическом поле. Рассуждения и комментарии ведутся в постановке, аналогичной задаче управления движением космического аппарата (КА). Показывается, какие качественно новые моменты и горизонты выявляет учет конфигурации объекта при его движении в физическом поле.
1 МЫСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
По традиции все расчеты и теории, связанные с движением объекта в физическом поле, изначально предполагают рассмотрение этого объекта в ранге материальной точки, не имеющей никаких размеров и, тем более, конфигурации. Даже в задачах, изучающих изменение ориентации объекта и управление ей [2], траектория движения объекта считается изначально определенной на условиях отождествления объекта с точкой. Но оказывается, что с учетом конфигурации объекта, его протяженности в пространстве может существенно измениться и картина его движения в физическом поле.
Чтобы четче представить последний момент, проведем мысленный эксперимент, в котором происходит мгновенное превращение объекта из точки в однородный стержень. Пусть для определенности в роли физического поля выступает ньютоново поле тяготения. Тогда, пока объект предстает точкой, его движение происходит, как известно, по кеплеровой траектории. Но вот объект превратился в стержень. Что произойдет с его движением далее?
Если стержень ориентирован перпендикулярно радиусу-вектору, проведенному из центра поля тяготения в центр стержня, являющийся также центром его масс, то, очевидно, все части стержня, кроме его центра, будут удалены от центра поля тяготения несколько больше, чем сам центр стержня. Последнее означает, что сила притяжения стержня в целом окажется несколько меньшей, чем
это было бы при отождествлении объекта с точкой. А тогда объект, имея скорость, согласованную изначально с кеплеровой траекторией, должен начать удаление от центра поля тяготения, переход на более высокую траекторию. Если же стержень будет ориентирован вдоль вышеуказанного радиуса-вектора, то, наоборот, сила притяжения стержня в целом окажется несколько большей, чем это было бы при отождествлении объекта с точкой, и объект должен начать приближение к центру поля тяготения, переход на более низкую траекторию.
В общем случае объект, конечно, имеет вращение, не идущее в такт с его обращением вокруг центра поля тяготения. И при наличии асимметрии в конфигурации объекта его центр масс будет двигаться не по кеплеровой траектории, а по некой волнообразной линии, чередуя акты приближения и удаления по отношению к центру поля тяготения. При относительно мощном физическом поле, малых расстояниях и высоких скоростях картина движения объекта и вовсе будет напоминать облако в форме кольца или сферического слоя вокруг центра поля тяготения, что и наблюдается на примере движения электрона вокруг ядра атома.
Обычно, ввиду малости размеров КА по сравнению с его расстоянием от центра поля тяготения, вышеуказанные отклонения в движении оказываются незначительными. Не существенны они и при решении задач управления ориентацией КА, так как управляющие воздействия формируются, исходя непосредственно от показателей текущей ориентации КА, и влияние параметров орбиты КА здесь оказывается довольно грубым. Однако, при наличии, например, тросовой системы (ТС) пространственная протяженность всего комплекса КА становится на порядки больше и, как следствие, возрастают отклонения в движении и их влияние на ориентацию КА. Так что задачи с ТС требуют более тонкого изучения движения комплекса КА, берущего на учет и его конфигурацию. Но тогда важно учитывать и фактор влияния частей комплекса КА друг на друга на уровне гравитации. Особенно это относится к ТС, не являющейся абсолютно твердым телом, причем, здесь важно учитывать и самогравитацию ТС. Однако тут есть свои парадоксы. Адекватного учета не состоится, если, например, ТС принимать за нить, обязательно необходимо рассмотрение ТС в ракурсе 3-мерного тела.
Проанализируем ситуации с учетом конфигурации объекта и с парадоксом самогравитации конкретнее и подробнее.
