КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ТВЁРДЫХ ТЕЛ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫХ ВЯЗКИМИ ЖИДКОСТЯМИ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГОДЕМПФИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

V- 1ша|■■■■ О

Серия «Математика»

2022. Т. 42. С. 103—120

Онлайн-доступ к журналу: http://mathizv.isu.ru

Научная статья

УДК 517.958 ЫЯв 35Ы33, 35д35

БСТ https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.42.103

Колебания системы твёрдых тел, частично заполненных вязкими жидкостями, под действием упругодемпфирующего устройства

К. В. Фордук1

1 Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, Российская Федерация И [email protected]

Аннотация. В работе исследуется линеаризованная двумерная задача о малых движениях системы твёрдых тел, частично заполненных вязкими несжимаемыми жидкостями и последовательно соединённых пружинами. Первое и последнее тела прикреплены пружинами к двум опорам с заданным законом движения. Траектория движения системы перпендикулярна направлению силы тяжести, а демпфирующие силы, действующие на гидромеханическую систему, порождаются трением тел о неподвижную горизонтальную опору. Для описанной системы сформулирован закон баланса полной энергии. С использованием метода ортогонального проектирования и ряда вспомогательных краевых задач исходная начально-краевая задача сведена к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в ортогональной сумме некоторых гильбертовых пространств. Изучены свойства операторных матриц, являющихся коэффициентами полученного дифференциального уравнения. Доказана теорема об однозначной разрешимости полученной задачи Ко-ши на положительной полуоси. На основе доказанной теоремы найдены достаточные условия существования сильного по времени решения начально-краевой задачи, описывающей эволюцию гидросистемы. С математической точки зрения рассматриваемая система является конечномерным возмущением известной задачи С.Г. Крейна о малых движениях вязкой жидкости в открытом сосуде.

Ключевые слова: система тел, вязкая жидкость, задача Коши, операторное уравнение, сильно непрерывная полугруппа

Благодарности: Автор выражает благодарность научному руководителю доценту Д. А. Закоре за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Ссылка для цитирования: ФордукК.В. Колебания системы твёрдых тел, частично заполненных вязкими жидкостями, под действием упругодемпфирующего устройства // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 42. C. 103-120. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.42.103

Research article

Oscillations of a System of Rigid Bodies Partially Filled with Viscous Fluids Under the Action of an Elastic Damping Device

Karina V. Forduk1

1 V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, Russian Federation И [email protected]

Abstract. In this paper, we investigate the linearized two-dimensional problem on small motions of a system of rigid bodies partially filled with viscous incompressible fluids and connected in series by springs. The first and last bodies are attached by springs to two supports with a given law of motion. The trajectory of the system is perpendicular to the direction of gravity, and the damping forces acting on the hydrodynamical system are generated by the friction of bodies against a stationary horizontal support. For the described system, the law of total energy balance is formulated. Using the orthogonal projection method and a number of auxiliary boundary problems, the original initial-boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for a first-order differential-operator equation in the orthogonal sum of some Hilbert spaces. The properties of operator matrices, which are coefficients of the obtained differential equation, are investigated. A theorem on the unique solvability of the resulting Cauchy problem on the positive semi-axis is proved. On the basis of the proved theorem, sufficient conditions for the existence of a strong with respect to time solution of an initial-boundary value problem describing the evolution of a hydrodynamical system, are found. From a mathematical point of view, the system under consideration is a finite-dimensional perturbation of the well-known S.G.Krein's problem on small motions of a viscous fluid in an open vessel.

Keywords: system of bodies, viscous fluid, Cauchy problem, operator equation, strongly continuous semigroup

Acknowledgements: The author is grateful to his scientific supervisor associate professor D. A. Zakora for posing the problem and constant attention to the work.

For citation: Forduk K. V. Oscillations of a System of Rigid Bodies Partially Filled with Viscous Fluids Under the Action of an Elastic Damping Device. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2022, vol. 42, pp. 103-120. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.42.103

1. Введение

Одними из первых, кто применил методы функционального анализа для исследования задачи о малых движениях тела, частично заполненного вязкой жидкостью, были С. Г. Крейн, Н. Н. Моисеев, О. Б. Иевлева, П. С. Краснощёков, Ф. Л. Черноусько и Н. Д. Копачевский. В дальнейшем различные вопросы, связанные с близкими задачами гидромеханики, исследовались многими авторами (см.монографии Н. Д. Копачевско-го [11; 12] иссылкивних).Из недавних работ по данной тематике можно отметить статьи Д. О. Цветкова [5;6], в которых рассмотрены малые колебания системы идеальных жидкостей и вязкой жидкости с эффектом стратификации, частично заполняющих произвольный сосуд.

