Подгруппы, содержащие тор, связанные с полем отношений кольца с однозначным разложением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2003, Том 5, Выпуск 3

УДК 519.46

ПОДГРУППЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ТОР, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛЕМ ОТНОШЕНИЙ КОЛЬЦА С ОДНОЗНАЧНЫМ РАЗЛОЖЕНИЕМ

Н. А. Джусоева, В. А. Койбаев

Работа посвящена изучению подгрупп полной линейной группы, содержащих неращепимый максимальный тор, для случая, когда основное поле является полем отношений кольца с однозначным разложением (факториального кольца). Основным результатом работы является построение максимальных подгрупп указанного вида.

Вопросы описания некоторых классов подгрупп линейных групп являются важными вопросами теории групп. Данная работа посвящена изучению подгрупп полной линейной группы, содержащих неращепимый максимальный тор, для случая, когда основное поле является полем отношений кольца с однозначным разложением (факториального кольца). Основным результатом работы является (теоремы 4.7, 4.8) построение максимальных подгрупп указанного вида.

Вопросам подобных исследований были посвящены работы 3. И. Боревича, В. П. Платонова, Г. Зейтца, А. А. Бондаренко, Чан Нгок Хоя, С. Л. Крупецкого и др. (см. [1—4]).

§ 1. Введение

Пусть к — поле, К — конечное расширение степени п поля к. Имеет место регулярное вложение

К* о Autfe(ir),

а и- fa

мультипликативной группы К* поля К в группу всех fc-линейных автоморфизмов поля К, рассматриваемого как fc-линейное пространство, где fa(%) = ож, ж € if.

Образ К* при указанном вложении мы называем нерасщепимым максимальным тором Т(К) = Т(К/к). Если выбрать базис поля К над к, то, очевидно, Autк(К) изоморфно полной линейной группе GL(n,k), при этом тор Т{К) будет представлен некоторой подгруппой матриц в группе GL(n,k).

Рассмотрим теперь случай, когда поле К определяется в качестве расширения поля к неприводимым над к многочленом хп — ц, /л € к. Выбрав в качестве базиса К над

© 2003 Джусоева Н. А., Койбаев В. А.

Работа выпонена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, грант № Е02-1.0-79.

( XI цхп Ц>Хп—1 ■ ЦХ2\

Х2 XI ЦХп • ^ЬЗС 2

хг Х2 . /1X4

\Хп Хп—1 Хп-2 ■ ■ XI у

к : 1,9,... ,9п где 9 = — корень многочлена хп — ц, мы видим, что тор Т{К) представляется (в выбранном базисе) группой матриц С(х), х € кп \ {0}, где

С(х) =

Так как в описанном случае мы имеем радикальное расширение поля к, К = то тор мы будем обозначать через Т = Т(ц).

В данной работе мы рассматриваем следующий случай. Под II понимается целостное кольцо с единицей 1, в котором выполняется однозначное разложение на простые (факториальное кольцо). Далее, через к мы обозначаем поле отношений кольца Я. На протяжении всей работы й = р\ ... рт € К — элемент кольца К, который является произведением различных простых из К (й свободно от квадратов).

Как хорошо известно, согласно критерию Эйзенштейна многочлен хп неприводим над полем к. Поэтому мы имеем радикальное расширение К = к(л/ё), ц = й, степени п поля к. При этом тор обозначается через Т = Т{(1).

Мы рассматриваем подгруппы Н полной линейной группы О = ОЬ(п, к), содержащие нерасщепимый максимальный тор

Т = Т(с1) = {С{х) : х € кп\{0}}.

Напомним определение сети (см. [1]). Система а = (ау), 1 ^ г,] ^ п, аддитивных подгрупп поля к называется сетью порядка п, если

с сту

при всех значениях г, г,

Для произвольной сети а порядка п через М{а) обозначается совокупность всех тех матриц а = (а^) порядка п с элементами из к, для которых а^ € ац при всех % и Ясно, что М{а) — подкольцо в кольце М{п, к) всех матриц порядка п над к.

