Комбинированное приближение функций двух переменных полиномами и таблицей Паде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Корнеев П.К., Смыкова Н.В., Непретимова Е.В.

Комбинированное приближение функций двух переменных полиномами...

КОМБИНИРОВАННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПОЛИНОМАМИ И ТАБЛИЦЕЙ ПАДЕ

П.К. Корнеев, Н.В. Смыкова, Е.В. Непретимова

COMBINED APPROXIMATION OF TWO-VARIABLE FUNCTION BY , POLYNOMINALS AND TABLE OF PADE Korneev P.K., Smykova N.V., Nepretimova E.V.

For the approximation of the two-variable functions polyniminals and rational fractions (polynominal correlations) are used in the article. Approximations presenting combinations of the Taylor polynominal and the Pade table approximation and relevant remainders are received.

В статье для приближения функций двух переменных используются многочлены и рациональные функции (отношения полиномов). Получены аппроксиманты, представляющие собой комбинации тейлоровских многочленов и аппроксимант таблицы Паде, и соответствующие остаточные члены.

Ключевые слова: аппроксимация, таблица Паде, полином, рациональные приближения.

УДК 519.561

Для приближения функций чаще всего используются многочлены. Но многочленные приближения неприменимы вблизи точек, в которых функция обращается в бесконечность или имеет нерегулярный характер поведения. В этом случае большей точности приближения можно достигнуть, используя рациональную аппроксимацию.

Одним из источников получения рациональных приближений является метод Паде [1, 2]. Сущность этого метода в следующем . Для степенного ряда а0 + а1 х + а2х2 +... + апхп +..., а0 Ф 0 (1)

строится последовательность дробно-

рациональных функций

И(к=1А-1=°А2--)- (2)

где Рк (х) и &1 (х) - многочлены степеней к и I соответственно и Ql (х) Ф 0, каждый член последовательности дробно-

Г р (х )1

рациональных функций < к > (2) обла-

I &(х Л

дает следующим свойством: его разложение в степенной ряд

Рк (х) к + 1 * к +1+1

&( ) = а0 + а1х +... + ак+1х + ак+1+1х +...

&(х)

совпадает с данным рядом до члена

к+1 *

ак+1х , но ак+1+1 Ф ак+1+1 .

Многочлены Рк (х) и Я (х) нахо-

дятся по формулам:

к к-1 к-1

Еа>х' Еа>х'+1 ... Е ах'+1

і=0 /=0 і=0

р (х )= ак+1 ак ... ак-1+1 ,(3)

ак+1 ак+1 -1 ... ак

1 х ... х1

<2і(х )= ак+1 ак ... ак-1 +1 (4)

ак+1 ак+1 -1 ... ак

Остаточный член аппроксимаций Паде: / (х )= Р (Х) + ЯР (х)

б/(х)

имеет следующее выражение:

^+1^) Я(х)

Яр(х ) =

хк+1+1, (5)

■ к '

і\*/, когда в частном получен член с

,к+і+1

(к +1 +1) ! (х)

где Я(х)• хк+1+1 - остаток от формального деления многочлена Рк (х) на многочлен

<2і(х) х'

Рациональная функция

Ркі (х )= Ти) (6)

Т(х)

называется аппроксимантой Паде ряда (1). Двумерный массив функций

(7)

называется таблицей Паде для ряда (1).

Так как трудность решаемых задач сильно возрастает с ростом их размерности, то предлагается следующий подход к приближению функций двух переменных, который не сложнее подхода к приближению функций одного переменного.

1. Пусть функция / (х1, х2) задана на открытом множестве й с Я2 и имеет на й

О ар' Р.,1 Р0,

Р,0 Р,1 Ри

о Ри Р2,

непрерывные частные производные достаточно высокого порядка.

Фиксируем точку х^ = (х1(0), х20)) и пусть 6 > 0 есть достаточно малое число, чтобы все точки X = (х15 Х2) из ее окрестности

|х(0 >- х|

: д/(х|°^ - х1 )2 + (х20^ - х2 )2 < 5

принадлежали й.

Пусть функция / (х1, х2) определена и достаточное число раз непрерывно диффе-

(0)

ренцируема в окрестности точки х .

Требуется, используя значения функции /(х15 х2) и ее производных до не-

(0)

которого порядка в точке х представить / (х1, х2) в виде суммы некоторой аппрок-симанты и остаточного члена, который становится очень малым, когда точка х = (х15 х2) приближается к точке

х'»'=(х(0), х20)):

/ (х1, х2) = А (х1, х2) + Я( х1, х2).

