Комбинированное приближение функций двух переменных полиномами и присоединенными цепными дробями Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОМБИНИРОВАННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПОЛИНОМАМИ И ПРИСОЕДИНЕННЫМИ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ

П.К. Корнеев, Е.Н. Гончарова, И.А. Журавлева

COMBINED APPROXIMATION OF TWO-VARIABLE FUNCTION BY POLYNOMINALS AND ASSOCIATED CONTINUED FRACTIONS

Korneev P.K., Goncharova E.N.,

Zhuravleva 1.А.

For the approximation of the two-variable functions polyniminals and rational fractions are used in the article. Approximations presenting combinations of the Taylor polynominal and terminating associated continued fractions and relevant remainder terms are received.

В статье для приближения функций двух переменных используются многочлены и цепные дроби. Получены аппроксиманты, представляющие собой комбинации тейлоровских многочленов и конечных присоединенных цепных дробей, и соответствующие остаточные члены.

Ключевые слова: Приближение функций, многочлен, цепная дробь, аппроксимация.

Для приближения функций наиболее часто используются многочлены. Но в ряде случаев большую точность приближения можно достигнуть, используя рациональную аппроксимацию. Одним из источников рациональных приближений являются цепные дроби [2, 4, 5].

Формальному степенному ряду 1 + а1(х - х0) + а2(х - х0)2 + • +

+ an (x - x0)n + • соответствует правильная С-цепная дробь

1 + C1 (Х — X0) С2(Х — Х0) Cn (X — X0)

(1)

1

+

0/ ^nV^

1 + • + 1 + • (2)

где

'2v+1

jv =

Wv =

1, c1 = j1 ,

Wv+1 • jv (v = 1

jv+1 •Wv

a1 a2 av

a2 a3 av+1

av av+1 a2v—1

a2 a3 av

a3 a4 av+1

Wv+1 • jn —1

jv Wv '

(3)

■ 0 (v = 1,2,3,...), (4)

УДК 519.651

Ф 0 ,(v = 2,3,...), (5)

... U2v—2

j0 = 1, W1= 1

0

av av+1

57/2008 Г^

Вестник Ставропольского государственного университета [¡вдН

Использование рациональной аппроксимации часто целесообразнее аппроксимации многочленами в случае функций с нерегулярным характером поведения (резкое изменение или особенности производных в отдельных точках [1]).

Соответствие дроби (2) ряду (1) означает следующее: разложение п-ой подходящей дроби Ап (х) / Вп (х) цепной дроби (2) в степенной ряд совпадает с рядом (1) до члена ап • (X — х0)п включительно.

Формальному степенному ряду (1) соответствует также присоединенная цепная дробь

к1 • (х — х0) к2 • (х — х0)

к к

к

1 + -

1 + /1 • (х — х0) - 1 +12 • (х — х0) -

кз • (х — хо) 1 +13 • (х — х0)~ ... '

(6)

где

к: = Ф 1 =— ^ К =— Ф 'К—2

ф2—1

Ху —1 С

К = — — — (У = 2,3,...), Фу—1 Фу

(7)

Ху = °2 °3 ^ ^+2, (У = 2,3,...)

(8)

Фу * 0.

Соответствие цепной дроби (6) ряду (1) означает следующее: разложение п-ой подходящей дроби Ап (х) / Вп (х) цепной дроби (6) в степенной ряд совпадает с рядом

2п

(1) до члена а2 • х включительно.

В теории цепных дробей ряду Тейлора

I (х + к) = / (х) + £

I (,)(х)

к'

,=1 '!

соответствует цепная дробь Тиле [5]

(9)

I (х+к) = I (х) +- . () . () . (

Ц(х) +12 (х) +...+ 1п (х) +...

(10)

где /(х), 12(х), ... , 1п(х), ... - обратные производные функции I(х), определяемые формулами '

, (11)

I, (х) =

I—1( х) +1—3( х) + ...'

М х) = I (х).

Ряду Тейлора (9) соответствует также и цепная дробь Тиля типа присоединенной:

I(х+к) = I(х) +

Л(х) • к

/(х> Л(х)+к —

Л(х> к2

—Л(х) • Л(х) • Мх)+С/2(х)+Л(х)> к —

.^(х) • !6(х) • к:

—Л(х) • !5(х) • I6(x)+(Дх)+^(х)) к—...—

_А^У I2n(х)_

— А—2 (х) • А— (х) • Ап (х) + (А—2 (х) + У2п (х)) •к —...