Далее, если р (г I' простой элемент кольца /?. то обозначаем

:= {— € к : (т,п) = (п,р) = ]Л I п >

Е(Р) '—

— множество всех р-целых элементов поля отношений к кольца К. Очевидно, что — максимальное подкольцо поля к.

В работе мы пользуемся следующими обозначениями. Выше были определены матрицы С(х) = (сц). Ясно, что элементы с^ матрицы С(х) определяются формулами

(1,хп+1+1^з, 3^1, +1.

(1)

Далее, через Е — е обозначается единичная матрица; eij — матрица, у которой на позиции {г,]) стоит 1, а на остальных местах нули; = е + аец — элементарная

трансвекция, г ф

йг{е) = е + (е — 1)егг, е Ф 0; [х,у] = хух у .

§ 2. Подгруппы, содержащие элементарную трансвекцию

В дальнейшем через Н мы обозначаем промежуточную подгруппу, Г ^ Н ^ О = ОЬ(п,к), содержащую элементарную трансвекцию г ф , ос ^ к, а Ф 0.

С каждой подгруппой Н связаны модули

Ау = Ац(Н) = {а € к : 1ц(ос) € Н}, г Ф у.

Очевидно, что А^ являются подгруппами аддитивной группы к+ поля к.

Лемма 2.1. Пусть тор Т нормализует подгруппу Н. Положим А{ = Ац = Ац(Н), г 2. Тоща модули Ац (г ф у) определяются по формуле:

А^ —

А.

г+1— ]1

3 < ц

<1Ап+г+1-2, 3 > г

(ср. с (1)).

<1 Имеем = Л-.'- Покажем, например, что А2 = А21 = ^.32 = • • • = Ап^п-1- Последние равенства вытекают из соотношений

<¿21 (а)с-1 =¿32(а), ¿%\(а)с~2 = Чг(а), ..., с(п_2)*21(а)с~(п_2) = ^^(а),

где с = с(хо), жо = (0,1,0,..., 0). >

Предложение 2.2. Пусть а = (сг^) — сеть аддитивных подгрупп поля к, М(а) — соответствующее сетевое кольцо. Пусть йо^ С а^ для всех г,]. Если тор Т нормализует сетевое кольцо М(а), то сеть а имеет вид

(Ах ААп <1Л„ 1 . ■ С1А2\

А2 йАп . . ¿А3

а = Аг А2 Аг . . <М4

А',1-1 Ап-2 ■ Аг /

(2)

где Аг = ац, г = 1,2,

, п. При этом

А1СА2С...САп, ¿АпСАг.

<1 Для внедиагональных позиций доказательство вытекает из леммы 2.1 (достаточно брать саецс^1). Далее, равенство А\ = сгц = 022 = ••• = сгпп очевидно достигается последовательным сопряжением матрицы а.ец (а € А\ = сгц) с помощью матрицы с = с(ж0), где жо = (0,1,0,... , 0). Покажем теперь включения, указанные в предложении. Пусть х = (1,1,0,... , 0). Тогда с = с(х) и

= с х(ж) =

1

1 + (-1 )п+Ч

ст

где у = (1,-1,..., (^1)п+1).

Пусть ос. Е сгц = А{, 1 я п — 1, аец € М(а). Рассмотрим матрицу сосецс^1 € М(а). Имеем

поэтому

а л —

1 + G i+1 ~ <7i+1>1'

Отсюда a € Ai+1, следовательно, Aj с Aj+i. Далее, пусть /3 € Ап = crni, fieni € M(a). Тогда

[c/3enic-1]ii = 1 + e M(cr),

откуда df3 € <тц = Ai, следовательно, d,An С /I i. >

В дальнейшем мы считаем, что А\,..., Ап — идеалы некоторого подкольца А поля к, причем А\ С ... С Ап, dAn С А\. Если тор Т нормализует сетевое кольцо М(сг), то тор Т нормализует сетевую группу G(a) = (е + М(а)) П GL(n, А). По этой причине ввиду предложения 2.2 мы в дальнейшем для идеалов Aj рассматриваем сети вида (2).