Данная статья является продолжением цикла работ автора, посвя-щённых исследованию двумерных линеаризованных задач о малых движениях и нормальных колебаниях системы тел, частично заполненных жидкостями, под действием упругодемпфирующего устройства. В работе [7] доказана теорема о разрешимости задачи о малых движениях системы тел в случае, когда твёрдые тела системы заполнены однородными идеальными жидкостями, работа [8] посвящена исследованию спектральных свойств этой задачи. В представленной работе рассматривается новая задача, исследуется случай заполнения тел вязкими жидкостями. Применяя операторный подход, изложенный в монографии Н. Д. Копачевского [3], и метод операторных матриц, исследование начально-краевой задачи о движениях системы тел автор сводит к исследованию задачи Коши для дифференциального операторного уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве

С — + Л°г = 7, г(0) =

Основным результатом данной работы является теорема 1 о разрешимости начально-краевой задачи, описывающей эволюцию изучаемой гидросистемы.

2. Математическая постановка задачи

Рассмотрим гидромеханическую систему, состоящую из п тел, которые закреплены между двумя опорами так, что 1-е тело соединено с соседними (I — 1)-м и (I + 1)-м телами пружинами с жёсткостями к'"_1, Щ соответственно, а первое и последнее тела прикреплены к пружинам с жёсткостями к', к"", концы которых неподвижно закреплены на опорах, I = 1, п.

Каждое 1-е тело представляет собой открытый сосуд, частично заполненный вязкой несжимаемой жидкостью плотности р\ > 0 с динамическим коэффициентом вязкости щ > 0. В состоянии покоя жидкость

занимает область ^г С К2 со свободной границей Г и твёрдой стенкой Пусть гщ := тьд + шц, где тьд — масса тела, тц — масса жидкости. В состоянии покоя границы Г считаем горизонтальными прямыми. Под упругодемпфирующим устройством будем понимать наличие пружин, прикреплённых к твёрдым стенкам сосудов, как показано на рис. 1, и трение днищ сосудов о неподвижную горизонтальную опору. Через щ > 0 обозначим коэффициент трения дна 1-го тела об опору.

Рис. 1. Охема гидромеханической системы.

Введём неподвижную декартову систему координат 0х\х2 с ортами e j, j = 1, 2, так, чтобы тела совершали движения вдоль оси Ох\. Кроме того, введём подвижные системы координат Х^х^рх^, жёстко связанные с /-ми телами. Орты подвижных систем обозначим через e®,

j = 1, 2. При этом ej = e^p.

J j

В процессе малых движений тела рассмотрим перемещение 1-го тела вдоль оси Ох\ и обозначим через x¡(t) малое смещение этого тела относительно равновесного состояния.

Обозначим через u\(t,x^= (^д (t,x1); щ,2(^,^2^)) поле относи-

и 7 и 7 u и

тельных скоростей 1-й жидкости в 1-й подвижной системе координат. Тогда полная скорость 1-й жидкости в неподвижной системе будет выражаться формулой xi(t)e\ + u 1 (t,x(г)).

Используя второй закон Ньютона, запишем уравнения движения тел с жидкостями в неподвижной системе координат 0х\х2. Более подробно вывод этих уравнений описан в [7]. Будем иметь:

/^u

-^j- dÜi = -klxiei + k\(x2 - xi)ei + —

П1

— ai¿iei — gmie2 + fb,i + Nie2, (2.1)

/д u

— dÜ¡ = —kf-i(xi — xi-i)ei + kf(xi+1 — xi )ei —

— aixiei — gm¡ e2 + fb, 1 + N^2, l = 2,n — 1, (2.2)

о / \ о 2

й^п = -кп-1(хп - Жп-1)в1 - кпХпв! + кпЖп+1в1-

- апЖпв1 - + Еъ,п + ^пв2, (2.3)

где Жо = Жо(£) — заданный закон движения левой стенки, ^г = N1 (¿) — реакция опоры, £ъ,г = — малая внешняя сила, действующая на 1-е

тело, I = 1,п, д — гравитационное ускорение, хп+1 = жп+1(£) — заданный закон движения правой стенки.

Малые движения вязкой жидкости в области Ог описываются линеаризованным уравнением Навье - Стокса (см. [3, гл.6, § 1, п. 1]):

Рг

+ ^б(1°) + = щАи> + Р1^>1 (*,Х{1)), ^Щ = 0(в О), (2.4)

где Р1 = ,р1{Ь,х(^')) — отклонение давления в жидкости в процессе движения от равновесного давления, а Еу = Еу (¿, ж(г)) — малая сила, действующая на жидкость в области О, I = 1,п.

Через (г (^ж®) (ж® е Г г) обозначим функцию, описывающую малые

отклонения свободной границы Г г (¿) вдоль е2г) относительно Г г.