Для решения сформулированной задачи поступим следующим образом.

Зафиксируем Х2 и функцию / (х1, х2) представим тейлоровским многочленом по переменной х1:

/(^ х2) = /(х1(0’, х2 ) +

(8)

+

Е )(х1(°\ х2 )х1 - х1(°)) І !+Я '

І =1

Ясно, что функции

/(1 )(х1(0^ х2 )

( = 0,1,..., п; /()(х1(0), х2)= /(х1(0),х2)) являются функциями только одного пере-

(9)

менного х-,

Далее каждую из функций (9) переменного х2 представляем аппроксимантой Паде (6):

/11 )(х-10)

$')(х2 - х20)) 0

)= Рк3 )(х2 - х20)) + Я(3) ^ І2 - х20)) + Я ’

(10)

І = 0,1, 2,...,п.

Корнеев П.К., Смыкова Н.В., Непретимова Е.В. Комбинированное приближение функций двух переменных полиномами...

Подставив разложение (10) в формулу (8), будем иметь представление функции /(х1, х2) в виде суммы аппроксиманты и остаточного члена:

точки

f(xx )=v {xl—xl(0))J p(){x2—x20))

^ J q\j){x2

J =0

J,

20)) + Яр ■ (11)

Очевидно, что первое слагаемое правой части последнего представления является рациональной функцией двух переменных.

2. Определим теперь остаточный член Яр представления (11). Отметим, что

числители Р( 1 ^(х2 — х20)) и

й1 )(х2 — х20)) ко одного переменного х2 , порядки которых к и I соответственно.

Разложение (11) запишем в развернутом виде:

рЛ(х, — х20)) ./ — х(о)) РкЯ(х2 ) +

е)"'(Х2 — х?>) + (х'— х‘ 1 0«(х2 ) +

знаменатели являются многочленами толь-

f {XІ, X2 ) =

j (0)\2 Pk2\x2) I (0)У Pk"XX2)

+ (x.-x.(0)) • kh)) 2! +... + (x-x.(0)l • к Л 2! 11 1 ' Q(2,(x2) 11 1 ' Q(n)(x2)

+ RP.

(12)

Если в выражении, стоящем в квадратных скобках правой части (12), найти сумму всех слагаемых, то оно представится в виде отношения многочленов ^(xj, x2) и q(x2), порядки которых n(l +1)+ к и (n +1)-1 соответственно. Таким образом, функция f (x1, x2) равна сумме отношения полиномов и остаточного члена:

f ( ) Pn(l+1)+к (x1, x2 )

f x x2 )= is

+ RP.

(із)

%+1}1 (х2 )

Последнее равенство умножим на многочлен #(и+1).г (х2). Тогда

/(х1, х2 )- 9(п+1>/(х2 ) =

= Рп{1+1)+к (х1, х2 ) + %+1}1 (х2 ) • Яр ■

Видим, что последнее представление есть тейлоровское разложение функции

(І4)

f (x1, x2 )- q(n+1). l (x2 ) в окрестности x) с остаточным членом q(n+^ .l (x2)- R]

т. е.

(І5)

%+l)l {x2 У Rp = {n{l + i) + k + 1),X

X dn(l+1)+k+1 (f ( )• q(n+i)l (X)),

точка X = (X., X2) принадлежит 8 - окрест-

2 ,(0)

ности точки x . Из соотношения (15) определяем остаточный член представления (13):

dn(l *1),k (f (X )• q(n„) , (X))

R

(1б)

(п(1 + 1)+(к + 1))!^(п+1), (х2 )'

Результаты проведенных вычислений подтверждают целесообразность предлагаемой аппроксимации функций двух переменных.

Пример 1. Найдем приближенные значения функции /(х, у) = ех+у, используя полиномиальное приближение

6 х 6 у*

/ 1( *. у) -х ^ х |

*=0 *=0 /!

и комбинированное приближение

6 х А3 (у)

f 2(x, y) »У— , ,

J У,У} 1=0 i, Вз (y)

где

Аз{y)

Вз {y)

Аз {у )=120+б0 y+12 y2+y

Вз {У ) = 120 — б0 У +12 У2 — У

аппроксиманта Паде и

на следующей сетке

0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 . 6 0. 7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Результаты вычислений приведенні в трех таблицах:

в таблице 1.1 - точные значения функции; в таблице 1.2 - приближенные значения функции, полученные при помощи полиномиального приближения;

в таблице 1.3 - приближенные значения функции, полученные при помощи комбинированного приближения.

