Научная статья на тему 'Кольцо, определяющее структуру надгрупп нерасщепимого максимального тора'

Кольцо, определяющее структуру надгрупп нерасщепимого максимального тора Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
57
10
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ПОДГРУППЫ / НЕРАСЩЕПИМЫЙ МАКСИМАЛЬНЫЙ ТОР / СЕТИ / СЕТЕВЫЕ ГРУППЫ / ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГРУППА / ТРАНСВЕКЦИЯ. / INTERMEDIATE SUBGROUPS / NON-SPLIT MAXIMAL TORUS / NETS / NET GROUPS / ELEMENTARY GROUP / TRANSVECTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шилов Александр Валентинович

Исследуются сети и сетевые кольца, ассоциированные с надгруппами нерасщепимого максимального тора, связанного с радикальным расширением основного поля.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

We study nets and net rings associated with overgroups of a non-split maximal torus determined by with the radical extension of the main field.

Текст научной работы на тему «Кольцо, определяющее структуру надгрупп нерасщепимого максимального тора»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 2, С. 63-66

УДК 517.11

КОЛЬЦО, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СТРУКТУРУ НАДГРУПП НЕРАСЩЕПИМОГО МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА

А. В. Шилов

Исследуются сети и сетевые кольца, ассоциированные с надгруппами нерасщепимого максимального

тора, связанного с радикальным расширением основного поля.

Ключевые слова: промежуточные подгруппы, нерасщепимый максимальный тор, сети, сетевые

группы, элементарная группа, трансвекция.

Работа посвящена исследованию сети и сетевого кольца [1—3], ассоциированной с над-группой нерасщепимого тора, связанного с радикальным расширением основного поля.

Пусть хп—й — неприводимый многочлен степени п над полем к, й £ к. Тогда вг = 6г-1, 1 ^ г ^ п, образует базис радикального расширения К = к( \/71), 9 = \[й поля К = к(9) над к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = Т(й), который является образом мультипликативной группы поля К = к( ^/71) при регулярном вложении в О = ОЬ(п,к).

С каждым вектором х = (х1 , х2 ,...,хп) £ кп \ 0 связана невырожденная матрица С(х), элементы которой вычисляются по формулам

(С«) г, =

хг+1—, 3 ^ Ц гз [ йхп+г+1-,, 3 > г + 1.

В выбранном базисе тор Т = Т (й) определяется как матричная группа

Т = Т(й) = {С(х) : х £ кп \ 0}.

С каждой матрицей С = С (х) = (сг,) связана обратная матрица С 1 = С (у) = = (Уъ • • • > Уп) £ кп, где г/г = \с{х) \' пРичем Си ~ алгебраическое дополнение элемента с1г матрицы С = С(х).

В работе рассматривается унитальное подкольцо К0 = К(й) поля к, порожденное элементами хгу,, йхгу5:

К0 = К(й) = ^хгу,-, йхг у3 : г + 3 ^ п +1, г + 5>п +1, х £ кп \ 0^}.

Пусть К — унитальное подкольцо поля к, й £ К. Пусть, далее, А1,..., Ап — идеалы кольца К, причем

А1 С ... С Ап, йАп С А1.

© 2011 Шилов А. В.

Через а = (а^) = а(А^ А2,..., Ап) мы обозначаем сеть идеалов, определенную следующим образом

Ai+1-j>

j < i;

dAra+i+i-j, j ^ i + 1.

Сеть а = (а^-) = а(А1, А2,..., Ап) мы называем сетью, ассоциированной с тором Т. Далее, М(а) — сетевое кольцо (С(а) — сетевая группа) [1]. Подгруппу Е(а), порожденную всеми трансвекциями из С(а), мы называем элементарной сетевой подгруппой, соответствующей тору Т.

Основным результатом статьи является следующая

Теорема 1. Тор Т нормализует сетевое кольцо М(а) для произвольной сети а = а(А1, А2,..., Ап), ассоциированной с тором, тогда и только тогда, когда й0 ^ Я.

Квадратную матрицу а = (а^) порядка п назовем матрицей сетевого вида, если ее элементы удовлетворяют условиям:

ars — ar+1,s+1; arn — d 1 ar + 1, 1 ,

a„s — da1,s+1;s

(V r, s < n).

Нетрудно видеть, что сумма и произведение матриц сетевого вида является матрицей сетевого вида.

Ясно, что матрица сетевого вида полностью определяется первым столбцом. Пусть 1 ^ в ^ п. Обозначим через (е5) матрицу сетевого вида с первым столбцом (0,... , 0,1, 0,... , 0)т в котором единица стоит на позиции в. Например, при п = 5, (ез) выглядит следующим образом:

(ез) —

/ 0 0 0 d 0 \ 0 0 0 0 d 10000 01000 \ 0 0 1 0 0 /

Пусть x G k, M, N — подмножества поля k. Тогда положим x • M — {x • m : m G M} и M + N — {m + n : m G M,n G N}.

Далее, пусть a G M(n, k), A — (Ars) — квадратная таблица порядка n, состоящая из подмножеств поля k, т. е. Ars С k. Определим умножение a * A следующим образом:

n

a * A — B, Brs — ^ ark • Aks-fc=1

Таким образом, a * A — матрица, состоящая из подмножеств поля k. Аналогично определим A * a.

Пусть таблица A — (Ajj) состоит из подмножеств поля k. Тогда под M (A) мы понимаем множество матриц, у которых на позиции (i, j) стоит элемент из Ajj:

M(A) — {a G M(n, k) : ajj G Ajj}.

Квадратную таблицу A — (Ars), состоящую из подмножеств поля k, называется таблицей сетевого вида, если выполняются условия:

Ars — A

r+1,s+b

Arn — d 1 Ar+1,1, „ Ans — dA1,s+1

(V r, s < n).

