CC BY
40
ННТЕИНШН
УСКОРЕНИЕ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННЫХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
П. К. Корнеев, Е. Н. Гончарова, И. А. Журавлева, Е. В. Непретимова
ACCELERATION OF CONVERGENCE OF POLYNOMIAL AND FRACTIONAL-RATIONAL EXPANSION APPROXIMATING TRIGONOMETRIC AND HYPERBOLIC FUNCTIONS
Korneev P. K., Goncharova E. N., Zhuravleva I. A., Nepretimova E. V.
The article develops the idea of argument change as a method to accelerate the convergence of polynomial and fractional-rational expressions being approxi-mants of approximately calculated trigonometric and hyperbolic functions, as the result the initial interval of
the argument change reduces 2k (k=1,2...) times, which naturally results in the acceleration of the consequences' convergence of the approximants corresponding to the calculated functions.
В статье развивается идея изменения аргумента как метод ускорения сходимости полиномиальных и дробно-рациональных выражений, являющихся аппроксимантами приближенно вычисляемых тригонометрических и гиперболических функций, в результате чего первоначальный отрезок изменения аргумента сокращается в 2k (k=1,2...) раз, что естественно влечет ускорение сходимости последовательностей соответствующих аппроксимант вычисляемых функций.
Ключевые слова: аппроксимация, степенные разложения, дробно-рациональные разложения, сходимость.
УДК 519.651
В процессе решения многих практических задач приходится исследовать функциональные зависимости между величинами, которые приближенно либо точно выражаются с помощью элементарных функций. Следует отметить, что вычисление этих функций занимает значительную долю времени решения всей задачи на компьютере.
Элементарные функции принадлежат к классу функций, представимых степенными рядами.
Основными методами для вычисления элементарных функций на компьютере являются следующие: степенные разложения, многочленные и рациональные приближения, разложения в цепные дроби, итеративные процессы. Широко используется также кусочно-многочленная и кусочно-рациональная аппроксимации.
При вычислении значений элементарных функций различными методами всегда возникает одна и та же проблема - проблема ускорения счета. Разработано много методов такого ускорения. Мы остановимся на одном из них - методе уменьшения интервала изменения аргумента.
Сущность предлагаемого метода ускорения сходимости в следующем. Исследуемая тригонометрическая функция fx), заданная на отрезке [0, а], на предмет вычисления ее значений преобразуется в последовательность тождественно ей равных функций на [0, а]:
f (x) ° ji| l ji| I ° jiI tg^ l - jk%
2 0 2 0 4 0 2k~l J jk tt§ 2k /" '
В результате этих преобразований отрезок [0, а] уменьшается в 2k (k = 1, 2’...) раз, т.
x
е. переходит в отрезок
0’ 4
2k
что и влечет ускорение сходимости счета.
Функции tg (k = I, 2,...) будем приближать частичными суммами их тейлоровских
разложений в ряд и подходящими дробями цепных дробей, соответствующих тейлоровским разложениям, что позволит разложить тригонометрические функции в ветвящиеся цепные дроби [2]. x
Функции tg-т- должны принимать такие значения, при которых имеют смысл все при-
2k
водимые ниже формулы.
Предлагаемый метод уменьшения интервала в 2k(к = 1, 2,...) раз рассмотрим на примере вычисления приближенных значений функции
f (x ) = tgx. (1)
Приведем соответствующие разложения функции (i) в тейлоровский ряд и цепную дробь [1, 3]:
22k -(22k -1)!
(2k)
tgx=
-|B2kl ■ x
2k-1
(2)
k=1
—
где lx < —, B2k - числа Бернулли.
22 x x x tgx = - — —
x
1 - 3 - 5 -... - 2k +1 -...
k = 1, 2,|x| < —.
2
(3)
1. Вопрос приближения функции (1) частичными суммами ряда Тейлора и подходящими дробями соответствующей цепной дроби исследован в статье «Сравнительный анализ приближений элементарных функций многочленами и цепными дробями», помещенной в этом же журнале.
Все дальнейшие результаты будем сравнивать с соответствующими результатами ука-
занной выше статьи. За исходный отрезок исследования возьмем отрезок
0,
—
4
2. Пусть k = 1.
Рассмотрим известное преобразование
_ x 2tg-
tgx = -
2
1 - tg2
2
и представим его в виде
tg x =
-2
x 1
tg
2x tg 2
(4)
(5)
X
Если вместо функции y = tg подставить ее разложение в цепную дробь, то получим
разложение функции y = tg X в ветвящуюся цепную дробь с двумя ветвями:
- 2
tgx =
1 -
1
z
(6)
3 -
1-
5 -
3-
5-
2
2
2
z
2
X
где z =
X
Вместо функции y = tg можно подставить в (5) ее тейлоровское разложение. Тогда
представление (5) преобразуется к виду:
- 2
tgx =
т (z)-
1 ’
(7)
T (z )
где
T(z )=£
к=1
22к -(22к -1), (2k) ''
2к
2k-1 X
z , z = —
2
( X
z I z = — I п
l 2 0
2
ходящими дробями цепной дроби (3). Оценки норм соответствующих погрешностей приближений будем получать по результатам проводимого вычислительного эксперимента. Корректность оценок норм погрешностей рассматриваемых приближений нами обосновано в статье «Сравнительный анализ приближений элементарных функций многочленами и цепными дробями».
