CC BY
54
Б. Эшпулатов*, Э. У. Арзикулов**, Д. Ш. Хужанова**
КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРОВОЛОКАХ
*Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, ул. Шохрух мирзо 47а, Самарканд, 140104, Республика Узбекистан, eshkuva.l asamdu.uz Самаркандский государственный университет им. А. Навои, Университетский бульвар, 15, г. Самарканд, 140104, Республика Узбекистан
Введение
На протяжении последних трех десятилетий физика низкоразмерных полупроводниковых структур становится существенной частью повседневных научных исследований. Это связано главным образом с тем, что низкоразмерные структуры дают возможность исследователю раскрыть особенности многих новых физических явлений. Здесь следует особенно обратить внимание на возросший в последние годы интерес к изучению одномерных электронных структур (quantum wire) [1-3].
Метод комбинационного рассеяния света (КРС) интенсивно применялся для изучения двумерных электронных структур [4-6]. Исследования КРС впервые указали на существование одночастичных возбуждений при переходе между двумя двумерными подзонами в электронной системе, чего нельзя было достичь методом поглощения света из-за деполяризационных и экситонных эффектов.
В настоящей работе исследуется КРС в размерно-квантованной полупроводниковой проволоке. КРС рассматривается при температуре T=0K, когда верхняя валентная зона целиком заполнена, а зоны проводимости пусты. Поглотив квант возбуждающего света , электрон из одной подзоны валентной зоны (V) переходит в одну из подзон зоны проводимости (С), а затем, испустив квант вторичного излучения has, в нижнюю подзону зоны проводимости или валентной зоны.
1. Постановка задачи
Сечение рассеяния света вычисляется с помощью соотношения [7]:
2„ Т/2,., 2 АЛ
d2c Vz&
d Qdos (2п)
3 с4
n
W, (1)
где V - нормировочный объем, с - скорость света в вакууме, п^ - коэффициент преломления света, Ж - вероятность испускания кванта На!1 в единицу времени в интервале телесного угла dQ, нормированная на один фотон На1 в объеме V и вычисленная для среды с равным единице коэффициентом преломления света:
, -,,12
W = К + M2p(E, - E,), (2)
ft a
где
м _^( ЛН ^1а)(а1Н п\) + ^ ( /1Н л1аХа1Н (3)
М ^ Е - Е V Е - ЕЬ ' 1)
а га Ь г Ь
Здесь ] =1,2 соответствуют вкладам электронов и дырок; Еі и Е^ - энергии начального (| ) и
конечного (| ) состояний системы, а Еа и ЕЬ соответствуют энергиям промежуточных состояний
системы. Н1 (s) - гамильтониан взаимодействия первичного (вторичного) света с системой, который определим в виде
© Эшпулатов Б., Арзикулов Э. У., Хужанова Д. Ш., Электронная обработка материалов, 2010, № 1, С. 90 -96.
=
т
2лй
V К°ч*) ]
е1(*)Р
(4)
где е - заряд свободного электрона, т - масса квазичастицы, взаимодействующей с фотоном; ег(*) - вектор поляризации первичного (вторичного) излучения; Р - оператор импульса.
На рис. 1 показаны фейнмановские диаграммы, описывающие рассматриваемый процесс. Диаграммы а и с описывают процесс излучения электронами фотоны с частотой О* и
непосредственно выражаются двумя правыми членами равенства (3). Диаграммы Ь и й соответствуют вкладам дырок в валентной зоне. На рис. 2 показаны зонные диаграммы процесса, эквивалентные диаграммам рис. \,а и 1,6 соответственно.
V
V
Рис.1. Диаграммы, дающие вклад в КРС, связанные с переходами между размерноквантованными уровнями в полупроводниковой проволоке. В конечном состоянии имеются электрон на уровне (Ы1 ,М1) с импульсом М1х и дырка на уровне (Ы2 ,М2) с импульсом М2х, а
также вторичный фотон с частотой О*. Диаграммы а и Ь соответствуют вкладам электронов и дырок соответственно. Диаграммы с и <3 соответствуют интерференционным процессам
1 1 Е ( 1
IV. А Ч- /р*
Г
“г к.
