CC BY
23
УДК 621.873.1
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СПЛАЙНОВ ЭРМИТА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ГРУЗА НА НЕЖЕСТКОМ КРАНОВОМ ПОДВЕСЕ ПО КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАЕКТОРИИ
USE OF HERMITE SPLINES WHEN SOLVING THE PROBLEM OF CARGO MOVEMENT ON A UNRIGID CRANE SUSPENSION ON A CRYSTAL TRAJECTORY
М. С. Корытов1, В. С. Щербаков1, В. В. Титенко2
'Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия 2Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
M. S. Korytov1, V. S. Shcherbakov1, V. V. Titenko
'Siberian automobile and highway university, Omsk, Russia 2Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. Задание требуемой траектории перемещения груза на нежестком крановом подвесе маятникового типа при помощи двухточечных сплайнов Эрмита с наивысшими производными четвертого порядка позволило получить в аналитическом виде выражения координат груза, точки подвеса груза и угла отклонения каната от вертикали, а также их первых трех производных от времени. Использовалась известная математическая модель колебательной системы, описываемая при помощи линеаризованного дифференциального уравнения. При описываемых перемещениях колебательной системы отсутствуют неуправляемые маятниковые колебания груза, снижающие производительность и безопасность рабочего процесса. Груз перемещается точно по заданной траектории. Суперпозиция перемещений груза в двух взаимно перпендикулярных плоскостях позволила решить задачу синтеза траектории точки подвеса, обеспечивающей перемещение груза по произвольной гладкой криволинейной траектории, заданной в горизонтальной плоскости. Вторая горизонтальная координата груза была представлена при этом как интерполяционный многочлен от первой горизонтальной координаты. Разделение траектории перемещения вдоль оси второй горизонтальной координаты на несколько участков одинаковой продолжительности позволило определить перемещения груза и его производных в опорных точках, а по ним определить траекторию движения точки подвеса. Разработанная методике является перспективной для применения в интеллектуальных мехатронных системах управления кранами мостового и козлового типа.
Ключевые слова: сплайн Эрмита, раскачивание груза, заданная траектория, маятниковый подвес, мостовой кран, колебания, вынужденное движение.
DOI: 10.25206/2310-9793-7-1-95-104
I. Введение
В последние десятилетия большое число исследований было посвящено поиску эффективных методик автоматического управления подвижными звеньями мостовых кранов (МК) [1] в целях обеспечения частичного или полного ограничения (гашения) неуправляемых колебаний груза на гибком подвесе [2]. Неуправляемые колебания при неоптимальном (в том числе ручном) управлении МК присутствуют как в процессе перемещения груза, так и после остановки подвижных звеньев. Они уменьшают эффективность работы и безопасность использования МК [3].
Группа методов управления перемещением подвижных звеньев МК с разомкнутым контуром не требует наличия дополнительных датчиков обратной связи. Отслеживающих на реальном объекте фактический угол отклонения подъемного каната от вертикали, либо координаты груза. Внутри данной группы методов могут быть выделены два основных подхода: 1) использование входных формирователей [4], применяемых, в частности, в контроллерах систем автоматического управления звеньями реальных объектов грузоподъемных кранов [5] и при математическом моделировании их перемещений [6]; 2) планирование траекторий [7], которое может применяться в том числе для малонагруженных систем [8] и систем с неопределенностями [9].
В ряде работ для ограничения колебаний груза МК используется математический аппарат нечеткой логики [10], в том числе адаптивный [11], и аппарат нейронных сетей [12].
В работе [13] решается задача обхода грузом препятствий с учетом запрещенных для перемещения зон вокруг препятствий. Выполняется оптимизация функции стоимости траектории по энергетическому критерию. В результате происходит ограничение колебательных движений грузовой тележки.
В работе [14] предлагается подход к планированию траектории с аналитическим выражением ускорения. Получено аналитическое выражение, связывающее колебания груза и ускорение грузовой тележки МК. Предложено использование гладких функций в трехсегментной траектории ускорения.
Задача разгона до заданной скорости перемещения точки подвеса при отсутствии остаточных угловых колебаний каната решается аналитически в работе [15].
