CC BY
34
УДК 004.925.84
П. В. БЕЗД1ТКО, А. В. КРАСНЮК, А. Д. МАЛИЙ, Н. П. БОЧАРОВА (ДПТ)
КОМП'ЮТЕРН1 ПЕРЕТВОРЕННЯ ТВЕРДОТ1ЛЬНИХ ПРАВИЛЬНИХ МНОГОГРАННИК1В (Т1Л ПЛАТОНА) В СИСТЕМ1 AutoCAD. ТЕТРАЕДР
В статп викладено технологи перетворення правильного многогранника (тетраедра) в напiвправильний, 3ip4acTi та неправильнi многогранники методами комп'ютерно! графши. Автори дiйшли висновку, що так1 перетворення твердотiльних моделей правильних многогранников найдоцiльнiшi з вiдомих у нариснш гео-метри та шженернш графiцi.
В статье изложены технологии преобразования правильного многогранника (тетраэдра) в полуправильный, звёздчатые и неправильные многогранники методами компьютерной графики. Авторы пришли к выводу, что такие преобразования твёрдотельных моделей правильных многогранников наиболее целесообразны из известных в начертательной геометрии и инженерной графике.
In the article the technologies of transformation of a perfect polyhedron (tetrahedron) into semi-perfect one, starlike and imperfect polyhedrons by the methods of computer graphics are presented. The authors have concluded that such transformations of solid models of зукаусе polyhedrons are most expedient from the known ones in descriptive geometry and engineering graphics.
Вступ
В попереднш нашш робот [1] ми запропо-нували досить прост комп'ютерш технологи побудови твердотшьних моделей правильних многогранниюв в систем1 AutoCAD.
Тепер ми хочемо продовжити цю тему, але вже в плаш перетворення тш Платона в тша Арх1меда (нашвправильш многогранники) та в з1рчаст1 форми i з'еднання правильних многог-ранниюв.
Оскшьки тетраедр е першим в им'! тш Платона, то з нього i почнемо.
1. Зр1заний тетраедр.
В нариснш геометри зрiзаним називають ri-ло, у якого зрiзана верхiвка, тобто вс його час-тини разом з вершиною [2]. Платоновi тiла мо-жна зрiзати таким чином, що i одержанi новi гранi, i залишки старих будуть правильними многокутниками. Якщо ж у зрiзаного многогранника вс многограннi кути рiвнi, а всi гранi -правильш многокутники, то його вiдносять до архгмедових ты (вщкриття яких приписують Архiмеду [2]), або натвправильних многогран-никiв.
Що ж стосуеться тетраедра, то його можна зрiзати так, що чотири його трикутш граш пе-ретворяться в чотири рiвностороннi шестикут-ники i до них ще додадуться чотири правильнi трикутш граш [2].
Для цього нам треба зрiзати верхiвки тетра-едра на одну третину його висоти, але так, щоб
ичш площини були перпендикулярними до б> сектрис тригранних кутiв при його вершинах. При цьому можна скористатися чотирма окре-мими шчними площинами, але ми вважаемо, що доцшьшше застосувати л ж технологи, яю ми запропонували в роботi [1].
Отже, спочатку побудуемо тетраедр, задавшись довжиною його ребра а. Тодi радiус кола, описаного навколо його основи буде дорiвню-вати [1]:
R = 0,5773 a.
Висота тетраедра (траекторiя видавлювання) Ит = 0,8167 а,
а кут звуження
в = 19,42°.
Технолопю його побудови наведено у вищезгаданш робота
Далi побудуемо зрiзану правильну шести-гранну пiрамiду, перевернуту зрiзом вниз так, щоб менша !! основа вписувалась в основу тетраедра, а висота дорiвнювала 2/3 висоти тетраедра. Оскшьки ми зрiзуемо верхiвки тетраедра на третину, то сторона шестикутника, вписано-го в основу тетраедра, також буде дорiвнювати 1/3 ребра тетраедра. Вщповщно радiус кола, описаного навколо шестикутника, буде дорiв-нювати довжинi його сторони (рис. 1). Пюля цього, за допомогою команди «Видавити» (Extrude) з панелi iнструментiв «Тiла», будуемо вищезгадану пiрамiду.