2 АВТОНОМНОСТЬ В ПОВЕДЕНИИ
ВИХРЕВОГО КОМПОНЕНТА
Серия опытов, в которых наблюдалось поведение ТС относительно корпуса КА, как правило, сопровождалась накручиванием ТС на корпус КА. Сложилось мнение, что виной всему этому является непонятная динамика ТС. Но верно ли такое заключение?
Обратимся к рассмотрению пока плоской модели движения объекта в ньютоновом поле тяготения. Здесь используем общеизвестный в механике метод Лагранжа для составления уравнений движения системы в целом. Пусть имеем некоторый фиксированный базис из двух
векторов e ^ , e^, жестко связанный с полем тяготения и неподвижный относительно звезд. Аналогично, пара векторов «i , «2 жестко связана с объектом как абсолютно твердым телом. Тогда движение объекта представится в терминах векторной переменной R (t) как радиуса-вектора, пров еденного из центра поля тяготения в центр масс объекта, и угловой переменной j(t) , указывающей поворот второго базиса относительно первого. При этом
«i = cos jex + sin je2, «2 = - sin je^ + cos je2 .
В терминах этих переменных кинетическая и потенциальная энергия объекта будут равны соответственно
T = 0,5(MR2 + Jj2), п = -G f¡
J
dm
Д \К + Р1 тп1 + р 2 тп 2
Здесь дополнительно обозначены: М - масса объекта, J - момент его инерции относительно центра масс, О -напряженность поля тяготения, dm - элемент массы объекта, Р1т и Р2т - его координаты в собственном
базисе объекта, Д - область распределения массы по объекту. Применение формализма Лагранжа приводит в итоге к системе уравнений:
mR + GJ (R + Р 1 m « 1 + Р2 m «2 ) dm = о,
W
|R + Pi mn 1 + Р2 m«2|
Jj_G J < R , - P 1 mn 1 + P 2 mn2 > dm = q
(1)
W
|R + P1 mn 1 + P 2 mn 2|
где <, > - знак скалярного произведения векторов, а Q выражает возможное управляющее воздействие на вращение объекта.
Далее преобразуем систему (1), представив радиус-вектор R как в полярной системе координат, то есть через его длину r = |R| и угол поворота V в исходном неподвижном базисе из векторов e1 , e2 . При этом координаты радиуса-вектора равны соответственно R1 = r cos V , R2 = r sin V . А сама система уравнений для переменных r , V , j примет вид:
Г- r V 2 + G J{ [ г + P1 m cos (V - j) + P2 m sin (V - j)] / [ r2 +
W
+ Plm + p2 m +2 r (P1 m cos (V - j)+P2 msin (V - j))]1,5} dm =0,
G
2rv + rñ + m\ {[-P1 m sin(V - j) + p2mcos(V - j)] / {r2 +
W
+ P 1m+ p2 m+2 r( P 1 mcos (v - j)+p 2 m sin (v - j)) ]1,5 } dm = 0
jj-T Í {[-P1 msin(V - j) + P2mcos(V - j)] / {r2 +
J
W
+ P1m+ p2m +2r(P 1 mcos (V - j)+p2 m sin (V - j)) ]1,5 } dm = Q •
(2)
Исключая в последних двух уравнениях системы одинаковый интеграл, приходим к соотношению:
(Мг2П+ Jф)* = Q или (р = J-1 (|Qdt - Мг2П), (3)
где через |Qdt обозначена первообразная по времени
функции воздействия Q , которую можно считать заранее известной, либо как-то выражающейся через переменные г, V , ф и их производные по времени.
Соотношение (3) указывает на фундаментальную связь между скоростями вращения объекта вокруг собственного центра масс и его обращения вокруг центра поля тяготения. Изменение одной из этих величин должно компенсироваться соответствующим изменением другой. В этом плане можно предположить, что природа поля тяготения не исчерпывается его проявлениями на уровне потенциала, но на учет должен браться еще и некий вихревой компонент поля, проявляющий автономность на уровне закона сохранения суммарного вращательного момента у объекта и поля. Тем самым имеем подтверждение адекватности онтологической проработки любого физического поля [5]. Заодно получает определенное подкрепление сформированная О.Г. Ефименко [1] обобщенная теория гравитации.
