CC BY
9
Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 2, С. 63-66
УДК 517.11
КОЛЬЦО, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СТРУКТУРУ НАДГРУПП НЕРАСЩЕПИМОГО МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА
А. В. Шилов
Исследуются сети и сетевые кольца, ассоциированные с надгруппами нерасщепимого максимального
тора, связанного с радикальным расширением основного поля.
Ключевые слова: промежуточные подгруппы, нерасщепимый максимальный тор, сети, сетевые
группы, элементарная группа, трансвекция.
Работа посвящена исследованию сети и сетевого кольца [1—3], ассоциированной с над-группой нерасщепимого тора, связанного с радикальным расширением основного поля.
Пусть хп—й — неприводимый многочлен степени п над полем к, й £ к. Тогда вг = 6г-1, 1 ^ г ^ п, образует базис радикального расширения К = к( \/71), 9 = \[й поля К = к(9) над к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = Т(й), который является образом мультипликативной группы поля К = к( ^/71) при регулярном вложении в О = ОЬ(п,к).
С каждым вектором х = (х1 , х2 ,...,хп) £ кп \ 0 связана невырожденная матрица С(х), элементы которой вычисляются по формулам
(С«) г, =
хг+1—, 3 ^ Ц гз [ йхп+г+1-,, 3 > г + 1.
В выбранном базисе тор Т = Т (й) определяется как матричная группа
Т = Т(й) = {С(х) : х £ кп \ 0}.
С каждой матрицей С = С (х) = (сг,) связана обратная матрица С 1 = С (у) = = (Уъ • • • > Уп) £ кп, где г/г = \с{х) \' пРичем Си ~ алгебраическое дополнение элемента с1г матрицы С = С(х).
В работе рассматривается унитальное подкольцо К0 = К(й) поля к, порожденное элементами хгу,, йхгу5:
К0 = К(й) = ^хгу,-, йхг у3 : г + 3 ^ п +1, г + 5>п +1, х £ кп \ 0^}.
Пусть К — унитальное подкольцо поля к, й £ К. Пусть, далее, А1,..., Ап — идеалы кольца К, причем
А1 С ... С Ап, йАп С А1.
© 2011 Шилов А. В.
Через а = (а^) = а(А^ А2,..., Ап) мы обозначаем сеть идеалов, определенную следующим образом
Ai+1-j>
j < i;
dAra+i+i-j, j ^ i + 1.
Сеть а = (а^-) = а(А1, А2,..., Ап) мы называем сетью, ассоциированной с тором Т. Далее, М(а) — сетевое кольцо (С(а) — сетевая группа) [1]. Подгруппу Е(а), порожденную всеми трансвекциями из С(а), мы называем элементарной сетевой подгруппой, соответствующей тору Т.
Основным результатом статьи является следующая
Теорема 1. Тор Т нормализует сетевое кольцо М(а) для произвольной сети а = а(А1, А2,..., Ап), ассоциированной с тором, тогда и только тогда, когда й0 ^ Я.
Квадратную матрицу а = (а^) порядка п назовем матрицей сетевого вида, если ее элементы удовлетворяют условиям:
ars — ar+1,s+1; arn — d 1 ar + 1, 1 ,
a„s — da1,s+1;s
(V r, s < n).
Нетрудно видеть, что сумма и произведение матриц сетевого вида является матрицей сетевого вида.
Ясно, что матрица сетевого вида полностью определяется первым столбцом. Пусть 1 ^ в ^ п. Обозначим через (е5) матрицу сетевого вида с первым столбцом (0,... , 0,1, 0,... , 0)т в котором единица стоит на позиции в. Например, при п = 5, (ез) выглядит следующим образом:
(ез) —
/ 0 0 0 d 0 \ 0 0 0 0 d 10000 01000 \ 0 0 1 0 0 /
Пусть x G k, M, N — подмножества поля k. Тогда положим x • M — {x • m : m G M} и M + N — {m + n : m G M,n G N}.
Далее, пусть a G M(n, k), A — (Ars) — квадратная таблица порядка n, состоящая из подмножеств поля k, т. е. Ars С k. Определим умножение a * A следующим образом:
n
a * A — B, Brs — ^ ark • Aks-fc=1
Таким образом, a * A — матрица, состоящая из подмножеств поля k. Аналогично определим A * a.
Пусть таблица A — (Ajj) состоит из подмножеств поля k. Тогда под M (A) мы понимаем множество матриц, у которых на позиции (i, j) стоит элемент из Ajj:
M(A) — {a G M(n, k) : ajj G Ajj}.
Квадратную таблицу A — (Ars), состоящую из подмножеств поля k, называется таблицей сетевого вида, если выполняются условия:
Ars — A
r+1,s+b
Arn — d 1 Ar+1,1, „ Ans — dA1,s+1
(V r, s < n).
Кольцо, определяющее структуру надгрупп нерасщепимого максимального тора
65
Предложение 1. Пусть а £ М(п, к), А — квадратная таблица порядка п, состоящая из подмножеств поля к. Тогда аМ(А) С М(а * А). Обратное включение не всегда верно■ Далее, множество элементов, стоящих на позиции (г, в) во множестве матриц аМ (А), совпадает с множеством (а * А)„.
