Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций, содержащие квадратичный тор Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 1, С. 27-34

УДК 519.46

ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ПОДГРУППЫ В ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТИЧНЫЙ ТОР

В. С. Дзигоева, В. А. Койбаев

В работе дается описание подгрупп полной линейной группы ОЬ(2, к) над полем рациональных функций к = (¿) (с коэффициентами из конечного поля нечетной характеристики ), содержащих тор, соответствующий квадратичному расширению основного поля к.

Ключевые слова: Группа, подгруппа, промежуточная подгруппа, тор, квадратичный тор.

§ 1. Введение

В рамках задачи исследования структуры подгрупп группы ОЬ(2, к) над глобальным полем к, содержащих тор, соответствующий квадратичному расширению основного поля к [1], мы рассматриваем в данной работе случай, когда основное поле является полем рациональных функций.

Пусть к = (Ь) — поле рациональных функций от одной переменной Ь над конечным полем ¥д нечетной характеристики, К = — квадратичное расширение поля к, где

Л — неквадрат поля констант, л £ 2. Рассмотрим регулярное вложение мультипли-

кативной группы К * в группу всех к — линейных обратимых отображений Аи^ (К)

К * ^ Аи1* (К),

а а,

где а — оператор умножения, а(х) = ах, х £ К. Образом вложения служит максимальный нерасщепимый тор Т (квадратичный тор). Зафиксируем базис 1, ^/Л поля К. Тогда тор Т представляет собой подгруппу матриц вида

Т ={ (У ЛУ)' где (х, У) = (0, 0),х,у £ к},

в группе О = ОЬ(2, к).

В настоящей работе дается описание решетки Ьа^Т, О) подгрупп Н полной линейной группы О, содержащих Т, т. е. решетки промежуточных подгрупп

Ьа^Т, О) = {Н : Т ^ Н ^ О}.

Для каждой промежуточной подгруппы Н, содержащей элементарную трансвекцию, определим модуль транвекций

А = А(Н) = {а £ к : (а £ Н

© 2008 Дзигоева В. С., Койбаев В. А.

и кольцо множителеи

R = R(H) = {А £ k : AA С A}.

Если A — подгруппа аддитивной группы поля k, R — кольцо множителей модуля A, то пара (R, A) называется допустимой, если существует промежуточная подгруппа H такая, что A = A(H), R = R(H). Подкольцо R поля k называется допустимым, если R = R(H) для некоторой подгруппы H.

Согласно [2] решетка Lat(T, G) представляет собой

Lat(T,G) = {T}U{NG(T)}U L,

где L — дизъюнктное объединение подрешеток Lat(R, A) = {H £ Lat(T, H) : R(H) = R, A(H) = A} по всем допустимым парам (R, A). Таким образом наша задача сводится к выявлению всех допустимых пар (R, A), а затем, описанию всех подрешеток Lat(R, A). Заметим, что для произвольного поля k нечетной характеристики, нормализатор Ng(T) тора T совпадает с полупрямым произведением тора T и группы второго порядка, пой й (1 О рожденной матрицей

уО — 1

§ 2. Допустимые пары и допустимые кольца

В этом параграфе дается описание допустимых пар и допустимых колец.

Пусть So — множество всех неприводимых многочленов четной степени кольца Fq [t]. Если S — некоторое множество неприводимых многочленов из Fq [t], то через S-1(Fq[t]) мы обозначаем кольцо всех рациональных дробей, в знаменатели которых входят неприводимые многочлены из S и только они (кольцо частных). Далее, пусть v( - ) = deg g — deg f показатель нормирования. Для произвольного целого k положим

л = { g£ F(t):v (g) > k}-

Ясно, что Л» ■ Лj = , Л» 5 Л»+1, Ло = Л — кольцо полуправильных рациональных дробей.

Через До мы обозначаем подкольцо полуправильных рациональных дробей, в знаменатели которых входят неприводимые многочлены четной степени и только они:

До = М) п Л.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

(а) Пара (К, А) является допустимой тогда и только тогда, когда А — идеал кольца К, содержащего подкольцо До •

(б) Если К —допустимое кольцо, то либо К = Б-1(^ [¿]), либо К = Б-1(^ [¿]) П Л для некоторого Б 5 Бо. Справедливо и обратное утверждение.