Особенно важно учитывать соотношение (3) в масштабах микромира, где относительно мощное физическое поле, малые расстояния и высокие скорости движения объекта. По сути, соотношение (3) является обобщением закона сохранения момента импульса, учитывающим управляющие воздействия. Однако, такую связь невозможно было учесть, когда объект отождествлялся с материальной точкой, и собственное вращение объекта считалось, фактически, нулевым. В свою очередь, расширение практики в микромире скоро должно было натолкнуться на нарушения фундаментальных законов при недоучете такого вращения. Однако, вместо того, чтобы обратиться к учету конфигурации объекта, предпочтение было отдано просто постулированию у объекта какого-то момента вращения в ранге спина, проявляющего себя на уровне квантования с признаками случайной величины.
Недоучет указанного момента с вращением имеет место и при работе с космическими объектами, в частности, с КА. Так, перемены в динамике вращения КА могут быть весьма существенными даже при малых смещениях КА по направлению радиуса-вектора его орбиты. В частности, такие перемены неизбежны при выпуске ТС с КА, а, как следствие этого, скоро происходит наматывание ТС на корпус КА. Так что винить в таких явлениях исключительно динамику ТС не правомерно.
3 ПРИМЕРЫ И ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ
КОНФИГУРАЦИИ ОБЪЕКТА НА ПАРАМЕТРЫ
ЕГО ОРБИТЫ
В рамках приведенной выше простейшей модели уместно любое воздействие на объект рассматривать как задание определенного режима изменения во времени у функции Q (1)-(3). Наиболее интересным представляется
случай, когда за счет такого режима достигается стабилизация в ориентации объекта по отношению к силовым линиям поля тяготения, а именно, обеспечивается условие V - j = Cq - const . Тогда
Q = [(Mr2 + J)V ]*. Поскольку, однако, воздействие осуществляется, согласно (2), через переменную j, то представляется возможным регулировать и выбор постоянной Cq. В связи с этим рассмотрим подробнее случай, когда Cq = 0, т.е., фактически, вектор «1 собственного базиса объекта оказывается сонаправленным радиусу-вектору R траектории центра масс объекта.
После фиксации режима воздействия и значения Cq третье уравнение в (2) становится излишним и задача движения объекта сводится к первым двум уравнениям для переменных r и V , которые принимают вид:
" V 2 , G , (г + Р i т) dm r - rV2 + — -- = 0,
M
M W[( r + Р1 m ) 2 + Р 2m ]1,5
2rV + rV + G f
M
Р 2 mdm
M W[( ' + Р1 m ) 2 + Р 2m ]1 '5
= 0.
r2 V = C1 - const,
C 2
C1
.3
r- —+ -[
M
W
(r + Р1 m) dm
[(r + Р1 m)2 + Р 2m
l1, 5
= 0.
CL G
dm
r3 Mr2W( 1 + г-2 Р 2 m ) I-5
= 0,
которое легко интегрируется, приводя к уравнению
r2 = C,-C± + '2G r_d-m_,
2 r2 M J („2 + Р2 )0,5
(8)
W
( '2 + Р 2m ) 0
с подходящей постоянной С2. Учитывая, что С^ /г выражает тангенциальную скорость движения объекта, можно также записать
■2 _ n , 2G л dm
R = C2 + M"J;
M W(lRl2 + Р2m)0'5
(9)
Главное отличие от случая точечного объекта, когда имеем уравнение
R2 = с 2+2G
2 |R|
(10)
(4)
Предположим далее, что интеграл во втором уравнении из (4) равен нулю. Такое автоматически сбывается, когда, например, масса объекта распределяется симметрично относительно оси, задаваемой вектором п^ и проходящей через центр масс объекта. После этого второе уравнение в
(4) принимает вид 2гУ + гУ , откуда получаем (г2V)* или соотношение
(5)
известное как один из законов Кеплера для планет. Но а с учетом (5) первое уравнение в (4) становится определяющим для переменной г , принимая вид
(6)
Если в (6) полностью пренебрегать размерами объекта, т.е. считать Г \т = Р2т = 0, то в результате получится обычная картина движения объекта по кеплеровой траектории. Мы же пренебрегать размерами не будем, но для простоты и определенности рассмотрим два крайних случая вырождения конфигурации объекта в стержень: а) когда считаем всюду р ^ т = 0; б) когда считаем всюду р2т = 0 . При этом в случае а) можно сказать, что объект ориентирован перпендикулярно силовым линиям поля тяготения, а в случае б) - параллельно силовым линиям поля тяготения.