© Бездiтко П. В., Краснюк А. В., Малий А. Д., Бочарова Н. П., 2010
Рис. 1
Оскшьки каркасна модель одержано! ф^ури досить невиразна, то розфарбуемо 11 за Гуро (рис. 2).
L
Рис. 2
Далi, скориставшись командою «Перерiз» (Intersect) з панелi iнструментiв «Редагування тш», одержуемо бажану модель зрiзаного тет-раедра. Ii iзометричне зображення не дуже ви-разне (рис. 3а), тож, за бажанням, li можна за допомогою команди «3D орбга» повернути на будь-який кут (рис. 36).
ъ*
Рис. 3
2. Бтетраедр (6inipaMida).
Бiпiрамiдою [2] називають многогранник, утворений з двох п-гранних пiрамiд, якi скла-деш рiвними основами та знаходяться по рiзнi боки вiд спшьно! основи. Це можуть бути будь-яю пiрамiди, правильнi чи неправильнi. Але, оскшьки мова йде про правильний тетраедр, ми вважаемо що бшрамщу, утворену з двох тетра-
едрiв, доцiльно назвати бiтетраедром. Техноло-пя його побудови дуже проста. Як i в попере-дньому випадку, спочатку будуемо твердотшь-ну модель тетраедра, а по^м за допомогою команди «3М дзеркало» (3D Mirror) випадного меню «Редагування» вщдзеркалюемо його вщ-носно площини XY (рис. 4).
Рис. 4
Фактично ми одержали шестигранник, вс граш якого е правильними рiвностороннiми трикутниками. Але його ш правильним, ш на-пiвправильним назвати не можна, бо просторо-вi кути при його вершинах рiзнi. Тож його можна назвати хiба що неправильним гексаедром. Але поняття гексаедр, як правило, асощюеться з правильним шестигранником - кубом. Тому ми вважаемо за доцшьне iменувати його бтет-раедром.
Мiж iншим, якщо нижнш тетраедр перемю-тити вгору на вщстань, рiвну його висотi, а по-тiм за допомогою команди «Перерiз» з панелi iнструментiв «Редагування» здшснити взаем-ний перерiз цих тетраедрiв, то знову одержимо модель бтетраедра, але висота його буде вдвiчi меншою вiд висоти попереднього, тобто дорiв-нюватиме висотi тетраедра.
Мабуть через те, що ф^ура цього многогранника не дуже приваблива, вш практично не зус^чаеться в архiтектурi.
3. 3ipnacmm тетраедр.
Зiрчастий тетраедр ми одержимо, якщо на кожнш його гранi побудуемо таю ж самi тетра-едри. Така модель виглядае дещо приваблив> ше, але згадки про не! в лiтературi ми поки що не зустрiчали
Для спрощення побудови цього многогранника ми скористаемося моделлю бiтетраедра, оскiльки там ми вже побудували один тетраедр на основi першого. Тепер, скориставшись тим, що тетраедри поки що не об'еднаш мiж собою в едине тшо, вiддзеркалимо перший тетраедр вщносно одше! з його бiчних граней, наприклад вiдносно гранi, основа яко! перпендикулярна до осi XY, а по^м за допомогою команди «3М ма-
сив» випадного меню «Редагування» розмно-жимо його як масив навколо ос Z. В результатi маемо зiрчастий тетраедр (рис. 5).
Рис. 5
Така модель вже привабливша за попере-дню, але в такому виглядi в архiтектурi та тех-нiцi практично не зустрiчаеться. Тож спробуе-мо скомбiнувати И 3i зрiзаним тетраедром, про який мова йшла в першому пунктi ще! статтi. Використаемо його як тдставку до цього многогранника (рис. 6).
Рис. 6
Це вже бiльш цiкава конфiгурацiя i, можли-во, надихне архiтекторiв на И застосування.