Доказательству теоремы предпошлем следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть ф £ ¥я [¿], ф — неприводимый многочлен четной степени, deg ф = 2т ^ 4. Тогда найдутся два неприводимых многочлена Ш1, четной степени, deg = 2т — 2, deg ш2 = 2 такие, что (ф, ш1) = (ф, ш2) = (ш1,ш2) = 1.

Доказательство леммы вытекает из того, что над любым полем нечетной характеристики найдется по крайней мере три различных унитарных неприводимых многочлена второй степени (например, (£ + а)2 — а £ ).

Лемма 2. Пусть f, p £ Fq[t], (f, p) = 1, deg p ^ n. Пусть, далее,

f ■ t = fk ш + pgk

(1)

для некоторых /к, дк, ш £ [Ь] при всех к = 0, п — 1. Тогда многочлены /о, /1,..., /п_1, р — линейно независимы.

< Действительно, если

то из (1) мы имеем

/ n-1

f £Ak tk

\k=0

n- 1

£ Ak fk + Ap = 0,

k=0

=ш

/n-1 \ /n-1 \

£ Ak fk + Ap + P I £ Ak gk - A^ .

k=0 k=0

(2)

Тогда из (2)

n- 1

n- 1

f HTAktk = p PTAkgk - Лш .

k=0

k=0

n- 1

n- 1

Отсюда, так как (/, р) = 1, то I ^ АкЬк 1 . р, но deg р ^ п, а потому I ^ АкЬк 1 = 0.

\к=о / \к=о )

Отсюда и из (2) следует, что А0 = А1 = ... = Ап-1 = А = 0. >

< Доказательство теоремы 1. (а) То, что А — идеал кольца К следует из [2]. Далее, согласно [2] достаточно показать, что кольцо Ко совпадает с кольцом

R(u) = ring/ /

\ - Л/ x€k

№

ring\ 1, П 2 /

\ J — Лд / f,g&q [t]

Всякий многочлен вида f2 — лд2, (f, д) = 1, представляет собой произведение неприводимых многочленов четной степени [5], следовательно, R(^) С Ro- Докажем обратное включение Ro С R(^)-

Отметим в начале, что Fq С R(^)- Действительно, л £ R(^) [3], далее,

ring/ 1, л, Т2-Г ) С R(^). Отсюда ring (1, л, F2) С R(u), а потому Fq С R(u)-

\ z р / zGVq 4

Пусть теперь — £ Ко. Докажем включение — £ К(л) индукцией по deg р. Пусть deg р = 2. Согласно [5] р = /2 — лд2 для некоторых /, д, £ [Ь], (/, д) = 1.

С другой стороны

f2

fg

f2 — лд2' f2 — лд2' f2 — лд2

содержатся в К(л). Так как deg ф ^ deg р, то степени многочленов /2, д 2, /д не превосходят 2 и эти многочлены линейно независимы, следовательно, — £ К(л). Индукционное

предположение состоит в следующем. Если — £ Ко и deg р < 2т, т ^ 2, то — £ К(л). Пусть теперь — £ Ко и deg р = 2т. Пусть р = /2 — лд2, (/, д) = 1 . Тогда

±

f2 =

p f 2 — w

f2

2 J-—2 £ R(^).

2

д

Можно считать, что ^ — степень неприводимого многочлена четной степени. Действительно, если ^ = ^>1 ■ ^>2, (^1, ^2) = 1, то, разлагая дробь ^ в сумму дробей со знаменателями ^>1 и ^>2, мы воспользуемся индукционным предположением. Таким образом, мы можем воспользоваться леммой 1. Выберем Ш1 и Ш2 как в лемме 1 и положим ш = Ш1 ■ Ш2.

Тогда (^>,ш) = 1. Согласно индукционному предположению , —2 £ К(^), а потому _ /-2

— £ К(^), к = 0, 2т — 1. Отсюда ^ ■ — £ К(^). Напомним, что (^>,ш) = 1. Из разложения

/2= / + (3)

^ ш

и того, что — £ К(^) — как линейная комбинация многочленов —, мы имеем £ К(^), к = 0, 2т — 1. Далее, ^ = 1 £ К(^). С другой стороны, из леммы 2 следует, что многочлены /о, /1,..., /2т-1, ^ линейно независимы (и их степени ^ 2т), поэтому deg ^ ^ 2т, является их линейной комбинацией, а потому ^ £ К(^).

