Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с нерасщепимым максимальным тором Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 2, С. 12-15

УДК 512.5

СЕТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СЕТЕВАЯ ГРУППА, АССОЦИИРОВАННЫЕ С НЕРАСЩЕПИМЫМ МАКСИМАЛЬНЫМ ТОРОМ1

Н. А. Джусоева

Владимиру Амурхаповичу Койбаеву к его шестидесятилетию

Элементы матриц нерасщепимого максимального тора Т = T(d) (связанного с радикальным расширением k( ^fd) степени п основного поля к) порождают некоторое подкольцо R(d) поля к. Пусть R — промежуточное подкольцо, R(d) С R С k, d е R, Ai С ■ ■ ■ С An — цепочка идеалов кольца R, причем dA A i. Через а = (<Jij) мы обозначаем сеть идеалов, определенную формулой Jj = Ai+i-j при j < i и Jij = dAn+i+i-j при j > i + 1 Через G(j) и E(j) обозначаются соответственно сетевая и элементарная сетевая группы. Доказывается, что TG(j) и TE(j) — промежуточные подгруппы группы GL(n, k), содержащие тор T.

Ключевые слова: надгруппа, промежуточная подгруппа, элементарная группа, нерасщепимый максимальный тор, трансвекция.

Сеть и элементарная сетевая группа, которые определяются в настоящей заметке, связаны с изучением подгрупп, содержащих нерасщепимый максимальный тор T, в полной линейной группе G = GL(n, k) над пол ем k (см. [3, 4]).

Пусть xn — d — неприводимый многочлен степени n над полем k,d £ k. Тогда в» = 9г~1, в = \fd, 1 ^ % ^ п, образуют базис радикального расширения степени п поля К = k(\>rd) над к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = T(d), который является образом мультипликативной группы поля К = к( \fd) при регулярном вложении в G. В выбранном базисе тор T = T(d) определяется как матричная группа

T = T(d) = {c(x) : x = (x1,..., xn) £ kn \ 0},

причем элементы матрицы c(x) = (cjj) определяются следующим образом: Cj = xi+i-j при j ^ in Cij = dxn+i+1-j при j ^ i + 1. С каждой матр ицей c = c(x) = (cij) связана обратная матрица с-1 = с(у) = (с^-), у = (у\,..., yn) £ кп, где yi = \с{х) \' пРичем С и — алгебраическое дополнение элемента cii матрицы c = c(x). Рассматриваем упитальпое подкольцо Ro = R(d) толя k порожденное элементами x^yj, dxrys:

R0 = R(d) = ring (x^yj, dxr ys : i + j ^ n + 1, r + s> n + 1, x £ kn \ 0).

© 2015 Джусоева H. A.

i

России.

Пусть К — промежуточное подкольцо, Ко С К С к. Пусть, далее, Л\ С ■ ■ ■ С Ап — цепочка идеалов кольца К, причем (Ап С А1. Через о = (оц) мы обозначаем сеть идеалов, определенную формулой

о г

Аг+1-ц, 3 ^ Ц (1Ап+1+1-з, 3 ^ % + 1.

Через О(о) обозначается сетевая группа [1].

Сеть а мы называем сетью, ассоциированной с тором Т. Подгруппу Е(о), порожденную всеми (общими) трансвекциями из С(а), мы называем элементарной сетевой

Т

Напомним, что (общая) трансвекция — это матрица (5гц + аг/Зц), у которой

а1 Р1 + ... + апвп = 0, аг,вц £ к,

5гц — символ Кронекера. Частным случаем (общей) трансвекции является элементарная трансвекция, а именно — это матрица ЬГв(а) = е + аегз, где г = в, а £ к, е — единичная матрица, еГ5 — матрица, у которой на позиции (г, в) стоит 1, а на остальных местах нули. Доказательство следующей теоремы основано на результатах работы [2].

Теорема. 1) Тор Т нормализует группы О (о) и Е (о). Следовательно, ТС(о) и ТЕ (о) — промежуточные подгруппы группы ОЬ(п, к), содержащие тор Т.

2) Если Ь = (5ц + афз) — трансвекция из ТО(о), то аг¡Зц £ ац.

3) Группа ТЕ (о) порождается тором Т и корневыми подгруппами:

ТЕ(о) = <Т,г,Л(Аг) : 2 < % < п).

Более точно, всякая трансвекция из Е(о) имеет вид

е(х)г21 (а2)£з1 (аз)... Ьп1 (ап)с-1 (х)

для некоторых с(х) £ Т, аг £ Аг.

Прежде чем доказывать теорему сформулируем и докажем несколько утверждений.

Лемма 1 [2, теорема 2]. Тор Т нормализует группы О (о) и Е (о). Следовательно, ТО (о) и ТЕ (о) — промежуточные подгруппы, содержащие тор Т.