Большинство известных методик и алгоритмов имеют недостатки. В них, как правило, не решается задача точного перемещения груза по заданной траектории. С различной степенью эффективности решается другая задача - ограничения колебаний груза. Чаще всего она интерпретируется исследователями как уменьшение амплитуды колебаний каната или груза. Время перемещения при решении указанной задачи, как правило, увеличивается. Часто колебания гасятся не полностью. В подавляющем большинстве методик не учитываются коэффициенты затухания маятниковых колебаний груза вследствие диссипации энергии. В известных методиках, характеризующихся высоким качеством гашения колебаний, используется сравнительно сложный и ресурсоемкий математический аппарат.
II. Постановка задачи
Для устранения недостатков известных методик в статье представлен простой аналитический способ определения траектории перемещения точки подвеса груза, обеспечивающей перемещение груза по заданной криволинейной пространственной траектории.
Имеется заданная в виде п опорных точек криволинейная траектория перемещения груза в горизонтальной плоскости У=ДХ). Через заданные горизонтальные координаты X и У опорных точек проходит кривая траектории, которая описывается при помощи интерполяционного многочлена (рис. 1).
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
Рис. 1. Пример заданной интерполяционным многочленом 3 степени пространственной траектории груза,
проходящей через 4 опорные точки и соответствующей ей траектории точки подвеса (вид в плане)
С использованием математической модели МК с канатным подвесом груза (рис. 2), необходимо определить такую траекторию точки подвеса груза (моста и грузовой тележки МК, движущихся вдоль горизонтальных осей X и Y соответственно), которая позволит реализовать заданную траекторию перемещения груза за время T. При соблюдении дополнительных условий равенства нулю скоростей и ускорений груза и точки его подвеса как в начальный, так и в конечный моменты времени.
III. Теория
Способ предназначен для малонагруженных МК (перемещающих грузы, масса которых сопоставима с массой грузовой тележки МК), не испытывающих существенных ветровых нагрузок (работающих в помещениях). Принято допущение о пренебрежимо малом влиянии массы груза на управляемые параметры перемещения, скорости и ускорения подвижных звеньев МК - моста и грузовой тележки. Область применения способа ограничивается малыми углами отклонения подъемного каната от вертикали (не более 5°) и постоянной длиной подъемного каната в процессе перемещения груза.
Движение пространственной динамической системы МК (рис. 2, а) с учетом малости углов отклонения подъемного каната было представлено как суперпозиция плоских колебаний в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Это плоскость движения моста с грузом (вдоль оси X, угол 9Х) и плоскость движения грузовой тележки МК с грузом (вдоль оси Y, угол 9Г). Схема перемещения подвижной точки подвеса МК с грузом в отдельной плоскости (на примере плоскости движения моста МК) представлена на рисунке 2, б.
Y, м
Тра ектория груза
f Траектор / под тя точки веса Конец
Начало Опор ные точки трае груза ктории —"V
0 2 4 6 8 X, м 10
а) б)
Рис. 2. Мостовой кран с канатным подвесом груза: а - пространственная схема; б - схема движения в отдельной плоскости
В математической модели и на схеме колебаний в плоскости (рис. 2, б) приняты следующие обозначения параметров динамической системы (на примере движения вдоль оси X): Ь - длина маятникового подвеса груза (т. е. подъемного каната) от точки подвеса на грузовой тележке МК до центра масс груза, м; q - угол отклонения подъемного каната МК от вертикали, рад; т - масса груза, кг; g - ускорение свободного падения, м/с2; / -текущее время процесса перемещения, с; Т - конечное время процесса перемещения, с; Ь=В/(тЬ2) - коэффициент затухания колебаний, с-1; В - коэффициент момента сил сопротивления угловому повороту грузового каната относительно гравитационной вертикали, кгм2/с; х1 - линейная горизонтальная координата точки подвеса, м; х/о=0 - линейная горизонтальная координата груза в начальный момент времени 1=0, м; хТ - линейная горизонтальная координата груза в конечный момент времени Т, м. Верхними точками над всеми переменными параметрами обозначены их производные по времени. При рассмотрении движения вдоль оси У всем параметрам, содержащим символ оси х, будут соответствовать параметры, содержащие символ оси у.
