CC BY
80
УДК 004.925.84
П. В. БЕЗД1ТКО, А. В. КРАСНЮК, А. Д. МАЛИЙ, Н. П. БОЧАРОВА (ДПТ)
ПРОСТОРОВЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТВЕРДОТ1ЛЬНИХ ПРАВИЛЬНИХ МНОГОГРАННИК1В (Т1Л ПЛАТОНА) В СИСТЕМ1 AutoCAD
В статт викладено технологш моделювання правильних многогранников методами комп'ютерно! графь ки. Показано, що для створення твердотшьних моделей правильних многогранников найдоцiльнiше користу-ватися методом екструзи (видавлювання).
В статье изложена технология моделирования правильных многогранников методами компьютерной графики. Показано, что для создания твердотельных моделей правильных многогранников наиболее целесообразно пользоваться методом экструзии (выдавливания).
This article describes the technology of modeling regular polyhedra by graphic methods. The authors came to the conclusion that in order to create solid models of regular polyhedra the method of extrusion is best to use.
Вступ
Многогранники, як найпростiшi просторовi форми в живш та неживш природ^ а також в техшчнш творчосп, супроводжують людину протягом всього життя. Ми спостер^аемо бага-то прикладiв неповторного поеднання многог-ранних форм, яю викликають художнi вражен-ня. Тому, мабуть, так широко використовують-ся вони в архтектурь Але креслення многог-ранних форм, виконаш методами iнженерноi графiки, не завжди i не всiма легко сприйма-ються, тому архiтектори дуже часто виготов-ляють просторовi моделi цих форм з паперу або шших матерiалiв [1, 2]. Та якщо цi форми бiльш-менш складш, то виготовлення навiть однiеi моделi займае досить багато часу. За св> дченням М. Веннiнджера [1], виготовлення та-коi моделi вимагае до 3...4 годин, на досить складну модель треба витратити 20.30 годин, а деяю моделi вимагають бiльше сотнi годин на кожну.
Мета щеН роботи - описати для архтекто-рiв та проектувальниюв найпростiшi технологii побудови многогранних форм методами комп'ютерноi графiки. Почнемо це з правильних многогранниюв, яю в геометрii називають тшами Платона.
Вiдомо, що правильним називають многогранник, у якого вс многогранш кути при вершинах рiвнi, а отже, рiвнi вс плоскi кути кож-но1' граш та всi двограннi кути при кожному ребрь В тривимiрному просторi таких многог-ранникiв п'ять:
- правильний чотиригранник (тетраедр), вс чотири гранi якого - рiвностороннi трикутники;
- правильний шестигранник (гексаедр або куб), вс граш якого - квадрати;
- правильний восьмигранник (октаедр), у якого вс граш - р1вносторонн1 трикутники;
- правильний дванадцятигранник (додека-едр), вс його граш - правильш п'ятикутники;
- правильний двадцятигранник - (шосаедр), у нього вс граш - р1вносторонн1 трикутники.
В такш послщовносп i розглянемо технологи побудови !х просторових моделей в системi AutoCAD.
Тетраедр
Для побудови його просторово! модел^ на-приклад з паперу, достатньо побудувати розго-ртку поверхнi многогранника. А для цього треба задати або довжину ребра граш, або радiус кола, в яке треба вписати правильний трикут-ник.
Тодi для визначення довжини ребра можна скористатися формулою (1) [3]:
a = cR, (1)
де а - ребро граш;
с - коефщент сшввщношення довжини ребра та радiуса описаного кола для вщповщного центрального кута;
R - радiус описаного кола.
Для рiвностороннього трикутника с = 1,7321, а R = 0,5773а.
Для побудови твердотшьно! моделi на комп'ютерi треба ще визначити висоту тетра-едра i так званий кут звуження, тобто кут нахи-лу граш до напрямку висоти
в = 90° - а, (2)
де в - кут звуження;
а - кут нахилу бiчноl граш до основи.
Нескладш розрахунки показують, що висота тетраедра
к, = 0,8173а, (3)
а кут звуження в = 19°30', або 19,5°.
Послiдовнiсть операцiй побудови моделi та-ка. Оскiльки будь-яку просторову модель кра-ще розглядати як на фотографп, то побудуемо li вiдразу в iзометрil. Переходимо в 3М простiр i спочатку проведемо в площиш XY двi взаемно перпендикулярнi прямi, як центровi лши опи-саного навколо основи многогранника кола. Центр Системи Координат Користувача розта-шовуемо в точщ перетину цих прямих. Потiм за допомогою команди «Многокутник» (Polygon) з випадного або екранного меню будуемо рiв-ностороннiй вписаний трикутник, як основу тетраедра. Ращус кола визначаемо за формулою (1).
Пюля цього за допомогою команди «Видавити» (Extrude) з панелi iнструментiв «Тша» (Solids) будуемо власне тетраедр за такою по-слщовшстю:
- вибираемо курсором об'ект, який треба видавити, тобто тшьки-но побудований трикутник;
- на запит програми задаемо висоту видав-лювання, обчислену за формулою (3);
- на запит програми вводимо значення кута звуження. Оскшьки вс бiчнi гранi тетраедра нахилеш до напрямку його висоти, то значення кута звуження вводимо як число додатне.