Граничными условиями в рассматриваемой задаче являются условие прилипания вязкой жидкости на твёрдой стенке:

иг = 0 (на Бг), I = Т~Й, (2.5)

линеаризованные кинематические и динамические условия на свободной поверхности соответственно

^ = иг ■ е2г) (на Гг), I = Т^, (2.6)

-рг + 2ргиг^у = -Ргд(г (на Гг), I = 1,п, (2.7)

дх2)

РгМ -^у + -^т =0 (на Гг), I = 1,п, (2.8)

\9ж2 ) дх\ )

а также условие сохранения объёма каждой жидкости

У (г ОГг = 0, I =Т~^. (2.9)

Гг

Здесь через иг := ^г/рг обозначен коэффициент кинематической вязкости жидкости, а через пг далее будем обозначать единичный вектор, направленный вне области Ог и перпендикулярный к границе дОг = Гг и Бг, I = 1, п. На границе Гг, очевидно, будет выполнено пг = е22).

Для полноты формулировки задачи зададим начальные условия: жг (0) = х°г, щ (0) = ж(,

u (0,ж(1)) = u0(x(l)), Ci (0,4°) = (0(4°), I = hñ. (

Таким образом, задача о малых движениях системы твёрдых тел, частично заполненных вязкими несжимаемыми жидкостями, под действием упругих и демпфирующих сил сводится к решению уравнений (2'1)-(2.4) при краевых и начальных условиях (2.5)-(2.10).

Лемма 1. Будем считать, что поставленная задача (2.1)-(2.10) имеет классическое решение, т. е. такое решение, что все функции в уравнениях, граничных и начальных условиях непрерывны по всем своим переменным. Тогда тождество

1А 2 dt

{¿ (ть,1 N 2 + Pi J lui + xie(l)|2 dÜi + pig J |(i|2dr^ +

l=( n¡ г

П— ( N

+ k^x\ + + 'У ^k"i\xi+( — xi\2 > = k0XQX\ + k^xn+(óun+ =1

+ ¿ ^ - ai\xi\ 2 + (fb,i ■ в()жi + pi j f ■ ui dQi + щЕ(ui, ui.

i=( n¡

где

- (ui, vi):=1 ft (^ + ^)( ^ + %)

представляет собой закон баланса полной энергии исследуемой гидромеханической системы, записанный в дифференциальной форме.

3. Функциональные пространства

п

Введём гильбертово пространство Ь2(П) := 0 Ь2(П), где Ь2(П) —

1=1

гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой

(и, V)МПг) := | и(х(1)) ■ V(Ж(0) , ||и||22(пг) = / |и(х(1 ))|2 дПг. пг пг

Как известно, пространство Ь2(П) имеет ортогональное разложение (см., например, [3, гл.2, §1, формула (1.24)])

Ь2(Пг) = ^(Пг) Ф Сс,гг(П), ^(П) = МП) Ф (П), (3.1)

где ( л

3(О) := {иг е Ь2(0г) : иг = 0 (в О), и ■ пг = 0 (на дОг)}, (О) := {иг = УФг е Ь2(О) : АФг = 0 (в О),

= 0 (на Бг), ^ Фг¿Гг = 0},

Гг

Со,гг(О) := {иг = УФг е Ь2(Ог) : Фг = 0 (на Гг)}.

Введём пространство З 3 (О), плотно вложенное в 30, я1 (О):

(Ог) := {иг е Ь2(Ог): ^(иг, иг) < те, ё1у иг = 0 (в О), и = 0 (на Бг)},

и определим гильбертово пространство ¿2,гг, являющееся подпространством ¿2(Гг), ортогональным единичной функции 1гг := 11гг:

п „

Ь2,г := 0 L2,гl, ^ := {(г е ^(Гг) : (г ¿Г = 0}.

г=1 г

Далее в исследуемой проблеме искомые векторные и скалярные поля будем считать функциями переменной со значениями в соответствующих введённых выше пространствах и подпространствах.

Введём ортопроекторы Р0,я1 и Р0,гг пространства Ь2(Ог) на подпространства 30,л (Ог) и С0,гг (Ог) соответственно. В силу условия соле-ноидальности и условия прилипания на Бг для иг считаем, что поле иг принадлежит подпространству 3 л (О). Подействуем введёнными ортопроекторами на уравнение из (2.4), получим

рг+ РгХгРъ^е? + УЙ = №Ро,л Аиг + ргРол{ф, х(1)), (3.2) ргИгР0,п е1г) + Ро,гг Ург = щРог Аиг + РгРоп кг (*,х(г)). (3.3)

Здесь через Ург обозначено поле Ург := Р0,лУрг, Ург е Сад(Ог) в силу разложения пространства Ь2(О). Из уравнения (3.3) при известных иг и хг найдём составляющую градиента давления в подпространстве С0,гг (Ог). Поэтому далее рассматриваем только уравнение (3.2).

Далее, представим Ург в виде суммы Ург = Уйд + Ург,2 и подберём поле Ург,1 таким образом, чтобы поле иг являлось решением следующей краевой задачи:

-Ро,л Аиг + ^-1Ург,1 = V-1 (ргРо,з1 {у - Рг^ - РгХгРол е® - УЙ,2

(диг,1 дщЛ , , ~ , о диг,2 п (

М—Ж +--(г) =0 (на Гг), -рг,1 + 2цг—щ =0 (на Гг),

\дх2) дх\ ) дх2)

ё1у иг = 0 (в Ог), иг = 0 (на 5г).