2.1. Возьмем приближения
tgz » рз(z)= z +1 z3, (8)
(9)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (8) и (9) на сетке
(Oh = jx,. = • i, i = 0, 1, 2, ...,1oj . (10)
Все вычисления организуем в среде MathCAD.
Здесь tpi, tdt, tt, rpt, rdt - сеточные функции, а именно: tpt - таблица приближенных значений tgx, полученная при
tgz» d 2(z )=у - z3
pi := 4 • atan(1) pi = 3.14159265
x3
p(x) := X + —
h :=
pi
40
h = 0.07853982
X
i := 1.. 10
d(x) :=
2
1 - ■
tp(x) := -
td(x) := -
p(x) - ■
d(x)--------
d(x)
p(x)
x := i • h z := 5 • x tpi := tp(z,) tdi := td(z,)
t1 := tan(x,) ф! := - tp^ rdi := - tdi|
x := 0 tp0 := 0 td0 := 0 t0 := 0 rp0 := 0
rd0 := 0 i := 0.. 10
3
1
помощи полиномиального приближения; tdi - таблица приближенных значений tgx, полученная при помощи приближения подходящей дробью; t - таблица точных значений tgx; rpi, rdt - таблицы соответствующих абсолютных погрешностей.
Результаты вычислений представлены в таблицах 1, 2.
Таблица 1
xi P ti rPi
0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000
0.07853982 0.07870168 0.07870171 2.50352035e-8
0.15707963 0.15838363 0.15838444 8.13920961e-7
0.23561945 0.24007241 0.24007876 6.34769361e-6
0.31415927 0.32489191 0.32491970 2.77812534e-5
0.39269908 0.41412447 0.41421356 8.90954714e-5
0.47123890 0.50928953 0.50952545 2.35919911e-4
0.54977871 0.61225074 0.61280079 5.50043345e-4
0.62831853 0.72536835 0.72654253 1.17417674e-3
0.70685835 0.85172504 0.85408069 2.35564649e-3
0.78539816 0.99547370 1.00000000 4.52629509e-3
Таблица 2
xi tdi ti rdi
0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000
0.07853982 0.07870170 0.07870171 4.17483316e-9
0.15707963 0.15838430 0.15838444 1.35952974e-7
0.23561945 0.24007770 0.24007876 1.06321854e-6
0.31415927 0.32491502 0.32491970 4.67137603e-6
0.39269908 0.41419851 0.41421356 1.50566865e-5
0.47123890 0.50948533 0.50952545 4.01168400e-5
0.54977871 0.61270656 0.61280079 9.42270755e-5
0.62831853 0.72633962 0.72654253 2.02903397e-4
0.70685835 0.85366949 0.85408069 4.11199035e-4
0.78539816 0.99920062 1.00000000 7.99380791e-4
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
tgx - p (x)||c [-Q; p ] < 4.53 • 10-3,
tgx - td2 (x)| г г p 1 < 8 • 1Г4 .
2.2. Возьмем приближения
/ \ 1 3 2 5
tg z » P (z ) = z + — z +--------z , 2 3
3
2 2
. , . z z z
tg z » d3(z) = - — —
3 1 - 3 - 5
4
(11)
(12)
(13)
(14)
и найдем приближенные значения функции y = tg x на сетке (10) при помощи приближений (13), (14). Результаты вычислений приведены в таблицах 3, 4.
Таблица 3
хг tPi tг ГРг
0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000
0.078539816340 0.078701706809 0.078701706825 1.562681928302e-11
0.157079632679 0.158384438292 0.158384440325 2.032183504808e-9
0.235619449019 0.240078723420 0.240078759080 3.565998468735e-8
0.314159265359 0.324919418774 0.324919696233 2.774590426857e-7
0.392699081699 0.414212171994 0.414213562373 1.390378693233e-6
0.471238898038 0.509520147628 0.509525449494 5.301866013774e-6
0.549778714378 0.612783961121 0.612800788140 1.682701898265e-5
0.628318530718 0.726495599830 0.726542528005 4.692817515994e-5
0.706858347058 0.853961474542 0.854080685463 1.192109212081e-4
0.785398163397 0.999716975215 1.000000000000 2.830247850268e-4
Таблица 4
хг tdi ti rdi
0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000
0.078539816340 0.078701706824 0.078701706825 1.839500773926e-13
0.157079632679 0.158384440301 0.158384440325 2.397296250400e-11
0.235619449019 0.240078758658 0.240078759080 4.221010763139e-10
0.314159265359 0.324919692933 0.324919696233 3.299955309011e-9
0.392699081699 0.414213545734 0.414213562373 1.663876497693e-8
0.471238898038 0.509525385564 0.509525449494 6.393080653755e-8
0.549778714378 0.612800583397 0.612800788140 2.047431111318e-7
0.628318530718 0.726541950973 0.726542528005 5.770319869702e-7
0.706858347058 0.854079201884 0.854080685463 1.483579960548e-6
0.785398163397 0.999996429401 1.000000000000 3.570598807512e-6
На основе результатов этих таблиц заключаем, что \tgx - р (х | г г p 1 < 3 -ЮЛ
tgx-Ц(х)||гГ р 1 < 3.6-10-6.
