CC BY
42
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ EXP(X) В ВЕТВЯЩИЕСЯ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
П. К. Корнеев, И. А. Журавлёва, Е. В. Непретимова
THE DECOMPOSITION OF EXP(X) FUNCTION INTO BRANCH CHAIN FRACTIONS
Korneev P. K., Zhuravleva I. A., Nepretimova E. V.
Different decompositions of the y=exp(x) function into branch chain fractions: with two, four...,..., 2k (k= 1,2,.) branches are constructed in the article. It is shown, that in the extreme case (k=™) the set of branches of a branch chain fraction has the capacity of the continuum and has a structure in which the self-similarity property is clearly seen, thus this set of branches is a fractal. Pre-fractals can be used for calculating the approximate value of y=exp(x) function.
Key words: chain fractions, approximation of functions, cardinal number, fractals.
В статье строятся различные разложения функции y=exp(x) в ветвящиеся цепные дроби: с двумя, четырьмя, ..., 2к (к=1,2,...) ветвями. Показывается, что в предельном случае (k=™) множество ветвей ветвящейся цепной дроби имеет мощность континуума и имеет структуру, в которой очевидным образом просматривается свойство самоподобия, то есть это множество ветвей является фракталом. Предфракталы можно использовать для вычисления приближенных значений функции y=exp(x).
Ключевые слова: цепные дроби, аппроксимация функций, мощность множества, фракталы.
УДК 519.651
1. В работах [1], [2], [3] на основе идеи уменьшения интервала изменения аргумента построены разложения некоторых тригонометрических и гиперболических функций в ветвящиеся цепные дроби.
В результате - первоначальный отрезок изменения аргумента [0, а] сжимается в
2к(к = 1,2,...) раз, что и влечет ускорение сходимости последовательностей соответствующих аппроксимант вычисляемых функций.
Если к = ¥, то в разложениях тригонометрических и гиперболических функций будет 2к ветвей, то есть имеем множества ветвей мощности континуума, и эти множества ветвей являются фракталами [4].
В данной статье строятся различные разложения функции у = ехр(х) в ветвящиеся цепные дроби [5].
Показано, что в предельном случае (к = ¥ ) множество ветвей разложения в ветвящуюся цепную дробь, имеющее мощность континуума, является фракталом.
2. Сущность предлагаемого способа разложения функции у = ехр(х) в различные ветвящиеся цепные дроби в следующем. Исследуемая функция ехр(х), заданная на отрезке [0, а], преобразуется в последовательность тождественно ей равных функций:
ехр(х) ° л^На20 ° ^^т4] ° ... °
° Лк-11 ж ф 1° лк I & 1°....
В результате этих преобразований отрезок [0, а] уменьшается в 2к(к = 1, 2,...) раз, т. е.
переходит в отрезок
о, а 2 к
что и влечет ускорение сходимости счета.
Функции гк — (к = 1,2,...) будем представлять их разложениями в цепные дроби, что и по-
2к
зволит построить различные разложения функции у = ехр(х) в ветвящиеся цепные дроби.
Приведем разложение функции у = гк(х) в цепную дробь [6]:
2 2 2 , X X X X _ _
гкх = - — — - ,к = 1,2,... (1)
1 + 3 + 5 +• + 2к +1 +•
Дробь [1] сходится на всей плоскости комплексного переменного, за исключением точек
несущественной расходимости.
За исходный отрезок исследования возьмем отрезок [0; 1].
3. Выразим сначала функцию у = ехр(х) через гк(х). Известно, что
гк(х) = (ехр(2х) -1) /(ехр(2х) +1).
Отсюда имеем
1 + гкх
ехр(2х)=
1 - 1кх или
21
ехр( 2 х) = 1 + — — (2)
-1 + тх
Далее нам понадобится преобразование
„ , х гкх =-2-
1 + гк2-2
или
гкх =-—, (3)
, х 1
гк- +-
2 гкх 2
Теперь в ветвящиеся цепные дроби будем разлагать функцию ¥( х) = гкх, а вместе с ней и функцию у = ехр(2х).
