CC BY
11
Андреев Николай Николаевич, Калиниченко Михаил Александрович
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ФИЛЬМЫ О ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ И НЕРЕШЕННЫХ ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИКИ
ФИЛЬМ ДЕСЯТЫЙ. ХОРОШАЯ КОНСТРУКЦИЯ
Кадр 1-2. Заголовок.
ХОРОШАЯ КОНСТРУКЦИЯ
Кадр 3-7.
Карл Густав Якоби жил в первой половине XIX века. Для своих естественнонаучных исследований он разработал систему ортогональных многочленов, которые потом получили его имя. При заданных значениях параметров а и Ь (больших чем -1) многочлен Якоби Рк(а ь является многочленом степени к и имеет столько же нулей на отрезке [-1, 1].
Понятие ортогональности, то есть перпендикулярности, перекочевало из геометрии и в другие области математики. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. По аналогии, два многочлена называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Только в нашем случае под скалярным произведением понимается интеграл по отрезку [-1, 1] от произведения рассматриваемых многочленов, умноженного на специальную функцию, называемую весом.
Системы ортогональных многочленов играют большую роль в самой математике и в прикладных вопросах. Возникающие в процессе исследования функции, свойства которых необходимо изучить, можно с той или иной степенью точности приблизить линейной комбинацией рассматриваемых ортогональных многочленов. Далее можно изучать уже поведение не самой функции, а приближающей конструкции, что, зачастую, существенно проще и удобнее.
Компьютерные фильмы о занимательных и нерешенных проблемах математики. Фильм десятый. Хорошая конструкция
С
с а а
□
о □
с
а □
о а с с а
□
с с а
□
о с
с
а □
о о
Изучение ортогональных многочленов и их свойств - это большой и интересный раздел математики, имеющий и важное прикладное значение.
Как это зачастую бывает в науке, некогда выдуманная хорошая конструкция находит интересные применения в различных вопросах. Так и многочлены Яко-би, а точнее их нули, оказались решением важной задачи, возникшей существенно позднее, нежели были введены сами рассматриваемые многочлены.
Кадр 8-10.
Пусть на концах отрезка [-1, 1] закреплены положительные заряды величины р и (¡. Внутри отрезка случайным образом поместили к единичных зарядов, которые могут свободно перемещаться по нему, но покидать отрезок им запрещено. Так как заряды одинакового знака, то они стараются разбежаться как можно дальше друг от друга. Как расположатся заряды, пытаясь минимизировать потенциальную энергию системы? В нахождении оптимального расположения, когда силы, действующие на каждый заряд справа и слева, равны, и состоит задача.
Для знакомства с задачей рассмотрим частные случаи.
Кадр 11-17.
Пусть на левом конце отрезка закреплен заряд, равный 3, а на правом -равный 5. Поставим в произвольные точки три единичных заряда, и посмотрим на поведение системы.
Кадр 18.
Когда движение остановится, нарисуем на том же отрезке многочлен Якоби Р3(9, 5). Оказывается, что заряды остановились в нулях этого многочлена!
Кадр 19-24.
Давайте проэксперементируем еще раз. Зафиксируем на левом конце заряд, равный трем, а на правом - равный двум. Поместим внутри отрезка
четыре единичных заряда и понаблюдаем за системой.
□ О
и о о о
с □
о
о □
а
о о о о
а □
о
о □
о □
о
о □
МУЗЕЙ ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ НАУКИ
85
Андреев Н.Н., Калиниченко М.А.
Кадр 25.
Когда заряды перестанут двигаться, они окажутся в нулях многочлена Якоби Р4(3' 5).
Кадр 26-29.
В общем случае наблюдаемая зависимость тоже верна. Если на левом конце отрезка [-1, 1] находится заряд равный с[, а на правом - равный р, между ними находятся к единичных зарядов, то минимум потенциальной энергии такой системы будет достигаться, если «внутренние» заряды будут расположены в нулях многочлена Якоби Рк(2р-1, 2^-1).
Вот так некогда придуманная система ортогональных многочленов Якоби возникла при решении задачи из совершенно другой естественнонаучной области. А также проявляет свои свойства и во многих других задачах, как и любая «хорошая конструкция».
Кадр 30. Литература
1. Г. Сеге. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.
Кадр 31. Титры
Идея фильма: Николай Андреев. Спасибо: Александру Казакову. Мультипликация: Михаил Калиниченко.
© Наши авторы, 2007 Our authors, 2007
Андреев Николай Николаевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН,
Калиниченко Михаил Александрович, художник проекта.