Кольцо, определяющее структуру надгрупп нерасщепимого максимального тора

65

Предложение 1. Пусть а £ М(п, к), А — квадратная таблица порядка п, состоящая из подмножеств поля к. Тогда аМ(А) С М(а * А). Обратное включение не всегда верно■ Далее, множество элементов, стоящих на позиции (г, в) во множестве матриц аМ (А), совпадает с множеством (а * А)„.

Доказательство теоремы вытекает из следующих двух предложений.

Предложение 2. с(ж)ас(у) £ М(а), где с(ж) £ Т, с(у) = с(ж)-1, а £ М(а).

< Если а £ М(а),с(ж) £ Т, то с(ж)ас(у) £ М( [с(ж) * а] * с(у)). Таким образом, достаточно показать, что Е = [с(ж) * а] * с(у) содержится в а (т. е. множество, стоящее на позиции (г, в) матрицы Е содержится во множестве аГ5).

Так как матрицы с(ж), а, с(у) имеют сетевой вид, то их произведение Е также имеет сетевой вид, поэтому включение достаточно показать для элементов первого столбца, т. е. С а51 = А5. При этом есть произведение в-ой строки матрицы с(ж) на матрицу а и на первый столбец матрицы с(у) (т. е. = с(ж)5ас(у)1).

Рассмотрим случай 1 ^ в < п:

= с(ж)5 ас(у)1 = (ж5 ,ж5-1,...,ж1,^жп,...,^ж5+1)ас(у)1 = с(ж)5(е5+1)(е5+1)-1Ас(у)1 = й(жп,жп-1,... ,ж1 )Вс(у)1.

Здесь В = (е5+1)-1 А — матрица сетевого вида (как произведение матриц сетевого вида). Первый столбец матрицы В выглядит следующим образом:

(Ая+1, А5+2,..., Ап, й-1 А1, й-1 А2,..., )т.

Обозначим через В1 = А5+1, В2 = А5+2, ..., Вп = й-1А5. Итак, матрица В является матрицей сетевого вида с первым столбцом: (В1, В2,..., Вп)т.

Далее, исходя из включений А1 С А2 С... С Ап, йАп С А1, имеем: В1 С В2 С ... С Вп, йВп С В1.

Исходя из вышесказанного, получаем, что включение С А5 равносильно включению:

/ У1 \

(жп,жп-1,...,ж1)^ .У2. С Вп.

\ Уп )

При в = п получаем аналогичное включение: (жп,жп-1,... ,ж1 )Ас(у)1 С Ап (т. е. при в = п матрица В совпадает с матрицей А).

Итак, доказываем, что (жп,жп-1,... ,ж1)Вс(у)1 С Вп, т. е.

п

У] жп+1-кУгВкг С Вп.

к,г=1

Первый случай: к ^ г. Тогда В&г = В^ для некоторого номера Далее, сумма индексов п +1 — к + г ^ п + 1, поэтому жп+1-куг £ й.

Второй случай: к < г. Тогда В&г = йВ^ для некоторого номера г. Сумма индексов п + 1 — к + г>п + 1, поэтому йжп+1-куг £ Д.

В обоих случаях получаем включение гВт С Вп, г £ Д, которое является верным. >

Предложение 3. Если тор Т нормализует М(а) для любой сети а, то йо С й.

< Рассмотрим следующую сеть а, для которой а ^ = А при г ^ ] и а^- = йА при г <

Из условия получаем с(ж)М(а)с(у) С М(а) для любой матрицы с(ж) £ Т. Зафиксируем позицию (г, в). Рассмотрим таблицу а' = (а^-), где аГ5 = аГ5, остальные а- = 0. Ясно, что М(а') С М(а) и с(ж)М(а')с(у) С М(а).

Согласно предложению 1 множество элементов, стоящих на позиции (п, 1) во множестве матриц с(х)М(ст')е(у), совпадает с множеством

c(x) * а' * c(y)

- xn+1 —Г y.sars•

ni

С другой стороны, множество элементов, стоящих на позиции (п, 1) во множестве М(а), есть множество ап1 = А.

Таким образом, получаем, что хп+1_г • ув • агв с А.

Рассмотрим два случая.

Первый случай: п + 1 — г + в ^ п + 1 (т. е. г ^ в). В этом случае агв = А и хп+1_г • У в £ К.

Второй случай: п + 1 — г + в>п + 1 (т. е. г<в). В этом случае агв = йА и йхп+1_г • Ув £ К.

Заменим п + 1 — г = к. Тогда получим, что при к + в ^ п +1, х&ув £ К. А при к + в > п +1, йх&ув £ К. Поэтому К0 С К. >

Литература

1. Боревич З. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семинаров ПОМИ.—1976.—Т. 64.—С. 12-29.

2. Боревич З. И., Койбаев В. А. О кольцах множителей, связанных с промежуточными подгруппами, для квадратичных торов // Вестн. СП6ГУ.—1993.—Т. 1, № 2.—С. 5-10.

3. Койбаев В. А., Шилов А. В. О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Зап. науч. семининаров ПОМИ.—2010.—Т. 375.—С. 130-138.

Статья поступила 27 февраля 2011 г.

Шилов Александр Валентинович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, аспирант каф. алгебры и геометрии РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Ватутина, 46

A RING DETERMINING THE STRUCTURE OF OVERGROUPS OF A NON-SPLIT MAXIMAL TORUS

Shilov A. V.

We study nets and net rings associated with overgroups of a non-split maximal torus determined by with the radical extension of the main field.

Key words: intermediate subgroups, non-split maximal torus, nets, net groups, elementary group, transvection.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.