В основу математического описания процесса перемещения груза МК было положено известное дифференциальное уравнение (ДУ) колебаний маятника с подвижной точкой подвеса [16]. В случае малых углов и учета затухания колебаний это линеаризованное ДУ имеет вид
д + х(/Ь + Ьс[ + д^/Ь = 0. (1)
ДУ (1) получается линеаризацией нелинейного ДУ больших колебаний в плоскости.
Линеаризованные уравнения связей перемещений, скоростей, ускорений и рывков точек подвеса и груза при малых значениях угла q имеют вид
х,(0 = */(')-£•?('); (0 = */(')-£• 4(0; 0 = (0 = Ц 00-■ Ц(г). (2)
При подстановке выражения ускорения точки подвеса х, (/) из (2) в ДУ (1) второго порядка происходит редукция последнего до первого порядка. Формируется ДУ первой производной угла г/ в форме Коши:
? = "(*/ (3)
В случае подстановки в ДУ (3) выражений ускорения груза X/ (I) в виде гладких функций в некоторых случаях может быть получено аналитическое решение этого ДУ.
Для задания требуемой траектории груза в настоящей статье предложено использовать сплайны Эрмита. По известным общим формулам вывода [17, 18] было получено выражение двухточечного сплайна Эрмита с наивысшим порядком производных в узловых точках т=4, приведенное ниже. При порядке т, меньшем 4, наблюдаются скачки ускорения точки подвеса в начальный и конечный моменты процесса. Порядок т, больший 4, в свою очередь, существенно увеличивает сложность получаемых аналитических выражений и делает их
достаточно громоздкими. Поэтому решено было остановиться на значении m=4. Двухточечный сплайн Эрмита, задающий траекторию груза, при m=4 имеет вид [17, 18]:
xl (t) = s9 t9 + s8 t8 + s7 t7 + s6 t6 + s5 t5 + s4 t4 + s3 t3 + s2 t2 + s1t, (4)
где s1^s9 - постоянные коэффициенты, определяемые заданными значениями времени перемещения и производных линейного перемещения груза в начальной и конечной узловых точках:
_ 3-т!0Т3 +30х10Т2 5х/0 _10х/0 15.т/0Г3 + 150*/0Г2 | х!0Т3 +15.т/0Г2 + 90*ЮТ
— X/fi S'i — , S'o — I ,
1 /0 2 6Г3 т i Т2 6Т4 6Г3
ISx/qT13+150x/n7,:! 10%, 5х)(1Т^ +75хП1Т2 +450хП1Т 5х)(1Т2 +45хН1Т + 210х/п 4 ЗТ5 Т3 6 Т4 6 г3 '
_ -х,тТ3 + (21х1тТ2 ) / 2 - 56х!гТ + 126х/г 15х!0Т3 +150хюТ2
S5 = * 2
Т5 37
5х/0 5х)0Т3 +75х!0Т2 + 450х/0Г 25х)0Т2 + 225х/0Г + Ю50х/0
н---1----:
T4 3T5 6T4
_ 196х/г - (77ЩТ ) / 2 + (23Т2х1т ) / 6 - (420х/г ) / Т 15х/0Г3 + 150х/0Г2 •Sk — ; I" "
Т5 6 т1
х!0 5х)0Т3 + 75х!0Т2 + 450х/0Г 25х)0Т2 + 225х/0Г + Ю50х/0
T5 3T6 3T5
11Т х1г 260 х/г 540 х/г ^ 53 2 ^ + ЗхюТ3+ЗОхюТ2 {
7 Т5 6 Ts
5 х}0 Г3 + 75 Зг/0 Г2 + 450 х!0 Т 25 Г2 + 225 х10 Т +1050 х/0 6 Т1 ЗТ6 '
7 ^yt 6 5 л^у7 155 -^у7 315 л^у7 _ 2 2Г Г2 Г3 х}0 Г3 +15Зг/0 Г2 + 90х/0 Т 4 ~ 6 Г5 4
25 х}0 Г2 + 225 х/0 Т +1050 х/0 6 Т1 '
15 XjT 5х]Т 35:%. 70xjT
2Т2 6Г Г3 Г4 5Т2 + 45у/п Г + 210х/п
«9=-;---:---■ (5)
Т5 6 Т8
Таким образом, отдельное перемещение груза от начальной до конечной точки характеризуется совокупностью граничных условий в начальной и конечной точках времени в виде значений координаты и ее первых трех производных: х/0, х/0, х/0, х)0, х1т, х1т, х1т. % . а также начальным значением угла наклона каната до-
Выражения первых трех производных сплайна Эрмита (4) по времени, определяющие заданные скорость, ускорение и рывок груза, имеют вид:
х, =959^8 + 8*8 Г7 +757^6 +5я5Г4 +45473 +3 эъГ +2я2Г + я1: (6)
х, = 72э9 ^ + 56+ 42^ +30э6 ^ +20э5 ^ +\2э4 ^ +6э3 Г + 2э2: (7)
х} =504Г6 +336^8 ^ +210^7 Г4 +120^6 Г3 +60^5 Г2 + 24я4 7 + б£3 . (8)
Производные координаты груза (6)-(8), полученные дифференцированием выражения (4) по времени, позволяют получить выражения скоростей, ускорений и рывков точки подвеса груза из уравнений (2). Это возможно при наличии аналитических выражений первых трех производных угла каната, о чем будет сказано ниже.