Итак, в случае а) для переменной г получается уравнение
с несколько иной постоянной С2, состоит в том, что изменение полной скорости объекта при перемене его расстояния от центра поля тяготения оказывается в варианте (9) несколько меньшим, чем в варианте (10). Как следствие, движение объекта при учете его конфигурации в варианте (9) приводит к уменьшению кривизны траектории по сравнению с кеплеровой траекторией, определяемой вариантом (10). В частности, если начать отсчет движения объекта от наиболее удаленной точки г = а эллиптической траектории из варианта (10), то в варианте (9) объект всегда будет находиться дальше от центра поля тяготения, чем ближайшая к этому центру точка г = Ь эллиптической траектории. Если же начать отсчет движения объекта от наиболее близкой к центру поля тяготения точки г = Ь эллиптической траектории из варианта (10), то в варианте (9) объект сможет уйти несколько дальше от центра поля тяготения, чем наиболее удаленная от этого центра точка г = а эллиптической траектории.
Далее, примем во внимание, что для наиболее дальней и близкой от центра поля тяготения точки траектории объекта характерно отсутствие в ней радиальной составляющей скорости, т.е. выполняется условие г = 0 . Это, применительно к случаю точечного объекта,
~ _2
выраженного в (10), дает (С2 _ С2г + 2Gг~1 = 0 при г = а и г = Ь . Исключая здесь постоянную С2 , получим C2G _1 = 2 аЬ( а + Ь) _1 . Обозначим далее через а 1 и Ь1 соответственно наибольшее и наименьшее расстояние от центра поля тяготения для точек траектории объекта, отвечающей уравнениям (8) и (9). Так для них имеем аналогичное соотношение
?2 b 2
- = 21-
G W^FpL+/b 2 +Р 2m ^^i.+fil+vin)
dm
M
(7)
Принимая за начало отсчета движения положение в точке г = а , так что при этом и а 1 = а , мы получим
соотношение, из которого можно будет сравнить значения Ь и Ь* :
гй2
а +
-= 2[ ( ; _ _
Ь ^/а2+р2Гт+7Ь?+Р22т ^/а2+р22т+л/ь?+р1т)
М
(11)
Очевидно, при Ь^ = Ь подынтегральная функция, а тогда и вся правая часть, в соотношении (11) оказывается меньше его левой части. Это указывает на то, что обязано быть Ь1 > Ь . В свою очередь, если через I > 0 обозначить наибольшее значение для р 2 , отражающее габариты
объекта, то легко проверить, что при Ь^ = Ь + 0,512Ь2 X
X (а-1 + Ь-1)(а-2 + а-1 Ь-1 + Ь-2) подынтегральная функция, а тогда и вся правая часть, в соотношении (11) оказывается, наоборот, больше его левой части. И это указывает на то, что обязано быть
Ь < Ь1 < Ь + 0, 5/2Ь2(а-1 + Ь-1)(а-2 + а-1 Ь-1 + Ь-2) (12)
или просто Ь < Ь1 < Ь + 3/2Ь-1 . Аналогично (12) получается оценка
а < а1 = а + 0,5/2а2(а-1 + Ь-1)(а-2 + а-1 Ь-1 + Ь-2 ,(13)
когда отсчет движения ведется от точки г = Ь .
