Колебательные моды сверхструктур и влияние на них разупорядочения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ МОДЫ СВЕРХСТРУКТУР И

ВЛИЯНИЕ НА НИХ РАЗУПОРЯДОЧЕНИЯ

\

В. С. Виноградов

Сверхструктура представляется в виде совокупности периодически расположенных в решетке примесных атомов с измененной массой. С использованием метода расширенной ячейки получены уравнения для колебательных мод сверхструктур. Для структур с большим периодом прослеживается связь их спектра со спектром п-мерных твердых растворов (п = 1, 2, 3).

В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных исследованию колебательных мод сверхрешеток [1, 2]. В них обсуждаются такие явления, как пленение фононов", приграничные моды и др. Из-за сложности объекта часто используются упрощенные модели типа линейной цепочки, не пригодные для объектов другой размерности. В настоящей работе для описания колебательных мод используется общий метод и модель, применимые не только к сверхрешеткам, но и к другим сверхструктурам типа упорядоченно расположенных квантовых нитей или квантовых точек. Ме тод основан на использовании расширенной ячейки [3]. Исследуется влияние на колебатель ные спектры разупорядоченности расположения элементов структуры. Прослеживается связь между колебательными спектрами разупорядоченных сверхструктур и п-мерных твердых растворов (п = 1,2,3). Ранее эта связь не анализировалась.

Будем рассматривать сверхструктуру как совокупность упорядоченно расположен ных примесей замещения с измененной массой. Изменение силовых констант менее существенно, и мы им будем пренебрегать.

Спектр исходной решетки без примесей определяется полюсами Фурье-компонеп гы функции Грина g, которая имеет вид:

(1)

где I - номер ячейки; к, т^ - номер атома в ячейке и его масса, ал,-(у) - собственная частота моды с волновым вектором у и номером ветви j■1 N = Ь\Ь2Ьз - число ячеек в

У

периодически повторяющемся объеме. Векторы поляризации wa к

удовлетворяют условиям нормировки и полноты ^Zwa \к

ак \

У

J

(q = x,y,z)

= 6jj> X

xJ2wa I A:

Л «i [у у)

j J К ■7 /

I

= bapbkk' ■ Векторы xl ^ I и у представляются, соответ-

ственно, в виде разложения по базисным векторам a,, bt прямой и обратной решетки

х ^ М = х(/) + x(fc) = /iax + /2а2 + /3а3 + х(*), у = (/it/X1)b1 + {h2/L2)b2 + (h3/L3)b3,

где вектор х(/) характеризует положение ячейки, а х(к) - положение атома в ячейке; к, целые числа, удовлетворяющие неравенствам —1/2 < /гг/^г < 1/2, если у находится в первой зоне Бриллуэна (ЗБ).

(Л (Л

Произведем замещение атомов = с массой тi атомами с массой т\ =

\ч \ ч

mj + Am. Уравнение для функции Грина такой решетки имеет вид

G = д + Amw2gG,

(2)

где направление стрелок над д, (7 указывает положение примесных индексов в матри

( I с1\ _ ( (1 I \

цах, например, д = да0 I I, д = дар I I.

Так как расположение примесных атомов считаем периодическим, то для реше ния (2) удобно ввести новую элементарную ячейку и переобозначить атомы решетки в соответствии с х ^ ^ | = х(с?) + х ^ ^ | — х(с?) = х(</) + х(я) = х ^ ^ | , где

х(с?) = с?1а'1 + + с?3а3 характеризует положение новой ячейки, а х(з) - положение атомов в ней. Волновой вектор в такой решетке представляется в виде

. ч = ми)ь; + ыцм + (гз/ь'3)ъ'3 (-1/2 < п/ц < 1/2).

Базисные вектора примесной прямой и обратной решеток связаны соотношениями а- — пга,, Ь' = (1/п,)Ь,, причем = П{Ь\ N4 = Ь\Ь'2Ь'3 - число элементарных ячеек в периодическом объеме примесной решетки.

Для решения уравнения (2) перейдем к Фурье-представлению по волновому вектору в соответствии с

Уа/З

V SS

I I d d!

,} = 9<*Р J „ „, I ехР

d-d.'