3.1. Пусть к = 1. Если вместо фун:
лучим разложение функции у = гкх в ветвящуюся цепную дробь с двумя ветвями:
X
Если вместо функции у = гк в (3) подставить ее разложение в цепную дробь (1), то по-
гк х =
где г = — . 2
1 +
3 + -
2
(4)
+
5+
1+
3+
5+
3.2. Пусть к = 2.
х
Если для функции у =гк ^ воспользоваться равенством (3х то для функции у =гкх получим
следующее представление:
гк х =
2
(5)
х1
гк- +-
4 , х гк-4
+
х1
гк- + —
4х
гк-
Если вместо функции гк — в представлении (5) подставить ее разложение в цепную дробь
4
(1), то получим разложение гкх в ветвящуюся цепную дробь с четырьмя ветвями:
2
гкх =-
х
где 2 = — . 4
2
1+
3+
5+
+
1+
3+
5+
+
1
2
1+
3+
5+
+
1+
3+
5+
(6)
3.3. Пусть к = 3.
Если воспользоваться равенством (3), то для равенства (6) получим следующее представление:
1
г
2
2
2
2
2
г
г
2
2
х
2
1
2
4
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
гк х =
2 1
2 + 1 2
(7)
х1
гк- + —
2
2
8 гкх
, х 1
гк- +-
8 гкх 8
+
1
2
, х 1
гк- +---—
8 гкх гкх +
8 8 гкх
8
Если вместо функции в представлении (7) подставить ее разложение в цепную дробь
8
(1), то получим разложение гкх в ветвящуюся цепную дробь с восемью ветвями:
2
гк х =-
Я(2) +
1
Я(2)
где
Я(2) =
+
+
1+
+
3+
1+
1+
5+
3+
5+
3+
5+
1+
3+
5+
(8)
(9)
X
2 = — .
8
Полагая к = 4,5,... можно продолжить процесс «размножения» ветвей представления (8), в результате чего получим сколь угодно много разложений функции гкх в ветвящиеся цепные дроби.
Отметим, что все эти разложения обладают тем свойством, что каждое из них первоначальный отрезок изменения аргумента [0, а] сжимает в 2к (к=1,2,...) раз, то есть первоначальный отрезок изменения аргумента отображается на отрезок
о, а 2к
4. Если положить к = ¥, то в разложении гк х будем иметь 2к ветвей, то есть получим множество ветвей мощности континуума; другими словами, получим целое «дерево» ветвей
2
гкх =---, (10)
Х(гк(х/ к) +-х7^-
/2 я(гк(у2к)
где Я(гк( х/2к ) - это в общем случае цепная дробь с 2к-1 ветвями.
2
8
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
В этом дереве ветвей выделим базовую форму
2 (11)
R(z) + 1
R(z)
где R(z) - такая же по форме конструкция как (10), но каждый раз в процессе размножения ветвей с уменьшающимся в 2 раза значением аргумента, т. е. z = ( ^2 k)(k = 1,2,...).
Базовая форма (11), повторяющаяся бесконечное число раз, покрывает все дерево разложения (10), образуя множество ветвей мощности континуума, которое и является фракталом; а правые части представлений (4), (6), (8) - предфракталы.
Предфракталы (4), (6), (8) изобразим схематически (рис. 1).
а) б) в)
Рис. 1. Схематическое изображение предфракталов
Здесь везде R(z) = левая ветвь, 1/R(z) - правая ветвь, 2 - «•». Подставляя разложения (4), (6), (8), (10) в правую часть (2) и заменяя х на х/2, получим разложения функции у = exp(x) в ветвящиеся цепные дроби.