Лемма 2.3. Пусть о = («Ту) — сеть вида (2). Тогда

(a) если i — г ^ к — ,s, то a^s ^ fir,"

(b) если п + (г — г) ^ к — s, то da^s ^

(c) если п — (г — г) + (fe — s) ^ 0, то crfes С dair. <1 Имеем

[•I/,- 1 .,• s ^ к, )Ai+i_r, г ^ i,

Cfes = < CTjr = <

s ^ к + 1, ^Ап+г+1_г, r^i + l.

Доказательство теперь вытекает из того, что

с А2 с ... с An, d,\„(. ,1,. >

Предложение 2.4. Рассмотрим сеть о вида (2). Если tij(fl) € Т ■ G(cr), то /3 € crjj (i^j)-

<1 Пусть, например, г = 2, j = 1. Тогда i2i(/3)a = с(х), для некоторых a € G(cr), с(ж) € Т. Поэтому первые строки матриц а и с(х) совпадают. Отсюда

xi € 1 + Аь € Ап,хп-1 € А„_ь ... ,ж2 € А2.

Поэтому с(х) € е + М(<т) и i21(/3) = сфа"1 € е + М(а), откуда ¡5 € cr2i. >

§ 3. Достаточные условия нормализуемости сетевой группы

С каждой матрицей с = с(х) € Т связана обратная матрица с-1 = с(у) = (с^) € Т,

у = (|/i,... ,уп) € кп7 где yi = т^Уп-, причем Cii — алгебраическое дополнение элемента

cii матрицы с-1 = с(у).

Для элементов матрицы с-1 = с(у) имеем формулу (1):

, /ув+1-г, г О;

csr = < (3)

[<///» -1 г- Г >5 + 1.

Введем в рассмотрение подкольцо Rq = R(d) поля к следующего вида Rq := R(d) = ring (xiyj,dxrys : i + j ^ n + 1, r + s > n + 1).

x£kn\o

Следующая теорема дает достаточные условия нормализуемое™ сетевой группы тором.

Теорема 3.1. Пусть А — подкольцо поля к, содержащее кольцо Rq = R(d), причем (7 fr Л. Пусть, далее, о = («Ту) — сеть идеалов вида (2), где А{ — идеалы кольца А, причем -11 С ... С А„ a d,An С А\. Тогда тор Т = T(d) нормализует сетевую группу G(a), а потому J = Т ■ G(a) — промежуточная подгруппа, содержащая тор Т, причем (согласно 2.4) Aij(H) = (Гц, i ф j.

<1 Пусть g = е + a G G(a), где a = (a,ij) G M(a). Пусть, далее, с = (сц) = с(х), c-i — ^ ^ — с(у). Покажем, что b = (6jr) = uac€ M(a). Достаточно показать, что если a = akseks7 где aks G то Ь = cacG M(a), т. е., что bir G 0{т для всех i, г. Имеем hr = Cikaksc'sr. Покажем, что

bir = Cik.Q>ksC-sr ^ @ir- (4)

В силу формул (1) и (3) для Cik и c'sr нужно рассмотреть четыре случая (а = i + ß = s + l- r):

(a) s ^ г — 1, к i, cikakscsr = xada,ksyn+ßi

(b) s ^ r - 1, к > i + 1, cikaksc'sr = dxn+adaksyn+ß;

(c) s > г, к ^ i, cikaksc'sr = xaaksyß;

(d) a > r, к ^ i + 5, cikaksc'sr — dxn+aaksyß.

Имеем:

(i^r)^(k^s) = a + ß^2, (5)

n + (i — r) — (a — s) = n + a + ß — 2, (6)

n — (i — r) + (k, — s) = n — (ot ß) 2. (7)

(a): Имеем а ) 1, n + ß ^ l. Тогда n + a + ß ^ 0 ^ 8, а потому в силу (6) и леммы 2.3 (Ь) имеем daks С 0{т. Если a + (n + ß) ^ n + 1, то xayn+ß G -Rq, а потому имеем (4). Если же a + (n + ß) > n + 1, то о; + /3 — 2 ^ 4, а потому, согласно (5) и 2.3 (a) crfes С <лг, но dxayn+ß G -Rq отсюда следует (4).