3 25 17 7
+ -z +— z +-z ,
2.3. Возьмем приближения
1 3 2
tg z » P7 (z ) = z + — z +-z
7W 3 15 315
2 2 2 . , . z z z z
tg z » dJz) = - — — —.
3 1 - 3 - 5 - 7
4
4
(15)
(16)
(17)
(18)
и с их помощью вычислим приближенные значения функции y = tg (х) на сетке (10). Результаты вычислений приведены в таблицах 5, 6.
Таблица 5
хг P ti грг
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000
0.078539816339745 0.078701706824609 0.078701706824618 9.756084828894e-15
0.157079632679490 0.158384440319457 0.158384440324536 5.079769938021e-12
0.235619449019234 0.240078758879556 0.240078759080116 2.005598742638e-10
0.314159265358979 0.324919693458696 0.324919696232906 2.774210750012e-9
0.392699081698724 0.414213540651379 0.414213562373095 2.172171637005e-8
0.471238898038469 0.509525330218398 0.509525449494429 1.192760311630e-7
0.549778714378214 0.612800272878821 0.612800788139932 5.152611107784e-7
0.628318530717959 0.726540651097126 0.726542528005361 1.876908234499e-6
0.706858347057703 0.854074650941918 0.854080685463467 6.034521548015e-6
0.785398163397448 0.999982311396601 1.000000000000000 1.768860339868e-5
Таблица 6
xi tdi ti rdi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000000000000
0.157079632679490 0.158384440324534 0.158384440324536 2.331468351713e-15
0.235619449019234 0.240078759080023 0.240078759080116 9.306444503920e-14
0.314159265358979 0.324919696231613 0.324919696232906 1.293631868293e-12
0.392699081698724 0.414213562362898 0.414213562373095 1.019739848118e-11
0.471238898038469 0.509525449437971 0.509525449494429 5.645828249357e-11
0.549778714378214 0.612800787893634 0.612800788139932 2.462975379203e-10
0.628318530717959 0.726542527097901 0.726542528005361 9.074598850134e-10
0.706858347057703 0.854080682507561 0.854080685463467 2.955905964441e-9
0.785398163397448 0.999999991206992 1.000000000000000 8.793008099417e-9
Здесь нормы погрешностей оцениваются следующим образом:
\\tgx - tp7 (x)|гг * 1 < 1.8 -10-5,
\tg x - td
4 Ilc 0
2.4. Возьмем приближения
9 -10 -9 .
3 25 17 7
-z + —z + z' +
15 315
2 2 2 2
z z z z
3 - 5 - 7 - 9
62 9
2835
4
4
3
5
(19)
(20)
и с их помощью вычислим приближенные значения функции y = tg (x) на сетке (10). Результаты вычислений приведены в таблицах 7, 8.
Таблица 7
xi tPi ti rPi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.00000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.00000000
0.157079632679490 0.158384440324488 0.158384440324536 4.82114348e-14
0.235619449019234 0.240078759077591 0.240078759080116 2.52517451e-12
0.314159265358979 0.324919696185925 0.324919696232906 4.69813077e-11
0.392699081698724 0.414213561883910 0.414213562373095 4.89185359e-10
0.471238898038469 0.509525445993999 0.509525449494429 3.50043006e-9
0.549778714378214 0.612800768861295 0.612800788139932 1.92786366e-8
0.628318530717959 0.726542440307773 0.726542528005361 8.76975880e-8
0.706858347057703 0.854080339836174 0.854080685463467 3.45627293e-7
0.785398163397448 0.999998778301432 1.000000000000000 1.22169857e-6
Таблица 8
xi tdi ti rdi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.00000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.00000000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.00000000
0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0.00000000
0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0.00000000
0.392699081698724 0.414213562373091 0.414213562373095 3.99680289e-15
0.471238898038469 0.509525449494397 0.509525449494429 3.16413562e-14
0.549778714378214 0.612800788139744 0.612800788139932 1.88404847e-13
0.628318530717959 0.726542528004454 0.726542528005361 9.06719144e-13
0.706858347057703 0.854080685459726 0.854080685463467 3.74045239e-12
0.785398163397448 0.999999999986255 1.000000000000000 1.37453382e-11
Здесь нормы погрешностей оцениваются следующим образом:
tgx - p (х | с ] < 1.2 -IQ-6,
tgx - td5\сГд] < 1.4 -10-11.
4
2.5. Возьмем приближения tgz » Рп (z)
tgz » d6(z)
1 3 2 5 17 62
z + — z +— z + z7 +
3 15 315 2835
2 2 2 2 2
z zz z z z
1 - 3 - 5 - 7 - 9 - - 11
9
z
1382
+-------
155975
z
(21)
(22)
и с их помощью вычислим приближенные значения функции y = tg (х) на сетке (10). Результаты вычислений приведены в таблицах 9, 10.
