КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ σ-РАЗРЕШИМЫМИ ПОДГРУППАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ с-РАЗРЕШИМЫМИ ПОДГРУППАМИ

С.В. Путилов

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

Все рассматриваемые группы конечные. Доказывается следующая теорема: Если для каждой максимальной подгруппы M из любой ненормальной нециклической силовской подгруппы S группы G в G есть с-разрешимая подгруппа D и G = MD, то G — с-разрешимая группа. Ключевые слова: конечная группа, силовская подгруппа, а-разрешимая группа.

Представленные здесь результаты продолжают исследования работ [3-4] и относятся к одному из современных направлений теории конечных групп, базирующемуся на определенных арифметических свойствах групп.

Все используемые обозначения и определения соответствуют [1-2]. Пусть G — конечная группа; |G| — порядок группы G, т.е. число её элементов; tc(|G|) = n(G) — множество всех простых делителей порядка G; Р — множество всех простых чисел. Тогда а = [а^^ Е I] — некоторое разбиение множества Р на попарно непересекающиеся подмножества &i(i Е I), т.е. Р =UiEI Oi и Oi П Oj = 0 для всех i Ф j . В [2] группа G называется а- примарной, если n(G) £ (Ji для некоторого i Е I; символ <5а обозначает класс всех а-разрешимых конечных групп; группа, у которой каждый главный фактор будет а-примарной группой, называется а-разре-шимой; группа разрешима тогда и только тогда, когда она а-разрешима для минимального разбиения а: Р = [2] U [3] U [5] U — ; разрешимая группа будет а-разрешимой для любого разбиения о; Аж В — полупрямое произведение нормальной подгруппы А на В, А П В = 1; CoreG(A) — ядро подгруппы А в G, т.е. пересечение всех подгрупп сопряженных с А в G.

Лемма 1 [4, теорема 1]. Если для каждой максимальной подгруппы M из любой ненормальной силовской подгруппы S группы G в G есть а-разрешимая подгруппа D и G = MD, то G — а-разрешимая группа.

Лемма 2 [1, теорема IV.2.11]. Пусть все силовские подгруппы в группе G циклические. Тогда G порождается элементами а и b со следующими порождающими отношениями ат = Ьп = 1, Ъ~гаЪ = ar c гп = 1(т), (т,п(г — 1)) = 1 и |G| = тп. Коммутант G' = (а) и фактор-группа G/G' циклическая, а также |G'| = m и ^/G4 = п. Обратно каждая группа с указанными отношениями имеет только циклические силовские подгруппы.

Лемма 3. [2, лемма 2.1(i)]. Класс всех о-разрешимых групп замкнут относительно взятия прямых произведений, гомоморфных образов и подгрупп. Более того, любое расширение а-разрешимой группы с помощью а-разрешимой группы будет а-разрешимой группой.

Лемма 4. Если К — минимальная нормальная а-примарная подгруппа группы G, в которой выполняются условия теоремы, то группа G а-разрешимая или факторгруппа G/К наследует условия теоремы.

Доказательство. Пусть S — ненормальная нециклическая силовская s-подгруппа в G, где s Е n(G). Если делится на |5|, то S £ К. Пусть M — максимальная подгруппа в S. Так как G = MD с а-разрешимой подгруппой D, то G=SD, откуда G = KD. Тогда G/K = KD/К = D /D ПК, откуда G/К — а-разрешимая группа. Поэтому по лемме 3 группа G а-раз-решимая.

Пусть не делится на |5| и SK/K— ненормальная нециклическая силовская s-подгруппа фактор-группы G/К. Рассмотрим максимальную подгруппу МК/К группы SK/K, где M —максимальная подгруппа в S. Тогда в G есть а-разрешимая подгруппа D и G = MD. Следовательно, G/K = MD/K = (МК/K)(DK/К). Пусть M £ К. Тогда G а-разрешимая. Пусть M £ К. Тогда DK/К = D/(D П К), откуда по лемме 3 подгруппа DK/К а-разрешимая в G/К. Значит, группа G/К наследует условия теоремы. Лемма 4 доказана.

Лемма 5 [1, лемма 1.9.6]. Пусть Ы1 и Ы2 — нормальные подгруппы группы С. Тогда С/(Ы1 П Ы2) изоморфна подгруппе группы (С/Ы^) X (С/Ы2).