Лемма 2. Пусть Ь = (5ц + агвц) — трансвекция из ТО (о). Тогда афц £ оц.

< Доказательство этого утверждения разобьем на две части: Ь

Ь=

1

А2 Аз

0 1 0

0 0 1

Ап 0 0

0 0

0 1

(1)

По условию Ь £ ТО (о). Покажем, например, что А2 £ о21 = А2. По условию

Ь = С (X) ■ а £ Т ■ О (о),

14

Джусоева Н. А.

где а = (ац) е С(а),

С (х) =

х1 йхп . х2 х1 . . . йх2 . . йх3

\хп хп-1 . . . х1

йап"1 ... 1 + а« ... (1а2п~ йа(п- 1) \ 1)

а(1) ап-1 . . . 1 + а1п-1)/

\ (п

где а(к) е Лг, г = 1,... ,п, к = 0,... ,п — 1, а(0) = аг, х\,... ,хп е к. Приравнивая первую строку матрицы Ь к первой строке матрицы с(х) а, мы получим систему из п линейных уравнений относительно х\,йхп,..., йх2- Из этой системы находим

— ^11 я — я — я —

¿Ь 1 - . « (ЛкЛ/Г! - . « (ЛкЛ/Г1_1 - . « .... Ии/ЬО -

1 А ' п А ' п 1 А ' 2

Л

п1

А '

где А = detа е Б*, Лц — алгебраические дополнения элементов ац матрицы а = (ац).

Далее,

А2 = Х2 (1 + а1) + Х1а2 + йх,паз +-----+ йхзап

Ап1 Ап А21 Аз1 ,

+ а 1) + -д- «2 + -д- аз + -д- а4 +

Лп-1,1

Н--д— ап.

Нетрудно видеть, что всякий элемент из Лп1 содержится в йЛ2, либо в й2 Лк с й2 Лп с ^Л1 с (Л2, следовательно,

Ап1-(1 + а1)£А2.

Очевидно, далее, что

йА А

а2 е Л2.

Далее, нетрудно видеть, что для г = 2,... ,п

Лг1 е йЛк с Л1 с Л2.

А2 е Л2

Ь) Ь = (ёгц + агвц) — произвольная трансвекция. Согласно предложению 2.1.1 (3) для некоторой матрицы С е Т матрица С -1ЬС имеет вид (1), а потому в силу уже доказанного пункта а) имеем С-1ЬС е О(а). Из леммы 1 тогда мы имеем включение Ь е О(а). >

Предложение. Группа ТЕ (а) порождается тором Т и корневыми подгруппами:

ТЕ (а) = (Т,г,л(Лг) : 2 < г < п).

Е(а)

С (х^21 (а.2 (аз)... ЬП1 (а.п)С-1 (х) для некоторых С(х) е Т, аг е Лг.

а

< Пусть Ь = + а.цвц) — трансвекция из ТЕ(а). Тогда согласно лемме 2 Ь £ Е(а).

Далее, для некоторой матрицы О £ Т матрица О-1ЬО имеет вид (1), с другой стороны, по лемме 1 О-1ЬО £ С(а). Следовательно, матрица О-1ЬО £ С(ст) (а потому и матрица Ь) принадлежит правой части доказываемого равенства. >

Теперь, очевидно, теорема вытекает из лемм 1 и 2 и предложения.

Литература

1. Боревич 3. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семин. ПОМП 1'.\11. 1976. "Г. (П. С. 12-29.

2. Джусоева Н. А. Сетевые кольца нормализуемые тором // Тр. 11М М УрО РАН.^2013.^Т. 19, № 3—С. 113-119.

3. Койбаев В. А. Подгруппы группы ОЬ(2, О), содержащие нерасщепимый максимальный тор // Докл. АН СССР.-1990.-Т. 312, № 1.-С. 36-38.

4. Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Алгебра и анализ.^2009.^Т. 21, №5.—С. 70-86.

Статья поступила 12 мая 2015 г. Джусоева Нонна Анатольевна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, ассистент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]

THE NET AND ELEMENTARY NET GROUP ASSOCIATED WITH NON-SPLIT MAXIMAL TORUS

Djusoeva N. A.

The elements of matrixes of a non-split maximal torus T = T(d) (associated with a radical extension k( yfd) of degree n of the ground field k) generate some subring R(d) of the field k. Let R be an intermediate subring, R(d) C R C k, d £ R, Ai C • • • C An be a chain of ideals of the ring R, and dAn C Ai. By a = (oij) we denote the net of ideals defined by aij = Ai+1-j with j < ^d aj = dAn+i+1-j with j > i + 1. By G(a) and E(a) we denote the net and the elementary net group, respectively. It is proved, that TG(a) and TE(a) are intermediate subgroups of GL(n, k) containing the torus T.

Key words: overgroup, intermediate subgroup, elementary group, non-split maximal torus, transvection.