В результат маемо каркасну модель тетраедра (рис. 1а). Для бшьшо! наочносп можна розфарбувати li за Гуро (рис. 16).
Рис. 1. Тетраедр
Гексаедр (куб)
Про побудову просторово! моделi гексаедра багато говорити немае потреби, адже в панелi шструменпв AutoCAD «Тша» е примiтив «Ящик» (Box). Достатньо на запит програми ввести координати одше! точки нижньо! основи та дiагонально протилежно! точки на верхнш основi, i ми одержимо бажану модель (рис. 2).
а)
Рис. 2. Гексаедр
Той же результат будемо мати, якщо на запит програми введемо з клавiатури: «Куб» (К) та довжину ребра куба а. Крiм того, гексаедр можна побудувати так, як ми будували тетра-едр. Тобто можна в площиш ХУ побудувати квадрат i видавити його на висоту а.
Октаедр
Просторову модель октаедра можна побудувати, скориставшись технолопею побудови тетраедра, беручи до уваги те, що цей многогранник е комбшащею двох правильних чотири-гранних трашд, дзеркально розташованих по вщношенню до основи. Отже, основою тако! трашди буде квадрат. У вщповщносп з формулою (1) радiус кола, описаного навколо квадрата [3]
Я = а/с = 0,7071а. (4)
До реч^ рaдiус описаного навколо квадрата кола дорiвнюе половиш його дiaгонaлi та одно-часно е i рaдiусом сфери, описано! навколо октаедра, а отже, i висотою трашди, або, в на-шому випадку, висотою видавлювання:
И = 0,7071а. (4)
Виходячи з цього, визначаемо i кут звуження: в = 35,28°.
I К
Рис. 3. Октаедр
Далi будуемо шрамщу так само, як будува-ли тетраедр. Пюля цього, скориставшись командою «3М дзеркало» з випадного меню «Редагування», будуемо дзеркальне вiдображення пiрамiди вiдносно i'i основи. Поим за допомо-гою команди «Об'еднання» (Union) з панелi шструменпв «Редагування тш» об'еднуемо ш-рамщи i одержуемо каркас октаедра (рис. 3а ) та тоноване зображення моделi (рис. 36).
Додекаедр
Серед тш Платона мабуть найприваблив> шим е додекаедр. З ним конкуруе хiба що шо-саедр. Тож, мабуть, завдяки сво'й декоративно-ст вiн дуже часто використовуеться в архитектура
Технологiя його побудови дещо складнiша вiд технологii побудови октаедра, але в чомусь i подiбна. Протилежнi гранi додекаедра парале-льнi мiж собою. Отже, якщо одну з них вважати нижньою його основою, то iнша буде верх-ньою. Тодi технологiя побудови моделi буде дещо подiбною до технологи побудови октаед-ра.
Оскшьки гранями додекаедра е правильш п'ятикутники, то [3] с = 1,1756 i у вщповщносп з формулою (1) визначаемо, що радiус описано-го кола
R = 0,8506a.
Висота додекаедра дорiвнюе дiаметру впи-саноi в нього сфери. Отже, якщо радiус тако' сфери [2] дорiвнюе 1,114а, то вщповщно Нд = = 2,228а.
Бiчнi грaнi додекаедра вiдхиляються вщ осi нaзовнi, тож кут звужування при видaвлювaннi буде вiд'емним: в = -26,43°.
Отже, за аналопею з попередшм, будуемо в площиш XY правильний п'ятикутник. Це нижня основа. На вiдстaнi Z = Нд вiд не' будуемо такий
самий, але повертаемо його навколо ос Z на 36° або на 180°, оскшьки вершини додекаедра дia-гонально протилежнi.
Пiсля цього по черзi «видавлюемо» цi п'ятикутники, але при видавлюванш верхньо' основи траекторда задаемо з вiд'емним знаком. Висота видавлювання основ може бути довшь-ною, але не менш як 0,7h. В результaтi одержуемо моделi двох спiввiсних п'ятигранних зрiзa-них пiрaмiд, вiдобрaжених каркасами.
Тепер скористаемося кнопкою «Перерiз» (Intersect) на пaнелi iнструментiв «Редагування тш». Виберемо тiльки-но одержaнi об'екти i, натиснувши «Enter» або праву клавшу «мишi», одержимо бажану модель в каркасному або то-нованому виглядi (рис. 4).
Рис. 4. Додекаедр
1косаедр
1косаедр завершуе ряд правильних многог-рaнникiв (тiл Платона). Стародавня рукотворна модель його - гральна юсточка епохи Птоломе-'в - була знайдена в Gгиптi. А новша - сплав aлюмiнiю та марганцю, яка мае квазшристатч-ну структуру з вiссю п'ятого порядку, одержана в другш половинi Х1Х столiття. Ф. Клейн [4] обгрунтував математичне значення iкосaедрa як об'екта, з якого розходяться гшки математич-них теорiй: геометрiя, теорiя груп, теорiя шва-рiaнтiв, диференцiaльнi рiвняння та теорiя Га-луа. 1косаедр досить широко використовуеться в техшщ та aрхiтектурi.