Лемма 6. Пусть и Ы2 — нормальные подгруппы группы С. Если фактор-группы С/Ы± и С/Ы2 а-разрешимые, то С/(Ы1 П Ы2) а-разрешимая.

Доказательство. По лемме 3 группа (С/Ы^) X (С/Ы2) а-разрешимая. Тогда по лемме 5 группа С/(Ы1 П Ы2) а-разрешимая. Лемма 6 доказана.

Лемма 7 [5, замечание к теореме 1]. Если простая неабелевая группа С имеет две подгруппы с разными примарными индексами, то С = Ь2(7).

Лемма 8 [5, теорема 1 и в (2) замечание к ней]. Пусть С — простая неабелевая группа, Н — ее подгруппа и \ G\H\ — га > 1, где г — простое число. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) в =Ап , Н = Ап-1 и п — га;

(2) С ^ Ьп(ц), \G\H\ — (цп — 1)/(ц — 1) — га и Н — холлова г' — подгруппа в С, равная стабилизатору прямой или гиперплоскости проективного пространства, соответствующего группе С. Замечание: при п > 2 в С будет два класса сопряженных подгрупп, изоморфных подгруппе Н;

(3) в = 12(11) , Н = АЪ и га — 11;

(4) С = V4(2) = РБр4(3), Н = 02(Н)кА5, \02(Н)\ — 24, ^ = 26 и га — 33;

(5) С = М23, Н = М22 и га — 23;

(6) в = М11, Н = М10 и га — 11.

Лемма 9. Пусть С не является о-примарной группой. Если в С выполняются условия теоремы, то группа С непростая.

Доказательство. Пусть С — простая неабелева группа. Тогда силовская 2-подгруппа в группе С нециклическая и, если М — максимальная подгруппа из С2, то С — МБ с а-раз-решимой подгруппой Б. Пусть С — Б. Тогда не а-примарная группа С будет а-разреши-мой, откуда С непростая. Значит, С ^ Б и в С есть не холлова подгруппа, индекс которой больше 2 и равен степени 2. Допустим, что в С есть нециклическая силовская д-подгруппа для простого числа q ^ 2. Тогда в С будут подгруппы взаимно простых примарных индексов. Поэтому по лемме 7 группа С изоморфна Ь2 (7). Но тогда в С должны быть подгруппы порядка 42, что противоречиво. Значит, в С для простых чисел q ^ 2 силовские д-подгруппы циклические и в С примарный индекс у подгрупп может быть равен только 2а, где 2 <2а < \С2\. Тогда С изоморфна одной из групп леммы 8. Проверка показывает, что последнему условию удовлетворяет только группа из условия (1) леммы 8 при п — , где Р > 3 , т.е. С = Ап и Э — Ап-1. Так как п(Ап) — п(Ап-1), то группа Э — Ап-1 непростая, что противоречиво. Лемма 9 доказана.

Лемма 10 [1, теорема 1.9.12а)]. Если конечная группа С характеристически простая, то С равна прямому произведению изоморфных простых групп.

Лемма 11. Пусть N — Ы1 X Ы2 X ••• X Ык, где к > 2 и N1 — изоморфные простые не-абелевы группы. Если А — собственная подгруппа из N и — га > г Е то

3 Е {1,2, — ,к} такое, что : А^\ — > г , где А^ — П А.

Доказательство. Так как А — собственная подгруппа из N то 3/Е{1,2,--,к} такое, что ^ не включается в А. Не ограничивая общности рассуждений, можно взять I — 1. Тогда В — А(Ы2 X ••• X Ык) будет собственной подгруппой в N и | N : В | = , где 1 < Р < а. Поэтому гР = \М : В\ = \М\/\В\ = \ВЫ1\/\В\=(\В\\Ы1\)/(\ВПЫ1\\В\)= Ш/ \А П Ы1\ = \ы1: АП Ы1\ = \Ы1 : Л1\.Лемма 11 доказана.

Лемма 12 [1, теорема У1.4.7]. Пусть С = АВ. Тогда для любого простого числа р Е

п(С) существуют силовские р-подгруппы Ср, Ар, Вр соответственно в С, А, В такие, что — .

Лемма 13 [6, теорема А]. Пусть в группе С существует п- холлова подгруппа. Если 2 то любые две п - холловы подгруппы сопряжены в С.

Лемма 14. Если N — минимальная нормальная подгруппа группы G, в которой выполняются условия теоремы, то N о-примарная.