Таблица 9
X- P ti rPi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.00000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.00000000
0.157079632679490 0.158384440324501 0.158384440324536 3.55271368e-14
0.235619449019234 0.240078759078713 0.240078759080116 1.40343293e-12
0.314159265358979 0.324919696213389 0.324919696232906 1.95170546e-11
0.392699081698724 0.414213562218003 0.414213562373095 1.55091717e-10
0.471238898038469 0.509525448617287 0.509525449494429 8.77141471e-10
0.549778714378214 0.612800784157686 0.612800788139932 3.98224587e-9
0.628318530717959 0.726542512380048 0.726542528005361 1.56253132e-8
0.706858347057703 0.854080629864470 0.854080685463467 5.55989971e-8
0.785398163397448 0.999999814735008 1.000000000000000 1.85264992e-7
Таблица 10
x- tdj t- rdt
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.00000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.00000000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.00000000
0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0.00000000
0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0.00000000
0.392699081698724 0.414213562373095 0.414213562373095 0.00000000
0.471238898038469 0.509525449494429 0.509525449494429 0.00000000
0.549778714378214 0.612800788139932 0.612800788139932 0.00000000
0.628318530717959 0.726542528005360 0.726542528005361 0.00000000
0.706858347057703 0.854080685463463 0.854080685463467 3.44169138e-15
0.785398163397448 0.999999999999985 1.000000000000000 1.45439216e-14
Здесь нормы погрешностей оцениваются следующим образом:
tPu Milc] < 7 -10-8’ (23)
td,\cj< 1.5 • 10-14 . (24)
3. Пусть к = 2.
х
Если для функции tg ^ воспользоваться равенством (5), то для функции tgx получим
представление:
g =
- 2
- 2
1
(25)
х 1
&т -
-2
4 х х 1 tg 4 tg 4 -^t
tg
4
х
Если вместо функции tg — в представлении (25) подставить ее разложение в цепную дробь, то
получим разложение tgx в ветвящуюся цепную дробь с четырьмя ветвями:
-2
g =
- 2 1
z 1 - 2
(26)
1-
3 -
5 -
1-
1-
3-
5-
3-
5-
1-
3-
5-
2
1
z
z
2
2
2
z
z
2
2
2
2
х
z = —. 4
Если вместо функции tg
х
4
в равенстве (25) подставить ее тейлоровское разложение в ряд, то
получим представление:
g
-2
- 2 1
- 2 1 - 2
T ( z ) T ( z) _z________1
T ( z) T(z)
(27)
X
z = 4-
T (z) - тейлоровское разложение
функции tg
X
4 '
Теперь будем функцию tgz (z
4)
в равенствах (26), (27) приближать частичными суммами ряда (2) и подходящими дробями цепной дроби (3).
3.1. Возьмем приближения
tgz » P3 (z )= z +1 z3, (28)
tgz » d2 (z) = 1 - 23. (29)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (28) и (29)
на сетке (10).
Все вычисления организуем в среде MathCAD. Результаты вычислений представлены в таблицах 11, 12.
pi := 4 • atan(1) h := Pi i:= 1 40 .. 10
pi = 3.14159265 h = 0.07853982
3 x p(x) := x + — d(x):= x2 x 1 - —
3
u(x) :
-2
p(x)
1
p(x)
v(x) :
-2
d(x)
1
d(x)
tp(x) :
-2
u(x)
1
u(x)
td(x) :
-2
v(x)
1
v(x)
nT II vr := .25 • xi tpi: и tdi := td(zi)
ti := tan(xi) II 1 ;Я rdi := hi- tdi|
£ II о в о := 0 td 0 := 0 О Jl о О II о &
rd0 := 0 о d ii
Таблица 11
X- P t, rP,
0.000000000 0.000000000 0.000000000000 0.000
0.078539816 0.078701705 0.078701706825 1.566e-9
0.157079633 0.158384389 0.158384440325 5.101e-8
0.235619449 0.240078360 0.240078759080 3.992e-7
0.314159265 0.324917941 0.324919696233 1.756e-6
0.392699082 0.414207896 0.414213562373 5.666e-6
0.471238898 0.509510330 0.509525449494 1.512e-5
0.549778714 0.612765208 0.612800788140 3.558e-5
0.628318531 0.726465745 0.726542528005 7.678e-5
0.706858347 0.853924684 0.854080685463 1.560e-4
0.785398163 0.999695846 1.000000000000 3.042e-4
Таблица 12
X tdt tг rdi
0.000000000 0.000000000 0.000000000000 0.000
0.078539816 0.078701707 0.078701706825 2.610e-10
0.157079633 0.158384432 0.158384440325 8.506e-9
0.235619449 0.240078692 0.240078759080 6.662e-8
0.314159265 0.324919403 0.324919696233 2.933e-7
0.392699082 0.414212615 0.414213562373 9.476e-7
0.471238898 0.509522917 0.509525449494 2.533e-6
0.549778714 0.612794818 0.612800788140 5.970e-6
0.628318531 0.726529617 0.726542528005 1.291e-5
0.706858347 0.854054391 0.854080685463 2.629e-5
0.785398163 0.999948594 1.000000000000 5.141e-5
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
\tgx - р(х|с|-0.p] < 3.1 -10
tgx - td2(х)||Гг p] < 5.2 -10
3.2. Возьмем приближения
„ / \ 1 з 25
tg z » P5(z)= z + — z +-z,
5W 3 15
2 2 z z z
T / \ z z z
tg z » d3 (z ) = - — —
3W 1 - 3 - 5
-5
4
(30)
(31)
(32)
(33)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (32) и (33) на сетке (10). Результаты помещены в таблицах 13, 14.