Эта задача — первая вспомогательная задача С. Г. Крейна, которая, как известно (см., например, [3, гл.2, §2, п. 7]), имеет единственное обобщённое решение

и = ^Л"1 (Р1Р0Л- Р1 - Р1%1р0Л) - УЙ,2^ , (3.4)

когда выражение в правой части в скобках из я1 (Пг). Оператор Д из (3.4) самосопряжённый и положительно определённый в ^^(Пг), область определения оператора ) плотна в пространстве ^ 3 (Пг),

а V= ^ (Пг). Оператор А""1 является положительным и компактным в ЗоЛ(Пг).

Итак, можно переписать (3.4) в виде

Р1 ^ + + УЙ,2 = -ртРо, я1 е(/ ) + Р1Р0, . (3.5)

Учитывая принадлежность Уй,2 € я1 (Пг), найдём, что Р1,2 удовлетворяет следующей задаче:

ЛЙ,2 = 0 (в Пг), й,2 = р1§(1 (на Г), дш,2

= 0 (на ), 1'рц <№¡ = 0.

дп

Гг

Это известная задача Зарембы для оператора Лапласа, которая имеет единственное решение й,2 € (Пг) при (1 € ^Г/2 (см. [3, гл. 1, §3, п. 6]) и липшицевости границы области Пг. Здесь нТ/2 := Н 1/2(Г) П ¿2,гг, где Н 1/2(Г) — это пространство Соболева - Слободецкого с дробным индексом. Поэтому можно считать, что Ур1,2 = р1 дС1 (¡.

Таким образом, уравнение (3.5) окончательно можно записать в следующем виде:

Р1 ^ + ЩАг и + р1 дСг(1 = р1 Ро, я1 - Р1 тРо,е®. (3.6) Введём операторы РР1 и 7п,1, действующие по формулам

Ьо. „______________^

Пг

РР1 и := Р1 и ' е1 )(1П1, 7п,1 и := и ■ П1 = —

(3.7)

Гг

С учётом операторов (3.7) перепишем уравнения (3.6) и уравнения движения тел с жидкостями (2.1)-(2.3), спроектированные на орт е1,

следующим образом:

Рг + Рг%гРол е{1г + ^Аг иг + ргд Сг(г = РгРол {у, 1 = 1,п, $

—РР1 и1 + Ш1Ж1 + к!°Х1 -к^(х2 - Ж1)+«1;с 1 = к°жо+{ъ,1 ■ е1, й

—РР1 иг + тгхг + кг2_ 1(жг-жг_1)-кг2(жг+1 -хг)+агхг = Еъ,г ■ е1,

I = 2, п - 1,

^ 2 2 2

ип + тп&п + кп_1(Жп Жп_1)+кпЖп + апЖп — кпЖп+1 + {Ъ,п ' е1.

(3.8)

Систему (3.8) запишем в виде дифференциально-операторного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве %1 :=30,л(О) ® Сп:

(Р Е) К *М V Л (")+

\ Р р 1т / ил \ у у 0 / \ -ь /

+ (ТЮШ = + (к) • (39)

Здесь использованы обозначения:

Е := diag(plРо,л1 e(11),• • •, рпРоЛпе!"0), Рол := diag(Ро,л1, • • •, Рол), 1р := diag( р1I,..., рп I), 1т := diag(ml I,..., тп I), 1а := diag( «11,..., а,п I), I^ := diag(^l I,..., I),

Чп := diag(7п,l, • • •, 7п,п), С := diag(Gl, ...,Сп),

Рр := diag(Ррl ,...,Ррп), А := diag(Al,•••, Ап), и := (щ;...; ип)Т, ж := (хц ... ;Хп)Т, ж := (ж 1;... ;ЖпГ,

:= ;...; §,п)Т, {ъ,е1 := ({ъ,1 ■ е1;...; {ъ,п ■ е1 У, С := (С1;...; Сп)т, к := (к°Жо; 0;...; 0; кпжп+1)т,

где символом т обозначена операция транспонирования. Оператор К определён по формуле

^кд + к" к"

К :=

- к2

кг + к2 1- к222

- к 22 к°+к.°

0 0 0

к2

п1

_к2 к 2 I к2 кп— 1 кп— 1 +кп/

0

0

0

0

С учётом следующих обозначений:

В12 : = С1 := h :=

glpG 0 0 К

P(Bi2)= £>(G) ф Cn,

■ -11 К V I ) •

'pP°f Л := (0 ) ■ - = ( X ) ■

IP E Pp Im

fb,ei

2

a)

уравнение (3.9) примет вид

dz 1

с 1-1 + лил + B12Z2 = h + /2. d

Рассмотрим систему из двух очевидных связей

д<*1 nil—

Pig-Т77 - PW7'n,iU = 0, l = 1,n, at

ifdx

К— = Кх. d

(3.10)