1 \
/г 1
Рис. 2. Зонные диаграммы, дающие вклад в КРС. Они эквивалентны диаграммам а и Ь на рис. 1 соответственно
Ь
с
В нашей модели полупроводниковая проволока направлена вдоль оси ох. Потенциальную энергию для электрона предположим в виде
[ 0 при 0 < у < й, [ 0 при 0 < г < I,
У(у) Ч Р у У(2) = ] р (5)
[да при у < 0 и у > а, [да при г < 0 и г > I,
где а (I) - ширина потенциальной ямы вдоль оси оу(ог).
Тогда, решая уравнения Шредингера с (5) и с помощью граничных условий для волновых функций электрона и дырки, соответственно получаем выражения
4 екіх'Х БІпі у | БІп) М)Я 2 \ис (г )
X () = Л 1-4ЄкХХ 8ІПІ
а у у і
Ып Л . (М7п 2 -у |БІПІ 2
и (?)
(6)
а 'у V I
Здесь ис и иу - блоховские модулирующие множители, V = Ьх • а • I; й - ширина проволоки вдоль оси оу, а I - вдоль оси ог; к1х и к2х - проекция волнового вектора электрона и дырки на ось ох соответственно; М1, М1 - номера размерно-квантованных уровней в зоне проводимости, а М2, М2 -в валентной зоне.
В приближении эффективной массы и параболического закона дисперсии энергии электронов и дырок соответственно равны
№
1х
2 4-2
п п
Ы2 +
2 4-2
п п
2т11
ЕУ (к2х . Ы2 ,М2 ) = -
^ к2х
7т7
_2 + 2 „2 + 2 П ^ л г2 П ^ , у-2
-N7 - ^
2т2 а
2 2
2 М2. N1 .Мі = 1.2...
Й2 М22. N2.М2 =1.2....
2т2і
(7)
где Е^ - ширина запрещенной зоны объемного полупроводника, ті(Т) - эффективная масса электрона (дырки).
В основном состоянии |/^ мы имеем фотон возбуждающего излучения с частотой ю1 и
пустую зону проводимости, полностью заполненную электронами валентную зону. Энергия основного состояния
Е = Ию, .
(8)
В конечном состоянии мы имеем электрон с волновым вектором к1х на уровне N1, М2 зоны проводимости, дырку с волновым вектором к2Х на уровне Ы2, М2 в валентной зоне и фотон вторичного излучения с частотой ю ю .
Таким образом, энергия конечного состояния определяется выражением:
Н2Є Н2к2 п2Н2 „7 п2Н2 „7 п2Н2 ,7 п2Н2
Ег = Е& + Ню, + -
2т 2т,,
2т1ё‘
-Ы2 +
2т а
N2 +-
2 2
2т2і
2тЛ
М 72.
2 2
(9)
Согласно диаграммам на рис. 1 энергии электронов в промежуточных состояниях Еа и ЕЬ соответственно равны:
Е. = Е +
Гк2 п2Й
2тЬ2 ^ Лт'2
7р 2а2
N2 ы72 Л
1 -+- 2
V ті
т
2ь2 (
2 У
712
М/ М7
—— + —7
V ті
2
т
2 У
Еъ = Ея + Йю1 + Йюю +
Й2к2 п2Й2 ( N2 N7 Л
1 - + - 2
V ті
т
п2 Н2 (
2 У
712
где
7р 7а2
^ = [(і/ті ) + (і/т2)]\ р - приведенная эффективная масса электронно-дырочной пары (ЭДП).
Мі2 М7
—— + —7
V ті
2
т
2 У
(10)
(11)
(17)
В (10) и (11) предполагаем выполнение закона сохранения импульса, то есть к1х = — к2х = кх.
Волновой вектор ЭДП в процессах поглощения и испускания фотона (волновым вектором фотона пренебрежем) остается неизменным.
Из (8)—(11), используя законы сохранения энергии и импульса для знаменателей формулы (3), получим:
1,2 (—л?)+ф, (м,2 — м;2), (13)
2тхё
— 2^2 п Й
2ш11
— 2 4-2
п Й
Е — еь = —йш, +-^г (м2 — N2)+^ (м2 — м'2). г ь 1 2шхёК ’ 2т, ’
(14)
Нетрудно убедиться, что с использованием (13) и (14) в случае полупроводников с достаточно широкими запрещенными зонами (например, ОаЛ8), что вклад диаграммы с на рис. 1 по сравнению с вкладом диаграммы а пренебрежимо мал, и поэтому его не учитываем в дальнейших расчетах.
Аналогичные выражения могут быть написаны для энергии дырок в промежуточном состоянии, и в дальнейших расчетах пренебрегаем вкладом диаграммы й, сравнивая с вкладом диаграммы ь.