Таблица 13
X- P ti гр-
0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000
0.078539816 0.078701708 0.078701707 7.825e-10
0.157079633 0.158384466 0.158384440 2.546e-8
0.235619449 0.240078958 0.240078759 1.988e-7
0.314159265 0.324920567 0.324919696 8.713e-7
0.392699082 0.414216362 0.414213562 2.800e-6
0.471238898 0.509532882 0.509525449 7.433e-6
0.549778714 0.612818170 0.612800788 1.738e-5
0.628318531 0.726579771 0.726542528 3.724e-5
0.706858347 0.854155737 0.854080685 7.505e-5
0.785398163 1.000144989 1.000000000 1.450e-4
Таблица 14
X tdi ti rdi
0.000000000 0.000000000 0.000000000000 0.000
0.078539816 0.078701707 0.078701706825 2.873e-15
0.157079633 0.158384440 0.158384440325 3.748e-13
0.235619449 0.240078759 0.240078759080 6.606e-12
0.314159265 0.324919696 0.324919696233 5.171e-11
0.392699082 0.414213562 0.414213562373 2.612e-10
0.471238898 0.509525448 0.509525449494 1.005e-9
0.549778714 0.612800785 0.612800788140 3.228e-9
0.628318531 0.726542519 0.726542528005 9.121e-9
0.706858347 0.854080662 0.854080685463 2.352e-8
0.785398163 0.999999943 1.000000000000 5.681e-8
На основе результатов этих таблиц заключаем, что \px - P (xIcJ0.P] < 48 "i0-6’ (34)
\tg x - td3(x) cг p 1 < 5.7 -10-8. (35)
3.3. Возьмем приближения
tg z » P7(z)= z +1 z3 + — z5 + -17-z7, (36)
7W 3 15 315
tgz » d4 (z)
z
1 - 3 - 5 - 7
(37)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (32) и (33) на сетке (10). Результаты помещены в таблицах 15, 16.
Таблица 15
X- tPг ti ГРг
0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000
0.078539816340 0.078701706825 0.078701706825 0.000
0.157079632679 0.158384440325 0.158384440325 1.987e-14
0.235619449019 0.240078759079 0.240078759080 7.884e-13
0.314159265359 0.324919696222 0.324919696233 1.096e-11
0.392699081699 0.414213562287 0.414213562373 8.633e-11
0.471238898038 0.509525449017 0.509525449494 4.777e-10
0.549778714378 0.612800786057 0.612800788140 2.083e-9
0.628318530718 0.726542520338 0.726542528005 7.668e-9
0.706858347058 0.854080660508 0.854080685463 2.495e-8
0.785398163397 0.999999925837 1.000000000000 7.416e-8
Таблица 16
Xi tdj ti rdi
0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000
0.078539816340 0.078701706825 0.078701706825 0.000
0.157079632679 0.158384440325 0.158384440325 0.000
0.235619449019 0.240078759080 0.240078759080 0.000
0.314159265359 0.324919696233 0.324919696233 5.052e-15
0.392699081699 0.414213562373 0.414213562373 3.997e-14
0.471238898038 0.509525449494 0.509525449494 2.217e-13
0.549778714378 0.612800788139 0.612800788140 9.684e-13
0.628318530718 0.726542528002 0.726542528005 3.576e-12
0.706858347058 0.854080685452 0.854080685463 1.167e-11
0.785398163397 0.999999999965 1.000000000000 3.482e-11
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
||&х - Р(х)lc[0;5] < 7-5 •10 ||tg x - td4(х)|C-п.*] < 3.5 • 103.4. Возьмем приближения tg z » P9(z
1 3 2 5 17
z + - z +— z + z
3 15 315
2 2 2 2
z z z z z
" 1 - 3 - 5 - 7 - 9
62
2835
(38)
(39)
(40)
(41)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (40) и (41) на сетке (10). Результаты помещены в таблицах 17, 18.
8
7
9
z
Таблица 17
X- Р tг ГРг
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.000
0.235619449019234 0.240078759080115 0.240078759080116 1.110e-15
0.314159265358979 0.324919696232879 0.324919696232906 2.737e-14
0.392699081698724 0.414213562372758 0.414213562373095 3.373e-13
0.471238898038469 0.509525449491742 0.509525449494429 2.687e-12
0.549778714378214 0.612800788123986 0.612800788139932 1.595e-11
0.628318530717959 0.726542527928685 0.726542528005361 7.668e-11
0.706858347057703 0.854080685147635 0.854080685463467 3.158e-10
0.785398163397448 0.999999998841227 1.000000000000000 1.159e-9
Таблица 18
X tdj ti rdi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.000
0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0.000
0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0.000
0.392699081698724 0.414213562373095 0.414213562373095 0.000
0.471238898038469 0.509525449494429 0.509525449494429 0.000
0.549778714378214 0.612800788139932 0.612800788139932 0.000
0.628318530717959 0.726542528005360 0.726542528005361 0.000
0.706858347057703 0.854080685463463 0.854080685463467 3.775e-15
0.785398163397448 0.999999999999986 1.000000000000000 1.366e-14
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
\\tgx - p(хIсj0*j < L2 ЖГ9,
\tgx - td5(х|^^p j < 1.7 •lO 3.5. Возьмем приближения
1382
. nf \ 1 3 2 5 17 7 62 9
tg z » P9(z) = z + — z +-z +----z +------z +-
9W 3 15 315 2835 155925
z z
2
_2 2 2 2 zzzz
tg z » d4 (z ) = -
4W 1 - 3 - 5 - 7 - 9 -11
(42)
(43)
(44)
(45)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (44)
и (45) на
сетке (10). Результаты помещены в таблицах 19, 20.
