Конечно-элементный подход к анализу высокоскоростного деформирования трубчатой заготовки из анизотропного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРИЯ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

УДК 539.374:621.762.4.016.2

В.Д. Кухарь, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, проректор, (4872) 35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),

М.В. Грязев, д-р техн. наук, проф., ректор, (4872) 35-82-00, 35-21-55, infoi-gtula.ru (Росси, Тула, ТулГУ)

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЧАТОЙЗАГОТОВКИ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА1

Предложен вариант конечно-элементного метода расчета процесса высокоскоростного деформирования цилиндричecки-oртoтрoрнoй трубы, протекающего в условиях плоской деформации.

Ключевые слова: анизотропия, трубчатые заготовки, моделирование, обжим, теория пластичности.

Цилиндрическая анизотропия материала в трубчатых заготовках обусловлена особенностями технологии их производства прокаткой, прессованием, волочением. Характер и степень ее влияния необходимо установить, чтобы соответствующим обраом учитывать при проектировании технологических процессов, основу которых составляют операции пластического деформирования. Ниже изожена методика расчета НДС в процессе высокоскоростного (магнитно-импульсного) деформирования толстостенных трубчатых заготовок из анизотропного материала.

Примем, что в каждой точке трубчатой заготовки имеют место три взаимно ортогональные плоскости симметрии. Пересечения этих плоскостей об-рауют главные оси анизотропии, которые для трубы совпадают с радиаьным г, окружным в и осевым z направлениями (цилиндрически-ортотроиный материал). Запишем по аналогии с условием текучести Р. Хилла для листового ортотропного материма условие текучести для цилиндрически-ортотропного тела в следующем виде:

1Работа выполнена при финансовой поддержке Министерств обраования и науки РФ в рамках программы «Равитое научного потенциаа высшей школы (2009-2010 голы)».

У (в ~<*Т )2 + О (гГ )2 + Н (Г ~°в)2 +

+ 2{ьтоу + Мт^ + Ит2^в=1,

где тг, С0, тг, т20, тдг, тГ2 - соответственно осевые, окружные, радиальные и сдвиговые напряжения; Г, О, Н, Ь, М, N - параметры, характеризующие текущее состояние анизотропии, которые можно найти из соотношений

2Н =И°Ті +Ис>тв-11етГ; 2N = 1/Г2 20 = 1/Г + 1/^2-1/Ов

2М = 1/52; 2У = 1 /отв+1/а -1/а; 21 = 1/Я2,

(2)

где <7тг, То, Ттг - величины сопротивления материала пластической деформации при растяжении в главных осях анизотропии, совпадающих с направлениями г, в, г; Я, Б, Т - величины сопротивления матери аа пластической деформации при сдвиге по отношению к главным осям анизотропии.

В работе [1] отмечено, что если трубу рарезать и сделать равертку на прессе с маой скоростью деформирования, то ее свойства будут анаогичны свойствам анизотропного листа. Следя этому подходу, неизвестные параметры анизотропии также будем определять из опытов на растяжение или осадку обрацов, вырезанных из равертки трубы.

Рассмотрим деформирование трубчатой заготовки по схеме "радача" или "обжим" радиаьно направленным давлением, равномерно распределенным по окружности и по дине заготовки (рис. 1). В случае деформирования трубчатых заготовок, у которых длина вдоль оси г значительно превосходит диаметр, можно считать, что имеет место плоска деформация, предполагающая следующее:

= 0, Т2е=Тгг = 0, (3)

где <;2 - компонента тензора скоростей деформации в направлении оси х.

