CC BY
15
Андреев Николай Николаевич, Калиниченко Михаил Александрович
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ФИЛЬМЫ О ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ И НЕРЕШЕННЫХ ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИКИ
ФИЛЬМ ДЕВЯТЫЙ. СВЕРЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ ОТВЕРСТИЙ
Кадр 1-3. Заголовок.
СВЕРЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ ОТВЕРСТИЙ
Кадр 4-5.
В фильме «Круглый треугольник Рело» рассказывается о фигурах, обладающих постоянной шириной. Именно треугольник Рело - простейшая фигура постоянной ширины -поможет нам в сверлении квадратных отверстий.
Кадр 6-12.
Если двигать центр этого «треугольника» по некой траектории, то его вершины вычертят почти квадрат, а сам он заметет всю площадь внутри полученной фигуры.
Кадр 13-15.
Границы полученной фигуры, за исключением небольших кусочков по углам, будут строго прямыми!
Фильм девятый. Сверление квадратных отверстий
С
с а а
□
о □
с
а □
о а с с а
□
с с а
□
о с
с
а □
о о
Кадр 16.
И если продолжить отрезки, тем самым добавив уголочки, то получится в точности квадрат.
Кадр 17-19.
Для того чтобы получилось описанное выше, центр треугольника Рело нужно двигать по траектории, являющейся склейкой из четырех одинаковых дуг эллипсов. Центры эллипсов расположены в вершинах квадрата, а полуоси, повернутые на угол в 45° относительно сторон квадрата, равны к(1 + 1/л/3)/2 и к(1 - 1/л/3)/2, где к - длина стороны вычерчиваемого квадрата.
Кадр 20-21.
Кривые, скругляющие углы, также являются дугами эллипсов с центрами в углах квадрата, их полуоси повернуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны к (43 + 1) /2 и
к (л/3- 1)/2.
Площадь незаметенных уголочков составляет всего около 2 процентов от площади всего квадрата!
Теперь, если сделать сверло в виде треугольника Рело, то можно будет сверлить квадратные отверстия с немного скругленными уголками, но абсолютно
прямыми сторонами!
Осталось сделать такое сверло... Вернее само-то сверло сделать несложно, нужно только, чтобы оно напоминало в сечении треугольник Рело, а режущие кромки совпадали с его вершинами.
Трудность заключается в том, что, как уже было отмечено выше, траектория центра сверла должна состоять из четырех дуг эллипсов. Визуально эта кривая очень похожа на окружность и даже математически близка к ней, но все же это не есть окружность. А все эксцентрики (круг, посаженный на круг другого радиуса со смещенным центром), используемые в технике, дают движение строго по окружности.
В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс придумывает, как устроить такое сверление. На поверхность он накладывает направляющий шаблон с прорезью в виде квадрата, в котором ходит сверло, вставленное в патрон со «свободно плавающим в нем сверлом». Патент на такой патрон был выдан фирме, начавший изготовление сверл Уаттса в 1916 году.
Кадр 22-25.
Мы же воспользуемся другой известной конструкцией. Прикрепим сверло жестко к треугольнику Рело, помещенному в квадратную направляющую рамку.
О
о и о о о о
а
о
о □
а
о о о о
а □
о
о □
о □
о
о □
МУЗЕЙ ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ НАУКИ
81
Андреев Н.Н., Калиниченко М.А.
Кадр 26-29.
Сама рамка фиксируется на дрели. Осталось теперь передать вращение патрона дрели треугольнику Рело.
Кадп 30-32.
Помогает решить эту техническую проблему конструкция, которую Вы наверняка много раз видели под днищем проезжавших по улице грузовых автомобилей - карданный вал. Эта передача получила свое название в честь Джероламо Кардано1.
Кадр 33-36.
Теперь у нас все го тово к сверлению. Возьмем фанерный лист и... высверлим квадратное отверстие!
, z 'г
Кадр 37-38.
Как уже говорилось, стороны будут строго прямыми и лишь уголки немного скруглены. При необходимости их можно подправить надфилем.
Кадр 39. Литература
1. Е. Weisstein. Reuleaux Triangle.
2. С.Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦНМО, 2006.
Кадр 40. Титры
Идея фильма: Николай Андреев. Мультипликация: Михаил Калиниченко.
1 Джероламо КАРДАНО (1501-1576). Когда в 1541 г. император Карл V триумфально вошел в завоеванный Милан, ректор коллегии врачей Кардано шел рядом с балдахином. В ответ на оказанную честь он предложил снабдить королевский экипаж подвеской из двух валов, качение которых не выведет карету из горизонтального положения [...] Справедливость требует отметить, что идея такой системы восходит к античности и что, по крайней мере, в «Атлантическом кодексе» Леонардо да Винчи имеется рисунок судового компаса с карданным подвесом. Такие компасы получили распространение в первой половине XVI века, по-видимому, без влияния Кардано [2].
Андреев Николай Николаевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН,
Калиниченко Михаил Александрович, художник проекта.
© Наши авторы, 2007 Our authors, 2007