Таким образом, при вычислении ц . в (3) для определения дифференциального сечения КРС
ограничимся только учетом первого члена.
2. Дифференциальное сечение рассеяния света
Из (4) и (6) получим:
=тт-М -8-
'ИГ 2'“Г5м'.
к—1)‘ "2<ег 5 N
мм,
N2 — N
М‘М,
I м2 — м
* М1—5 л,л)[(—1)^ “ М1 — 5 м;м, )[(—1)'
(15)
ИГ')
е
т
2пй
ш,
е Р
СУ
5 . при 5 .
N;,N2 г м1,м2
5 , при 5
N;,N2 г м1 ,м2
(16)
где т0 - масса свободного электрона, РСУ - междузонный матричный элемент импульса,
вычисленный на блоховских множителях при к = 0 (то есть в точках к = 0).
Подставляя (15) и (16) в (3), получаем:
м1 + м2 =
2пе2 Й2
(еРСУ )
к
у
т
2< N N2
___1У^У2
й N2 — N
К ,м2 (1 5 N„N2 ) ( 12
цйш
—1
5 N;,N2 5 м м2 +
т,
— 2 4^2
п Й
2тхё'
■ +
‘(М2 — N22)
т0
йш„ —(N12 — N2)
2т2й
2/е„, мм,
2
I м2 — м22
т.
2* 2 п п
Йш, + (м.2 — м22) йш,
■ 2т1/п 1 2} ■
____т
2+2 п п
2т/
(м— м 2)
Подставляя (17) в (2), затем (2) в (1), получаем: й 2о
й Ой ш,
Ы2 У,/Г Nм.) + |е„|2 4
2
Ц
V то У
5 N„N2 )
N2 N2
__________
N^N-M; 4ЩЖЩ (м2—N-)
■[И)”1 *
— 1
йш,
Е
V ^ о У
Р1
Йш- + п 2в1 (м2 — N1)
+
Еп
йш
Е
■ + п2
в 2 (г — N22)
I |2 , I й
+ е1 4 I —
V т0 У
Йш,
Е
Vе' 0 У
м 5м м 2 ) м2м.
у ______
З^м^м 2 ТГммм) (м2 — м2)
-[ИГ
— 1
Р:
+п2в11,) (мг —м22)
- +
Е,
+ -
'2
^ — п2в2 Су! (м? —м,2)
(18)
где Е0 =
, РаС2)
т^
V/ ^(2)У
е Р
СУ
п ш,ЦЙш,
Г (1 ,м ) =
_2 + 2 „2+2 л_ л_ у-. п Н ЛТ2 п Н , ,2
Йш, — Йш, — Е8---------- N-----------^м1
1 ■ 8 2цй2 1 2ц/2 1
г (м^м ) =
Е0
2+2 24, , „ п л , ,2 п п
Йш, — Йш, — Е8------------------------— м 1-2
1 ^ 8 2ц/2 1 2й
2*2 С^ + NЛ
V т1 т2 У
г (м1,м1,м 2 ) =
Е0
п2 Й2 т9 п2 Й
Йш, — Йш, — Е8 —"' '\ N12 — 2
1 ■ 8 2цй 1 2/
V т1 т2 у
Е
(19)
(20)
(21)
(22)
3. Обсуждение результатов
При суммировании по номерам размерно-квантованных уровней (N1, N и м1, м 2) должны быть выполнены следующие условия:
„2*2 „2+2 4- 4- 7—г п Н _ г2 п Н .-2 /-Ч
Йш, — Йш, — Е8------------ N1---------- м2 > 0,
1 * 8 2цй 1 2 ц, 1
2
2
2
ha, - ha, -E„ -
п2 h2 2ц/2
2fc2 A
M2 -
йш, - ha, -Eg -
2+2 п n
2ц72
2d2
2*2 A
N2 N
v m1
N2 -
2/2
v m1
m
M
> 0.
2 J 2 Л
2
m
> 0.
(24)
(25)
2 J
Как видно из (18), дифференциальное сечение КРС анизотропно, так же сингулярно (как квадратный корень) при Г(Ы1,Ы2,М1) = 0 и Г(Ы1,М1,М2) = 0, которое соответствует переходам электрона и дырки, соответственно показанные на рис. 2,а и 2,6. Кроме того, как следует из (18), дифференциальное сечение КРС имеет квадратичные сингулярности при
ш = п
Еп
Pi (N- N2)
Ш„ =
или
или
Ш = п
Еп
J Р, (N - N;);
п 2 (Т ](7 J2 в’ (( - M 22 ).