Таблица 19
X P ti гРг
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.000
0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0.000
0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0.000
0.392699081698724 0.414213562373094 0.414213562373095 1.388e-15
0.471238898038469 0.509525449494414 0.509525449494429 1.510e-14
0.549778714378214 0.612800788139810 0.612800788139932 1.223e-13
0.628318530717959 0.726542528004594 0.726542528005361 7.666e-13
0.706858347057703 0.854080685459469 0.854080685463467 3.997e-12
0.785398163397448 0.999999999981894 1.000000000000000 1.811e-11
Таблица 20
xi tdj ti rdi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.000
0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0.000
0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0.000
0.392699081698724 0.414213562373095 0.414213562373095 0.000
0.471238898038469 0.509525449494429 0.509525449494429 0.000
0.549778714378214 0.612800788139932 0.612800788139932 0.000
0.628318530717959 0.726542528005361 0.726542528005361 0.000
0.706858347057703 0.854080685463467 0.854080685463467 0.000
0.785398163397448 1.000000000000000 1.000000000000000 0.000
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
||tg x- tpu(x)|„го ж 1 < 1.9-10-11
llcl 0
lltg x - td6 (x )|
C 0
< 10
17
4. Пусть k = 3 .
4
4
(46)
(47)
x
Если д ля функции tg 4 воспользоваться равенством (25), то д ля функции tgx получим представление:
tgx
- 2
- 2 1
- 2 1 - 2
x 1 tg 8 —
-2
-2
1
tg
8
x1 tg 8 - ~ tg 8
x1 tg 8 - ~ tg 8
- 2
x 1 tg 8 -
tg 8
(48)
Если вместо функции tg получим разложение tgx
x
8
в
в представлении (48) подставить ее разложение в цепную дробь, то ветвящуюся цепную дробь с восьмью ветвями:
tgx =
- 2
- 2
1
-2
1
-2
,2
1-
Z
z
z
2 2
z 2 z z
3-— 1----^ 1---
2
1
z
где R( z) =
Z" Z2 ! z2
5-. 3----------3------------------1----------------r
M 5 -. 5-. 3 - —
: : 5 -
- 2
2
1 -
z
2 2 2 z z z
3- — 1-------^ 1------
1_
z
5 -
3-
2 2
— 3 - — 1--z 2
5 - 5- 3- —
5-
R( z)
(49)
- 2 1
z 1 - 2
x
• z = 8.
x
Если вместо функции tg— в равенстве (48) подставить ее тейлоровское разложение в ряд, то
8
равенство (48) примет вид: tgx =
-2
- 2 1
- 2 1 - 2
(50)
T (z) -
1
-2
-2
1
T ( z) T ( z) - — T ( z )------— -------------
V ' T(z) V ' T(z) T(z) -J.
T ( z)
z = —, T (z) - тейлоровское разложение функции tg — . 88
x
Теперь будем функцию tgz (z = —) в равенствах (49), (50) приближать частичными сум-
8
мами ряда (2) и подходящими дробями цепной дроби (3).
4.1. Возьмем приближения
tgz » P3(z)= z + 3z'•
tgz » d2 (z ) = J - ^
(51)
(52)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (51) и (52) на сетке (10). Результаты помещены в таблицах 21, 22.
1
z
pi := 4 • atan(1) h := — 40
1 3
p(x) := x + — x 3
d(x) :=
x
2
x
1 - — 3
u(x) := ■
-2
tp(x) := ■
u1(x) -
1
u1(x)
v1(x) :=■
-2
v(x) -
v(x)
u1(x) :=
-2
1 u(x) - —
p(x) u(x)
-2 -2
v(x) := •
d(x) -
d(x)
td(x) := ■
-2
v1(x) -
1
v1(x)
i := 1.. 10 x := i • h Zi := .125 • x
1
1
tPi := tP(zi) tdi := td(zi) ti := tan(x.)
