Комплексная частотная характеристика избирательного фильтра, реализуемого расстроенной тройкой колебательных звеньев Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.375.1 т. О. ПОЖАРСКИЙ

Омский

государственный университет

КОМПЛЕКСНАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИЗБИРАТЕЛЬНОГО ФИЛЬТРА, РЕАЛИЗУЕМОГО РАССТРОЕННОЙ ТРОЙКОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Получены точные аналитические выражения для параметров и комплексной частотной характеристики фильтра с расстроенной тройкой колебательных звеньев. Это необходимо для исследования динамических режимов работы радиоэлектронных устройств (РЭУ), в которых информативную нагрузку несет фаза радиосигнала. Получаемая частотная характеристика обладает повышенной степенью прямоугольности и симметрии.

В настоящее время существует ряд задач, для решения которых необходимо использование фильтров с высокой степенью прямоугольности амплитудно-частотной характеристики, обеспечивающих высокую избирательность. Частотная характеристика простого избирательного фильтра (ИФ) определяется отношением полиномов целых степеней у 0) , степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя. Для простого ИФ имеем в знаменателе полином 2-го порядка, в числителе — 1-го. Однако характеристика такого фильтра, как правило, не обеспечивает требуемой избирательности. Поэтому для получения желаемого результата необходимо применять фильтры с более сложной структурой. Различные варианты реализации таких фильтров рассмотрены в работе [ 1 ], в которой рекомендуется использовать несколько симметрично расстроенных каскадов (2, 3 и более избирательных звеньев). Однако в [1) большое внимание уделяется получению приближенного выражения для результирующей амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) получаемого фильтра, но фазочастотная характеристика (ФЧХ) не освещается должным образом. Следовательно, полученные ранее результаты нахождения частотной характеристики не могут быть рекомендованы для расчета избирательных трактов динамических систем, использующих фазовую структуру радиосигнала в качестве информативного параметра. Для получения правильных рекомендаций при построении современных фазовых измерительных систем необходимо найти комплексную частотную характеристику избирательного тракта, исключив применение упрощающих допущений [2, 3].

В данной работе получены точные выражения для параметров и комплексной частотной характеристики фильтра с симметрично расстроенной тройкой избирательных звеньев. Полученные результаты могут быть рекомендованы для исследования переходных процессов в избирательных фильтрах с точностью до фазы радиосигнала. Параметры звеньев фильтра определяются в зависимости от расстройки и добротности исходного ИФ. При этом АЧХ будет иметь сравнительно гладкую форму и высокую степень прямо-I утольности.

Степень прямоугольности АЧХ можно характеризовать, вводя коэффициент прямоугольности фильтра Ку [1):

К* ~ А),707 / Ау '

где Ау - ширина нормированной АЧХ по уровню у . При нормировке АЧХ ее значение на резонансной частоте равно 1. Обычно значение выбирается равным 0,2; 0,1; 0,01 и т.д.

Если за основу взять избирательный фильтр Ф2 с определенными параметрами, то для увеличения коэффициента прямоугольности АЧХ введем 2 дополнительных каскада с фильтрами Ф1 и ФЗ, резонансные частоты которых расположены симметрично от резонансной частоты ИФ Ф1. АЧХ такой системы ИФ будет иметь 3 максимума в окрестностях резонансных частот каскадов.

При исследовании переходных процессов в колебательных системах удобнее работать с обобщенными величинами частоты и времени [2, 4]. То есть от I переходим к а2( , от со - к ш/а2, где а2 - коэффициент затухания фильтра Ф2, равный половине полосы пропускания его. Таким образом, необходимо вычислить параметры двух дополнительных каскадов при данных параметрах добротности исходного ИФ 02 и расстройки резонансных частот фильтров Ф1 и ФЗ относительно резонансной частоты исходного колебательного звена Ф2 - Дсо/а2.

Учтем изменения параметров каскадов, вносимые усилителями, рассматривая эквивалентные фильтры.

