CC BY
28
УДК 531.532
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПОДВИЖНЫХ СИСТЕМАХ
©2023 Д. А. Матюшин
студент ФРКТ ФГАОУВО «Московский физико-технический институт (НИУ)» Специальность 03.03.01 «<Прикладная математика и физика»
e-mail: mda0907 @ yandex.ru
Курский государственный университет
В статье рассматриваются перемещения подвижной системы на колесной базе, обусловленные колебательными процессами размещенного на ней маятника. Получены аналитические зависимости амплитуды перемещения системы от соотношения масс груза маятника и системы в целом при фиксированном угле отведения маятника. Справедливость полученных выражений проверена экспериментально.
Ключевые слова: подвижная система, колебания маятника, груз.
OSCILLATORY PROCESSES IN MOBILE SYSTEMS
© 2023 D. A. Matiushin
Student of the FRKT of the Moscow Institute of Physics and Technology (NRU) Specialty 03.03.01 "Applied Mathematics and Physics" e-mail: mda0907 @ yandex.ru
Kursk State University
The article considers the movements of a mobile system on a wheelbase caused by the oscillatory processes of a pendulum placed on it. Analytical dependences of the amplitude of the system movement on the ratio of the weights of the pendulum load and the system as a whole at a fixed angle of the pendulum are obtained. The validity of the expressions obtained has been verified experimentally.
Keywords: mobile system, pendulum oscillations, load.
Современные подвижные системы на колесной базе, которые широко используются в различных технических реализациях, основаны на базовых положениях теоретической механики [6; 1]. Одним из важнейших вопросов, который необходимо решить для обеспечения безопасности и эффективности их функционирования, является учёт влияния колебательных движений груза на устойчивость системы в целом. Это важно, например, при выполнении погрузочно-разгрузочных работ с использованием кранов в железнодорожных и портовых терминалах, а также в строительстве и других производственных процессах. При перемещении подвешенного груза он совершает колебания, затрудняющие его точное позиционирование и увеличивающие время проведения погрузочно-разгрузочных работ при реализации необходимых мер безопасности.
Исследования в этой области в большинстве случаев проводятся посредством рассмотрения системы «тележка-маятник» [3; 4; 2; 5; 7]. Такой подход является
основным при исследовании алгоритмов управления работой портальных [5] и козловых [7] кранов, а также во многих других областях.
Цель настоящей работы состоит в определении параметров перемещения подвижной системы на колесной базе, обусловленного колебательными движениями закреплённого на ней груза, путём анализа модели «тележка - маятник».
Для этого рассмотрим систему, состоящую из тележки на колёсах, имеющей массу М, и закрепленного на ней по центру математического маятника [1] с массой груза т на нерастяжимой нити длиной Ь (рис. 1). В системе, находящейся в состоянии покоя, отведем маятник на некоторый угол от положения равновесия и отпустим, придавая ему таким образом колебательные движения. Тележка начнёт перемещаться в противофазе с маятником. Рассмотрим случай, когда все перемещения обусловлены исключительно энергией маятника и к системе не прикладываются внешние гармонические воздействия [4] или управляющая сила, которая в общем случае может быть направлена в одну [2; 5], или в противоположные [3] стороны. Найдем зависимость амплитуды перемещения тележки от соотношения масс тележки и груза маятника и проверим полученные соотношения экспериментально.
уф У*
*т„ Х О 'г, X
а) 6)
Рис. 1. Перемещение подвижной системы на колесной базе под действием колебания маятника
Проведем ось Ох слева направо в направлении движения тележки, расположив ноль этой оси на уровне положения центра масс тележки до начала эксперимента. Также проведем вертикальную ось Оу (рис. 1) и отметим, что в состоянии покоя центр масс груза маятника находится на уровне уГп.
На центр масс маятника действуют:
- сила тяжести тд;
- сила натяжения нити Т.
На центр масс тележки действуют:
- сила тяжести Мд;
- сила реакции опоры Ы;
- сила натяжения нити Т;
- сила сопротивления перемещению тележки ^, представляющая собой результат совокупного воздействия силы трения качения, силы трения в осях колес и т.д.
Для удобства представления условно разделим эксперимент на этапы, совпадающие с полупериодами колебания маятника, началом каждого из которых является очередное состояние максимального отклонения маятника, в котором система имеет нулевую кинетическую и максимальную потенциальную энергию.
В начальный момент времени на этапе эксперимента с порядковым номером I = 0 отведем груз маятника на угол в крайнее левое положение, соответствующее
точке (хго,уго), центр тележки при этом будет иметь координаты (хто,уто), а центр масс системы (хЦо,уЦо). После того как мы отпустим груз, он начнёт перемещаться в правую сторону.