(12)

Можно показать, что при помощи основного тождественного преобразования цепной дроби цепная дробь (10) приводится к дроби (2), а цепная дробь (12) приводится к дроби (6). Таким образом, мы имеем по два различных алгоритма построения правильной С-цепной дроби и присоединенной цепной дроби.

Трудоемкость решаемых задач резко возрастает с ростом размерности решаемых задач. Предлагается следующий подход к приближению функций двух переменных.

Пусть функция I(х1, х2) задана на открытом множестве ОсЯ2 и имеет на О непрерывные частные производные того порядка, который нужен, чтобы имели место формулы, о которых будет идти речь ниже.

Зафиксируем х(0) = (х1(0), х2(0)) и пусть 6 > 0 есть достаточно малое число, чтобы все точки х = (х1, х2) из её окрестности

а

а

а

а

2

V—1

У + 1

ау ап+1 •

а

а

2У — 2

(0)

х - X

= V(х/0) -X,)2 + (х2(0) -х2)2 < 5

принадлежали О.

Пусть функция / (х1, х2) определена и достаточное число раз непрерывно дифференцируема в окрестности точки

(X

(0) (0)

Мы хотим, используя значения функции f (х,, х2) и её производных до некото-

рого порядка в точке (х,

(0) (0)

)) предста-

вить /(х, х2) в виде суммы некоторой ап-проксиманты и остаточного члена, который становится очень малым, когда точка

(х1, х2) приближается к (х1(0), х2(0)):

/ (х1; х2) = ^(х1; х2) + Я(х1г х2). (13) Для решения сформулированной задачи применим следующий подход.

Фиксируем х2 и функцию / (х1, х 2 ) представим по формуле Тейлора по переменной х1:

f (х15 х 2 ) = / (х^, х2)+

+14Л Ь - хГУ I . (14)

1=1

Функции

/С> (х10), х2)

1 = 0,1,...,п; /х(0)(х!0),х2) = /(х10),х2)) .(15) являются функциями только одного переменного х2 .

Теперь каждую из функций (15) переменного х2 представим в виде присоединенной цепной дроби (6) или (12):

/1 )(х|0), х2 ) =

= ^)(х(0) х(0))+ ^- х20)), (16) = /х1 1х ,х2 >+ 1 +).(х2 -х20))' (16)

1+т )-(х2 - х20))+Кс

1 = 0, 1, 2, ..., п,

где находятся по формулам (7),

К1) - остаточные члены.

Подставив разложение (16) в формулы (14), получим представление функции / (л^, х 2) в виде суммы аппроксиманты и остаточного члена:

f (Xl, X2 ) = £

j=0

X - х10)), j!

(f(j )(Xi(0), х20))+

X2 - х20))

»

2 Л

l + /( ).(X2 - х20)) + m )'(X2 - х20))

+ R„

/

кЧ 1+1

(17)

Ясно, что аппроксимация (17) является дробно-рациональной аппроксимацией.

Найдем теперь остаточный член Кс представления (17).

Разложение (17) запишем в следую -щем виде:

f (х(, х2 )=Е

j=0

где

(х1 х1 А( )(х2) ' B( \х2 )■

j!

У^ (j = 0, 1, 2, n)

R, ,(18)

(19)

В( ( )

- подходящие дроби цепных дробей, стоящих в формуле (17) под знаком суммы.

Очевидно, что числители А^1 )(х2 ) и

знаменатели В^ )(х2 ) подходящих дробей (19) есть многочлены только одного переменного х2 и имеют порядок к каждый.

Представление (18) запишем в развернутом виде:

\

f (х1, X2 ) =

Ak0)(X2)

+ (х1 - х10)

+

+

. Bk0)(X2)

(х1 - х1(0)) ^(х2 ) + + 2! ' Bf(X2) + - +

(х1 - х| )) А( )(х2 ) ' Bt )(X2 )

ACti Bf'fe)

(20)

+

n!