Наконец, в случае б) для переменной г получается уравнение, отличающееся от (7) лишь заменой
подынтегральной функции на (1 + г-1 р1т )-2 . А после интегрирования получится уравнение, отличающееся от
-1
(8) заменой подынтегральной функции на (г + р1 т) . Не теряя сути, упростим несколько ситуацию, предположив, что масса в объекте распределена симметрично также относительно оси, задаваемой вектором п 2 и проходящей через центр масс объекта. С учетом этого на смену уравнениям (8) и (9) придут соответственно
• 2 „ С1 , 2 Ог г dm
г = С п--+---
2 г2 М J г 2 - р 2 г Д ^ т
2О|Я| г ат
~ Д -
п~ = с + г
2 М Д к 2 - р 2 т
Ь - /2Ь2(а-1 + Ь-1)(а-2 + а-1 Ь-1 + Ь-2)< Ь2 < Ь , (15)
или просто Ь - 6/2 Ь-1 < Ь2 < Ь , где / > 0 обозначает наибольшее значение для р1т , отражающее габариты объекта. Аналогично (15) получается оценка
а - /2а2(а-1 + Ь-1)(а-2 + а-1 Ь-1 + Ь-2)< а2 < а , (16)
когда отсчет движения ведется от точки г = Ь .
Как показывают соотношения (12-13) и (15-16), наличие размеров у объекта сказывается на значениях его расстояния от центра поля тяготения довольно слабо, внося в них изменения, не превышающие, как правило, размеров самого объекта. Однако, пренебрегать этим уместно, когда объект в целом не велик по размерам. Такое, например, допустимо при работе с КА в отсутствии ТС. А когда КА наделен ТС с характерным размером в 5 километров, изменение параметров орбиты КА может составлять десятки метров, что, в свою очередь, может приводить, согласно (3), к изменениям во вращении КА до нескольких оборотов в минуту, накручивая в итоге ТС на корпус КА.
А вот характерной причиной того, что картина движения может представать в форме облака, устано-в ленный момент вряд ли является. На деле здесь существенен другой момент, известный в астрономии как факт смещения перигелия орбиты планеты.
4 ФАКТ СМЕЩЕНИЯ ПЕРИГЕЛИЯ ОРБИТЫ
Как известно, в варианте (10) радиус-вектор траектории оказывается периодической с периодом 2 я функцией угла своего поворота V . Это обеспечивается за
-1 • 2 счет квадратичной зависимости от г в поведении г .
Но это свойство, как правило, теряется при переходе к
общему варианту (8-9). Так, рассматривая г как
функцию от угла V и учитывая (5), из (8) получаем
dг
(14)
г2 С
= dV ,
(17)
2 + 2 Ог
I -
dm
с2 ^Д/ТТ-^
-1
Теперь изменение полной скорости объекта при перемене его расстояния от центра поля тяготения оказывается в варианте (14), наоборот, несколько большим, чем в варианте (10), т.е. имеет место увеличение кривизны траектории в варианте (14) по сравнению с (10). И если начать отсчет движения объекта от наиболее удаленной точки г = а эллиптической траектории из (10), то в (14) объект достигнет большего приближения г = Ь2 к центру поля тяготения, чем
ближайшая к этому центру точка г = Ь эллиптической траектории, т.е. происходит сокращение размеров у траектории. По аналогии с вариантом (8-9) получаем оценку для Ь2 :
откуда сразу понятно, что радиус-вектор траектории оказывается периодической функцией от V с периодом, равным удвоенному значению определенного интеграла от левой части (17) на отрезке Ь < г < а1 . Причем, концы
отрезка интегрирования характеризуются тем, что в них обращается в нуль знаменатель левой части (17). При точечном объекте под радикалом в (17) оказывается
квадратный трехчлен ^г) = -г2а-1 Ь-1+г(а-1+Ь-1) -1,
при котором значение определенного интеграла равно я , несмотря на произвольность а^ ^ . А в общем случае функция под радикалом в (17) оказывается, как нетрудно
г
установить, всюду на отрезке ^ < г < а1 несколько большей, чем /(г) , так что искомый определенный интеграл при варианте (8-9) оказывается несколько меньше я , а искомый период - несколько меньше 2я . Грубая относительная оценка дополнительных слагаемых позволяет говорить о разнице в периоде на величину около
3 а1 или порядка / а1 . Другими словами, в
варианте (8-9) ситуация больше ассоциирует с феноменом медленного поворота в целом траектории объекта вокруг центра поля тяготения, причем, поворот происходит в направлении, обратном направлению движения объекта по этой траектории.