Анализ полученных результатов показывает некоторое преимущество комбинированной аппроксимации.

Таблица 1.1

0 0 0.1 0 2 3 0 0. 4 5 0 6 0 0.7 0 8 9 0 1. 0

о о 1.00000 1.10517 1. 22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2. 22554 2.45960 2.71828

0.1 1.10517 1. 22140 1. 34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417

сч 0 1.22140 1. 34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2. 71828 3.00417 3.32012

0 3 1.34986 1.49182 1. 64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2. 71828 3. 00417 3.32012 3.66930

0.4 1.49182 1. 64872 1. 82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3. 00417 3. 32012 3.66930 4.05520

0 5 1 . 64872 1. 82212 2. 01375 2.22554 2.45960 2 .71828 3.00417 3. 32012 3. 66930 4.05520 4.48169

0.6 1.82212 2. 01375 2. 22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3. 66930 4. 05520 4.48169 4.95303

0.7 2.01375 2. 22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3 .66930 4. 05520 4.48169 4.95303 5.47395

0 8 2.22554 2.45960 2. 71828 3.00417 3.32012 3.66930 4 .05520 4.48169 4. 95303 5.47395 6.04965

Ої 0 2.45960 2. 71828 3. 00417 3.32012 3.66930 4.05520 4 .48169 4. 95303 5.47395 6.04965 6.68589

1.0 2.71828 3. 00417 3. 32012 3.66930 4.05520 4.48169 4 . 95303 5.47395 6. 04965 6.68589 7.38906

Таблица 1.2

0 0 0.1 0 2 3 0 0. 4 5 0 6 0 0.7 0 8 9 0 1. 0

0 0 1.00000 1.10517 1. 22140 1.34985 1.49182 1.64872 1.82211 2.01373 2. 22549 2.45949 2.71805

0.1 1.10517 1. 22140 1. 34985 1.49182 1.64872 1.82211 2.01374 2.22552 2.45955 2.71816 3.00391

0 2 1.22140 1. 34985 1.49182 1.64872 1.82211 2.01375 2.22553 2.45958 2. 71822 3.00403 3.31984

0 3 1.34985 1.49182 1. 64872 1.82211 2.01375 2.22553 2.45959 2. 71825 3. 00410 3.31997 3.66899

0.4 1.49182 1. 64872 1. 82211 2.01375 2.22554 2.45960 2.71827 3. 00413 3. 32004 3.66913 4.05486

0 5 1 . 64872 1. 82211 2. 01375 2.22553 2.45960 2 .71827 3.00415 3.32008 3. 66921 4.05502 4.48131

0.6 1.82211 2. 01374 2. 22553 2.45959 2.71827 3.00415 3.32009 3. 66925 4. 05510 4.48148 4.95260

0.7 2.01373 2. 22552 2.45958 2.71825 3.00413 3.32008 3 .66925 4. 05512 4.48155 4.95277 5.47344

0 8 2.22549 2.45955 2. 71822 3.00410 3.32004 3.66921 4 .05510 4.48155 4. 95282 5.47359 6.04901

0.9 2.45949 2. 71816 3. 00403 3.31997 3.66913 4.05502 4 .48148 4. 95277 5.47359 6.04912 6.68504

1.0 2.71805 3. 00391 3. 31984 3.66899 4.05486 4.48131 4 . 95260 5.47344 6.04901 6.68504 7.38782

Таблица 1.3

0 0 0.1 0 2 3 0 0. 4 5 0 6 0 0.7 0 8 9 0 1. 0

0 0 1.00000 1.10517 1. 22140 1.34985 1.49182 1.64872 1.82211 2.01375 2. 22554 2.45961 2.71831

0.1 1.10517 1. 22140 1. 34985 1.49182 1.64872 1.82211 2.01375 2.22554 2.45960 2.71829 3.00419

0 2 1.22140 1. 34985 1.49182 1.64872 1.82211 2.01375 2.22554 2.45960 2. 71828 3.00418 3.32015

0 3 1.34985 1.49182 1. 64872 1.82211 2.01375 2.22554 2.45960 2. 71828 3. 00417 3.32013 3.66933

0.4 1.49182 1. 64872 1. 82211 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3. 00416 3. 32012 3.66931 4.05524