Комплексное сопротивление ИФ каждого каскада можно записать в виде:

■7 / ■ . гх ]<° + 2а, 2<(= К> , • л „ ■ -7

(1)

где - резонансная частота фильтра /-го каскада, К; - размерный коэффициент пропорциональности. Тогда полное сопротивление фильтра будет равно

¿1(]«>) = П^г/ш;.

(2)

Нормированная АЧХ каждого фильтра запишется следующим образом:

А| —

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

Г\ 1

/ V г/ \ I

/ / \ \ 1 \

/ / ^ 1 \ ^: \ V \

„ — -1 /

ш

Ф

270 180

90 0 -90 "180 "270

N

- — . —

• ~ _

—- — — —-

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 а 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 а

Рис. 1. АЧХ и ФЧХ исходного фильтра Ф2 и полосового фильтра с симметрично расстроенной тройкой каскадов.

А(а>) =

ги<0)

с = - До

1 1

-+ —

Обозначим через у(т) относительную расстройку [1,2]

со

Следует отметить, что в [1] относительная расстройка также используется для расчетов, однако изначально предполагаются небольшие расстройки резонансных частот с целью упрощения получения конечных выражений.

Перепишем АЧХ фильтров, используя последнее равенство:

и воспользовавшись выражениями (3), (4) и (5) получим систему из трех уравнений с 3-мя неизвестными.

Решение системы приведет к биквадратному уравнению с неизвестным 0Л;

где

г20* + + г0 = 0 ,

1 + с'СЧ

1

2 , ¡=1,3-

(3)

Следует отметить, что соотношение (3) выполняется только при достаточно высоких добротностях О,. Однако такое допущение влияет лишь на погрешность расчета параметров ИФ Ф1 и Ф2, а комплексная частотная характеристика системы фильтров записывается поточным формулам.

Подчеркнем, что v1YcDj и О, отличаются для различных избирательных звеньев.

Амплитудно-частотная характеристика системы получается произведением АЧХ последовательно включенных каскадов

(4)

(5)

а = 2Дсо

—+ —

Ь = -Дш

1 1

— + -—

Ь2(а2+с2) сг(а2 -Ь2)

а*(\+с201) а (1 + Ь 02)'

+ --Г

„2 ь2 а -о

0 а2(1 + с20:¡) аг(\ + Ь20\) '

Только один из четырех корней этого уравнения является действительным и положительным

Оз =

- г, + -4г2г0 2 г.,

Вычислив Оп можно получить и О,, используя промежуточное соотношение, получаемое в ходе решения системы

Условие максимальной прямоугольности результирующей АЧХ означает, что значения АЧХ фильтра на всех трех резонансных частотах должн ы быть одинаковыми, т.е.

1 + а'О' \ + с202

-1

При подстановке (3) и (4) в двойное равенство]^) будут возникать множители вида где / = 1,3,

) = Гз • Поэтому вводя новые обозначения

у1(шр2) = -Ь, С = У,(а>р2), У2(Ю,„) = -С,

Теперь необходимо получить выражение для комплексной частотной характеристики, зависящей от безразмерной частоты со/а2. Для упрощения записи все величины, отнесенные к а.,, будем отмечать тильдой, т.е. ш/а2=ш.

Выражение (2) при переходе к безразмерным частотам преобразуется к виду

•7/-1 1 ГТь' ;<о + 2а, = — -ЦК, 1

Используя определение добротности ИФ, полу-

чим

- = 2-0 или а = а 20

В нашем случае а = а2, поэтому, задавая расстройку резонансных частот ИФ в виде Дш/а2, нетрудно

л - ог> - - А(0 о/-. Дш Ш„2=202, ©, = <О,--= 202--,

а9 а.

а со со а = ' = р' =

' а2 20,а2 20,

Конечная формула для результирующей комплексной характеристики системы фильтров примет вид

(5)

О'ш/+ Ушшр,/О, + шр

Выражение (5) позволяет легко находить нормированную АЧХ фильтра А^со] и фазочастотную характеристику Ф Ъ((Ь)\

Ф 1(<Ъ) = атд2га<й) ■

(6)

В качестве примера просчитаем параметры фильтра при 02 = 25, Дш/а = 2 • В результате вычислений получим О, =51,6, О] = 49,4, а построенные по этим параметрам частотные характерис тики фильтра изображены на рис. 1.