Для ДУ (3), после подстановки в него выражения второй производной сплайна Эрмита (7), может быть получено решение в аналитическом виде. Решение представляет собой временную зависимость угла отклонения грузового каната:
72 s9t7 + 56 8^6 + 42 s7/5 + 30 8^4 + 20 8^3 +12 8^2 + 6 s3t + 2 s2 = С1е +
Я
362880Ь7 Ь7 8* 6 ЬЬ (84 89 t6 + 56 8815 + 35 87 t4 + 20 8613 +10 V2 + 4 V + 83) +-9 +-----
24Ь2 Ь2 (126s9t5 + 70sst4 + 358^3 +15s6t2 + 58^ + 84 )
+
Я3
(9)
5040Ь5 Ь5 (368912 + 8881 + 87 ) 120Ь3 Ь3 (1268914 + 56+ 218712 + 68^ + 85)
+-:-- +
Я6 Я4
40320Ьб Ьб (88 + 9891) 720Ь4 Ь4 (84,913 + 288812 + 7,71 + ,6 )
Выражение постоянного коэффициента С1, определяемое подстановкой начального значения угла q0 в (9), имеет вид:
2 24 Ь2 Ь2 ^ 120 Ь3 Ь3 ^ 720 Ь4 Ь4 ^ 5040 Ь5 Ь5
С1 = % + — +-Г"^--4-1 +-5----6-- +
Я Я Я Я Я
Л Л 7 7 (10)
40320 Ь6 Ь ^ 362880 Ь7 Ь7 ^ 6 ЬЬ,3
7 8 2
Я Я Я
Дифференцированием формулы (9) по времени получены аналитические выражения первых трех производных угла каната:
504015 б5 (8 58 + 72 59 Г) 362880 Ь6 Ъв
9(0 =-V-—--7-""
g 8
504 89 t6 + 336 88 t5 + 210 87 ^ +120 86 t3 + 60 85 t2 + 24 84 t + 6 83
ё
120Ь3 Ь3 (504 8^3 +168 88^ + 42871 + 686 ) 72014Ь4 (2528912 + 568^ + 787 )
+---^-----5-- + (11)
Я Я
6 Ь Ь (504 89 t5 + 280 88 t4 +140 87 t3 + 60 86 г1 + 20 85 t + 4 84 ) +---
Я2
24 Ь2 Ь 2 (63 0 89 t4 + 280 88 t3 +105 87 t2 + 30 86 t + 5 85) с Я е и
Я3 ЬЬ
30245„ Г5 +16805» Г4 +840з7 Г3 + 360^ г + 120 я,/+ 24 36288015 Ь5 5„ <7(0 =--------5-2-± + -
ё ё 6
720 Ь4 Ь4 (56 8 + 504 ^ /) 6 ЬЬ (2520 89 г4 +1120 881Ъ + 420 г2 +120 ^ г + 20 ^) ----;-- +----г-----(12)
, . . . 24 Ь2 Ь2 (2520 ^ г3 + 840 ^ г2 + 210 ^ г + 30) 120Ь3 Ь3 (1512^ г2 + 336^ г + 42^) С1 ё2 е ЬЬ
ё3 Я4 Ь2 Ь2
_ 12013 Ьъ (33б88 +302459 0 362880Ь4 Ь4 89 15120 89 Г4 + 6720 88 Г3 +252057 Г2 +72056 / +120^
<7(0 --^---^---^ +
Я Я 8
/ х / х * (13)
6ЬЬ (100808gt3 + 3360 88^ + 8408^ +12086) 24Ь2 Ь2 (756089 t2 +1680 8^ + 21087 ) С1 ё3 е ьь
+------.