0 5 1 . 64872 1. 82211 2. 01375 2.22553 2.45960 2 .71827 3.00416 3. 32011 3. 66930 4.05521 4.48173

0.6 1.82211 2. 01374 2. 22553 2.45959 2.71827 3.00415 3.32010 3. 66928 4. 05519 4.48169 4.95306

0.7 2.01373 2. 22552 2.45958 2.71825 3.00413 3.32008 3 .66926 4. 05516 4.48165 4.95301 5.47395

0 8 2.22549 2.45955 2. 71822 3.00410 3.32004 3.66922 4 .05511 4.48160 4. 95294 5.47386 6.04958

0.9 2.45949 2. 71816 3. 00403 3.31997 3.66913 4.05502 4 .48149 4. 95282 5.47372 6.04941 6.68567

1.0 2.71805 3. 00391 3. 31984 3.66899 4.05486 4.48131 4 . 95262 5.47349 6. 04915 6.68537 7.38851

Пример 2. Найдем приближенные значения функции

/ (х, у) = 1п [(1 + X )(1 + у )], используя полиномиальное приближение

8 X 8 у

) 1(х, у) = £(-Г - +Х(-Г -„1 ' „1 '

и комбинированное приближение

/2(X.у)-І (-1)'“ ^ + АМ,

М ' В4 (У)

А. (у)

где —7—г - аппроксиманта Паде и

В (У)

А. (у) = 20 у (у + 2)[5(у +1)2 + 32(у +1)+5],

Корнеев П.К., Смыкова Н.В., Непретимова Е.В. Комбинированное приближение функций двух переменных полиномами...

Результаты вычислений приведены в трех таблицах:

в таблице 2.1 - точные значения функции; в таблице 2.2 - приближенные значения функции, полученные при помощи полиномиального приближения; в таблице 2.3 - приближенные значения функции, полученные при помощи комбинированного приближения.

Таблица 2.1

0 0 0.1 0 2 3 0 0. 4 5 0 6 0 0.7 0 8 9 0 1. 0

0 0 0 00000 0.09531 0 18232 0 26236 0.33647 0 40546 0.47000 0. 53062 0. 58778 0.64185 0.69314

0 1 0 09531 0.19062 0 27763 0 35767 0.43178 0 50077 0.56531 0. 62593 0. 68309 0.73716 0.78845

0 2 0 18232 0.27763 0 36464 0 44468 0.51879 0 58778 0 . 65232 0. 71295 0. 77010 0.82417 0.87546

0 3 0 26236 0.35767 0 44468 0 52472 0.59883 0 66782 0.73236 0.79299 0. 85015 0.90421 0.95551

0 4 0 33647 0.43178 0 51879 0 59883 0.67294 0 74193 0.80647 0.86710 0. 92425 0.97832 1.02961

0 5 0 40546 0.50077 0 58778 0 66782 0.74193 0 81093 0.87546 0. 93609 0. 99325 1.04731 1.09861

0 6 0 47000 0.56531 0 65232 0 73236 0.80647 0 87546 0 . 94000 1. 00063 1. 05779 1.11185 1.16315

0 7 0 53062 0.62593 0 71295 0 79299 0.86710 0 93609 1.00063 1. 06125 1.11841 1.17248 1.22377

0 8 0 58778 0.68309 0 77010 0 85015 0.92425 0 99325 1.05779 1.11841 1.17557 1.22964 1.28093

0 9 0 64185 0. 73716 0 82417 0 90421 0.97832 1 04731 1.11185 1.17248 1. 22964 1.28370 1.33500

1 0 0 69314 0. 78845 0 87546 0 95551 1.02961 1 09861 1.16315 1. 22377 1. 28093 1.33500 1.38629

Таблица 2.2

0 0 0.1 0 2 3 0 0. 4 5 0 6 0 0.7 0 8 9 0 1. 0

0 0 0.00000 0.09531 0.18232 0.26236 0.33645 0.40531 0.46927 0. 52787 0. 57910 0.61801 0.63452

0.1 0.09531 0.19062 0. 27763 0.35767 0.43176 0.50062 0.56458 0. 62318 0. 67441 0.71332 0.72983

0 2 0.18232 0.27763 0.36464 0.44468 0.51877 0.58763 0 . 65159 0. 71019 0.76142 0.80034 0.81684

0 3 0.26236 0.35767 0.44468 0.52472 0.59881 0.66767 0.73163 0.79023 0. 84146 0.88038 0.89688