(3.11)

Запишем систему (3.11) в виде дифференциально-операторного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве := ¿2 г Ф Сп:

(V к) dt(X) + (

-gipin 0 0 К

)(X)=(0) ■

которое с учётом введённых выше обозначений и обозначений

С2 :=

(^К) В21 :=( -0pln _К),

примет вид

С2 ^ +B21Z1 =0. d

Р(В21) = V(in) ф Cn

(3.12)

Таким образом, исходная начально-краевая задача (2.1)—(2.10) приводится к дифференциально-операторным уравнениям (3.10), (3.12) с соответствующими начальными условиями. Итак, имеем следующую задачу Коши:

' с! Хл

С1— + АЦХ! + В12Х2 = /1 + /2,

(3.13)

d

С2^ + B21Z1 =0, d

Z1(0) = (P0,su°;x1)r, *2(0) = (С°;х°)т.

(3.14)

Систему дифференциальных уравнений (3.13) и начальные условия (3.14) можно коротко записать в виде задачи Коши для дифференциального операторного уравнения первого порядка в гильбертовом

пространстве Н := % Ф Н2:

г! 7

С — + До^ = 7, г(0) = ((0); 22(0))г, (3.15)

где

2 := (21; Х2)т еН = (1о,5(О) ф Сп) ф (¿2,Г Ф Сп), 7 := (Д + /2; 0)г, С := ^(С^), До := ( ^(Т ) .

Всюду далее будем считать, что К+ := [0; +го).

Определение 1. Поля иг и функции рг, (г, Щ (I = 1,п) называются сильным решением начально-краевой задачи (2.1)-(2.10), если функция г = ((и;ж)т; ((;х)Т) является решением задачи Коши (3.15). Функция г называется решением задачи Коши (3.15), если

г е С((К+; Н), х(г) е v(Ло)

при £ ^ 0 и Лог е С(К+; Н), выполнено уравнение при всех £ ^ 0 и начальное условие.

4. Свойства операторных коэффициентов уравнения (3.15).

Теорема о разрешимости

Лемма 2. Операторы ^,К являются ограниченными, са-

мосопряжёнными и положительно определёнными.

Доказательство. Утверждение леммы для операторов ^, ^ очевидно. Утверждение для оператора К доказывается с использованием представления [4, §1, формула (1.7)]. □

Обозначим через Я—1/2 сопряжённое к яГ/2 пространство (см. [1, гл.1, теорема 5.1.12]). Известно (см. [1, гл.1, раздел 5.1]), что

яГ/2 аа ¿2,г аа я—11/2.

Лемма 3. 1) Справедливы следующие формулы:

Сг е £(#Г/2;Зол(Ог)), 7п,г е фол(О);Я_(1/2),

и оператор Сг является сопряжённым к оператору 7п,г относительно скалярного произведения в Ь2,г1 .

Если рассматривать оператор Сг как отображение из Ь2,г1 в

1 /2

Зад(Ог), определённое на Т>(Сг) = ЯГ/ , то он является замкнутым неограниченным оператором, а сопряжённый к нему оператор является соответствующим сужением оператора 7п,г.

2) Справедливо включение 7п,г е С(^ 31 (Ог); Я1/2).

Доказательство первого утверждения леммы приводится в [12, гл. 10, п. 10.2.2-10.2.3]. Второе утверждение следует из теоремы Гальярдо [9, с. 290, теорема 1.11].

Следствием леммы 3 является следующее утверждение.

Лемма 4. Операторы В21 и В12 являются взаимносопряжёнными,

В12С-1В21А11/2 е (П)), В21А"1/2 е (П);Ь2,г).

Лемма 5. Операторная матрица С является ограниченным положительно определённым оператором в гильбертовом пространстве Ч.

Доказательство. Доказательство аналогичной леммы см. в [7, с. 897, лемма 3]. □

Перепишем задачу Коши (3.15) в следующей эквивалентной форме:

^ = -С -%2 + С2(0) = Ы0); 22(0)Г. (4.1)

Лемма 6. 1) Оператор Л0 допускает замкнутое расширение Л, пред-ставимое в одной из следующих эквивалентных форм:

Л = ((В21А-//2)А-11/2 Го11 -(В21А-11/2ХВ21А-11/2Г) Х

I А-11/2(В21А-11/2)' 0

д -(АЦ2 0\( I -(В21А-11/2)Л /А1/2 ^

Л V 0 I) \В21А-п1/2 0 ) \ 0 I), ЩА) -{г- (21; 22)т еЧ : 21 - А-1/2 (В21А-1/2)* 22 е £>(АП)}.

2) Оператор —С 1Л генерирует голоморфную полугруппу в энергетическом пространстве оператора С.