Используя ассоциированный с условием текучести закон пластического течения, компоненту напряжения тг определим по формуле

ОаГ + На

т=^ОН°. (4)

С учетом (3) и (4) запишем (по аналогии с теорией ортотропного листа) выражения интенсивности напряжений ти и интенсивности скоростей деформации с;и для цилиндрически-ортотропного тела в системе главных осей анизотропии:

3

2( + 0 + 0)

2 У+0+Н

УО + 0Н + Ш О +Н

(в - (Гг )2 + 2Ь тв

0,5

3 УО + ОН + НУ

^,2 ^2 УО + 0Н + НУ 2

ОН + Н& +----------—--------Ц

0,5

(5)

(6)

Рис. 1. Деформирование трубчатой заготовки по схеме "обжим"

В дальнейшем для удобства записи, как это принято в случае плоской деформации, будем использовать обобщенные характеристики анизотропии, обозначенные символами С и Я:

C =1-------Ь(О + Н)----. л 2 = у2Ь (7)

2( ГО + ОН + НГ)

где С - характеристика анизотропии материала трубчатой заготовки, деформируемой в условиях плоской деформации; Я - сопротивление материала пластической деформации при сдвиге по отношению к осям г ив, для большинства промышленных маериаов величина С находится а пределах -0,4...0,4 [1], если материал заготовки изотропный, то С = 0.

Приеденные соотношения использовались при численном моделировании процессов магнитно-импульсной раздачи и обжима трубчатах заготовок из анизотропного материла.

Методика основана на применении вариационного метода теории пластичности, метода конечных элементов (МКЭ) и предложенных соотношений для цииид-рлчecкл-oртoтрoпнoго тела. Материал заготовки принимается жесткопластическим, несжимаемым, цилиидрически-ортотропным.

Применим принцип возможных перемещений к материау, находящемуся в некотором деформированном состоянии. В качестве возможных перемещений примем величины, пропорциональные скоростям перемещений Уг. Тогда соответствующий функционал задачи определяется выражением

/ = \т,1^9 + а\(1;и)'2 ё3+р\ё^¥^3- \FjVjdS , (8)

3 3 3 М Б /

где объемна скорость деформации; V - компоненты вектора скорости пе-

ремещени в координатных направления; - компоненты вектора внешней

нагрузки на части поверхности Sf p- плотность материала; а - большая положительна константа; & - объем тела; t - время; второй член введен в функционал, чтобы в соответствии с методом штрафных функций обеспечить условие несжимаемости (U- = 0) при вычислении скоростей перемещений, обеспечивающих минимум функционалу (8).

При выполнении численных расчетов удобно записать выражение удельной мощности пластической деформации аи • И;и таким обраом, чтобы в него входил:-: только параметры анизотропии С и R. Используя выражения (5) и (6), после соответствующих преобраований получим произведение инвариантов аи • <^и, записанное в системе главных осей анизотропии г, в в следующем виде:

1

V ■ =rV3{2[(i - с+ (i - с)£r2 +2ver ]!2. (9)

При решении задачи в системе осей координат х, у (как покаано на рис. 1) выражение (9) преобрауется с использованием формул преобразования компонентов скоростей деформации при переходе от одной ортогонаьной системы координат к другой следующим обраом:

= rV3{(2/3)[((1 -C) + 0,5Csin2 2,^ + ((i -C) + 0,5Csin2 2p)í 2 -

-С sm2 2táxZy + C smlvcoslq^y - )щху + (0,5(i -C sm2 2<p))^y]!0,5

Угол ф берется для каждого КЭ как угол между осью х и центром тяжести КЭ (см. рис. 1).

Для нахождения системы рарешающих конечно-элементных уравнений в соответствии с предложенным подходом выполняется следующа последовательность действий. Область решения задачи разбивается на треугольные КЭ с узлами i, j, к. Используем линейный аппроксимирующий полином для скоростей перемещений. В соответствии с техникой МКЭ [2] запишем в матричном виде: {V} = [n]{ v}, где

{}} = [vxi Vyi Vxj Vyj Vxk Vyk] - вектор скоростей перемещений в узлах КЭ,

(U}=[B]{v); Uü={U}T{Q}; {Q}T=[1 i 0];

Uu=[2/3{U}t[D]{ U }]0’5=[(2/3) {v}t[Ki] {v}]0,5; [Ki]=[B]t[D][B].