ё2 ё3 Ь3 Ь3
Перемещение точки подвеса и его производные могут быть определены подстановкой полученных по (9), (11), (12) и (13) значений угла каната и его первых трех производных непосредственно в уравнения связей (2).
Все приведенные выше аналитические выражения описывают перемещение маятниковой системы груза с подвижной точкой подвеса в отдельной плоскости. Таким образом, полученные выражения позволяют по заданной уравнениями (4), (6)-(8) траектории груза получить аналитические выражения траектории точки подвеса груза, т. е. рабочих органов МК: моста или грузовой тележки. Перемещение последних по траектории (2) позволит реализовать заданную траекторию груза в плоскости, причем в режиме отсутствия неуправляемых колебаний, с соблюдением условий покоя в начальный и конечный моменты времени.
IV. Результаты эксперимента
Далее рассмотрим способ использования полученных выражений для исследования пространственных перемещений груза по кривой, расположенной в горизонтальной плоскости (при ограничении в виде постоянной длины каната Ь). Необходимо задать криволинейную траекторию перемещения груза в горизонтальной плоскости, а затем представить ее как суперпозицию двух плоских управляемых колебаний. Наиболее простым и универсальным способом задания криволинейной траектории перемещения груза в плоскости ХУ в виде функции У=ДХ) является указание координат X и У для п опорных точек, через которые должна проходить кривая и последующая генерация по ним коэффициентов интерполяционного многочлена степени п-1 известными численными методами [19]. Единственным необходимым условием при этом является следующее. Требуется, чтобы значения координаты X в последовательности опорных точек траектории монотонно возрастали. Значения координаты У могут изменяться произвольно.
В качестве примера при количестве опорных точек траектории, равном 4 (рис. 1), выражения интерполяционного многочлена и его первых трех производных принимают вид:
у, = рх XI3 + р2 X,2 + Ръх,+ рА : у, = Ър1 X, X,2 + 2р2 х, х, +р3х,:
2 2 2 у, =6рх X, х, +2р2 X, +3X/ рх х, + 2X/ р2 х, + X/ ръ ; (14)
У\ =6 А X/3 +18 рх х, х, х,+3Р1 х, X/2 +6р2х, х1+1р2 х) х, + р3 х, ,
где рь р2, Ръ, Р4 - коэффициенты интерполяционного многочлена, упорядоченные по убыванию степени.
V. Обсуждение результатов
Для примера, приведенного на рисунке 1, четыре опорные точки заданной траектории груза имеют координаты Х=[0; 2; 8; 10] м, У= [0; 2; -3; 0] м. Коэффициенты интерполяционного многочлена принимают при этом значения р:=0,052083; р2=-0,75; р3=2,291667; р4=0.
Пусть в качестве примера одного из способов задания пространственной траектории перемещение груза вдоль оси X задается при помощи единственного сплайна Эрмита вида (4), определяемого следующими значениями постоянных параметров:
»;=1000 кг; В=5 кгм2/с; Т= 30 с; ¿70=0; *кг0 м; х/0 = 0 м/с; х/0 = 0 м/с2; хю = 0 м/с3;
х1г=уАТ)= Юм; х1т =0 м/с; х1т =0 м/с2; х1т =0 м/с3. (15)
0.8
к
0.6 0.4 0.2 0
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8
д. град;
XI,
X, м 10
*, с 4
0
10
15
20
25
30
Рис. 3. Временные зависимости ряда переменных параметров при перемещении груза вдоль оси X: координаты груза координаты точки подвеса х,. угла отклонения каната от вертикали ц. скорости точки подвеса х{, ускорения точки подвеса х, (пример)
.У/, Л-м/с2
У1
^ с
10
15
20
25
30
5
2
1
0
1
2
3
5
0
Рис. 4. Временные зависимости перемещений, скоростей и ускорений груза ( у;, Су,})) и точки подвеса груза (у1, , у,) при перемещении груза вдоль оси ¥ (пример)
На рис. 3 приведены временные зависимости переменных параметров системы, рассчитанные для однократного перемещения груза вдоль оси X. Однократные разгон и торможение, подобные приведенным на рис. 3, целесообразно использовать для задания движения вдоль оси X моста МК, обладающего большой инерционностью по сравнению с грузовой тележкой.