Отметим, что в любой момент времени справедливо утверждение о том, что хц лежит между хг и хт, а уц лежит между уг и ут, причём ут = const на протяжении всего эксперимента. Введем ноль потенциальной энергии на уровне нижнего положения груза в процессе колебаний уГп, совпадающее с его положением в состоянии покоя до эксперимента.
В начале эксперимента потенциальная энергия груза определяется соотношением [6]:
Еп0 = rag^o = - cos^o). (1)
После первого полупериода колебаний на этапе эксперимента с порядковым номером i = 1 груз переместится в крайнее правое положение и поднимется на меньшую высоту относительно положения уГп, соответствующего нулю потенциальной энергии, поэтому выражение для потенциальной энергии груза записывается:
ЕП1 = = mgL(1 — cos^x). (2)
Рассмотрим длину пути который проходит тележка после первого полупериода, за который груз перемещается из крайнего левого в крайнее правое положение (между начальным и следующим за ним моментами времени, когда скорость тележки равна нулю).
В идеальной системе длина пути # будет равна удвоенной амплитуде колебаний тележки. Координата груза в начальный момент будет равна хГо = —Lsin^o. Для вычисления координаты центра масс системы будем использовать выражение:
тх. — mLsinfflo
хЦп =-— =-—■ (3)
Цо М + ш М + ш w
Пусть хТ1 - координата центра масс тележки после первого полупериода колебаний. Тогда координата груза в этот момент равна хг1 = хТ1 + ¿ят^, где ^ -новый угол отклонения нити от вертикальной оси. Запишем выражение для координаты центра масс системы в этот момент:
МхТ1 + шхг1 МхТ1 + ш(хТ1 + ¿ят^х) М + ш М + ш
хщ = ;i, _11 = 11 : —^ (4)
Смещение центра масс системы по горизонтали достигается из-за ^ -единственной внешней силы, имеющей горизонтальную составляющую. Изменение координаты центра масс системы обозначим Дхц. Это значение показывает разницу между хЦо и хЦ1, то есть Дхц = хЦо — хЦ1. Подставляя выражения для хЦо и хЦ1, получаем:
ДхЦ • (М + ш ) = + МхТ1 + ш(хТ1 + ¿ят^). (5)
Выразим хТ1:
1ш
хТ1 = — М+-¿(я!П^0 + ЯШ^) + ДхЦ. (6)
Мы получили, что при малом Дхц смещение тележки xTl — х.
To
— 0
отрицательно, то есть тележка сместилась вдоль оси Ох влево. Путь тележки в этом случае равен:
I I т
# = |хт1| = М +—¿Ыпро + з1прг) — Ахц, (7)
следовательно:
М + т ,
Г + Дхц) — 51П^о. (8)
sinp± =
mL
При равенстве нулю кинетической энергии всех элементов системы получим, что потери энергии отражаются только на высоте подъёма груза, то есть на его потенциальной энергии [1]. Запишем закон сохранения энергии для системы:
0По 0П" РСБ,
где # - смещение центра масс тележки после первого полупериода колебаний. Подставляя (1) и (2) выражение (9), получаем:
(9)
cospL = cosp 0 +
FCS mgL
Используя основное тригонометрическое тождество для угла p-, имеем:
/М + т, Л Vi
у (7 + Дяц) — sin=0? + \ cos=0
+
FCS
?
1.
(10)
(11)
тЬ 4 ц ) \ тдЬ/
Отсюда можно выразить # через параметры системы и начальный угол отклонения груза.
В идеальной модели системы отсутствует сила сопротивления (/£ = 0), а значит изменение координаты х центра масс равно нулю, то есть Дхц = 0. Также при отсутствии силы сопротивления из формулы (11) при малых [1] углах ро и следует, что ро = р!.
В соответствии с полученными результатами выражение (7) принимает вид:
S
m
М + m
2 Lsinp0.
(12)
С помощью формулы (12) можно найти амплитуду колебания тележки при условиях, принятых в рамках идеальной модели.
Проведем экспериментальную проверку полученного соотношения (12). Результаты измерения значения # для различных масс груза и тележки при одинаковом малом угле отведения груза приведены в таблице 1.
Таблица 1
Экспериментальные значения £ для различных значений масс груза т
и тележки М
М,г 185 221 273 327
m, г
15 5 3 0 0
20 8 7 2 1
25 12 10 2 2
30 16 12 5 5
40 22 20 11 7
50 28 28 20 11
60 36 32 24 17
70 42 35 30 23
90 47 41 36 26
100 55 48 43 33
110 62 54 49 37
120 67 63 52 40
130 71 67 57 44
140 78 71 59 48
Для каждого сочетания массы груза и массы тележки определим не отношение масс т [3], а величину По формуле (12) вычислим теоретическое значение а затем измерим #рг - расстояние, которое реально проходит тележка за первый полупериод своих колебаний. Полученные результаты для каждого соотношения масс тележки и груза представлены в таблице 2.