Аналогично, феномен медленного поворота в целом траектории объекта имеет место и в варианте (14). Правда, величина периода здесь оказывается, наоборот,
больше 2 я на величину около 37М_1а22 или порядка /2а^2 , т.е. направление поворота траектории совпадает с
направлением движения по ней объекта.
Следует отметить, что факт смещения перигелия орбиты вовсе не предполагает влияния каких-либо других объектов, но вполне сбывается и для одиночного объекта в поле тяготения. Более того, именно этот факт, когда мощность поля и скорость движения в нем объекта достаточно велики, как правило, приводит к вырождению картины движения объекта в некое кольцевидное облако.
Указанные моменты, несмотря на малость изменений в параметрах орбиты и времени обращения по ней, важно учитывать при работе с КА, особенно при наличии ТС. Так, при характерном размере ТС в 5 километров годовой полет КА с такой ТС должен приводить к сдвигу перигелия орбиты на несколько градусов дуги даже при идеально сферической Земле. Если, значит, не делать достаточно частых сеансов связи с таким КА, то велика вероятность его скоро и вовсе потерять среди аналогичных собратьев.
5 К УЧЕТУ КОНФИГУРАЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Как следствие феномена сокращения размеров эллиптической траектории при варианте (14), важно обратить внимание на следующий момент. Поскольку источником поля тяготения выступает тоже некий базовый объект с характерными для него размерами, то при варианте (14) оказывается более вероятным, чем при варианте (10), факт выпадения движущегося объекта на поверхность базового объекта. Кроме того, вслед за сокращением размеров траектории в варианте (14), по сравнению с (10), более быстрым окажется приближение объекта к центру поля тяготения, и, значит, более скорым сам факт выпадения этого объекта на поверхность базового объекта. Правда, разница в вероятности выпадения и продолжительности падения между вариантами (14) и (10) ничтожно мала, причем, ничуть не меньшее значение в этом могут сыграть неровности на поверхности базового объекта. Однако, этот момент делает актуальным сказать несколько слов относительно
модели, в которой на смену формальному физическому полю приходит обычный базовый объект, имеющий свои относительно большие массу и момент вращения.
Разумеется, ничего нового не добавится, если у базового объекта будет иметь место сферически симметричное распределение массы. Разве что вместо обычной массы исходного движущегося объекта придется взять, так называемую, приведенную массу двух тел. А вот отсутствие симметрии у конфигурации базового объекта будет уже существенно сказываться на параметрах орбиты исходного движущегося объекта. Размеры орбиты при этом, как правило, сравнимы с размерами базового объекта, и пренебрегать ими нет смысла. Изложенный выше материал показывает, как такие влияния могут быть учтены в теории и на практике.
Сказанное относится и к работе с КА в поле тяготения Земли. Нарушения сферичности в распределении массы в Земле автоматически приводят к описанным эффектам флуктуации движения КА по орбите и смещения перигелия орбиты КА, даже когда сам КА имеет идеально сферическую конфигурацию. Вместе с тем, можно поставить и обратную цель - формирование карты распре-деления массы в базовом объекте по результатам наблюдений за движением пробных объектов. В частности, это применимо к Земле с использованием КА.