+ R,

Если в выражении, стоящем в квадратных скобках правой части (20), найдем

2

2

сумму всех дробей, то оно представится в

виде отношения многочленов

р(хс х2)

Я(х2),

порядки которых

к (п +1)

х и

+ п и

к (п +1) соответственно. Таким образом, функция /(х15 х2) теперь представляется в виде суммы отношения полиномов и остаточного члена:

/^ Х2 )= Р;+1)+п х х2)+я. (21)

Як (п+1)1 х2> Равенство (21) умножим на многочлен

п+1)(х 2 ). Тогда

/(х1. х2 )- Як(п+1)(х2 ) =

= Р

(22)

в

с остаточным т. е.

членом

к(п+1 )+п (х1' х2 ) + Як(п+1) (х2 ) • Яс.

Видим, что последнее представление есть тейлоровское разложение функции

/(х1, х2 ^ Як(п+1)(х2 ) в окрестности

(х1), х2)) Як(п+1)(х2 У Яс

Як (п+1 )(х2 ^ Яс =

а (п+1)(к+1)(((х )• а (п+1 ())• (23)

[(п +1)(к +1)!

точка X = (Х1, Х2) принадлежит окрестности

точки (х(0), х20)).

Из соотношения (23) находим остаточный член представления (17):

а(п+1 )(*+1)(/ (X )• Як (п+1 )(Х))

я =

(24)

[(п + 1)(к +1)] Як (п+1) (х 2) " Проведенные вычисления подтверждают эффективность предлагаемой аппроксимации функции двух переменных.

Пример 1. Найдем приближенные значения функции /(х, у) = е х+у , используя полиномиальное приближение

6 у.1 6 .

/1( х у)-17-1 у

г=0 г=0

и комбинированное приближение

/2(х,у) -X^ 1=0 г!

на следующей сетке

1 + 2 •-

у

2 - у + -

у

6 +

Г 10

уХ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Результаты вычислений приведены в трех таблицах:

• в таблице 1.1 - точные значения функции;

• в таблице 1.2 - приближенные значения функции, полученные при помощи полиномиального приближения;

• в таблице 1.3 - приближенные значения функции, полученные при помощи комбинированного приближения.

Таблица 1. 1

Ух 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0 1.00000 1.10517 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828

0.1 1.10517 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417

0.2 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012

0.3 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3.66930

0.4 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3.66930 4.05520

0.5 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3.66930 4.05520 4.48169

0.6 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3.66930 4.05520 4.48169 4.95303

0.7 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3.66930 4.05520 4.48169 4.95303 5.47395

т

Комбинированное приближение функций двух переменных полиномами

0.8 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3.66930 4.05520 4.48169 4.95303 5.47395 6.04965

0.9 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3.66930 4.05520 4.48169 4.95303 5.47395 6.04965 6.68589

1.0 2.71828 3.00417 3.32012 3.66930 4.05520 4.48169 4.95303 5.47395 5.04965 6.68589 7.38906

Таблица 1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0 1.00000 1.10517 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82211 2.01373 2.22549 2.45950 2.71806

0.1 1.10517 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22552 2.45955 2.71816 3.00392

0.2 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22553 2.45958 2.71823 3.00404 3.31984

0.3 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45959 2.71826 3.00410 3.31997 3.66899

0.4 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71827 3.00414 3.32005 3.66914 4.05486

0.5 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00415 3.32008 3.66922 4.05502 4.48131

0.6 1.82211 2.01375 2.22553 2.45959 2.71827 3.00415 3.32010 3.66925 4.05510 4.48148 4.95260

0.7 2.01373 2.22552 2.45958 2.71826 3.00414 3.32008 3.66925 4.05513 4.48156 4.95277 5.47344

0.8 2.22549 2.45955 2.71823 3.00410 3.32005 3.66922 4.05510 4.48156 4.95283 5.47360 6.04902

0.9 2.45950 2.71816 3.00404 3.31997 3.66914 4.05502 4.48148 4.95277 5.47360 6.04912 6.68505

1.0 2.71806 3.00392 3.31984 3.66899 4.05486 4.48131 4.95260 5.47344 6.04902 6.68505 7.38783

Таблица 1.3

УЧ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0 1.00000 1.10517 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22555 2.45962 2.71831

0.1 1.10517 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45961 2.71830 3.00420