Доказательство теоремы вытекает из следующих двух предложений.
Предложение 2. с(ж)ас(у) £ М(а), где с(ж) £ Т, с(у) = с(ж)-1, а £ М(а).
< Если а £ М(а),с(ж) £ Т, то с(ж)ас(у) £ М( [с(ж) * а] * с(у)). Таким образом, достаточно показать, что Е = [с(ж) * а] * с(у) содержится в а (т. е. множество, стоящее на позиции (г, в) матрицы Е содержится во множестве аГ5).
Так как матрицы с(ж), а, с(у) имеют сетевой вид, то их произведение Е также имеет сетевой вид, поэтому включение достаточно показать для элементов первого столбца, т. е. С а51 = А5. При этом есть произведение в-ой строки матрицы с(ж) на матрицу а и на первый столбец матрицы с(у) (т. е. = с(ж)5ас(у)1).
Рассмотрим случай 1 ^ в < п:
= с(ж)5 ас(у)1 = (ж5 ,ж5-1,...,ж1,^жп,...,^ж5+1)ас(у)1 = с(ж)5(е5+1)(е5+1)-1Ас(у)1 = й(жп,жп-1,... ,ж1 )Вс(у)1.
Здесь В = (е5+1)-1 А — матрица сетевого вида (как произведение матриц сетевого вида). Первый столбец матрицы В выглядит следующим образом:
(Ая+1, А5+2,..., Ап, й-1 А1, й-1 А2,..., )т.
Обозначим через В1 = А5+1, В2 = А5+2, ..., Вп = й-1А5. Итак, матрица В является матрицей сетевого вида с первым столбцом: (В1, В2,..., Вп)т.
Далее, исходя из включений А1 С А2 С... С Ап, йАп С А1, имеем: В1 С В2 С ... С Вп, йВп С В1.
Исходя из вышесказанного, получаем, что включение С А5 равносильно включению:
/ У1 \
(жп,жп-1,...,ж1)^ .У2. С Вп.
\ Уп )
При в = п получаем аналогичное включение: (жп,жп-1,... ,ж1 )Ас(у)1 С Ап (т. е. при в = п матрица В совпадает с матрицей А).
Итак, доказываем, что (жп,жп-1,... ,ж1)Вс(у)1 С Вп, т. е.
п
У] жп+1-кУгВкг С Вп.
к,г=1
Первый случай: к ^ г. Тогда В&г = В^ для некоторого номера Далее, сумма индексов п +1 — к + г ^ п + 1, поэтому жп+1-куг £ й.
Второй случай: к < г. Тогда В&г = йВ^ для некоторого номера г. Сумма индексов п + 1 — к + г>п + 1, поэтому йжп+1-куг £ Д.
В обоих случаях получаем включение гВт С Вп, г £ Д, которое является верным. >
Предложение 3. Если тор Т нормализует М(а) для любой сети а, то йо С й.
< Рассмотрим следующую сеть а, для которой а ^ = А при г ^ ] и а^- = йА при г <
Из условия получаем с(ж)М(а)с(у) С М(а) для любой матрицы с(ж) £ Т. Зафиксируем позицию (г, в). Рассмотрим таблицу а' = (а^-), где аГ5 = аГ5, остальные а- = 0. Ясно, что М(а') С М(а) и с(ж)М(а')с(у) С М(а).
Согласно предложению 1 множество элементов, стоящих на позиции (п, 1) во множестве матриц с(х)М(ст')е(у), совпадает с множеством
c(x) * а' * c(y)
- xn+1 —Г y.sars•
ni
С другой стороны, множество элементов, стоящих на позиции (п, 1) во множестве М(а), есть множество ап1 = А.
Таким образом, получаем, что хп+1_г • ув • агв с А.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: п + 1 — г + в ^ п + 1 (т. е. г ^ в). В этом случае агв = А и хп+1_г • У в £ К.
Второй случай: п + 1 — г + в>п + 1 (т. е. г<в). В этом случае агв = йА и йхп+1_г • Ув £ К.
Заменим п + 1 — г = к. Тогда получим, что при к + в ^ п +1, х&ув £ К. А при к + в > п +1, йх&ув £ К. Поэтому К0 С К. >
Литература
1. Боревич З. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семинаров ПОМИ.—1976.—Т. 64.—С. 12-29.
2. Боревич З. И., Койбаев В. А. О кольцах множителей, связанных с промежуточными подгруппами, для квадратичных торов // Вестн. СП6ГУ.—1993.—Т. 1, № 2.—С. 5-10.
3. Койбаев В. А., Шилов А. В. О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Зап. науч. семининаров ПОМИ.—2010.—Т. 375.—С. 130-138.
Статья поступила 27 февраля 2011 г.
Шилов Александр Валентинович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, аспирант каф. алгебры и геометрии РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Ватутина, 46
A RING DETERMINING THE STRUCTURE OF OVERGROUPS OF A NON-SPLIT MAXIMAL TORUS
Shilov A. V.
We study nets and net rings associated with overgroups of a non-split maximal torus determined by with the radical extension of the main field.
Key words: intermediate subgroups, non-split maximal torus, nets, net groups, elementary group, transvection.