Из рис. 1 видно, полоса пропускания построенного фильтра почти в полтора раза шире, чем у исходного, при этом коэффициент прямоугольное™ К0,2 для расстроенной тройки избирательных звеньев составляет 0,8, а для простого ИФ - порядка 0,2.

Для получения более широкой полосы пропускания можно уменьшить добротность исходного ИФ либо увеличить степень расстройки каскадов. Первый способ повлечет за собой уменьшение коэффициента прямоугольное™, а второй — к уменьшению значений АЧХ в точках минимума по сравнению с максимумами, следовательно, полученная характеристика будет менее гладкая. Но при выборе параметров необходимо учитывать то, что значение АЧХ в минимумах не должно быть ниже уровня, по которому измеряется полоса пропускания.

Полученная фазочастотная характеристика обладает высокой степенью симметрии и относительно гладкой формой. Полоса частот, где ФЧХ ведет себя практически линейно, заметно шире по сравнению с простым ИФ.

Следует отметить, что симметрия АЧХ и ФЧХ хорошо прослеживается только при достаточно больших значениях добротное™ 02 ■ Для низких значений добротности симметрия обеих частотных характе-

ристик утрачивается и приводит к заметному нарушению симметрии спектра проходящего сигнала, что, в свою очередь, вызывает увеличение влияния переходных процессов на форму выходного радиосигнала.

Как показано в работах [2, 3, 5, 6], нечетная составляющая АЧХ и четная составляющая ФЧХ приводят к появлению динамической погрешности фазы сигнала.

Как видно из рис, 1, применяемый метод позволяет рассчитывать полосовые фильтры с симметрично расстроенной тройкой ИФ с достаточно высокой степенью симметрии АЧХ и ФЧХ. Это позволяет минимизировать динамическую ошибку фазы радиосигнала на выходе избирательного тракта РЭУ.

Требования к быстродействию современных радиоэлектронных устройств обусловили высокую динамику их работы. В таком режиме работы системы при прохождении через ИФ фаза радиосигнала может быть легко разрушена переходным процессом. Поэтому при рассмотрении динамики поведения фазы радиосигнала нужно использовать точные выражения для комплексной частотной характеристики избирательной системы. Следовательно, результаты, полученные в данной работе, обеспечивают возможность исследования переходных процессов в избирательных трактах с повышенной прямоугольностью АЧХ фазовых РЭУ.

Библиографический список

1. Волин М Л. Усилители промежуточной частоты. М., «Советское радио», 1956. — 232 с.

2. Золотарев И.Д. Нестационарные процессы в резонансных усилителях фаэово-импульсных измерительных систем. Новосибирск, «Наука», 1969. - 176 с.

3. Золотарев И.Д. Переходные процессы в избирательных уси -лителяхнатранэисторах.М.: Связь, 1976. - 160с,

4. Евтянов С.И. Переходные процессы в приемно-усилитель-ных схемах. Свяэьиздат, 1948. — 210 с.

5. Золотарев И.Д. К определению установления фазы при воздействии импульсных сигналов на линейные цепи фазометри-ческих устройств. - Автоматический контроль и методы электрических измерений (Тр.Уконф.). - Новосибирск. - Изд-воСО АН СССР. - 1964.

6. Золотарев И.Д., Миллер Я.Э. Метод ортогональных составляющих в теории сигналов и систем, реализуемый в пространстве изображений. - Веб.: «Радиолокация, навигация, связь» (Тр.IX Межд. научно-технической конф.). - Воронеж. - Изд. НПФ «САКВОЕЕ»ООО. - 2003.-т.1. - с.217-223.

ПОЖАРСКИЙ Тимур Олегович, аспирант кафедры экспериментальной физики и радиофизики.