Выражения (14) позволяют определить значения перемещения груза вдоль оси У, а также первые три производные этого перемещения для произвольного числа опорных точек траектории У(/). Движение груза вдоль оси У имеет переменное направление. Общий временной интервал перемещения [0; Т] может быть разбит на к промежутков.
На рис. 4 представлены временные зависимости перемещений, скоростей и ускорений груза и точки подвеса груза в направлении оси У для рассматриваемого примера при к=6. Количество опорных точек траектории у() при этом равно к+1, т. е. 7. Конечное значение угла отклонения грузового каната в каждом из промежутков выступает как начальное значение q0 для последующего промежутка.
0.5
у,, м/с2
0
-0.5
0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0,000
к к=16
->
Душах, м
10 20 /, с 30
а)
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
У, - м/с2
к к=7
->
0
10
20 /, с 30
б)
1
1
1
1Г-П Г/Л %
11
в)
к
0
7
6
4
Рис. 5. Синтезированные временные зависимости ускорения точки подвеса у{ при количестве опорных точек траекторииу(), к=16 (а); к=7 (б); диаграмма значений абсолютной погрешности координаты груза Душах для к=11, 7, 6 и 5 (в)
Заданные по (14) и полученные по формулам (4), (6) и (7) параметры траектории груза визуально совпадают. Для параметров траектории точки подвеса гладкость функций наблюдается только для перемещения у( и скорости у(. График ускорения точки подвеса у имеет точки перелома, временные значения которых совпадают с опорными точками траектории уг(/) (рис. 5а, б).
Увеличение количества опорных точек снижает максимальную абсолютную погрешность реализации заданной траектории движения груза вдоль оси У (рис. 5 а, в).
Абсолютная погрешность определялась как разность текущих значений координаты груза у1, полученных по формуле (14), и соответствующих значений, полученных на имитационной модели МК [20], при подаче в нее в качестве входных воздействий одновременно двух перемещений точки подвеса, полученных по формулам (2) - вдоль оси X и вдоль оси У. Имитационная модель позволяет исследовать большие пространственные перемещения груза. Возможные значения углов отклонения грузового каната в указанной модели не ограничены.
Максимальная абсолютная погрешность Душах при к>7 составляет менее 1 мм (рис. 5в), что может считаться пренебрежимо малой величиной.
Максимальная абсолютная погрешность вдоль оси движения моста в рассматриваемом примере принимала постоянные значения: Дхшах=0,55 мм, поскольку движение груза вдоль оси X моста задавалось одним и тем же двухточечным сплайном Эрмита во всех расчетных случаях.
VI. Выводы и заключение
1. Использование двухточечных сплайнов Эрмита с наивысшим порядком производных, равным 4, позволило получить в аналитическом виде выражения перемещений груза, точки его подвеса, угла отклонения каната от вертикали и их производных от времени. Перемещение груза в отдельной плоскости пространства осуществляется при этом точно по заданной траектории в режиме отсутствия неуправляемых колебаний.
При использовании представленных аналитических выражений отпадает необходимость в численном решении дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую плоскую колебательную систему груза с подвижной точкой подвеса.