(6) Пусть К — допустимое подкольцо. Согласно пункту (а) нашей теоремы К 5 Ко. Рассмотрим случай, когда К С Л (случай К ^ Л рассматривается аналогично).

Обозначим через Б множество всех неприводимых многочленов входящих в знаменатели дробей из К. Так как К 5 Ко, то Б 5 Бо.

Покажем, что К = Б-1(^[¿]) П Л. Очевидно, что К С Б-1(^[¿]) П Л. Докажем обратное включение. Если Б = Бо, то доказывать нечего, поэтому пусть Б ^ Бо. Пусть р £ Б — неприводимый многочлен нечетной степени. Для доказательства включения нам нужно показать, что всякая дробь рт, где deg / ^ deg рт, содержится в К. Действительно,

кольцо К содержит дробь ^, где р|^>1, (р, Л) = 1, но тогда (К 5 Ко) кольцо К содержит дробь вида , где ^о £ Бо. Разлагая последнюю дробь в сумму дробей (заметим, что (р, ^о) = 1) со знаменателями р и ^о мы получим, что дробь вида р, а потому и

дробь вида рт, содержится в К (для некоторого Л). Осталось показать, что рт £ К для произвольного многочлена /, deg / ^ deg рт.

Пусть deg рт = п, ^>о £ Бо, (р, ^>о) = 1, deg ^>о > п. Тогда ^ £ К, к = 0,п — 1, а

потому рт ■ — £ К. Имеем, далее, (^о,рт) = 1,

/к + (4)

рт^о рт ^о

для всех к = 0, п — 1. Заметим, что (Л,р) = 1. Из леммы 2 следует линейная независимость многочленов /о, /1,..., /п—1, рт степень которых ^ п, а потому их линейная комбинация дает нам произвольный многочлен /, deg / ^ п. Осталось заметить, что,

^ £ Ко, то из (4) следует включение А.

вательно, рт £ К. >

так как £ Ко, то из (4) следует включение рт £ К, к = 0,п — 1, 1 = рт £ К. Следо-

§ 3. Допустимые кольца

Как уже было показано (теорема 1), всякое допустимое кольцо К содержит подкольцо Ко. Точнее, К совпадает либо с К = Б -1(^ [¿]), либо К = Б -1(^ [¿]) П Л для Б 5 Бо .В этом параграфе мы покажем (теорема 2), что всякое допустимое кольцо К отличное от Ко является областью главных идеалов, при этом идеал кольца Ко является либо главным, либо порождается двумя элементами. Если К = Б-1(^ [¿]), то кольцо К является кольцом главных идеалов (как кольцо частных области главных идеалов), поэтому, в дальнейшем в этом параграфе, мы предполагаем, что К = Б-1(^[¿]) П Л, Б 5 Бо.

Доказательство следующих двух лемм мы опускаем. Лемма 3. Пусть М С 5 _ 1(К?[Ь]) — К-модуль,

^ = { / £ ^ [Ь] : д £ М, (/, д) = 1 д

Пусть НОД ^ = 1. Тогда

а) найдутся —1, —| £ М такие, что (рь р2) = 1,

б) 1 £ М для некоторого д £ (5).

Замечание.Через (5) мы обозначим мультипликативное множество многочленов, порожденное множеством 5, 5 5 5о.

Лемма 4. Пусть М С 1(К?[Ь]) — К-модуль, и, и1 £ М, и = 0 такие, что V(и1) ^ V(и). Тогда для некоторого г £ К имеем V(и — ги) > V(Н1). Введем обозначение

Ак = Лк П 5 _ 1(Кд

Заметим, что Ao = R и Ak является R-модулем для любого целого к.

Fq [

Лемма 5. Пусть u £ S [t]), v(u) = l. Если s ^ l, s £ Z, то

Ru + As = Ai.

< Пусть ui £ Ai, v(ui) ^ l. Согласно лемме 4 мы можем подобрать ri, Г2, ..., такие, что l = v(u) ^ v(u1) < v(u1 — r1u) < v(u1 — r1u — r2u) < ...

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим

v(u1 — r1u — r2u — ... — rku) ^ s.

Откуда следует, что u1 — ru £ As. Итак, Ai С Ru + As. Обратное включение очевидно. >

Лемма 6. Пусть M С S- 1(Fq[t]) — R-модуль, содержащий f, f с условием (/1, /2) = 1. Если v(M) = min v(u) = l > —то, то M = Ai.

ugM

< Согласно лемме 2 дробь 1 £ M для некоторого g. Пусть deg g = k. Тогда Ak С M.