rPi := |ti - tyi| rdi := |ti - tdi| i:=0..10
Таблица 21
P t, rPi
0.000000000000000 0.000000000000 0.000000000000000 0.000000000000
0.078539816339745 0.078701706727 0.078701706824618 9.787795574034e-11
0.157079632679490 0.158384437134 0.158384440324536 3.190352343418e-9
0.235619449019234 0.240078734091 0.240078759080116 2.498890150360e-8
0.314159265358979 0.324919586201 0.324919696232906 1.100314274138e-7
0.392699081698724 0.414213206722 0.414213562373095 3.556512694902e-7
0.471238898038469 0.509524498616 0.509525449494429 9.508786652512e-7
0.549778714378214 0.612798545473 0.612800788139932 2.242666522934e-6
0.628318530717959 0.726537675502 0.726542528005361 4.852503327935e-6
0.706858347057703 0.854070797037 0.854080685463467 9.888426639848e-6
0.785398163397448 0.999980655432 1.000000000000000 1.934456828889e-5
Таблица 22
*i tdi ti rdt
0.000000000000000 0.000000000000 0.000000000000000 0.000000000000
0.078539816339745 0.078701706808 0.078701706824618 1.631353385712e-11
0.157079632679490 0.158384439793 0.158384440324536 5.317986051523e-10
0.235619449019234 0.240078754914 0.240078759080116 4.166107542281e-9
0.314159265358979 0.324919677884 0.324919696232906 1.834867702222e-8
0.392699081698724 0.414213503047 0.414213562373095 5.932626889749e-8
0.471238898038469 0.509525290818 0.509525449494429 1.586764463157e-7
0.549778714378214 0.612800413730 0.612800788139932 3.744095137259e-7
0.628318530717959 0.726541717468 0.726542528005361 8.105374990075e-7
0.706858347057703 0.854079032778 0.854080685463467 1.652685008069e-6
0.785398163397448 0.999996764745 1.000000000000000 3.235254630529e-6
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
->-5
\\tgx - p (х|сj0* j < 2 • 10-\\tgx - td2(х|гГ0.рj < З.З-6.
4.2. Возьмем приближения
/ \ 1 3 2 5
tg z » P5 (z )= z + — z +--------z,
3
15
2 2 z z z
, ( \ z z z
tg z » d3 (z ) = - — — 3W 1 - 3 - 5
4
(53)
(54)
(55)
(56)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (55) и (56) на сетке (10). Результаты помещены в таблицах 23, 24.
Таблица 23
X- Р t, rP-
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000
0.078539816339745 0.078701706824615 0.078701706824618 3.816391647148976e-15
0.157079632679490 0.158384440324038 0.158384440324536 4.977962486663046e-13
0.235619449019234 0.240078759071342 0.240078759080116 8.773842763432072e-12
0.314159265358979 0.324919696164225 0.324919696232906 6.868094981626882e-11
0.392699081698724 0.414213562026227 0.414213562373095 3.468680898066623e-10
0.471238898038469 0.509525448158978 0.509525449494429 1.335450861006393e-9
0.549778714378214 0.612800783852852 0.612800788139932 4.287080135334520e-9
0.628318530717959 0.726542515889690 0.726542528005361 1.211567135506186e-8
0.706858347057703 0.854080654215964 0.854080685463467 3.124750225236284e-8
0.785398163397448 0.999999924531703 1.000000000000000 7.546829694504709e-8
Таблица 24
X tdi ti rdi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000
0.078539816339745 3.816391647148976e-15 0.078701706824618 0.000000000000000
0.157079632679490 4.977962486663046e-13 0.158384440324536 5.856426454897701e-15
0.235619449019234 8.773842763432072e-12 0.240078759080116 1.033062524413708e-13
0.314159265358979 6.868094981626882e-11 0.324919696232906 8.084644065320390e-13
0.392699081698724 3.468680898066623e-10 0.414213562373095 4.085065619108264e-12
0.471238898038469 1.335450861006393e-9 0.509525449494429 1.573519092801234e-11
0.549778714378214 4.287080135334520e-9 0.612800788139932 5.054112683922085e-11
0.628318530717959 1.211567135506186e-8 0.726542528005361 1.429245610751195e-10
0.706858347057703 3.124750225236284e-8 0.854080685463467 3.688820360281397e-10
0.785398163397448 7.546829694504709e-8 1.000000000000000 8.916355431765055e-10
На основе результатов этих таблиц заключаем, что \\tgX - tP5 (X|c^0.Pj < 76 ^10Л (57)
\tgx - td3 (x) cj-0.p j < 9 • 10-10. (58)
4.2. Возьмем приближения
„ ( \ 1 3 2 5
tg z » P7 (z ) = z + — z +-z +
7W 3 15 315
5 , 17 7 z ,
2 2 2 z z z z
, / \ z z z z
tg z » d4 (z) = — - -- ----
4W 1 - 3 - 5 - 7
(59)
(60)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (59) и (60) на сетке (10). Результаты помещены в таблицах 25, 26.
Таблица 25
X- P ti rPi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000000000000000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.000000000000000
0.235619449019234 0.240078759080113 0.240078759080116 3.053113317719181e-15
0.314159265358979 0.324919696232863 0.324919696232906 4.285460875053104e-14
0.392699081698724 0.414213562372756 0.414213562373095 3.387290448131353e-13
0.471238898038469 0.509525449492551 0.509525449494429 1.877831223850990e-12
0.549778714378214 0.612800788131727 0.612800788139932 8.204770196584832e-12
0.628318530717959 0.726542527975076 0.726542528005361 3.028532979953980e-11
0.706858347057703 0.854080685364611 0.854080685463467 9.885547935795103e-11
0.785398163397448 0.999999999705242 1.000000000000000 2.947574406775289e-10
Таблица 26
xi tdi ti rdi
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000000000000000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.000000000000000
0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0.000000000000000
0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0.000000000000000
0.392699081698724 0.414213562373095 0.414213562373095 0.000000000000000
0.471238898038469 0.509525449494428 0.509525449494429 0.000000000000000
0.549778714378214 0.612800788139928 0.612800788139932 3.885780586188048e-15
0.628318530717959 0.726542528005347 0.726542528005361 1.409983241273949e-14
0.706858347057703 0.854080685463421 0.854080685463467 4.551914400963142e-14
0.785398163397448 0.999999999999863 1.000000000000000 1.364464097264317e-13
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
x
М 4^0,
4.3. Возьмем приближения
4 < 3 • 10-10,
■j < 1.4 -10-13.
