Комбинированный метод поиска глобального оптимума для некоторых типов нелинейных задач планирования горного производства Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.М. Валуев

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОИСКА ГЛОБАЛЬНОГО ОПТИМУМА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ПЛАНИРОВАНИЯ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Оптимизационные задачи планирования горного производства отличаются от большинства других по своей математической форме прежде всего в силу свойств входящих в них зависимостей мощности и качества полезного ископаемого от положения забоев. Эти зависимости в общем случае нелинейны, не монотонны, многоэкстремальны. В задачах управления для других предметных областей используются зависимости если и нелинейные, то монотонные или унимодальные. Об этом свидетельствует, например, работа [1], в которой собраны примеры самых разных задач оптимального управления движущимися объектами, электромеханическими устройствами и даже физико-химическими процессами, но для всех этих задач аналитические свойства соответствуют данной выше характеристике. Поэтому все традиционные численные методы нелинейного программирования, общие или специализированные, гарантирующие, как известно, лишь получение локального экстремума для задач, не являющихся задачами выпуклого программирования [2], не могут обеспечить получения глобального оптимума для рассматриваемого типа задач. Вместе с тем из окрестности глобального оптимума итерационные последовательности различных методов оптимизации сходятся к нему. Настоящая работа посвящена новому подходу к поиску глобального оптимума для довольно широкого класса задач оптимального планирования горного производства.

Основная идея работы состоит в следующем. Количество технологических сортов полезного ископаемого М/ (/ - номер сорта) и объемы полезных и вредных компонентов М]С (с - номер компонента) в выходном потоке нелинейно зависит от объемов добычи Qi в отдельных забоях (секторах), но линейно - от объемов (масс) соответствующих сортов М/ и компонентов М/С в забоях (секто-

рах); здесь i - номер забоя (сектора). Последние можно приближенно представить в виде кусочно-линейных зависимостей от объема добычи в соответствующем забое (секторе) с начала планового периода [3, с. 55]. Заметим, что на основе геологической информации зачастую вообще невозможно дать представление этих зависимостей более точное, чем кусочно-линейное. Ограничения на количество и качество выпуска сортов полезного ископаемого линейны относительно М/, МуС, все остальные взаимосвязи задач оптимального планирования (при ряде форм критерия оптимальности) линейны относительно Qi. Кусочно-линейная форма зависимостей М/-^г), М/-С^г) означает, что для этапа планового периода, в течение которого все эти зависимости сохраняют линейную форму, все соотношения линейны и относительно Qi. Временные границы таких этапов непостоянны и определяются условиями

Qг(0 = йп, (1)

где Qil - значение объема добычи из i-го забоя, при котором 1-й линейный участок для него сменяется (1+1)-м. Общая модель производственного процесса в классе гибридных систем [4] наряду с другими переключениями, означающими окончания и начала отдельных работ, допускает и переключения типа (1) [5]. Модель с дополнительными переключениями (1) есть просто детализированная относительно зависимостей М/-^^, МгjС(Qг) исходная модель задачи планирования. Таким образом, мы получаем задачу динамического линейного программирования (ДЛП) при заданном сценарии процесса, т.е. последовательности переключений между линейными участками зависимостей (и иных переключений). Метод решения задачи оптимизации линейной гибридной системы принципиально тот же, что и для частного случая такой задачи — линейной модели оптимального распределения ресурсов при выполнении комплекса работ [6]. Он состоит в чередовании итераций декомпозиционного метода для линейной динамической задачи оптимизации при фиксированном сценарии и проверки условий оптимальности сценария, также сводящейся к линейным преобразованиям и решению задач линейного программирования. Вычислительный опыт и аналитические соображения показывают, что нет необходимости строить дерево решений и что любая линейная последовательность улучшающихся сценариев ведет к глобальному оптимуму.