Действительно, пусть ^^ £ Ak, тогда g^ £ R и gl = f ■ 1 £ M.

Пусть u £ M такой, что v(u) = l. Заметим, что k ^ l. Из леммы 4 следует

Ru + Afc = Ai,

а так как Ru + Ak С M, то Ai С M. Обратное включение очевидно по определению числа l. >

Предложение. Пусть A С R — идеал кольца R. Тогда идеал A является либо главным, либо имеет вид A = uA1, где u £ S-1(Fq[t]) и v(u) + 1 ^ 0.

< Через /о и go обозначим НОД всех числителей и знаменателей соответственно дробей из A. Мы предполагаем, что A = (0). Тогда A = g0M, где M = | g : g^g £ Aj.

Согласно леммам 1 и 6 имеем M = Ai, где l = v(M). Отсюда A = uoAi, где uo = f, причем v(uo) +1 ^ 0, так как A С R С Л. Далее, используя многочлены ш четной степени из So, в силу равенства wAj = Ai+2s, deg ш = 2s, мы получим что в случае, если l четно, то A = uAo = uR, u £ R, если же l нечетно, то A = uA1, где v(u) + 1 ^ 0. >

Теорема 2. Всякое допустимое кольцо К, отличное от Ко, является областью главных идеалов. В кольце Ко всякий идеал является либо главным, либо порождается двумя элементами.

< Пусть А идеал кольца К, К = Ко. Как было отмечено в начале параграфа можно считать, что К = Л П 5-1(^[Ь]), 5 5 5о. Тогда согласно предложению

А = иА1,

где V(и) + 1 ^ 0, и £ [Ь]).

Так как 5 ^ 5о, то пусть ш £ Б — неприводимый многочлен нечетной степени п, deg ш = п, пусть, далее, шо £ 5о С 5 — многочлен четной степени п +1, deg шо = п +1. Тогда ^А1 = Ао = К,

—А = и—— А1 = иК, А = — иК, ш ш шо

где и £ 5-1(^[Ь]), V (¿0и) = V (¿0) + V(и) = 1 + V(и) ^ 0, а потому и £ К.

Рассмотрим теперь идеалы кольца Ко. Пусть А идеал кольца Ко, который не является главным. Согласно предложению тогда

А = иА1, V(и) + 1 ^ 0, и £ 5о~1 [Ь]).

Пусть и = , где V(и) = к ^ —1, ро £ (5о), deg ро = 21, deg / = 21 — к, к ^ —1. Нетрудно проверить, что идеал А кольца Ко порождается двумя элементами. Точнее,

А = /А1 = ^Ко + ^ Ко,

Ро р р

где р £ 5о, deg р = 21 + 2. >

§ 4. Подрешетка Ьа1 (К, А)

Перейдем теперь к описанию подрешеток Ьа^К, А), связанных с допустимыми парами.

В ходе описания мы используем [2] факторизацию промежуточных подгрупп Н £ Ьа^К, А), а именно представление Н в виде

Н = т • (А 1) ,

где А = Д(Н) ^ К*.

Согласно [2], роль наименьшей ^о и наибольшей ^о подгрупп в подрешетке Ьа^К, А) играют ( ) ( )

= т • (А ^А)) , ро = т • (А П^А)) ,

где подгруппы ^о(А) и ^о(А) мультипликативной группы К* кольца К определяются следующим образом:

По(А) = ^/(ж, а) = + — ^ , ж £ к, а £ А^ ,

= (0 £ К* : 02 - 1 £ А).

Очевидно, что

Юо(А) < А < (А).

На множестве Ьа^К, А) рассмотрим две унарные операции:

1) операция спуска:

Н ^ Н(1) = Тн = (Л-1ТЛ, Л £ Н) — нормальное замыкание Н (относительно Т);

2) операция подъема:

Н ^ Н(1) = Же (Н) — нормализатор Н в группе С. Операции допускают итерирование:

Н(п) = ((Н)(п-1))(1), Н (п) = ((Н)(п-1))(1).

Теорема 3. Если стабильный ранг (е. г. К) кольца К равен 1, то для любой подгруппы Н £ Ьа^К, А) второе нормальное замыкание совпадает с наименьшей подгруппой подрешетки, Н(2) = ^о.