6 ПАРАДОКСЫ САМОГРАВИТАЦИИ
Принятие постулата о всеобщности закона тяготения Ньютона позволяет обратиться к мысленному эксперименту, в котором некий объект, расположенный в вакууме, полностью отдан влиянию самогравитации. Если объект представляет формальное объединение нескольких изолированных друг от друга материальных точек, то для каждой из них можно без проблем выписать вполне осмысленную формулу результирующей силы притяжения к остальным точкам. Проблемы начинаются, когда объект предстает сплошным образованием без пустот. Приходится сталкиваться с ситуациями, когда фиксированный бесконечно малый элемент массы имеет бесконечно близко расположенных к нему соседей, так что при вычислении результирующей силы притяжения будут встречаться слагаемые, представляющие результат деления произведения двух бесконечно малых масс на квадрат бесконечно малого расстояния между ними. И эти слагаемые могут в ряде случаев приводить к расходимости гравитационного потенциала.
Когда элемент массы расположен внутри объекта, он подвержен притяжению со всех концов, и тогда действующие на этот элемент силы могут в сумме компенсировать друг друга. Поэтому для выявления расходимости будем заранее предполагать, что исследуемый элемент массы расположен на границе объекта так, что все остальные элементы массы находятся по одну сторону от некоторой фиксированной плоскости, проходящей через исследуемый элемент. Для простоты вычислений рассмотрим и сопоставим между собой случаи, когда объект имеет форму к -мерного (к = 3, 2, 1) полушара радиуса г, причем, масса в объекте
распределена равномерно с плотностью p , а исследуемый элемент единичной массы располагается в центре основания полушара. Примем во внимание, что при k = 2 объект имеет форму полукруга, а при k = 1 -отрезка, на одном из концов которого находится исследуемый единичный элемент массы.
В случае k = 3 координаты произвольного элемента массы dm полушара зададим тремя переменными: широтой 9, долготой y и расстоянием s от центра основания полушара. Тогда элемент массы dm = ps2cos9d9dyds , а его вклад в вектор ускорения, порождаемый силами притяжения, для исследуемого единичного элемента массы составит величину dg = gpcos 9 sin 9 d 9d y ds , где g - гравитационная постоянная. После интегрирования по области полушара получим значение g = gppr или g = 1, 5gMr-2, где M - масса объекта. В случае k = 2 не будет переменной y и расчеты дадут соответственно dm = ps cos9d9ds , dg = gpcos 9 sin 9d9s-1 ds , g = 0, 5gplns^ = Q = ¥ . А при k = 1 не будет еще и переменной 9 , так что расчеты дадут соответственно dm = pds , dg = gps-2ds , -1 \r
g = "gps 1 |s = 0 = ¥.
Как видно, напряженность поля тяготения в эффекте самогравитации объекта оказывается конечной величиной лишь в случае k = 3, т.е. когда объект учитывается как 3-мерное образование. Часто приходится иметь дело с объектами, представляющими по форме тонкие пластины или даже стержни. Однако вычисление напряженности, привносимой их самогравитацией, исходя из таких форм, приводит к расходимостям. Обязательно необходимо восприятие объектов как 3-мерных образований. В этом плане, изучение плоских моделей движения объектов в физическом поле не всегда оправдано. В частности, нельзя признать адекватной плоскую модель движения ТС, а вслед за этим, и плоскую модель движения КА с ТС.