4. З1рчастий бтетраедр.
Якщо ми вже побудували зiрчастий тетраедр, то перетворити його в зiрчастий бiтетраедр дуже просто. Для цього достатньо три тетраед-ри, побудоваш на бiчних гранях основного, вщдзеркалити вiдносно площини XY i будемо мати бажаний результат (рис. 7).
Цей зiрчастий многогранник щкавший за попереднiй, але його опису в лiтературi ми та-кож поки що не зустр1чали.
Рис. 7
5. 3ipHacmuu октаедр (stella octangula Кеплера).
Зiрчастий октаедр вiдкрив у 1619 рощ Й. Кеплер [2]. BiH назвав його Stella octangula, тобто восьмикутна 3ipKa. Й. Кеплер виходив з того, що вюм площин - продовження граней октаедра - вщдшяють вiд простору новi части-ни, «вщики», зовнiшнi по вщношенню до октаедра, яю е нiчим iншим, як малими тетраедра-ми, основи яких сшвпадають i3 гранями октаедра. М. Веншнджер [2], дослiджуючи многогранники, дшшов висновку, що цей многогранник не е единим тшом, це поеднання двох тет-раедрiв, якi взаемно перерiзаються. Центри цих тетраедрiв спiвпадають i3 центром вихщного октаедра, причому ця точка е центром симетри всього тiла.
Тож, спираючись на висновки Bеннiнджера, побудуемо зiрчастий октаедр за допомогою двох тетраедрiв. Для цього спочатку будуемо бтетраедр так, як це ми описали у п. 2 дано! роботи (рис. 4). По^м, не об'еднуючи тетраед-ри в едине тшо, повернемо нижнiй навколо ос Z на 60 або 180 градусв (щоб вершини основ тетраедрiв зайняли протилежне положення). Далi перемютимо нижнiй тетраедр вгору на половину його висоти, тобто так, щоб центр його основи розташувався в точцi з координатами (0; 0; 0,40835а). От i все, модель готова (рис. 8).
Рис. 8
А дат - щкавий факт. Якщо ми скористае-мося командою «Перерiз» (Intersect) iз панелi iнструментiв «Редагування тш», то в результатi одержимо звичайшсшький правильний октаедр. Правда, вш лежатиме на бiчнiй гранi (рис. 9а). Для бшьшо! певностi повернемо його так, щоб вюь зайняла звичне вертикальне положення (рис. 9б).
На нашу думку, цей результат можна вважа-ти експериментальним пiдтвердженням геша-льно! далекоглядностi Й. Кеплера, який визна-чив цей зiрчастий многогранник октаедром, та
правильносп висновку М. Веншнджера про те, що вш е результатом взаемного nepepi3y двох тетраедрiв.
'Ш
Рис. 9 Висновки
В результат виконано! роботи можна зро-бити таю висновки:
- комп'ютерш технологи побудови твердот> льних многогранникiв, запропонованi нами в попереднш роботi [1], доцшьно застосо-вувати i для !х перетворень та модифiкацiй;
- завдяки цим технолопям вперше створено твердотшьш моделi бiтетраедра та зiрчас-тих тетраедра, бiтетраедра i октаедра;
- одержано експериментальне пiдтвердження ще! Й. Кеплера про те, що в основi восьми-кутно! зiрки лежить октаедр, та твердження М. Веншнджера, що зiрчатий октаедр е результатом взаемного перерiзy двох тетра-едрiв.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Просторове моделювання твердотшьних многогранников (тш Платона) в систем1 AutoCAD [Текст] / П. В. Бездггко [та ш.] // Ысник Днш-ропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. 1м. акад.
B. Лазаряна. - 2009. - Вип. 27. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2009. - С. 167-170.
2. Веннинджер, М. Модели многогранников [Текст] / М. Веннинджер. - М.: Мир, 1974. -
C. 12-45.
Надшшла до редколегп 25.02.2010. Прийнята до друку 03.03.2010.