0.2 1.22140 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45961 2.71829 3.00418 3.32015

0.3 1.34986 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32013 3.66933

0.4 1.49182 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00417 3.32012 3.66931 4.05524

0.5 1.64872 1.82212 2.01375 2.22554 2.45960 2.71828 3.00416 3.32012 3.66930 4.05522 4.48173

0.6 1.82211 2.01375 2.22553 2.45960 2.71827 3.00416 3.32011 3.66929 4.05520 4.48170 4.95307

0.7 2.01373 2.22552 2.45958 2.71826 3.00414 3.32009 3.66927 4.05517 4.48166 4.95301 5.47396

0.8 2.22549 2.45955 2.71823 3.00410 3.32005 3.66922 4.05512 4.48160 4.95294 5.47386 6.04958

0.9 2.45950 2.71816 3.00404 3.31997 3.66914 4.05502 4.48150 4.95282 5.47372 6.04941 6.68567

1.0 2.71806 3.00392 3.31984 3.66899 4.05486 4.48132 4.95262 5.47350 6.04916 6.68537 7.38852

Анализ полученных результатов показывает некоторое преимущество комбинированной аппроксимации. Пример 2. Найдем приближенные значения функции f (X, y) = sin X • tg y , используя полиномиальное приближение f 1(X, y) »

1 - x/

1 + y2

1 2

- + x' 6

- + y'

3

1 2 í 1 12

--x I-+-x

120 l5040 362880

2 2í 17 62 2

— + y 2I-+-y2

15 1 315 2835

и комбинированное приближение

f 2(x, y)f

1 - x2 1 2 - + x

6

1 2 í 1 1 2

--x I-+-x

120 15040 362880

y

1-

y

3-

y

5-

7 -

У_ 9

на следующей сетке

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.00

0.15

0.30

0.45

0.60

x

X

2

X

X

57/2008 Г^

Вестник Ставропольского государственного университета [¡вдН

• в таблице 2.1 - точные значения функции;

• в таблице 2.2 - приближенные значения функции, полученные при помощи полиномиального приближения;

• в таблице 2.3 - приближенные значения функции, полученные при помощи комбинированного приближения.

_Таблица 2.1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.00 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.15 0.00000 0.01509 0.03088 0.04823 0.06830 0.09300 0.12581 0.17404 0.25679 0.44478 1.40779

0.30 0.00000 0.03003 0.06146 0.09597 0.13592 0.18508 0.25035 0.34634 0.51101 0.88512 2.80152

0.45 0.00000 0.04466 0.09142 0.14275 0.20218 0.27531 0.37240 0.51518 0.76012 1.31661 4.16725

0.60 0.00000 0.05885 0.12046 0.18811 0.26642 0.36278 0.49073 0.67888 1.00164 1.73495 5.49135

0.75 0.00000 0.07246 0.14830 0.23159 0.32799 0.44663 0.60415 0.83579 1.23316 2.13595 6.76058

0.90 0.00000 0.08534 0.17466 0.27275 0.38629 0.52602 0.71154 0.98435 1.45235 2.51561 7.96226

1.05 0.00000 0.09736 0.19928 0.31119 0.44073 0.60015 0.81182 1.12307 1.65703 2.87013 9.08438

1.20 0.00000 0.10842 0.22190 0.34652 0.49077 0.66829 0.90398 1.25058 1.84515 3.19598 10.11574

1.35 0.00000 0.11839 0.24231 0.37839 0.53590 0.72974 0.98712 1.36559 2.01484 3.48990 11.04602

1.50 0.00000 0.12718 0.26030 0.40648 0.57568 0.78391 1.06039 1.46695 2.16439 3.74894 11.86594

Таблица 2.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.00 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.15 0.00000 0.01509 0.03088 0.04822 0.06830 0.09296 0.12539 0.17131 0.24100 0.35289 0.53913

0.30 0.00000 0.03003 0.06145 0.09597 0.13591 0.18498 0.24953 0.34089 0.47957 0.70223 1.07285

0.45 0.00000 0.04466 0.09140 0.14273 0.20214 0.27512 0.37113 0.50702 0.71329 1.04445 1.59569

0.60 0.00000 0.05883 0.12041 0.18803 0.26628 0.36243 0.48890 0.66792 0.93964 1.37590 2.10207