Если при изначально заданном количестве линейных участков зависимостей Мг^), Мj-c(Qi) вычислительных ресурсов достаточно для решения задачи оптимального планирования - оптимизации переключаемого процесса, - полученное решение не требует никакого дальнейшего улучшения. Возможны еще два случая: 1) зависимости М/^), М/С^г) заданы в иной форме и 2) М^), описываются

кусочно-линейными зависимостями, но количество линейных участков чрезмерно велико. В обоих случаях зависимости Мj'(Qi), Мj'С(Qг) приближаются более простыми - кусочно-линейными зависимостями с небольшим количеством линейных участков. В этом случае полученное решение аппроксимирующей задачи служит приближением к решению исходной задачи, с которого начинается его локальная оптимизация. Окончательно получаемое решение в большинстве случаев будет глобально оптимальным решением исходной задачи.

Рассмотрим предлагаемый подход более подробно на примере открытой добычи одного или нескольких совместно залегающих и селективно извлекаемых сортов угля, усредняемых в потоке (без складирования) каждого сорта. Заметим, что текущее планирование в производственной системе со складами, объемы которых существенно меньше объемов добычи за этап, также соответствуют описываемой модели. Будем считать расписание плановых остановок (на ТО и ППР) и перегонов экскаваторов заранее заданным (в других вариантах постановки задачи моменты этих событий считаются переменными величинами).

Сначала определим исходные данные задачи. Каждый (г-й) блок разбивается на Ьг расчетных подблоков, которые считаются однородными. Для 1-го подблока --го блока известны: общий объем Qi(l), доля /-го сорта угля в объеме подблока Зг/(Г) и его плотность Д/(1); массовая доля каждого (с-го) компонента в угле /-го сорта К]с(1). Введем величины тц(1) = 8](Г)П](Г), т^Г) = ш^Щ/^Г), с помощью которых определим массы сортов угля и их компонентов в первых 1-го подблоках по формулам:

Мг/(0) = 0, М//с(0) = 0, с = 1,..., С;

М//(1) = Мг/(1-1) + щШг{1), М//с(1) = М//с(1-1) + Ш/сУШ),

С = 1,.,С/, I = 1,.,и

Плановый период разделяется на Я подпериодов, г-й подпериод заканчивается через время Тг с начала периода. Экскаватор, работаю-

щий в г-м блоке, переключается с основной работы на вспомогательные или наоборот в моменты времени Тг(Ь), Ь = 1,., Вг. Задана максимальная производительность по отгрузке г-го экскаватора дтахг. Заданы минимальный Мтт/ и максимальный Мтах/ объемы выпуска (отгрузки) угля каждого сорта за каждый подпериод, минимальное атт/С и максимальное атах/С содержание каждого компонента в отгруженном за подпериод угле каждого сорта. Заданы значения минимального Qmm г, максимального Qmax г и желательного QTi объема извлечения горной массы в г-м блоке за плановый период. Задана продолжительность транспортного цикла для г-го блока ТТ^_ г, вместимость транспортной единицы QTR и их общее количество

Процесс разбивается моментами переключений (отработки подблока, переключения экскаватора с основной работы на вспомогательные или наоборот, или окончания подпериода) на заранее неизвестное количество этапов N. Сценарий процесса есть последовательность переключений s(k), к = 1,., N. Переменными управления на этапе служат объемы добычи и^(к); также к ним формально причисляется продолжительность этапа ((к). Переменные состояния с непрерывными значениями — объемы извлеченной горной массы с начала периода х^(к), массы отдельных сортов хМ/(к) и их компонентов хМ/С(к), отгруженных с начала текущего календарного этапа, а также момент окончания этапа Т(к). Значения этих величин определяются для моментов начала и окончания каждого этапа (верхние индексы 0 и 1 соответственно). Переменные состояния с дискретными значениями - характер работы каждого экскаватора ^ш(к) (1 - основная работа, 2 - прочие виды работ) и номер такого переключения ёвг(>к); номер текущего подблока ^и(к); номер текущего подпериода г(к). Совокупность переменных управления, количественного и качественного состояния объединяются соответственно в вектора и(к), х°(к) и х1(к), ^к).