Доказательство. Факторизуем оператор Л0 ([13, с. 747, лемма А.4.2])

Л = ((В21А-//2)А-//2 0) (I)1 —(В21А-11/02)А-11/2В1^ Х

х ,7 А-11/2(А-//2В12)^

,0 I

и расширим его до оператора Л:

. _( I 0\ /Ац 0 \

^ := 1(В21А-11/2)А-11/2 I) 0 —(В21А-11/2)(В21А-//2)*; Х

Х (о А-11/2(В2/А-11/2)*) , (4.2)

X

естественной областью определения которого является множество

ZM) = {z = (ztf G H : - A-11/2(^2iA-11/2)*Z2 G V(An)}.

Замкнутость оператора А следует из замкнутости среднего блока в (4.2) на своей естественной области определения и непрерывной обратимости крайних сомножителей. Несложно проверить, что для оператора А верна и вторая из указанных факторизаций с симметричными крайними множителями.

Докажем, что оператор Ссекториален в энергетическом пространстве Не. Пусть z = (z 1; z2)T gP(C-1Д), тогда z1 G Р(АЦ2) и из факторизации оператора А в симметричной форме получим, что

^=((J - -<ß21A"/2)" Х^1) • ))я=

= WA\/2z , (4.3)

|Im(C-1Az, z)Hc | = |Im [(22• -21^1)42 - (-21^1, ¿2)42] I =

= |2Im(-21^1, ^2)421 < 2W-21A-11/2W ■ WA1/2^W4! ■ W%W42. Из этих оценок при любом 5 > 0 получим, что Re(C-1 Az, z)4c -5|Im(C-1Az, z)4c | =

= (WA1i2,1W41 - ¿W-21A-11/2|| ■ W^21142)2 - ö2W-21A-11/2W2 ■ W22 14 > > -ö2WB21^1/2W2 ■ W*W4 > -ä2W-21^11/2W2 ■ WC-1Wi(4) ■ W44ic.

Отсюда Re([C"1 А + 7(5)]z, z)4c - 5|Im([C"M + 7(5)]z, z)4c | ^ 0 при 7(5):= -52W-21A-11/2W2 ■ ЦС-1W2. Таким образом, для любого zg£>(C-U) |Im([C-U + 7(5)]г, z)4c | < 5-1Re([C-U + 7(5)]г, z)4c,

т. е. оператор С-1Д секториальный с вершиной в точке 7(8) и полураствором сектора arctg 5 -1.

Докажем максимальность оператора С-1А Для этого достаточно установить, что р(С-1Д) П (А < 0} = 0. Из факторизации оператора А в симметричной форме найдём, что

С-1Л_А1 = (c'-AK2 0 \ (i - AA-11/2C1A-11/2 -(-21A-11/2)*\

С Л Ч 0 С2-^ -21A-1/2 -АС2 )Х

х (A\[2 0А = (c-1A[{2 0 \ (I A-1(-21A-11/2)*C2-1 V 0 1) \ 0 c-1) \0 I

где Ь(Л) :- I — ЛА^^А-^2 — Л-1(В21А~1/2)*С2-1В21А~1/2. Из положительной определённости оператора Ь(Л) при Л < 0 следует, что Ь-1(Л) е £(Ч1). Отсюда и из разложения (4.4) следует, что при Л < 0 существует (С-1 А — ЛI)-1 е С(Н).

Таким образом, оператор С-1 Л является замкнутым максимальным секториальным оператором. По теореме [2, гл. 5, § 3, теорема 1.24] оператор —С-1Л порождает сильно непрерывную полугруппу ограниченных операторов, голоморфную в некотором секторе, содержащем положительную полуось. □

Сформулируем и докажем теорему о сильной разрешимости исходной начально-краевой задачи (2.1)-(2.10) или, что эквивалентно (см. определение 1), теорему о разрешимости задачи Коши (4.1) (или (3.15)).

Теорема 1. Пусть в задаче (4.1) 20 е Т>(А11), 20 е Т>(В12), а функции ¡1(Ь), /2(Ь) удовлетворяют локальному условию Гёльдера. Тогда задача (4.1) (или (3.15)) имеет единственное 'решение.

Доказательство. Рассмотрим задачу Коши с замкнутым оператором ^ - —С-1Лг + С-1Т(Ь), 2(0) - (21(0); 22(0)Г. (4.5)

Пусть выполнены условия теоремы на начальные данные, тогда 2(0) е -1Л) - ЩАц) ® Р(В12) С -1Д).

Из условия на функции _/!(£), /2(Ь) следует, что функция С-1 Т(Ь) из (4.5) также локально гёльдерова.

По лемме 6 оператор уравнения из (4.5) порождает голоморфную полугруппу. Отсюда следует, что задача Коши (4.5) имеет единственное решение 2 е С 1(К+; Чс) П С(К+; Т>(Л)) (см., например, [10, гл. 2, § 1, теорема 1.4]).

Уравнение (4.5) равносильно системе

Г 2' - —С-1А11 (21 — А-11/2(В21А-11/2)*22) + С-1(/1 + /2), \ 22 - — С-1В2121. .