Таблица 2
Теоретические и экспериментальные #0>г значения S для различных значений масс груза m и тележки M
ш #£К, мм #0Г, мм ш #£К, мм #0Г, мм
М + ш М + ш
0,075 15,8 5 0,052 10,9 0
0,098 20,5 8 0,068 14,3 2
0,119 25,0 12 0,084 17,6 2
0,140 29,3 16 0,099 20,8 5
0,178 37,3 22 0,128 26,8 11
0,213 44,7 28 0,155 32,5 20
0,245 51,4 36 0,180 37,8 24
0,275 57,6 42 0,204 42,9 30
0,302 63,4 47 0,227 47,6 36
0,351 73,7 55 0,268 56,3 43
0,373 78,3 62 0,287 60,3 49
0,393 82,6 67 0,305 64,1 52
0,413 86,7 71 0,323 67,7 57
0,431 90,5 78 0,339 71,2 59
0,064 13,3 3 0,044 9,2 0
0,083 17,4 7 0,058 12,1 1
0,102 21,3 10 0,071 14,9 2
0,120 25,1 12 0,084 17,6 5
0,153 32,2 20 0,109 22,9 7
0,185 38,7 28 0,133 27,9 11
0,214 44,8 32 0,155 32,6 17
0,241 50,5 35 0,176 37,0 23
0,266 55,8 41 0,197 41,3 26
0,312 65,4 48 0,234 49,2 33
0,332 69,8 54 0,252 52,9 37
0,352 73,9 62 0,268 56,4 40
0,370 77,8 67 0,284 59,7 44
0,388 81,4 71 0,300 63,0 48
По данным таблицы 2 построим графики зависимостей теоретической величины с „ с т
и экспериментальных значений #оГ от отношения м+т.
S, ММ 100
т/(М+т)
Рис. 2. Графики зависимости для теоретических (верхний график)
и экспериментальных (нижний график) значений S
Расположение точек экспериментальных данных с хорошей точностью аппроксимируется прямой линией
ш
(13)
#Ог ■ М + ш + V'
полученной по методу наименьших квадратов.
Прямая, на которой расположены теоретические значения, определяется выражением:
ш
(14)
М + ш
Значения параметров прямых Sor и представлены в таблице 3.
Таблица 3
R S Rjk
ОрГ (204,0±5,0) мм (-12,5±0,6) мм
210 мм 0 0,03
Малое отличие &:рг и означает, что пропорции роста 5 при изменении н+т
в экспериментальных данных незначительно отличаются от теоретического показателя и отклонения обусловлены погрешностями измерения, неизбежными при проведении любого опыта или наблюдения, результатом которого являются числовые значения.
Различие свободных членов Ьрг и Ь^ объясняется наличием силы сопротивления которая не учитывалась при построении идеальной модели.
Таким образом, в результате проведенных исследований получена аналитическая зависимость амплитуды перемещения тележки от соотношения масс груза и тележки при фиксированном угле отведения маятника, а также проведена её экспериментальная проверка. Сравнительный анализ идеальной теоретической и экспериментальной модели позволяет оценить величину силы сопротивления, значение которой должно учитываться при выполнении инженерных расчетов систем, которые содержат представленную в статье конструкцию.
Результаты данной работы могут быть использованы при проектировании и эксплуатации подвижных систем на колесной базе с колебательными движениями закреплённого на ней груза.
Библиографический список
1. Гавриков, А. В. Механические колебания: учебно-методическое пособие по курсу «Общая физика» / А. В. Гавриков, Н. А. Ворона. - Москва: МФТИ, 2011. 37 с.
2. Зегжда, С. А. Гашение колебаний тележки с двойным маятником с помощью управления её ускорением / С. А. Зегжда, Е. А. Шатров, М. П. Юшков // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1 Математика. Механика. Астрономия. - Том 3(61). - 2016. - Выпуск 4. - С. 683-688.
3. Каюмов, О. Р. Оптимальное по быстродействию перемещение тележки с маятником / О. Р. Каюмов // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. - 2021. - № 1. - С. 30-41.
4. Лонг, X. Анализ системы «маятник-тележка» при внешнем гармоническом воздействии на основе критериальной матрицы системы / X. Лонг, Н. А. Дударенко // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2022. - № 23(3). - С. 146-151.
5. Рогова, Н. С. Разработка алгоритмов управления для перемещения груза портальным краном / Н. С. Рогова, В. Д. Юркевич // Сборник научных трудов НГТУ. -2015. - № 3(81). - С. 43-54.
6. Сивухин Д.В. Общий курс физики: учебное пособие для вузов: в 5 томах. Том 1. Механика / Д. В. Сивухин. - 5-е изд., стереот. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 560 с.
7. Шугайло, Т. С. Управление движением козлового крана с грузом задании ускорения / Т. С. Шугайло // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. - 2020. - Том 7(65). - Выпуск 1. - С. 154-164.