Динамика производственной системы в течение к-го этапа описывается разностными уравнениями

П

Ха, (к) = х°а(к) + иа1 (к),/ = 1,п; ХМ] (к) = х°М] (к) + £ т^ (<Зи (к))иа1 (к),

/=1

П

Хщс (к) = х0т (к) +£ тт (Чи (к и (к),с = 1,..., С1, ] = 1,..., и; (2)

/ =1

Т(к) = Т(к - 1) + ((к). (3)

Ограничения по производительности для каждого этапа Цтахг((к)>и^г{к)>0, если <Зш(к) = 1, иначе и^к) = 0; (4)

n

£7™(UQ.(fc)/ QTB) < NTBf(fc) (5)

i=1

При переключениях большинство переменных состояния не изменяет значения, т.е. x°(к + 1) = х] (к), di(k+1) = di(k). Изменения отдельных компонент и дополнительные ограничения при определенных переключениях описываются ниже. Условие (1) достижения границы подблока (s(k) = n+i) и сопутствующие изменения выражаются соотношениями

xQi (к) = Q: (dLi (к)), dLi (к +1) = dLi (к) +1; (6)

переключение с одной работы на другую (s(k)=i)— соответственно T(k) = Ti(dBi(k)), dBi(k + 1) = dBi(k) + 1, dm(k + 1) = 3 - dm(k).

(7)

Наконец, условия окончание подпериода (s(k)=0) и соответствующие изменения и ограничения таковы:

T(k) = Tr(k), r(k + 1) = r(k) + 1, (8)

xM (к + 1) = 0, Xj (к + 1) = О, c = 1 C1, Mmin j < xMj (k) < Mmax ,, j = 1 , J ; (9)

amin jxMj (k) < xMjc (k) < amax jxMj (fc) C = 1, ■, Cj, j = 1, ■, J■ (10)

Общее дополнительное условие состоит в отсутствии переключений внутри каждого этапа, выражающееся ограничениями T(k)<Tr(k), если s(k) Ф 0; T(k)<Ti(dBi(k)), если s(k) Ф i, (11)

x1(к) < Q; (dL, (к)), если s(k^n+i. (12)

Наконец, условие окончания процесса и связанные с ним ограничения суть

r(N+1) = R, Qmin , < xQ, (N ) < Qmax ,. (13)

Любая задача оптимизации процесса (2)-(13) с целевым функционалом, линейно зависящим от управления, будет при фиксации сценария задачей ДЛП. В качестве примера можем рассмотреть задачу минимизации максимального (по блокам) отклонения от желательных объемов извлечения горной массы за плановый период. После определения дополнительного управления u0(N) она приводится к виду:

Uo(N) ^ min, - Uo(N)< xQ,(N)- Qt,< Uo(N). (14)

Метод решения задач типа (2)-(14) обобщает метод решения линейных задач распределения ресурсов при выполнении комплекса работ, принципиально предложенный в работе ав- тора [6] (раз-

вернутая формулировка метода в 2008 г. публикуется в одноименной статье в журнале Mathematical Modelling and Analysis). Локальная оптимизация решения, полученного на линейной модели типа (2)-(14), для случая нелинейных зависимостей Mij(Qi), MijC(Qi) в исходной формулировке задачи может быть выполнена методом, описанным в работе [7].

---------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грачев Н.И., Фильков А.Н. Решение задач оптимального управления в системе ДИСО. - М.: ВЦ АН СССР, 1986. - 68 с.

2. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука, 1975. - 320 с.

3. Табакман И.Б. Принципы построения АСУ на карьерах. - Ташкент: Фан, 1977. - 140 с.

4. Branicky M.S, Borkar V.S., Mitter S.K. A unified framework for hybrid control: model and optimal control theory. // IEEE Trans. Autom. Control. - 1998 - Vol. 43. - No. 1 - P. 31-45.

5. Валуев А.М. К унификации моделей внутригодового планирования открытой угледобычи с учетом организационного фактора // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2004. - №9. - С. 37-44.

6. Valuev A.M. On Calculation of Linear Resource Planning Models for Optimal Project Scheduling. // 12-th International Conference “Mathematical Modelling and Analysis”. May 30-June 2, 2007, Trakai, Lithuania. Abstracts. - P. 105.

7. Valuev A.M. A new model of resource planning for optimal project scheduling // Mathematical Modelling and Analysis. - 2007. -Vol. 12. - No. 2. - P. 255-266.

И'ГЛ

— Коротко об авторе ---------------------------------------

Валуев A.M. - Московский государственный горный университет.

Д___________

------------ © А.М. Валуев, 2008