Наша цель — доказать, что 21 принимает значения из Т>(Ац) для любого í е и А1121 е С(К+; Ч1). Отсюда, из леммы 4 и второго уравнения системы (4.6), записанного в виде г2 - —С2~1В21А-11(А1121), будет следовать, что г2 принимает значения из Т>(В12) для любого Ь е и В12г2 е С(К+; Ч2). Отсюда и из [10, гл. 1, § 1, лемма 1.5] будет следовать, что В1222 е С(К+;Ч2). Следовательно,

Ац(21 — А-11/2(В21А-11/2)*22) - АЦ(21 — А-11/2(В21А-11/2)*|р(Б12)22) -

- А1^21 — А-/В1222) - АИ21 — В1222,

и в первом уравнении системы (4.6) можно раскрыть скобки. Это будет означать, что функция г — решение задачи Коши (4.1) (или (3.15)) в смысле определения 1.

Проинтегрируем второе уравнение системы (4.6) по 8 в пределах от 0 до ¿, получим

Z2(t) = -22(0) - У С-^^) йв. (4.7)

0

Подставляя (4.7) в первое уравнение системы, будем иметь

(^ ) = С-1Аи{г1® -А-11/2(Б21АП/2)*(¿2(0)+

г

+ I С-1В21г1(з) йз^ | + С-1(Л + /2), (4.8) 0

откуда получаем, что выражение в фигурных скобках непрерывно со значениями в Р(Ац). Учитывая, что -22(0) € Р(В^), преобразуем выражение в фигурных скобках из (4.8), имеем

-А-11/2(В21А-11/2)*| Х2 (0) + У С2"1В21^(5)^ |= ¿1 (*)-

- А-11/2(В21А-11/2)*|р(Б1з)^(0) - А-11/2(В21А-11/2)^С-1В21Х1(з) йз =

0

I

= (*) + А-11В1222(0) - I А-11/2(В21А-11/2)*С2-1В21^(5) йв.

0

Отсюда следует, что г

Zl(*) - ^ А-11/2(В21А-11/2)*С2-1В21^(5) =: <7(4), (4.9)

0

ЗеС (К+; Р(АП)).

Определим на Р(А11) норму 11г1 11еа := 11 А11,г1 11и превратим его таким образом в банахово пространство Еа11 . Будем рассматривать уравнение (4.9) как уравнение Вольтерра второго рода в Ед11. Покажем, что ядро К(£, «) := А-11/^В21А-11/^ *С-1В21 интегрального оператора в (4.9) есть сильно непрерывная оператор-функция. Поскольку ядро интегрального оператора есть постоянный оператор, достаточно установить, что он ограничен в Еа11 . Действительно, для любого

21 е Еа11 - Т>(Ац) с учётом леммы 4 имеем

УА-11/2(В21А-11/2)*С2-1В2121УЁЛп - УАК2(В21А-11/2)*С2-1В2121У^1 --УА1/2(В21А-11/2)*|Р(Б12)С2-1(В21А4 -11/2)А-11/2 (А1121 )||% --УВ12С2-1В21А-11(А1121)У^1 < ||В12С2-1В21 А-Цд^) ■ ЦА^Ци, -

- |В12С2-1В21А-11|£(^1) -||21ЦЕА11 .

Таким образом, А-11/^В21А-11/^ *С-1В21 еС(Ел11) и уравнение (4.9) имеет единственное решение 21 е С(К+; Ед_11 - Т>(А11)). Отсюда следует, что система (4.6), эквивалентная уравнению из (4.1), имеет единственное решение (в смысле определения 1). □

Заключение

В работе исследована линеаризованная двумерная задача о малых движениях системы твёрдых тел, частично заполненных вязкими жидкостями, под действием упругих и демпфирующих сил. С помощью метода ортогонального проектирования и ряда вспомогательных краевых задач осуществлён переход от исходной начально-краевой задачи к задаче Коши для дифференциального операторного уравнения первого порядка в некоторой сумме гильбертовых пространств. С учётом изученных свойств операторных матриц, являющихся коэффициентами дифференциального уравнения, доказана теорема об однозначной разрешимости полученной задачи Коши на положительной полуоси. На основе доказанной теоремы найдены достаточные условия существования сильного по времени решения начально-краевой задачи, описывающей эволюцию гидросистемы.

В следующей работе предполагается исследовать задачу о нормальных колебаниях изучаемой системы. Будет исследована структура спектра операторного пучка С(Л) - А — ЛС и система его корневых элементов.

Список источников

1. Агранович М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М. : МЦНМО, 2013. 379 с.

2. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М. : Мир, 1972. 740 с.

3. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: эволюционные и спектральные задачи. М. : Наука, 1989. 416 с.

4. Марченко В. А. Введение в теорию обратных задач спектрального анализа. Харьков : АКТА, 2005. 143 с.

5.

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4.

5

6

Цветков Д. О. Малые движения системы идеальных стратифицированных жидкостей, полностью покрытой крошеным льдом // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 105-120. http://mathizv.isu.ru/en/article?id=1285

Цветков Д.О. Об одной начально-краевой задаче, возникающей в динамике

вязкой стратифицированной жидкости // Известия вузов. Математика. 2020.