Технологiя побудови його твердотшьно' моделi на комп'ютерi поеднуе в собi технологii побудови октаедра та додекаедра.
1косаедр можна умовно роздшити на три ча-стини [5]: середню - десятигранний призмато-'д, основами якого е правильш пентагони, повернул один вщносно другого на 36°, та двi прaвильнi п'ятигрaннi пiрaмiди, основами яких е вiдповiднi основи призмато'да.
Оскiльки основами е прaвильнi п'ятикутники, то сшввщношення ребра та рaдiусa опи-саного кола залишаеться таким же, як i при по-будовi додекаедра, тобто R = 0,8506a.
Бiчними гранями призматоща е правильнi трикутники. Тож нескладш розрахунки пока-зують, що висота призматоща
кпр = 0,8523а.
Тепер за аналопею з додекаедром побудуе-мо основи призматоща, а потiм видавимо 'х назус^ч один одному, тобто напрям траектори для нижньо' основи буде додатним, а для верх-ньо' - вщ'емним. Висота видавлювання мае бути бшьшою за висоту призматоща.
Пюля цього, як i для додекаедра, скористае-мося командою «Перерiз» i одержимо модель призматоща (рис. 5).
Рис. 5. Призматощ
Далi побудуемо вершиннi пiрамiди. Оскшь-ки ïxhî основи спiвпадають з основами призма-тоща, то для зручносп i бiльшоï наочностi про-цесу подальших побудов, шар, на якому ми по-будували призматоïд, краще вимкнути, а шра-мiди побудувати в шшому шарi.
Спочатку побудуемо шрамщу на верхнiй основi призматоïда. Для цього на рiвнi верхньоï основи побудуемо той же п'ятикутник. Вш буде розташований так, як i п'ятикутник нижньо1' основи призматоща. Поки що ми не звертаемо на це уваги i будуемо шрамщу. Задавши команду «Видавити» на запит програми вводимо висоту видавлювання, рiвну висот шрамщи
h
тр
0,3864а,
Висновки
В результат виконано1' роботи можна зро-бити таю висновки:
- запропонована в статп технологiя побудови твердотшьних моделей правильних мно-гогранникiв методами комп'ютерно1' графiки авторам у вщповщнш лiтературi поки що не зус^чалась;
- для побудови твердотiльних моделей правильних многогранниюв найдоцiльнiше вико-ристовувати метод видавлювання (за винятком хiба що куба);
- завдяки можливостям AutoCAD модел^ в залежност вiд потреби, можна розмножувати закономiрними масивами в необмеженiй кшь-косп;
- використовуючи команди редагування тш (об'еднання, вiднiмання, перерiз) можна ство-рювати модифiкацiï многогранникiв, що важ-ливо в архiтектурi;
- час, необхщний для побудови моделi шо-саедра, найскладнiшого з правильних многог-ранникiв, не перевищуе 10 хвилин.
а кут звужування в = 63,5°.
Пюля цього за допомогою команди «3М операци, 3М дзеркало» випадно1' панелi «Редагування» будуемо дзеркальне вщображення пiрамiди вiдносно площини ХУ, розташовано1' на рiвнi середини висоти призматоща, тобто 2 = 0,1932а. Основа одержано!' шрамщи буде точно ствпадати з нижньою основою призматоща. Тепер за допомогою команди «Поверну-ти» панелi «Редагування» обертаемо верхню шрамщу вщносно ос 2 на 36°, i и основа точно спiвпадае з верхньою основою призматоща. В цьому ми впевнимось, ввiмкнувши шар призматоща.
За допомогою команди «Об'еднання» панелi «Редагування тiл» об'еднуемо всi три об'екти. В результат маемо модель шосаедра в каркасному та тонованому виглядi (рис. 6).
Рис. 6. 1косаедр
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Веннинджер, М. Модели многогранников [Текст] / М. Веннинджер. - М.: Мир, 1974. -С. 7-29.
2. Быстрякова, М. З. Методические указания к выполнению работы «Модели поверхностей многогранников» [Текст] / М. З. Быстрякова. - Д.: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2000. - С. 3-14.
3. Потишко, Ф. В. Справочник по инженерной графике [Текст] / Ф. В. Потишко, Д. П. Круше-вская. - К.: Буд1вельник, 1983. - С. 250-251.
4. Клейн, Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени [Текст] / Ф. Клейн; пер. с нем. под ред. А. Н. Тюрина. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - С. 3-5.
5. Польшау, А. Н. Начала Начертательной Геометрии, краткая теория кривых и способы их черчения [Текст] / А. Н. Польшау. - Сумы: Типо-литогр. К. М. Пашкова, 1907. - С. 93-95.
Надшшла до редколегп 25.03.2009.