Доказательство. Пусть N включается в некоторую подгруппу D из условия теоремы. Тогда N а-разрешимая, откуда N а-примарная. Пусть N включается в некоторую нормальную силовскую подгруппу группы G. Тогда N а-примарная. Значит, в G нет нормальных силовских подгрупп. Пусть р Е n(N), S Е Sylp(G) и S — нециклическая подгруппа в G. Тогда для любой максимальной подгруппы M из S существует такая а-разрешимая подгруппа D, что G = MD и N не включается D.

Пусть А = ND. Тогда И I = \ND\ = (\N\\D\)/\N П D\, откуда р < ра = И : D\ = \N : N П D\. По лемме 10 N = N± X N2 X — X Nk, где Ni — изоморфные простые группы. Пусть Ni — простые неабелевые группы. Поскольку \N : N П D\ = ра > р , то по лемме 11 не ограничивая общности можно говорить, что в ^ есть ст-разрешимая подгруппа H = ^ П D с индексом, равным степени простого числа p. Значит, простая неабелевая группа N1 обладает свойствами групп из леммы 8. Так как в простой неабелевой группе силовская 2-под-группа не может быть циклической, то силовская 2-подгруппа в G нециклическая. Допустим, что в группе G есть нециклическая силовская q--подгруппа для простого числа q ^ 2 , которое делит порядок N. Тогда в N1 будут подгруппы, с индексами равными степеням простых чисел 2 и q^2 , откуда по лемме 7 подгруппа N1 изоморфна L2 (7). Известно, что в L2 (7) есть два класса сопряженных максимальных подгрупп порядка 24 и один класс максимальных подгрупп порядка 21. Пусть в G силовская 3-подгруппа нециклическая. Тогда в G существует а-разрешимая подгруппа D индекса равного степени простого числа 3. Поэтому по лемме 11 в N± = L2(7) есть подгруппа индекса 3, порядок которой равен 56. Однако подгрупп порядка 56 в группе L2(7) нет. Значит, силовская 3-подгруппа в группе G циклическая, откуда силовская 3-подгруппа в группе N циклическая, что влечет N = NТогда по лемме 12 А2 = N2D2, где A2,N2,D2 — соответственно силовские 2-подгруппы в группах A, N,D. Пусть 1 с N2 П D2 с N2. Тогда в N должна быть подгруппа порядка 42 или порядка 84. Однако подгрупп такого порядка в L2 (7) нет. Значит, N2 П D2 = 1. Пусть N2 не включается в подгруппу Фраттини G2. Тогда в G2 найдется максимальная подгруппа V такая, что G2 = N2V и G = VR с а-разрешимой подгруппой R. Так как G2 = N2V ПУИ = V(N2 П VR) = V(N2 П V)(N2 П R) = V(N2 П R), то 2 = \G2:V\ = \N2 П R : V П N2 П R\. Следовательно, 1 с N2 П R2 с N2, что противоречиво. Значит, N2 £ Ф(С2). Причем это включение будет выполняться для любой подгруппы из Syl2(G), т.е. N2 £ CoreG(G2), что противоречиво. Следовательно, подгруппа N1 не может быть изоморфна группе L2(7). Таким образом, для каждого простого числа q ^ 2, которое делит порядок подгруппы N силовская q-подгруппа в группе G циклическая. Поэтому N = N-l, т.е. подгруппа N — простая неабелева группа, имеющая по лемме 11 подгруппу H четного индекса. Тогда по лемме 8 подгруппа N изоморфна группе Ап, где H = Ап-1 и п = 2а с а > 3 или N = Ln(q) и \G:H\ = (qn — 1)/(q — 1) = 2а и H — холлова 2'под-группа в G. Пусть N = Ап. Так как H = N П D , где D — а-разрешимая группа, то H а-разрешимая. Тогда простая группа Ап-1 будет а-разрешимой, что возможно, когда группа Ап-1 а-примарная. Так как n(An) = п(Ап-1), то группа N = Ап а-примарная. Пусть N = Ln(q). По замечанию из пункта (2) леммы 8 при п > 2 в Ln(q) будет два класса сопряженных подгрупп изоморфных подгруппе H. Так как H — холлова подгруппа нечетного порядка, то по лемме 13 в N только один класс сопряженных подгрупп, представителем которого является Н. Значит, п = 2. Тогда \G : Н\ = (q2 — 1)/(q — 1) = 2а, откуда q + 1 = 2а. Тогда q = 2а — 1, т.е. q — простое число Мерсена. Так как H — холлова подгруппа, то N2 П D2 = 1, откуда, как и ранее, получим, что N2 £ CoreG(G2), что противоречиво. Пусть Ni — простые абелевы группы для i Е {1,2, —, к}. Тогда N будет а-примарной. Лемма 14 доказана.