0.4 0.33645 0.43176 0.51877 0.59881 0.67290 0.74176 0.80572 0.86432 0. 91555 0.95447 0.97097

0 5 0.40531 0.50062 0.58763 0.66767 0.74176 0.81063 0.87459 0. 93318 0. 98441 1.02333 1.03983

0.6 0.46927 0.56458 0.65159 0.73163 0.80572 0.87459 0 . 93855 0. 99714 1. 04837 1.08729 1.10379

0.7 0.52787 0.62318 0. 71019 0.79023 0.86432 0.93318 0 .99714 1. 05574 1.10697 1.14589 1.16239

0 8 0.57910 0.67441 0.76142 0.84146 0.91555 0.98441 1.04837 1.10697 1.15820 1.19711 1.21362

0.9 0 . 61801 0.71332 0. 80034 0.88038 0.95447 1.02333 1.08729 1.14589 1.19711 1.23603 1.25254

1.0 0 . 63452 0. 72983 0. 81684 0.89688 0.97097 1.03983 1.10379 1.16239 1. 21362 1.25254 1.26904

Таблица 2.3

0 0 0.1 0 2 3 0 0. 4 5 0 6 0 0.7 0 8 9 0 1. 0

0 0 0.00000 0.09531 0 18232 0 26236 0 33647 0 40546 0.47000 0. 53062 0. 58778 0.64185 0.69314

0 1 0.09531 0.19062 0 27763 0 35767 0 43178 0 50077 0.56531 0. 62593 0. 68309 0.73716 0.78845

0 2 0.18232 0.27763 0 36464 0 44468 0 51879 0 58778 0 . 65232 0. 71295 0. 77010 0.82417 0.87546

0 3 0.26236 0.35767 0 44468 0 52472 0 59883 0 66782 0.73236 0.79299 0. 85014 0.90421 0.95550

0 4 0.33645 0.43176 0 51877 0 59881 0 67292 0 74191 0.80645 0.86707 0. 92423 0.97830 1.02959

0 5 0.40531 0.50062 0 58763 0 66768 0 74178 0 81078 0.87531 0. 93594 0. 99310 1.04716 1.09846

0 6 0.46927 0.56458 0 65159 0 73164 0 80574 0 87474 0 . 93927 0.99990 1.05706 1.11112 1.16242

0 7 0.52787 0.62318 0 71019 0 79023 0 86434 0 93333 0 .99787 1. 05850 1.11566 1.16972 1.22101

0 8 0.57910 0.67441 0 76142 0 84146 0 91557 0 98456 1.04910 1.10972 1.16688 1.22095 1.27224

0 9 0 . 61801 0.71332 0 80034 0 88038 0 95449 1 02348 1.08802 1.14864 1. 20580 1.25987 1.31116

1 0 0 . 63452 0. 72983 0 81684 0 89688 0 97099 1 03998 1.10452 1.16515 1. 22231 1.27637 1.32767

Б, (у) = 24(( у +1)4 +1 б( у +1)3 + 3б( у +1)2 + + 1б( у +1)) +1,

на следующей сетке

0.0 0.1 0.2 0. 3 0.4 0.5 0. 6 0. 7 0.8 0.9 1.0

0 0

0.1

0 2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 8

0.9

1.0

Анализ полученных результатов показывает преимущество комбинированной аппроксимации.

В заключение сделаем следующие замечания:

- функцию / (Х15 Х2) в окрестности

(0)

точки Х можно сначала аппроксимировать тейлоровским многочленом по переменной Х2, а потом построить аппрокси-манты Паде для функций

/!: )(х1, х20))

( = 0,1,.... п 1 (х1 , Х201) = /(х1 ,Х20)))

по переменной Х1 ;

- функцию / (Х1, Х2) в окрестности

(0)

точки Х можно сначала по какой-нибудь переменной представить аппроксимантой Паде, а потом по другой переменной - полином Тейлора; при таком подходе все расчеты сильно усложняются;

- функцию /(Х1, Х2) в окрестности

точки Х(0) можно по обеим переменным приближать аппроксимантами Паде - в этом

случае расчеты еще более усложняются, чем в предыдущем случае.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 502 с.

2. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 414 с.

Об авторах

Корнеев Петр Кириллович, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета.

1еаеЬег@.рш. stavsu.ru

Смыкова Наталья Владимировна, учитель математики Центра творческого развития и гуманитарного образования для одаренных детей «Поиск».

[email protected]. stavsu.ru

Непретимова Елена Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета. [email protected]. stavsu.ru