(b): Если (п + а) + (n + ß) ^ n + 1 (см. определание -Rq), то включение (4) очевидно. Если же (n + a) + (n + ß) > n +1, то из (6) и 2.3 (Ь) имеем daks С но dxn+ayn+ß G -Rq. Отсюда следует (4).

(c): Имеем а ^ 1, ß ^ 1, отсюда а + ß — 2 ^ 0. Отсюда из (5) и 2.3(a) имеем Cfes ^ fir- Если а + ß ^ n + 1, то отсюда следует (4). Пусть a + ß > n + 1. Тогда n — (а + /3) + 2 ^ 0. Отсюда (см. (7)) в силу 2.3(c) crfes с do{T. Следовательно, cikaksc'sr G xadairyß, но dxayß G До, отсюда следует (4).

(d): Рассматривается симметрично случаю (а). >

§ 4. Максимальные нетривиальные промежуточные подгруппы группы GL(n,k)

В этом параграфе мы построим максимальные нетривиальные (не содержащие SL(n,k)) подгруппы группы G = GL(n,k), содержащие тор Т = T(d). Напомним, что к — поле отношений кольца R с однозначным разложением на простые, d G R, d является произведением различных простых.

Лемма 4.1. Пусть р — простой делитель элемента d, p\d; x\,...,xn G R. Если pk\ \c(x)\, TO p\xi, ... ,p\xk.

<\ Индукция по к. Для к = 1 лемма очевидна. Пусть лемма справедлива для (к — 1). Пусть рк| |с(ж)|. Тогда по индукционному предположению р\х\,... ,/р\хк-1- Следовательно, |с(ж)| = х^-1 — //' • .ч. л- (г II. Поэтому, если рк| |с(ж)|, то р\хк- >

Лемма 4.2. Пусть выполнены условия леммы 4.1 и пусть р\х\,... ,р\х!~. Тогда

(a) если ъ ^ п — к, то рк\Сц,

(b) если ъ > п — к, то рк^г\Сц,

здесь Сц — алгебраическое дополнение элемента сц.

<1 Не умоляя общности положим: г = 1,& = п — 1в случае (а) и % = п, к = п — 1 в случае (Ь). Проверка этих случаев не составляет сложности. >

Напомним, что с матрицей с = с(х) связана обратная матрица с-1 = с(у) = (с^), где у = („,.... у„} ш алгебраическое д„_е ме„ с„ 5_

с = (су) = Ф)-

Теорема 4.3. Для всякого простого делителя р элемента (1 имеет место включение

до с я(р),

где Дф) — кольцо всех р-целых элементов поля отношений к кольца с однозначным разложением Я.

<1 Для доказательства теоремы нам достаточно показать (см. определение кольца До), что если г + ] ^ п + 1, то х^у^ € и если г + ] > п + 1, то йх^у^ € Щр)-

Заметим прежде всего, что х^у^ = \' а П0Т0МУ в числителе и знаменателе находятся однородные многочлены степени п. Поэтому в силу формулы для однородного многочлена <р:

1р(гх1 ,...,гхп) = гп1р(х1,...,хп)

мы можем считать, что х\,... ,хп £ Л, причем (жх,... ,хп) = 1.

Пусть рк | |с(ж)| и рк+1 | |с(ж)|. Тогда в силу леммы 4.1 р\х\,.. .р\хь- Так как (жь ..., хп) = 1, то к ^ п - 1. Рассмотрим

ХгУ] = --

|с(ж)Г

Ввиду леммы 4.2 имеем рк^1\С\^1 далее р\с1, а потому р не входит в канонический знаменатель элемента ¿х^уследовательно, йх^у^ € Щ. Поэтому рассмотрим случай г+] ^ п+1. Если з = п — к, то согласно лемме 4.2 (а) имеем рк\С\^1 а потому р не входит в канонический знаменатель элемента х^уоткуда х^у^ € Щр)- Пусть ]> п — к. Тогда 4.2 (Ь) влечет рк~1\С\^. Далее, так как г + ] ^ п + 1, то ] ^ п + 1 — г, но из п — к < ] следует

п^к < п + 1 — г, откуда г ^ к. Так как р\х\,... ,р\хк, то р\х{. Следовательно, р не входит

хС-]-

в канонический знаменатель элемента х^у^ = ^^ , откуда х^у^ € Щр)- > Из теорем 3.1 и 4.3 вытекает следующая теорема.