Теорема. Если для каждой максимальной подгруппы M из любой ненормальной нециклической силовской подгруппы S группы G в G есть а-разрешимая подгруппа D и G = MD, то G — а-разрешимая группа.

Доказательство. Пусть теорема неверна и группа G — контрпример минимального порядка. Если в группе G нет циклических силовских подгрупп, то по лемме 1 группа G а-раз-решимая. Значит, в группе G есть циклические силовские подгруппы. Пусть в группе G все силовские подгруппы циклические. Тогда по лемме 2 группа G разрешимая, откуда G о-раз-решимая. Пусть в группе G каждая силовская подгруппа нормальная или циклическая. Тогда G = N ж Z, где N — нильпотентная нормальная холлова подгруппа, а Z — холлова подгруппа с циклическими силовскими подгруппами. Поэтому группа G разрешимая, а, значит, и о-разрешимая. Следовательно, в G есть циклические и нециклические ненормальные силов-ские подгруппы.

Пусть А — нормальная силовская подгруппа из G. По лемме 4 и лемме 6 в группе G может быть только одна нормальная силовская подгруппа. Поэтому без ограничения общности можно считать, что А — единственная минимальная нормальная подгруппа в группе G. Так как | G/А | < | G | и по лемме 4 фактор-группа G/А наследует условия теоремы, то по индукции группа G/А о-разрешимая. Тогда по лемме 3 группа G а-разрешимая. Значит, в группе G нет нормальных силовских подгрупп. По лемме 9 группа G непростая. По лемме 14 минимальная нормальная подгруппа N в G будет о-примарной. Тогда по лемме 4 и лемме 3 группа G а-разрешимая. Теорема доказана.

Список литературы

1. Huppert B. Endliche Gruppen I: - Berlin; Heidelberg; New York; Springer Verlag, 1967.

- 793 s.

2. Skiba A.N. On o-subnormal and o-permutable subgroups of finite groups // Journal of Algebra. - 2015. - V. 436. - P. 1-16.

3. Каморников С. Ф., Тютянов В. Н. О двух проблемах из «Коуровской тетради» // Тр. ИММ УрО РАН. - 2021. - Т. 27. - № 1. - C. 98-102.

4. Путилов С.В. О о-свойствах в конечной группе // Ученые записки Брянского государственного университета. - 2023. - № 4(32). - C. 7-9.

5. Guralnick R. M. Subgroups of prime index in a simple group // Journal of Algebra. - 1983.

- V.81. - № 2. - P. 304-311.

6. Gross F. Conjngacy of odd order Hall Subgroups // London Math Soc. - 1987. - V. 19. -№4. - P. 311-319.

Сведения об авторе

Путилов Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].

ON g-PROPERTIES IN A FINITE GROUP S.V. Putilov

Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky

Only finite groups are considered. The following theorem are proved: If for every maximal subgroup M of any non-normal non-cyclic Sylow subgroup S of group G in G there exists a c-solvable subgroup D and G = MD, then G is a c-solvable group.

Keywords: finite group, Sylow subgroup, o-solvable group.

References

1. Huppert B. Endliche Gruppen I: - Berlin; Heidelberg; New York; Springer Verlag, 1967.

- 793 s.

2. Skiba A.N. On o-subnormal and o-permutable subgroups of finite groups // Journal of Algebra. - 2015. - V. 436. - P. 1-16.

3. Kamornikov S. F., Tyutyanov V. N. On two problems from the «Kourov notebook» // Tr. IMM UrO RAS. - 2021. - V. 27. - № 1. - P. 98-102.

4. Putilov S.V. On o-properties in a finite group // Scientific notes of the Bryansk State University. - 2023. - № 4(32). - C. 7-9.

5. Guralnick R. M. Subgroups of prime index in a simple group // Journal of Algebra. - 1983. - V.81. - № 2. - P. 304-311.

6. Gross F. Conjngacy of odd order Hall Subgroups // London Math Soc. - 1987. - V. 19. -№4. - P. 311-319.

About author

Putilov S. V. - PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry of the Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].