(26)
(27)
Значения частот (26) соответствуют переходам электрона между размерно-квантованными уровнями N1 и М2 в зоне проводимости (см. рис. 2,а) или переходам дырки между уровнями М1 и М2 в валентной зоне (см. рис. 2,6). Значения частот (27) соответствуют переходам электрона между уровнями М1 и М2 .
Если ширина проволоки вдоль оси оу и 02 одинакова, то есть d = I, то частоты (26) и (27) совпадают. В случае /1) < 1 вторичное излучение, соответствующее переходам между уровнями
N1 и М2, коротковолновое и поляризовано вдоль оси оу, тогда как рассеянный свет, соответствующий переходам между уровнями М1 и М2 , длинноволновый и поляризован вдоль оси
02. В обратном случае /1) > 1 картина меняется. Переходы между уровнями М1 и М2 (М1 и М2) должны подчиняться правилу отбора, согласно которому переходы разрешены, если N + N2 (М1 + М2) нечетные, в противном случае переходы запрещены. Эти результаты аналогичны с КРС в объемных полупроводниках в сильном магнитном поле, где переходы между уровнями Ландау удовлетворяют правилу отбора N = N ± 1 (N , N =0,1,2,...) [8, 9].
В размерно-квантованных полупроводниковых проволоках частоты вторичного излучения лежат в интервале
0 < ш, <
Е„
ш, -•
7
2 V
Еп
(28)
Как видно из (28), вторичное излучение распространяется только при Ью1 > Е +
1 +
2
Ео
иначе сечение КРС равно нулю.
Заметим, что при d и / , (18) приближается к выражению дифференциального
сечения КРС объемного полупроводника [10]. Первый член в (18) не сингулярен и соответствует прямым переходам между уровнями валентной зоны и зоны проводимости с N1 = N2 и M1 = M2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wendler L., Grigoryan V.G. Theory of magneto-optical absorption of the quasi-one-dimensional electron gas // Physica B. 1998. 245. Р. 127-156.
2. Miura N., Matsuda J. H., Uchida K., Arimoto H. Magneto-optical study of semiconductor nanostructures in high magnetic fields // J. Phys. Condens. Matter. 1990. 11. Р. 5917-5928.
3. Kasapoglu Е., Sari H., Sokmen I. Intersubband optical absorption in a quantum well under a tilted magnetic field // Superlat. and Microstruct. 2001. 29. Р. 25-32.
4. Павлов С.Т., Эшпулатов Б.Э. Рассеяние света инверсионным слоем полупроводника в МОП структуре // ФТТ. 1986. 28. №2. C. 389-393.
2
5. Коровин Л.И., Павлов С. Т., Эшпулатов Б.Э. Рассеяние света в инверсионном слое МОП структуры в магнитном поле // ФТТ. 1987. 29. № 11. С. 3421-3425.
6. Коровин Л.И., Павлов С.Т., Эшпулатов Б.Э. Экситонное комбинационное рассеяние света в
двумерной электронной системе // ФТТ. 1989. 31. № 11. С. 127-134.
7. Ивченко Е. Л., Ланг И. Г., Павлов С. Т. Теория резонансного вторичного свечения полупроводников
// ФТТ. 1977. 19. № 9. С. 1751-1759.
8. Wallis R.I., Mills D.I. Theory of interband Raman scattering in polar semiconductors in high magnetic
fields // Phys. Rev. 1970. 32. № 8. P. 3312-3315.
9. Goltsev A.V., Lang I.G., Pavlov S.T. Electron-phonon and Electron Raman scattering in polar
semiconductors in high magnetic fields // Phys. stat. sol(b). 1979. 94. P. 37-50.
10. Гольцев А.В., Ланг И.Г., Павлов С.Т. Бесфононное комбинационное рассеяние света в полупроводниках // ФТТ. 1978. 20. № 8. С. 2542-2545.
Поступила 24.05.08
Summary
Raman scattering differential cross section for a semiconductor quantum wires have been calculated. Considering interband transitions between the size quantized subbands. Existing the electron-hole pairs in the transient states belonging to subbands of conduction and valence bands are predicted. Photon frequency dependence of the cross section for excited and scattered radiation is analyzed for arbitrary polarization of secondary radiation. Singularities of the scattered radiation differential cross section are predicted.