Далее, в общем случае при каждой точке на границе объекта можно выделить некоторую достаточно малую область в форме соответствующего полушара, почти целиком расположенную в объекте. Так что напряжение поля самогравитации объекта в такой точке будет в главном не меньше, чем у выделенного полушара. При фиксированном значении плотности напряженность поля растет вслед за радиусом такого полушара. Однако на внешнем уровне объект часто характеризуется величинами своей массы и пространственной протяженности, а плотность оказывается лишь производной от них, так что более определяющей для напряжения поля самогравитации
может оказаться формула g = 1, 5gMr-2 , где зависимость от радиуса является обратной. В качестве примера рассмотрим случаи цилиндрообразной ТС с фиксированными массой и длиной, где варьируется величина толщины ТС. Эта величина, очевидно, выступит в роли радиуса r полушара для центральных точек концов ТС, значение плотности в ТС будет изменяться как r-2 , а
масса полушара - как г. Так что напряжение поля самогравитации оказывается при этом изменяющейся как
г-1 , т.е., чем тоньше ТС, тем больше напряжение поля ее самогравитации. При вырождении ТС в бесконечно тонкую нить приходим к бесконечно большим значениям напряжения поля ее самогравитации. Нечто подобное наблюдается и в задачах электродинамики, когда объекты имеют заостренные концы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Следует, прежде всего, добавить, что проведенные исследования для случая поля тяготения могут быть повторены и для полей отталкивания. Для них тоже справедливы факты, аналогичные только что установленным для полей тяготения.
Фактически, установлено, что конфигурация объекта или поля является физически значимой характеристикой, при недоучете которой велик риск получения неверных результатов и выводов. В частности, не бывает только потенциальных или только вихревых физических полей, но оба таких компонента есть у любого физического поля с признаками перераспределения баланса между ними. А для адекватного учета конфигурации необходимо держать ориентир на ее 3-мерную пространственную протяженность, понижение размерности пространства в модели должно иметь обоснования.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Лаврентьев М.М. Физические теории (математические модели), адекватные реальности - необходимое условие прогресса естествознания XXI века // Поиск математических закономерностей Мироздания: физические идеи, подходы, концепции: Избр. тр. Третьей Сибир. конф. ФПВ-2000. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2001.- С.5-28.
2. Сизиков В.П. Стабилизация положения космического аппарата с помощью двух гиросиловых стабилизаторов // Космические исследования, 1996. - Т.54, № 1. - С.66-72.
3. Сизиков В.П. Модель дискретного управления движением космического аппарата // Спутниковая связь: Докл. 2-й Междун. конф. - М.: МЦНТИ, 1996. - Т.1. - С.109-114.
4. Сизиков В.П. О реализуемости модели адаптивного управления движением космического аппарата // Управление движением и навигация летательных аппаратов: Сб. тр. VIII Всерос. науч.-техн. сем. - Самара: Сам. филиал Академии космонавтики, 1998. - С.169-171.
5. Разумов В.И., Сизиков В.П. Математические и философские основы теории динамических информационных систем. Уч. пособие. - Поддержка ФЦП "Интеграция", ИМ-4. -http://newasp.omskreg.ru/tdis.
6. Разумов В.И. Категориально-системные методы в подготовке научных кадров / Интерактивная интернет-монография. http://www.ic.omskreg.ru/~cognitiv/.
7. Сизиков В.П. Моделирование распределения температур в дискретной среде на базе теории динамических информационных систем / Вычислительные технологии. -Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001. - Т.6, Спец. вып., 4.2. -С.549-553.
8. Разумов В.И., Сизиков В.П. Универсализация языка управления и моделирования на базе ТДИС // Конф., посвящ. 90-летию со дня рожд. А.А. Ляпунова: Сб. докл. -Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001. - С.528-538.
9. Разумов В.И., Сизиков В.П. Согласование структурных и функциональных особенностей моделей в аспекте управления системами // Параллельные вычисления и задачи управления: Тр. Междун. конф. РАС0'2001. - М.: ИПУ, 2001. - С.245-272.
10. Разумов В.И., Сизиков В.П. Ритмическая природа организации субъекта // Актуальные проблемы электронного приборостроения: Матер. VI Междун. конф. - Новосибирск: НГТУ, 2002. - Т.5. - С.102-106.