< Обозначим через Но = Т ■ ^А (1 +°а)*^ промежуточную подгруппу из Ьа^К, А).

Покажем, что нормальное замыкание любой подгруппы Н содержится в Но. 10

в Ту

Пусть ( 1 ° ) £ Н. Тогда [2]

1 0\ (ж /1 °о 1 = (1 0

в ч) и жДв V = 6' 1в1 71

где 71 = 1 + ^у1 ■ х2-^ + ф2^) + (х2-мЬ2, 6 £ Т.

Имеем 71 £ (1 + А), и, так как 71 £ К*, то 71 £ (1 + А)*. Таким образом,

А(1) = А(Н(1)) < (1 + А)*,

и Н(1) ^ Но.

Покажем теперь, что нормальное замыкание Но совпадает с ^о. Согласно [2], при условии е. г. К = 1 справедливо

А((Но)(1)) = По(А) ■ (1 + А)*2.

Если 7 £ (1 + А)*, то 72 £ Юо(А) [2].

Таким образом, (1 + А)*2 С (А) и А((Но)(1)) С По(А) ^ (Но)(1) = Осталось воспользоваться монотонностью операции спуска

Н1 < Н2 ^ (Н1)(1) < (Н2)(1).

Имеем

(Н)(2) = (Н(1))(1) ^ (Но)(1) = .

Откуда Н(2) = ^о. >

Теорема 4. Если е. г. К = 1, то второй нормализатор произвольной подгруппы из Ьа1 (К, А) совпадает с наибольшей подгруппой подрешетки, (Н)(2) = ^о.

< Так как нормальное замыкание Н(1) = Тн — наименьшая нормальная подгруппа в Н, содержащая тор, то Н ^ Же(Н(1)). В частности, из (Но)(1) = ^о следует Но ^ Жс(^о),

т. е. Но < ^о(1).

Далее, очевидно, что Н}1"1 ^ ^о. Докажем обратное включение. Пусть

НГ = Т • (А , где А' < (А).

Согласно [2],

А' = {0 £ (А) : д(ж, 0) £ (1 + А)*} ,

где д(ж, 0) = ^(Хг-^) = 1 + ' ^ё-1. Отметим, что

9-1 (ж'0)=w—2=1+(Ж0)^ =»(ж0,0-1).

Докажем, что (А) ^ А'. Пусть 7 £ ^о(А), тогда 72 — 1 £ А. Имеем

9(ж, 7) = 1 + • £ 1 + А,

ж2 — ; 72

а значит д(ж,7) £ (1 + А)* и 7 £ А'. Таким образом, А' = (А), следовательно, (Но)(1) = Осталось воспользоваться монотонностью операции подъема, Н1 ^ Н2 ^ Н-р1 ^ Н^. Имеем

^о = (Но)(1) < (^о)(2) < (Н)(2). Из чего следует, что Н(2) = ^о. >

Литература

1. Койбаев В. А. Подгруппы группы ОЬ(2,<^), содержащие нерасщепимый максимальный тор // Докл. АН СССР.—1990.—Т. 312, № 1.—С. 36-38.

2. Койбаев В. А. Подгруппы группы ОЬ(2, к), содержащие нерасщепимый максимальный тор // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН.—1994.—Т. 211.—С. 136-145.

3. Боревич З. И., Койбаев В. А. О кольцах множителей, связанных с промежуточными подгруппами, для квадратичных торов // Вестник СПбГУ. Сер. 1.—1993.—№ 2.—С. 5-10.

4. Дзигоева В. С., Койбаев В. А. Подгруппы полной линейной группы степени 2 над полем рациональных функций, содержащие нерасщепимый тор // Междунар. алгебр. конф. Тезисы докл.— С.-Петербург, 1997.—С. 193.

5. Дзигоева В. С., Койбаев В. А. О подгруппах полной линейной группы степени 2 над полем рациональных функций, содержащих нерасщепимый тор // Вестник СОГУ.—1999.—№ 1.—С. 22-23.

Статья поступила 10 февраля г.

Дзигоева Валентина Созрыкоевна Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова Владикавказ, 362040, РОССИЯ

Койбаев Владимир Амурханович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова; Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН Владикавказ, 362040, РОССИЯ E-mail: koibaev-K1@yandex.ru