5. Предфрактал (8) применим для вычисления приближенных значений у = exp(x) на от-
х
резке [0,1]. Функцию № г = —) приблизим третьей и четвертой подходящими дробями:
16
X X 2 X 2 №х » — — — = d3 (X),
1 + 3 + 5 3
(12)
2 2 2 .. XX X X
thx » — — — — = d4(x) 1 + 3 + 5 + 7 4
цепной дроби (1) и найдем приближенные значения функции ехр(х) при помощи представлений (12) на сетке
( ={х, = 0.1 • 1, 1 = 0,1,2, • ,10}. (13)
Вычисления организуем в среде МаШСЛО. В результате эксперимента получим следующие сеточные функции: Edi, Е1, , где Edi - таблица приближенных значений ехр(х) , полученная при помощи приближения подходящей дробью; Ел - таблица точных значений ехр(х) ; rdi - таблица соответствующих абсолютных погрешностей.
Результаты вычислений представлены в таблицах 1, 2.
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
||ехр(х) - Ейз(х)||с[0;1]< 1.1 -10-10,
||ехр(х) - Ей4( х)|| с[0;1]< 5.8 -10-15.
Таблица 1
Ей3 31 Е, гй 3, 3,
0 1 1 0
0.1 1.105170918 1.105170918 0
0.2 1.221402758 1.221402758 0
0.3 1.349858808 1.349858808 1.110223025-10"14
0.4 1.491824698 1.491824698 9.237055565-10-14
0.5 1.648721271 1.648721271 4.876099524-10-13
0.6 1.8221188 1.8221188 1.930899884-10-12
0.7 2.013752707 2.013752707 6.27808916-10-12
0.8 2.225540929 2.225540928 1.766942148-10-11
0.9 2.459603111 2.459603111 4.454214775-10-11
1 2.718281829 2.718281828 1.029341057-10-10
Таблица 2
Ей4, Е, Гй 4,
0 1 1 0
0.1 1.10517091807565 1.10517091807565 0
0.2 1.22140275816017 1.22140275816017 0
0.3 1.3498588075776 1.3498588075776 0
0.4 1.49182469764127 1.49182469764127 0
0.5 1.64872127070013 1.64872127070013 0
0.6 1.82211880039051 1.82211880039051 0
0.7 2.01375270747048 2.01375270747048 0
0.8 2.22554092849274 2.22554092849274 0
0.9 2.45960311115695 2.45960311115695 2.22044604925031-10-15
1 2.71828182845904 2.71828182845905 5.77315972805081-10-15
ЛИТЕРАТУРА
1. Корнеев П. К., Гончарова Е. Н., Журавлёва И. А., Непретимова Е. В. Ускорение сходимости степенных и дробно-рациональных разложений, аппроксимирующих тригонометрические и гиперболические функции // Вестник Ставропольского государственного университета. — 2009. — Выпуск 63 [4]. — С. 27-44.
2. Корнеев П. К., Журавлёва И. А., Непретимова Е. В. Уменьшение интервала изменения аргумента вычисляемой функции при помощи цепных дробей // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных и прикладных исследований в области физики, математики и компьютерных наук: материалы научно-методич. конференции «Университетская наука — региону». — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2010. — С. 13—17.
3. Корнеев П. К., Журавлёва И. А., Непретимова Е. В. О разложении функции sin x в ветвящиеся цепные дроби // Вестник Ставропольского государственного университета. - 2010. - Выпуск 70 [5]. - С. 11-15.
4. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. - М.: По-стмаркет, 2000. - 352 с.
5. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. - М.: Наука, 1983.
6. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. - М.: Гостехиздат, 1956.
Об авторах
Корнеев Петр Кириллович, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы, приближение функций с помощью цепных дробей. teacher@ pm. stavsu.ru
Журавлева Ирина Александровна, ГОУ ВПО
«Ставропольский государственный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы, приближение функций с помощью цепных дробей. teacher@ pm. stavsu.ru
Непретимова Елена Владимировна, ГОУ ВПО
«Ставропольский государственный университет», кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы. teacher@ pm. stavsu.ru