2. Суперпозиция колебаний груза в двух взаимно перпендикулярных плоскостях движения моста и движения грузовой тележки крана допустима при малых углах отклонения подъемного каната от вертикали. Она позволяет решить задачу перемещения груза на нежестком маятниковом подвесе постоянной длины по заданной криволинейной траектории, когда последняя задана в горизонтальной плоскости. Для этого координата груза вдоль оси движения грузовой тележки может быть представлена как аналитическая функция (например интерполяционный многочлен) от координаты груза вдоль оси движения моста крана. В статье в качестве примера приведены формулы интерполяционного многочлена третьей степени, а также его первых трех производных по времени. Данный многочлен описывает траекторию, имеющую одну точку перегиба и проходящую через четыре опорные точки с заданными геометрическими координатами. Подобная траектория позволяет выполнить обход грузом двух препятствий. Разделение временной траектории перемещения груза вдоль оси движения грузовой тележки на несколько участков одинаковой продолжительности позволяет вычислить необходимые значения перемещения груза и его первых трех производных в опорных точках. Затем для каждого участка с использованием приведенных аналитических выражений может быть определена траектория движения точки подвеса вдоль оси движения грузовой тележки.
3. Для рассматриваемого интерполяционного многочлена третьей степени, задающего зависимость координаты груза вдоль оси движения грузовой тележки от координаты груза вдоль оси движения моста, целесообразно использовать семь и более опорных точек временной зависимости траектории груза. Это снизило максимальную абсолютную погрешность способа в рассматриваемом примере до несущественной величины менее 1 мм. Указанная погрешность была получена при принудительном задании движений моста и грузовой тележки в пространственной имитационной модели по временным траекториям, полученным по приведенным в статье аналитическим выражениям.
Список литературы
1. Wu Z., Xia X., Zhu B. Model predictive control for improving operational efficiency of overhead cranes // Nonlinear Dynamics. 2015. Vol. 79, no. 4. P. 2639-2657.
2. Zhang Z., Wu Y., Huang J. Differential-flatness-based finite-time anti-swing control of underactuated crane systems // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 87, no. 3. P. 1749-1761.
3. Caporali R. P. L. Iterative method for controlling with a command profile the sway of a payload for gantry and overhead traveling cranes // International Journal of Innovative Computing, Information and Control. 2018. No. 14 (3). P. 1095-1112.
4. Sorensen K., Singhose W. Command-induced vibration analysis using input shaping principles // Automatica. 2008. No. 44(9). P. 2392-2397.
5. Garrido S., Abderrahim M., Giménez A., Diez R., Balaguer C. Anti-swinging input shaping control of an automatic construction crane // IEEE Trans. Autom. Sci. Eng. 2008. No. 5(3). P. 549-557.
6. Blackburn D. Command Shaping for Nonlinear Crane Dynamics // Journal of Vibration and Control. 2010. No. 16. P. 477-501.
7. Sun N., Fang Y., Zhang Y., Ma B. A novel kinematic coupling-based trajectory planning method for overhead cranes // IEEE/ASME Trans. Mechatron. 2012. No. 17(1). P. 166-173.
8. Sun N., Fang Y. An efficient online trajectory generating method for underactuated crane systems // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2014. No. 24(11). P. 1653-1663.
9. Sun N., Fang Y., Chen H. Adaptive antiswing control for cranes in the presence of rail length constraints and uncertainties // Nonlinear Dynamics. 2015. Vol. 81, no. 1-2. P. 41-51.
10. Xiaoou L., Wen Y. Anti-swing control for an overhead crane with fuzzy compensation // Intelligent Automation. 2012. Vol. 18, no. 1. P. 1-11.
11. Khazaee M., Markazi A., Omidi E. Adaptive fuzzy predictive sliding control of uncertain nonlinear systems with bound-known input delay // ISA Transactions. 2015. No. 59. P. 314-324.
12. Zhang X., Xue R., Yang Y., Cheng L., Fang Y. Learning time-optimal anti-swing trajectories for overhead crane systems // Advances in Neural Networks // 13th International Symposium on Neural Networks, 2016, St. Petersburg, Russia, July 6-8. 2016. P. 338-345. DOI: 10.1007/978-3-319-40663-3_39.
13. Inomata A., Noda Y. Fast trajectory planning by design of initial trajectory in overhead traveling crane with considering obstacle avoidance and load vibration suppression // Journal of Physics: Conference Series. 2016. Vol. 744. No. 1. P. 012070.