Здесь {V} =[Vx Vy] - компоненты вектора скоростей перемещений внутри КЭ в направлении осей х и у. Матрицы [n], [в] и [d] получаются стандартным образом в МКЭ и приедены в [2].

Подстановка представленных выражений в (8) и минимизация функционала ({JJ/d{v} = 0 ) приводит к системе обыкновенных дифференциаБных уравнений первого порядка вида

M ]^+[ ]{}-{}= 0, (10)

dt

где [M] = ]T[N]d&;

&

[К] = (/ 3),, /[К, ]](2/3)} [ ]¿а + 2а |[]Т{Є>Х{<2}Т[)

3

{’НК ;

В матрице [Ы, ] в отличие от матрицы [И ] компоненты, относящиеся к узам, не лежащим на Б у, равны нулю.

Решение системы дифференциальных уравнений (10) осуществим как решение задачи с начальными данными, то есть по некоторому известному состоянию системы в момент времени ґп найдем состояние системы в после дующий момент времени ґп. Считая временную область продолжающейся до бесконечности, представим ее в виде совокупности отрезков - временных КЭ с узлами в точках to, ^, ґ2,..., ґпґп, , где индексами 0 и ^ обозначены на-

чальная и конечна точки временного интервала, индексами п-1 и п - некоторые произвольные радом стоящие точки этого интервала. Условия на конце первого элемента могут быть определены с помощью дифференциального уравнения (10) и начальных условий. Этот процесс затем повторяется для последующих элементов с использованием полученного решения в качестве начальных данных для каждого очередного элемента.

В качестве временного КЭ выберем линейный симплекс-элемент с интерполяционным полиномом для скорости перемещения вида у = а, +а,2ґ. Рассматривая произвольный КЭ с начальным и конечным узлом в точках временной оси ґп_ и ґп, запишем приближенное значение скорости К , выраженное

через значения в узах КЭ:

у = N *

где

Т =(

N

п -1

= 1 -Т;

1 і у і

1п-1 1п-1

_ / ¿ґ = -1/ А.

+ И, V

пп

(11)

/¿ґ = 1/А;

Іп -

-

п -1

В самом общем случае, если деформирующее усилие Р есть функция от времени, то ее можно аппроксимировать так же, как и скорость, выражением Р = N ^ Nt Ft , где Р - приближенное значение функции Р, выраженное через значения в точках tn, tn—. Остальные параметры определяются выражениями (11).

Приближенна аппроксимация величин с помощью записанных выше выражений предполагает некоторую ошибку (невязку), в связи с чем решение системы дифференциальных уравнений (10) осуществляется с помощью метода взвешенных невязок с применением метода коллокации. После соответствующих подстановок и преобразований получим следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:

/1 Л ( 1 л

17м] + Ф]]Н„ +(-^[М](1- =0{р},„ + (1-е){р 1п- (12)

А

П

где в - некоторое число в диапазоне 0 < в < 1.

Выбира надлежащим образом точи коллокации, получим рад известных разностных схем. Система уравнений (12) справедлив для каждого КЭ и может быть использована дня последовательного вычисления значений ,• • •, начина с заданного начального значения .

Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений предлагается итерационна процедура, реализуема в пределах очередного текущего шага решения задачи по времени. В соответствии с ней, рассматрива две последовательные итерации т - 1 и т, вектор скорости перемещения можно представить следующим обрлом:

‘ (13)

{]” = {} +{А У” ,

где {}” и {Ау}” - соответственно вектор скорости и добавка к вектору скоро-

( \т-1 ~

сти на итерации с номером т; {] - вектор скорости на предыдущей итера-

( \т-1

ции, причем величина {} известна из решения задачи на предыдущем шаге.