№ 8. С. 59-73. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2020-8-59-73

Forduk K. V., Zakora D. A. Problem on Small Motions of a System of

Bodies Filled with Ideal Fluids under the Action of an Elastic Damping Device

// Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42. N 5. P. 889-900.

https://doi.org/10.1134/S199508022105005X

Forduk K. V., Zakora D. A. A Problem on Normal Oscillations of a System of Bodies Partially Filled with Ideal Fluids Under the Action of an Elastic Damping Device // Сибирские электронные математические известия. 2021. Vol. 18, N. 2, P. 997-1014. https://doi.org/10.1134/S199508022105005X

Gagliardo E. Caratterizazioni Delle Trace Sullo Frontiera Relative ad Alcune Classi de Funzioni in n Variabili // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova. 1957. Vol. 27. P. 284-305.

Goldstein J. A. Semigroups of Linear Operators and Applications. New York ; Oxford : Oxford University Press, 1985. 254 p.

Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator Approach in Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1. Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid. Basel ; Boston ; Berlin : Birkhöauser Basel Publ., 2001. 406 p. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8342-9

Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator Approach in Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2. Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluid. Basel ; Boston ; Berlin : Birkhöauser Basel Publ., 2003. 444 p. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8063-3

Staffans O. J. Well-Posed Linear Systems. New York : Cambridge University Press, 2005. 776 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511543197

References

Agranovich M.S. Sobolevskie prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey [Sobolev Spaces, their Generalizations and Elliptic Problems in Smooth and Lipschitz Domains]. Moscow, MCCME Publ., 2013, 379 p. (in Russian)

Kato T. Teoriya vozmushcheniy lineynykh operatorov [Perturbation Theory for Linear Operators]. Moscow, Mir Publ., 1972. 740 p. (in Russian) Kopachevsky N.D., Krein S.G., Ngo Zuy Kan. Operatornye metody v lineynoy gidrodinamike: evolyutsionnye i spektral'nye zadachi [Operator Methods in Linear Hydrodynamics: Evolution and Spectral Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1989, 416 p. (in Russian)

Marchenko V.A. Vvedenie v teoriyu obratnykh zadach spektral'nogo analiza [Introduction to the Theory of Inverse Spectral Analysis Problems]. Harkov, AKTA Publ., 2005, 143 p. (in Russian)

Tsvetkov D.O. Small Movements of a System of Ideal Stratified Fluids Completely Covered with Crumbled Ice. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2018, vol. 26, pp. 105-120. http://mathizv.isu.ru/en/article?id=1285 Tsvetkov D.O. On an Initial-Boundary Value Problem Which Arises in the Dynamics of a Viscous Stratified Fluid. Russ Math. (Iz. VUZ), 2020, vol. 64, no. 8, pp. 50-63. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2020-8-59-73

7. Forduk K.V., Zakora D.A. Problem on Small Motions of a System of Bodies Filled with Ideal Fluids under the Action of an Elastic Damping Device. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, vol. 42, no. 5, pp. 889-900. https://doi.org/10.1134/S199508022105005X

8. Forduk K.V., Zakora D.A. A Problem on Normal Oscillations of a System of Bodies Partially Filled with Ideal Fluids Under the Action of an Elastic Damping Device. Sib. Elektron. Mat. Izv., 2021, vol. 18, no. 2, pp. 997-1014. https://doi.org/10.1134/S199508022105005X

9. Gagliardo E. Caratterizazioni Delle Trace Sullo Frontiera Relative ad Alcune Classi de Funzioni in n Variabili. Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova, 1957, vol. 27, pp. 284-305.

10. Goldstein J.A. Semigroups of Linear Operators and Applications. New York, Oxford, Oxford University Press Publ., 1985, 254 p.

11. Kopachevsky N.D., Krein S.G. Operator Approach in Linear Problems of Hydrodynamics: Volume 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid. Basel, Boston, Berlin, Birkhëauser Basel Publ., 2001, 406 p. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8342-9

12. Kopachevsky N.D., Krein S.G. Operator Approach in Linear Problems of Hydrodynamics. Volume 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluid. Basel, Boston, Berlin, Birkhëauser Basel Publ., 2003, 444 p. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8063-3

13. Staffans O.J. Well-Posed Linear Systems. New York, Cambridge University Press Publ., 2005, 776 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511543197

Об авторах

Фордук Карина Викторовна,

ассистент, Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Российская Федерация, 295007, Симферополь, [email protected], https://orcid.org/0000-0001-7596-3870

About the authors Karina V. Forduk, Assistant, V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, 295007, Russian Federation, [email protected],

https://orcid.org/0000-0001-7596-3870

Поступила в 'редакцию / Received 06.07.2022 Поступила после рецензирования / Revised 31.10.2022 Принята к публикации / Accepted 02.11.2022