S S

—2тгИ7 х

d

s

— X

d! s'

(4)

где v = q + Кр находится в первой ЗБ исходной решетки, q имеет вид (3), Кр = Р\Ъ\ + р2Ъ'2 + рзЬд - вектор примесной обратной решетки. Используя соотношение1

X] ехр[27ггу(х(о! - d') + х(а) - x(s'))] = ^ехр[2ттгКр(х(5) - x(s'))] Д(у), d-d'

где Д(у) = 0 при у = Кр, Д(у) = 1 при у = Кр, получим из (4) и (1)

и

ss'

где

Сар

ss

Nd

1

N у/mkmk»

£

( - \ / - \

(к>

wa к

{ { 1 )

— UJ2

+

(£-0/

с,

а/3

dz-

v

ss'

(5)

-1

^--lj £ wa\k

У j Kp#0 \

* + Kp U «

u + Kp , 2

6(z-wf(i7+Kp))x

хехр[27гг'Кр(х(з) — x(s'))] J dzCa/3 I "/ j = ¿jtfc'^exp[27riKp(x(s) - x(s'))].

(6)

В (5) выделен член суммы с интересующим нас волновым вектором ¿7, а остальные записаны в виде интеграла.

Множество обратных векторов Кр в сумме (6) зависит от размерности рассматрн ваемого объекта. В случае квантовых ям (плоскостей из примесных атомов) вектор

Кр располагаются вдоль направления, перпендикулярного плоскости квантовой ямы. В случае квантовой нити они находятся в плоскости, перпендикулярной нити. Так как векторы и + Кр не должны выходить из ЗБ исходной решетки, то число членов в сумме зависит от компоненты волнового вектора ¿7ц, параллельной структуре.

В случае квантовой точки Кр располагаются по всему объему ЗБ.

Уравнение для колебательных мод сверхструктуры получается из (2) с помощью операции <—: С^б = {1 — Ати>2д} С = д и имеет вид

= О,

(7)

где 1 единичная матрица в примесном пространстве.

Это уравнение упрощается при нижеследующих условиях. Примесная ячейка содержит один примесный атом (это означает, что квантовые объекты имеют наименьшую толщину в один атом). Решетка исходного кристалла имеет два атома в элементарном ячейке и обладает кубической симметрией, а сверхструктура - симметрией не ниже ортогональной. Рассматриваются оптически-активные колебания [V —> 0), поляризованные по осям симметрии структуры. В этом случае

сар I ,г I — £в/ЭФв(1,г),

(8)

вид функции Ф0(1,г) следует из (6),

(тк/(т1 +т2))1/2, и) к

( - \

^ \

IV к

{ а к 1

(

V \

и) к

К опт 1

= _(_1)*(т2_,/(т1+т2))1/2

(к = 1,2), и уравнение (7) принимает вид

г] + х-

т2 и*

(9)

та + т2 и>2 — и2

где г] = т'1/(т] —т[), х = Nd/N, г =_1_, || обозначает частоты поперечных и продольных колебаний при ¿7 —» 0,

^(1,и;2) = ы2 I ¿гФа(1, г)/(и2 -г)-1.

Обсудим решение уравнения (9) в различных случаях. Рассмотрим, прежде всего, случай идеальной сверхструктуры, когда функция Фа(1, г) имеет вид суммы ¿-функций Решения (9) представляют собой пересечения дисперсионных кривых осциллятора и;, (/7)

(левая часть (9)) и осцилляторов ш^и + 'Кр) (правая часть (9)). При условии вырождения ш,(г?) = и^ (г7+Кр) появляются щели в спектре. Число решений для данной ветви ] равно Зп(А^/ЛГсг), где 3 - число поляризаций, п - число атомов в ячейке исходной решетки При х —> 0 одно из решений Ш{(х) —»

Рассмотрим теперь неидеальную сверхструктуру. В этом случае при доста точно малом х разность частот соседних осцилляторов и^(г/ + Кр) может оказаться меньшей ширины осциллятора, возникающей из-за разброса параметров структуры или ангар-монизма. Тогда сумма по Кр в (8) может быть заменена на интеграл, и мы получим

Ф«(1. /(¿У)"

И»а(1 I У ) 3

2

2/

где с1 - размерность пространства волновых векторов у, - объем элементарной ячейки в пространстве с1 измерений, в, = 3 — ¿г, где ¿г - размерность квантового объек та (например, (¿г = 2 для квантовой ямы). Уравнение (9) в этом случае имеет вид уравнения для колебательных мод ¿-мерного твердого раствора.