Подставим (13) в (12) и преобразуем последнее выражение так, чтобы на

основании известной величины {}”- можно было наети неизвестную величину {Ау]”. В результате получим систему линейных уравнений относительно {Ау}:

[А]т-Аг]” = {в]т-, (14)

где [А]- = £ ¡2-и - є ^

5 а [Є ]

{+ {Т- )-}лЭ + 2а --[][Бе

іт -[ ]- ^ {т-+ { Т-

Є =1 ґ і

+

V

+А-А 3є Р 1

{}”- = £ 2 -

Р = 2 Бр Е Го

^ Є

N

3(

N

]¿ з|

{р т + {рр ]п -

¿Б

-1|{Єт- 4ЄТ- ¿¿з

є=і3

+

з

є а V

3є 4 +--Аз-

N

Т

N

У ]” "ЧУ ]п-

-¿з |;

а

,0,5

,0,5

У

\0,5

В этих выражениях: Е - общее количество КЭ; Я - количество элементов, к сторонам которых приложена поверхностна нагрузка; { } - вектор узловых

скоростей элемента; 3е - объем элемента; - площадь стороны элемента, к

которой приложена внешняя нагрузка.

Последовательность вычислений следующа. После нахождения { Г выполняется вычисление по формуле (13). Вновь найденное значение (у) принимается за { }т 1 и процедура формирования и решения системы уравнений (14) повторяется. Итерационные вычисления еле дет продолжать до тех пор, пока не

будет достигнуто состояние бесконечной близости векторов { ет и { }т —, что можно записать б виде выражения {А у}т ^ { }т 1 ^д , где нормы векторов

||{А у}|| = (а у2 + А у^ + А у2 + ... + А у2 )),5 и { }|= р2 + у2 + У2 + ... + У ^ )),5; к -

число компонентов скоростей во всех узах ансамбля элементов; д - сколь угодно мала наперед заданна величина. При выполнении укланного критерия (например, д < 10-6) за искомое решение можно принять значение вектора

{ }т-.

В соответствии с разработанной методикой составлен пакет прикладных пр-грамм. Тестирование выполнялось путем сопоставления с решением классической задачи рлдачи тонкостенной трубы, выполненным анаитическим методом. Расхождение результатов не превысило 4 %.

Список литературы

1.Яковлев СП., Кухарь В.Д. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986. 136 с.

2.Селедкин Е.М., Гвоздев А.Е. Математическое моделирование процессов формоизменения заготовок. М.: Акдемия проблем кчества; Тула, ТулГУ, 1998.225 с.

V. Kitkhar', М. Gryazev

Final element approach to the analysis of high speed deformation of tubular blank of anisotropic material

The variant of finite-element method of calculation of the high speed deformation process of cylinder orthotropic tube in the conditions of flat deformation is suggested.

Получено 25.06.09

УДК 539.374:621.762.4.016.2

Е.М.Селедкин, д-р тех. наук, проф., (4872) 33-24-88 (Россия, Тула, ТулГУ),

В.Д. Кухарь, д-р техн. наук, проф., зав. кфедрой, проректор, (4872) 35-18-32, infotflltula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

РАЗДАЧА И ОБЖИМ ТОЛСТОСТЕННЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ТРУБЧАТЫХ ЗАГОТОВОКИМПУЛЬСНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

Проведен анализ процессов раздачи и обжима цилиндрически ортотроои-ой трубы импульсным магнитным полем. Показано, влияние анизотропии механических свойств материала на напряженно-деформированное состоянии заготовки в процессе ее формошменения.

Ключевые слова: раздача, обжим, ортотропная труба, магнитное поле, формоизменение.

Пластическое формоизменение трубчатых заготовок является распространенной операцией в машиностроительном производстве. При этом исходные трубчатые заготовки могут обладать начальной анизотропией, возникновение которой можно объяснить особенностями технологии их производства: прокаткой, прессованием, волочением. Подтверждение наличия анизотропии в трубах дают специльные экспериментльные исследования [1]. При этом анизотропия механических свойств существенно влияет на предельные степени деформации, силовые режимы обработки, распределение деформаций и напряжений в злотовке, технологические параметры процессов ОМД и т.д.

Целью настоящей работы является выявление закономерностей влияния анизотропии механических свойств материала трубчатой заготовки, изготовленной из различных по плотности и прочности материалов на напряженно-деформированное состояние при высокоскоростном (магнигно-импульсном) нагружении.