0.75 0.00000 0.07238 0.14814 0.23134 0.32762 0.44592 0.60152 0.82176 1.15608 1.69282 2.58626

0.90 0.00000 0.08514 0.17427 0.27213 0.38539 0.52455 0.70759 0.96667 1.35994 1.99133 3.04232

1.05 0.00000 0.09695 0.19842 0.30985 0.43881 0.59726 0.80567 1.10067 1.54846 2.26736 3.46404

1.20 0.00000 0.10760 0.22024 0.34392 0.48706 0.66293 0.89426 1.22169 1.71871 2.51667 3.84492

1.35 0.00000 0.11693 0.23933 0.37373 0.52927 0.72038 0.97175 1.32756 1.86765 2.73475 4.17811

1.50 0.00000 0.12472 0.25526 0.39862 0.56452 0.76835 1.03647 1.41597 1.99203 2.91688 4.45636

Таблица 2.3

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.00 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.15 0.00000 0.01509 0.03088 0.04822 0.06830 0.09300 0.12581 0.17404 0.25679 0.44477 1.40765

0.30 0.00000 0.03003 0.06145 0.09597 0.13591 0.18507 0.25035 0.34633 0.51099 0.88508 2.80116

0.45 0.00000 0.04466 0.09140 0.14273 0.20215 0.27527 0.37235 0.51511 0.76002 1.31641 4.16627

0.60 0.00000 0.05883 0.12041 0.18803 0.26630 0.36262 0.49051 0.67858 1.00120 1.73417 5.48840

0.75 0.00000 0.07238 0.14814 0.23134 0.32764 0.44615 0.60350 0.83489 1.23182 2.13362 6.75260

0.90 0.00000 0.08514 0.17427 0.27213 0.38541 0.52482 0.70992 0.98211 1.44904 2.50986 7.94334

1.05 0.00000 0.09695 0.19842 0.30986 0.43884 0.59757 0.80833 1.11825 1.64990 2.85777 9.04443

1.20 0.00000 0.10760 0.22024 0.34392 0.48709 0.66328 0.89720 1.24120 1.83131 3.17199 10.03889

1.35 0.00000 0.11693 0.23933 0.37373 0.52930 0.72075 0.97495 1.34876 1.99001 3.44686 10.90882

1.50 0.00000 0.12472 0.25526 0.39862 0.56455 0.76875 1.03988 1.43859 2.12254 3.67641 11.63534

0.75

0.90

1.05

1.20

1.35

1.50

Результаты вычислений приведены в трех таблицах:

Анализ полученных результатов показывает значительное преимущество комбинированной аппроксимации.

В заключение сделаем следующие замечания:

• функцию f (х^ x2) в окрестности точки (х1(0), х2(0)) можно сначала разложить по формуле Тейлора по переменной Х2, а потом построить присоединенные цепные дроби для функций fХ^(x1, х0)

] = 0, 1, 2, ..., п; /х^,х0)= /(х1,х0)

по

переменной х1;

• функцию /(х1, х 2 ) в окрестности точки (х1(0), х20)) можно сначала разложить по какой-нибудь переменной разложить в конечную присоединенную цепную дробь, а потом по другой переменной - по формуле Тейлора; при таком подходе все расчеты сильно усложняются;

• функцию / (х1, х2 ) в окрестности

точки (х1(0), х2(0)) можно по обеим переменным приблизить конечными присоединенными цепными дробями; при таком подходе мы получим аппроксиманту в виде конечной кратной цепной дроби [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000 г. — 624 с.

2. Джоонс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 414 с.

3. Корнеев П.К. Об одном подходе к приближению функций двух переменных // Проблемы физико-математических наук: Материалы 51-ой научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука региону». — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2006 г. — С. 121-125.

4. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и её применения в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 321 с.

5. Хлопонин С. С. Приближение функций цепными дробями. Цепные дроби. — Ставрополь, 1977. — С. 3-102.

Об авторах

Корнеев Петр Кириллович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета. 1еаеЬег@рш. stavsu.ru

Гончарова Елена Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета. Ье1е@гЪсшаП.ш

Журавлева Ирина Александровна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета. teacher@,pm. stavsu.ru