На рис. 1 представлено графическое решение уравнения (9) в случае разупорядо-ченной сверхрешетки (в.г = 2, (I = 1). Плотность состояний Ф0(1,и;2) изображена для случая частично перекрывающихся по частоте продольной и поперечной оптических ветвей и полностью вырожденных акустических ветвей. Функция Ф,(о;2) представляет собой правую часть уравнения (9), деленную на (1 — х). На рис. 2 изображена деталь рис. 1 при учете малого затухания. Видно, что имеется решение и;,-(х) —> и; при .г —► О (точка г). Однако при увеличении х оно быстро аннигилирует (в отличие от случая (I — 3, с1г = 0 с менее резкими особенностями) с антирезонансом а. Остается лишь . решение типа локальной моды (/).

Кроме обсужденных выше крайних случаев может быть рассмотрен промежуточный случай малого разу поря дочения, когда (8) имеет вид ряда уширенных, но не слившихся пиков. В этом случае, в отличие от второго, эволюция спектра с изменением х имеет многомодовый характер. Такой тип перестройки спектра наблюдался в твердых растворах с сильной корреляцией [4].

С помощью выражений (2) и (3 = ф~хд может быть рассчитана диэлектрическая функция системы. Она имеет вид, приведенной в [5], только фигурирующая там функция Ф(1,г) должна быть заменена на функцию (8) данной работы.

Соответствующие предположениям данной статьи сверхструктуры могут быть построены из компонент А В и В С, образующих твердые растворы АХВ\ _ХС во всем

Рис. 1. Графическое решение уравнения (9). Функции F, Фа - сплошные кривые, функция Фг (г =_L) - штрих-пунктирная кривая.

интервале составов х и имеющих на его границах локальные или щелевые моды. Относительные изменения силовых констант Ak/k, возникающие при замещении В —> А. можно оценить, рассчитав выражение (J\CiMac)/{u2BCiMBc) — ^ = Ak/k, гдешАСг, и>вс, - частоты оптически активных поперечных (г =J_) и продольных (г =||) мод компонент ЛС, ВС, a Mac, Мвс ~ их приведенные массы. Для большинства твердых растворов на основе полупроводниковых соединений IV - IV, II - VI, III - V Ak/k имеет вели чину около 10%. Имеются также твердые растворы с отклонениями от этой средней величины в ту и другую стороны. Так, для AlxGax_xAs Ak/k ~ 5%, для А1х1щ_хЯЬ

Рис. 2. Деталь рис. 1 при учете затухания. Функция Ф_|_ при различных значениях х: штрих-пунктирная и тонкая сплошная кривая. Последняя соответствует большему х.

Ак/к ~ 16%.

Сверхструктуры с дг — 2 (сверхрешетки) могут быть построены из одного монослоя АС и п монослоев ВС. В короткопериодных сверхрешетках в спектрах комбинационного рассеяния или инфракрасного поглощения должны наблюдаться моды "сверну тых фононов, определяемых, в основном, толстым слоем ВС, и сильно отщепленные от них по частоте моды от монослоя АС. При увеличении толщины слоя ВС до некоторого значения пс (пс зависит от качества сверхрешетки) структура в спектре от "свернутых " фононов должна размываться и вместо нее оставаться только оптически активная мода слоя ВС. Отщепленные моды превращаются в локальные моды одномерного твердого раствора.

Аналогичные сверхструктуры с дТ = 1, 0 (нити, точки) можно попытаться выращивать в канавках и ямках, образованных ступеньками и пересечениями ступенек поверхностей с большими индексами.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова ний (проект N 94-02-04634).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Jus s eran d В., Paquet D., Reg r en y A. Phys. Rev., B30, 6245 (1984).

[2] D u m e 1 о w T., Smith S. R. P. J. Phys. C, 5, 2919 (1993).

[3] В и н о г p a д о в B.C. ФТТ, 11, 2063 (1969).

[4] П ы p к о в В. Н., Козырев С. П., Водопьянов J1. К. ФТТ, 35, 2479 (1993).

[5] Водопьянов JI. К., Виноградов Е. А., Виноградов B.C. ФТТ, 16, 849 (1974).

Поступила в редакцию 27 декабря 1995 г.