Теорема 4.4. Пусть р — простой делитель элемента й, р\й. Рассмотрим сеть о.

р

(а(р)к = р

{РЩр); 1<3-

Тоща тор Т = Т{(1) нормализует сетевую группу С(ар), а потому Нр = Т-О(ор) является промежуточной подгруппой группы О = СЬ(п,к), содержащей тор Т. Далее, Нр не содержит БЬ{п,к), точнее А^(НР) = (ар)^, г Ф

Лемма 4.5. Пусть выполнены условия теоремы 4.4. Пусть Г <С Н <С О. причем Н Нр. Пусть, далее, Ац = А^(Н), ъ ф Тогда Л-.» Ап = А — подкольцо поля

к, содержащее Щ, где А^ = Ац, г 2, следовательно, либо А = Щр), либо А = к. <1 Отметим, что Ац связаны с Ат соотношениями из леммы 2.1. Имеем

ЫОМ<х)] = ЫСа), к Ф I, к Ф 1, I Ф 1. (8)

Если I < к, а € А.|, и так как ¿^(1) € Н7 то = 1) из (8) следует, что а € а потому А/ С Л/.. Если же I > к, а € А{, то так как 1ы{р) € Н7 то = р) из (8) следует, что рАг С Ак. Таким образом,

ЩР) с А2 с ... с Ап, рАп с Л2.

Очевидно также, что ртАп С Л.2, ш 1. Покажем теперь, что Ач = ... = Если Ап = то последние равенства очевидны. Пусть Ап 2 Щр)- Тогда так как

<1г(Щр)) СЯ, то ^ € А.п, 5 1. Но ртАп С Ап_1, откуда 1 € С Ап_1. Пусть теперь /3 € В силу леммы 2.1 АП_1)П = рАп, далее, />".1 „ = р ■ />" 1 /I„ с /). !_. с рАп, откуда 1 € р8Ап С = АП_1)П, т. е. гп_1>п(1) € Н. Согласно формуле

Шпт]=гп-1 дОЗ),

мы имеем /3 € Ап_1д = Ап_1. Таким образом, с Ап_1 и Ап_1 = Ап. Рассуждая аналогично, мы получим: Л-_> Ап = А. Далее, в силу соотношения

Ы«), *21 (0)] =*31(«0)

мы имеем /К} С Л а потому АА = А. Таким образом, А — кольцо, С А С к. >

Лемма 4.6. Пусть р — простое, р\й, Нр = ТО(ор). Если Н, Т ^ Н ^ О, причем Н 2 -Нр; то Н ~Э БЦп, к).

<\ Согласно лемме 4.5 нам достаточно показать, что подкольцо А строго содержит Щр)- В силу леммы 4.5 и формулы

Р

нам достаточно показать, что ^(1) Для некоторых г < , или (¿) € Н для ,з > г. Итак, пусть а 6 Я, а ^ Нр.

Так как Н Э 0(ар), то умножая матрицу а слева на элементарные трансвекции из 0(ар) и диагональные матрицы из сЦД*^) С 0(ар) и на скалярную матрицу из Т мы можем считать, что

/1 р"12 ... О р\ ......

а =

(9)

\ о 0

т. е. ац = 1, ац = рк', { ^ 2, а^ = ртг 2, ац = 0, г > Сделаем ряд замечаний.

Можно считать, что т, ^ 0, иначе умножая матрицу а справа на ^¿(^р"1®) на позиции (1, г) мы получим нулевой элемент.

Можно считать, что т, ^ т^ для г < так как иначе, умножая матрицу а справа на ~т1) на позиции (!,,?') мы получим нулевой элемент.