1325 17
-z +—z +
3 15 315
2 2 2 2
N N N z
3 - 5 - 7 - - 9 '
7 , 62 9
-z ,
2835
7
4
4
(61)
(62)
(63)
(64)
и найдем приближенные значения функции tg X при помощи представлений (63) и (64) на сетке (10). Результаты помещены в таблицах 27, 28.
Таблица 27
X- tPi ti гр-
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000000000000000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.000000000000000
0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0.000000000000000
0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0.000000000000000
0.392699081698724 0.414213562373095 0.414213562373095 0.000000000000000
0.471238898038469 0.509525449494426 0.509525449494429 2.664535259100376e-15
0.549778714378214 0.612800788139916 0.612800788139932 1.565414464721471e-14
0.628318530717959 0.726542528005285 0.726542528005361 7.571721027943568e-14
0.706858347057703 0.854080685463154 0.854080685463467 3.129718706418316e-13
0.785398163397448 0.999999999998848 1.000000000000000 1.151634343443675e-12
Таблица 26
xi tdj ti rdt
0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000
0.078539816339745 0.078701706824618 0.078701706824618 0.000000000000000
0.157079632679490 0.158384440324536 0.158384440324536 0.000000000000000
0.235619449019234 0.240078759080116 0.240078759080116 0.000000000000000
0.314159265358979 0.324919696232906 0.324919696232906 0.000000000000000
0.392699081698724 0.414213562373095 0.414213562373095 0.000000000000000
0.471238898038469 0.509525449494429 0.509525449494429 0.000000000000000
0.549778714378214 0.612800788139932 0.612800788139932 0.000000000000000
0.628318530717959 0.726542528005361 0.726542528005361 0.000000000000000
0.706858347057703 0.854080685463467 0.854080685463467 0.000000000000000
0.785398163397448 1.000000000000000 1.000000000000000 0.000000000000000
На основе результатов этих таблиц заключаем, что \\tgx _ tp9 (x)| с|-0;p j < 1.2 -10_12, (65)
\\tgx _ td5 (x) сj < 10_16. (66)
По результатам проведенного вычислительного эксперимента сделаем следующие выводы.
1. При уменьшении интервала изменения аргумента в два раза в случае тейлоровского приближения каждой ветви выражения (7) переход от многочлена P2k_1 (z) к многочлену
P2 k+1 (z) улучшает качество аппроксимации на порядок; в случае же приближения каждой ветви выражения (6) подходящей дробью переход от подходящей дроби dk (z) к dk+1 (z) улучшает качество аппроксимации на 2-3 порядка.
2. При уменьшении интервала изменения аргумента в четыре раза в случае тейлоровского приближения каждой ветви выражения (27) переход от многочлена P2k_1(z) к многочлену P2k+1 (z) улучшает качество аппроксимации на 2 порядка; в случае же приближения
каждой ветви выражения (26) подходящей дробью переход от подходящей дроби dk (z) к dk+1 (z) улучшает качество аппроксимации на 3 порядка.
3. При уменьшении интервала изменения аргумента в восемь раз в случае тейлоровского приближения каждой ветви выражения (50) переход от многочлена P2к_1 (z) к многочлену
Р2 к+1 (z) улучшает качество аппроксимации на 2 порядка; в случае же приближения каждой ветви выражения (49) подходящей дробью переход от подходящей дроби dk (z) к dk+1(z)
улучшает качество аппроксимации на 3-4 порядка.
4. Из двух рассмотренных методов приближения по простоте реализации и качеству приближения несомненным преимуществом обладает метод цепных дробей.
5. Увеличение количества звеньев разложения функции tg(х) в ветвящуюся цепную дробь практически не усложняет алгоритм вычисления приближенных значений указанной функции.
Примечание. Аналогичные результаты можно получить при аппроксимации функции y = th х подходящими дробями. Так как тригонометрические функции sin х и cos х выра-
жаются через функцию
х
tg 2
гиперболические функции sh х и ch х
через th
х
2
показа-
тельная функция вх
через th
х
2
вящимися цепными дробями.
то указанные функции можно с успехом представлять вет-
ЛИТЕРАТУРА
1. Люстерник Л. А., Червоненкис О. А., Янпольский А. Р. Математиченский анализ. Вычисление элементарных функций. СМБ. - М.: Физматгиз, 1963. - 248 с.
2. Скоробагатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. - М.: Наука, 1983.
3. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. -М.: Гостехиздат, 1956.
Об авторах
Корнеев Петр Кириллович, Ставропольский государственный университет, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы, приближение функций с помощью цепных дробей. teacher@pm. stavsu.ru
Гончарова Елена Николаевна, Ставропольский государственный университет, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы. hele@rbcmail.ru
Журавлева Ирина Александровна Ставропольский государственный университет, кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы, методика преподавания информатики. teacher@pm. stavsu.ru
Непретимова Елена Владимировна, Ставропольский государственный университет, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы. teacher@pm. stavsu.ru