14. Wu X., He X., Sun N. An analytical trajectory planning method for underactuated overhead cranes with constraints // Proceedings of the 33rd Chinese Control Conference, Nanjing. 2014. P. 1966-1971. DOI: 10.1109/ChiCC.2014.6896931.
15. Korytov M., Shcherbakov V., Titenko V. Analytical solution of the problem of acceleration of cargo by a bridge crane with constant acceleration at elimination of swings of a cargo rope // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 944, No. 1. P. 012062. DOI: 10.1088/1742-6596/944/1/012062.
16. Блехман И. И. Вибрационная механика. М. : Физматлит, 1994. 400 с.
17. Shustov V. V. Approximation of functions by asymmetric two-point Hermite polynomials and its optimization // Computational mathematics and mathematical physics. 2015. Vol. 55, no. 12. P. 1960-1974.
18. Shustov V. V. Approximation of functions by two-point Hermite interpolating polynomials // Computational mathematics and mathematical physics. 2015. Vol. 55, no. 7. P. 1077-1093.
19. Калиткин Н. Н. Численные методы. СПб. : БХВ-Петербург, 2011. 592 с.
20. Korytov M.S., Breus I.V. Development of the mathematical description of a overhead crane in large spatial movements, taking into account the dissipation of swing energy // International Journal of Mechanics and Control. 2018. Vol. 19. No. 02. Pp. 39-44.
УДК 621.873.1
МОДЕЛЬ СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА С ПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ПОДВЕСА В ЗАДАЧЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ГРУЗА ГРУЗОПОДЪЕМНЫМ КРАНОМ
ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ КОЛЕБАНИЙ
MODEL OF THE SPHERICAL PENDULUM WITH A MOBILE POINT OF A SUSPENSION IN THE TASK OF THE SPATIAL MOVEMENT OF A CARGO OF A LOADING CRANE
WITH LIMITATIONS OF SWAYS
М. С. Корытов1, В. С. Щербаков1, В. В. Титенко2, В. Е. Беляков3
'Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия 2Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 3Военная академия материально-технического обеспечения имени генерала армии А. В. Хрулева Министерства
обороны Российской Федерации, г. Омск, Россия
M. S. Korytov1, V. S. Shcherbakov1, V. V. Titenko2, V. E. Belyakov3
' Siberian automobile and highway university, Omsk, Russia 2 Omsk State Technical University, Omsk, Russia 3 Military Educational Institution of Logistics named after General of the Army A. V.Khrulyov of the Ministry of Defense
of the Russian Federation, Omsk, Russia
Аннотация. Рассматривается задача управления грузоподъемным краном, когда пространственные колебания груза описываются с помощью модели сферического маятника, имеющего две угловые степени свободы. Для ограничения неуправляемых пространственных колебаний груза оптимизируются перемещения его точки подвеса. Для решения задачи перемещения груза в пространстве по криволинейной траектории в режиме ограничения колебаний впервые использована известная система дифференциальных нелинейных уравнений колебаний пространственного сферического маятника с ускорением точки подвеса вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат. Предложены сигмоидальные аналитические зависимости двух углов отклонения груза от гравитационной вертикали и поворота маятника вокруг вертикали, которые позволяют получить аналитические выражения первых двух производных указанных углов, и далее аналитические выражения линейных ускорений точки подвеса груза вдоль двух горизонтальных осей прямоугольной декартовой системы координат. По известным ускорениям численными методами могут быть получены временные зависимости скоростей и перемещений точки подвеса груза вдоль указанных осей координат. Решение оптимизационной задачи позволяет переместить груз по криволинейной траектории на заданные расстояния вдоль указанных осей координат при соблюдении ограничений, накладываемых на максимальные ускорения и скорости приводов крана, перемещающих точку подвеса груза вдоль указанных осей координат. Область применения методики -системы автоматического управления перемещением мостовых и козловых кранов, а также моделирование рабочих процессов кранов. Приводятся примеры полученных оптимальных временных зависимостей углов отклонения грузового каната, перемещений точки подвеса и их первых двух производных, обеспечивающие заданный режим перемещения груза при ограничении колебаний.
Ключевые слова: грузоподъемный кран, груз, ограничение колебаний, раскачивание, сферический маятник.