Итак, будем считать, что

О ГП2 гщ ... тп. (10)

Имеем 1 + ре^а потому Ь = [а"1, ¿1(1 + р)] € Н. Матрица Ь отличается от единичной только первой строкой, которая равна (1 ,рт2+1,... ;ртп+1). Поэтому

я—1 я—1

п Ыр"п)Ь П М-р"4-"1") = Ьп{ртп+1) € н. ¿=1 ¿=2

Если тп +1 ^ 0, то в силу замечания сделанного в начале доказательства ^ € А. Поэтому пусть тп + 1 1, тп ^ 0. Тогда из (10) мы имеем т2 = т^ = ... = тп = 0. Покажем, что кп = 0. Действительно,

= к п{'Р1^кп); о^1Ьп{р)а = Ьп(ркп+1)-

Снова в силу замечания сделанного в начале доказательства можно считать, что ^

1 и кп + 1 1, откуда кп = 0. Если п = 2, то доказательство завершено, так как (см. (9)) гп2 = к,2 = 0, а потому ¿12(1) € Я- Поэтому будем считать, что п ^ 3.

Покажем теперь, что = 0. Имеем (см. (9): 012 = 1, апп = 1, 022 = рк2)

а*2п(р)а_1*1п(-р) = М/2+1) е Н.

В силу замечания сделанного в начале доказательства, к,2 0. Пусть к,2 1, тогда (а'12 = ^)

г21(1)а-Н2п{рк)аг21(-1) = € Н

и наше утверждение доказано. Поэтому будем считать, что к,2 = 0.

Таким образом в матрице а (см. (9)) мы можем считать, что а,ц = 1, г 1; к,2 = 0, а22 = 1; кп = 0, апп = 1; ау = 0 для г > Следовательно, для обратной (треугольной) матрицы аГ1 : а!п = а22 = = 1, а'12 = — 1- Положим

Ь = 411) [а"1, ¿21(1)] ,

тогда Ь42(1)Г1 = *12(1) € Я и в силу замечания, сделанного в начале доказательства, лемма 4.6 доказана. >

Теорема 4.7. Для всякого простого делителя р элемента (1 группа Нр = Т((1)0(ор) является максимальной нетривиальной (не содержащей БЬ(п, к)) подгруппой полной линейной группы О = СЬ(п, к), содержащей тор Т = Т(с1).

<1 Пусть Нр у И ^ О. Покажем, что Н = О. Для этого в силу леммы 4.6. нам достаточно показать, что П(п,к) С Н. Так как 1)(п, Д^) С Н7 то нам достаточно показать, что с1г ^^ € Н для некоторого 1 ^ г ^ п. Действительно, так как Т ^ Н, то для

х = (0,1,0,... , 0) мы имеем с(х) € Н. Умножая матрицу с(х) на матрицы перестановки из БЦп, к) С Н и на (—1), мы получим, что йг((1) € И. откуда так как 1?(п, Д(р)) С Н.

то &г(р) € Н и ¿г € Н. Теорема доказана. > Отметим интересное следствие из теоремы 4.7.

Теорема 4.8. Для всякого простого р € Я группа Нр = Т(р)0(ор) является максимальной нетривиальной подгруппой группы О, содержащей тор Т(р).

Литература

1. Боревич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансввкциями jj Зэл. ну у ч. свминяров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.—С. 22-31.

2. Боревич 3. И., Койбаев В. А., Чан Нгок Хой. Решетки подгрупп в GL(n, Q), содержащих нерас-щепимый тор // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН.—1991.—Т. 191.—С. 24-43.

3. Койбаев В. А. Подгруппы группы GL(n,Q), содержащие нерасщепимый максимальный тор // Докл. АН СССР.—1990.—Т. 312, № 1.-С. 36-38.

4. Seitz G. М. Subgroups of finite groups of Lie type // J. Algebra.—1979.—V. 61.—P. 16-27.

Статья поступила 20 сентября 2002 г.

Джусоева Нонна Анатольевна г. Владикавказ, Северо-Осетинский госуниверситет E-mail: plittyOmaile. ru

Койбаев Владимир Амурханович, д. ф.-м. н.

г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, Северо-Осетинский госуниверситет