CC BY
12
Андреев Николай Николаевич, Калиниченко Михаил Александрович
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ФИЛЬМЫ О ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ И НЕРЕШЕННЫХ ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИКИ ФИЛЬМ ДВЕНАДЦАТЫЙ. ПРЯМИЛО ЛИПКИНА
Вступление.
Со времен изобретения Джеймсом Уаттом паровой машины стояла задача построения шарнирного механизма, переводящего движение одного шарнира по окружности в движение другого шарнира по прямой. То есть спрямляющего механизма, или прямила.
Долгое время ученые и инженеры не могли решить эту задачу, строили приближенные прямила, где ведомый шарнир ходил не строго по прямой, но рядом, не очень далеко удаляясь от нее. А окончательно решить задачу создания прямила помогла красивая математика.
Кадр 1-11.
Напомним, что инверсией на плоскости относительно окружности называется взаимнооднозначное отображение внутренности окружности (за исключением одной точки - центра) на всю внешность окружности. Образом точки А является точка А', лежащая на луче, выходящем из центра окружности и проходящем через точку А. Расположение на луче определяется равенством ОА • О А = С помощью инверсии в геометрии решается много интересных задач. Как мы увидим, преобразование инверсии позволяет решать не только теоретические задачи.
Кадр 12. Заголовок.
ПРЯМИЛО ЛИПКИНА
Андреев Н.Н., Калиниченко М.А.
С
с а а
□
о □
с
а □
о а с с а
□
с с а
□
о с
с
а □
о о
Кадр 13-23.
Рассмотрим шарнирный механизм с одним закрепленным красным шарниром. К концам двух длинных звеньев, имеющих одинаковую длину, прикреплен шарнирный ромб.
Кадр 24-26.
Этот механизм реализует инверсию относительно окружности с центром в закрепленном шарнире и радиусом, зависящим от длины звеньев механизма.
С помощью нашего механизма посмотрим, какими свойствами обладает отображение инверсии.
Кадр 27-29.
Из самого определения инверсии понятно, что образом отрезка, лежащего на прямой, проходящей через центр инверсии, является отрезок, снова лежащий на этой же прямой.
Кадр 30-32.
Образом отрезка, лежащего на прямой, не проходящей через центр инверсии, является дуга окружности, проходящей через центр инверсии.
Кадр 33-35.
Окружность, не проходящая через центр инверсии и не пересекающаяся с окружностью инверсии, переводится механизмом снова в окружность.
Кадр 36-38.
Инверсия сохраняет углы между кривыми, однако меняет их ориентацию. Такие преобразования в математике называются антиконформными (конформные - те, которые сохраняют и углы и их ориентацию).
О О
а о з з о
о о о а о
о о о а о
о
о □
о о
а о о а и з
76
© КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ В ОБРАЗОВАНИИ. № 6, 2007 г.
Компьютерные фильмы о занимательных и нерешенных проблемах математики. Прямило Липкина
С С
а
а
о с
о
а □
с о с с а
□
о с
с
Кадр 39-42.
Дуга окружности, проходящей через центр инверсии, отображается... в точно прямолинейный отрезок!
Кадр 43-52.
Именно это свойство и было использовано для построения первого в истории точного прямила. Для того чтобы ведущий шарнир ходил строго по окружности, проходящей через центр инверсии, добавим неподвижный шарнир в центр окружности и звено, по длине равное радиусу. Тем самым ведомый шарнир всегда будет ходить по прямолинейному участку. Ввиду того, что данный вид прямил использует свойства инверсии, их часто называют инверсорами.
О построении инверсора в 1864 году в частном письме сообщил офицер инженерного корпуса французской армии Поселье (Charles Nicolas Peaucellier, 1823— 1913). Однако он не указал никаких подробностей построения механизма. В 1868 году студент П.Л. Чебышева Липман Липкин (1846-1876) изобретает инверсор. Его подробная статья выходит в 1870, и лишь в 1873 году появляется статья Поселье с описанием такого же прямила и со ссылкой на работу Липкина.
Впоследствии были построены прямила, основывающиеся и на других математических идеях. Однако инверсор отличается красотой, хорошими механическими свойствами и нашел много применений в технике.
Кадр 53. Титры
Идея фильма: Николай Андреев. Спасибо: Роману Кокшарову. Мультипликация: Михаил Калиниченко.
Андреев Николай Николаевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН,
Калиниченко Михаил Александрович, художник проекта.
Наши авторы, 2007 Our authors, 2007
