Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц, не обладающих осевой симметрией Текст научной статьи по специальности «Физика»

Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц, не обладающих

осевой симметрией

Шмидт В.А. fmorgen@akadem.ru) Красноярский государственный технический университет

Введение

В изотропных рассеивающих средах с учетом поляризации излучения используется разложение элементов матрицы рассеяния в терминах метода Т-матриц [1] в ряды по обобщенным сферическим функциям или функциям Вигнера [2].

В настоящей работе известные результаты - алгоритмы расчета коэффициентов разложения для хаотически ориентированных осесимметричных частиц [3], обобщаются на случай хаотически ориентированных частиц, не обладающих осевой симметрией.

СР - представление вектора электрической напряженности. Вектор Стокса и матрица

Мюллера

Пусть направление распространения излучения задается вектором п = (в, р), где в, ф -углы сферической системы координат. Вектор напряженности электрического поля

Е = Евев + Ефеф,

где ев, ер - орты сферической системы координат.

Представление оптических характеристик в базисе [4]

-1 (ев-/ер), е+1 =~т;( + /ер(

будем называть СР - представлением, а орты е_ц, е+1 интерпретировать как право и левоциркулярно поляризованные излучения единичной интенсивности.

В дальней волновой зоне (кг>>1) рассеянная частицей волна является сферической [4]

/ С Л

е_1 v е+1)

Акг

кг

■С (п С, п)

/ 1 л е_ 1

v е+1)

где С =

С {Срч },

- амплитудная матрица рассеяния в ср-представлении, г - расстояние

' Р,Ч=_1,+1

до точки наблюдения, к - волновое число, индексы с, 1 обозначают рассеянное и падающее поля соответственно.

Параметры Стокса в СР - представлении определим следующим образом -

1 _2 = = 2 (0 _ 1и), 1_0 = Е_1Е*_1 = 2 (i + V), 1+0 = е+е*1 = 1 (1 _ v), 12 = Е+1Е_Х = 2 (0 + -и)

здесь I, Q, U, V - параметры вектора Стокса в LP - представлении [2-3].

Преобразование параметров Стокса описывается матрицей Мюллера и имеет в CP -представлении следующий вид:

^-р(пs) = ~Г2 5срчс*ч^-ч(П)' р,р'4 = -1,+1 ,

к г ч ч

где знак нижнего индекса Iр-р совпадает со знаком р .

Метод Т - матриц

Следуя формализму метода т-матриц, развитому для решения задач дифракции электромагнитного излучения частицами несферической формы, падающее и рассеянное поля представляются соответственно [1,3,5]

да п

Е (г) = 5 5 [ашпЯ2Мтп (кг) + ЪтпЯе^п (кг)_

п=1 т=-п да п

ЕS (Г) = 5 5 [РтпМтп (кГ) + ЦтпNтп )],

п=1 т=-п

где Штп (^)' Nmn (кг)' (кг) Я2^п (кг) (п = 1,2,-> -п ^ т ^ п) - канонический

базис в пространстве решений векторного уравнения Гельмгольца [6], преобразующийся по неприводимым представлениям веса п группы вращения и не зависящий от способа задания вращения.

Коэффициенты разложения связаны линейным преобразованием [1]

р Т11 Т12 а

_ ч _ Т 21 Т 22 Ъ _

2'

так называемой Т - матрицей, которая является инвариантом относительно направления распространения падающего излучения в фиксированной системе координат, зависит от размера, формы, относительного показателя преломления частицы.

При вращении 2 системы координат (1 ^ 2 ) т-матрица преобразуется согласно [6]

■Тч , ,= 5 5 вп) (2-1 )т' В(п(2-1) 11 = 12 (1)

*тпт'п' А.1 тт^ / т1пт2п' т'т2 /' ' ' (1)

т1=-п т2 =-п'

где 2 - последовательное вращение системы координат относительно подвижных или неподвижных осей 2, X, 2 или 2, 7, z, ^^(2) - соответствующие элементы матрицы неприводимого представления веса п группы вращения, левые верхние индексы 2 и 1 соответствуют лабораторной системе координат и физической системе координат, связанной с частицей. В дальнейшем используем последовательное вращение системы координат

относительно подвижных осей 2,7,2, для которого В^т'(2-1) = '(овО - В -функции

Вигнера [7], а, в,у - углы Эйлера. При вращении пространства 2-1 в формуле (1) следует

заменить 2 . В дальнейшем полагаем, что 1Т - матрица частицы известна.

Матрица рассеяния хаотически ориентированных частиц

Элементы амплитудной матрицы рассеяния в СР - представлении имеют вид [8]

1 да да п п + ' '

Cpq = 2 XX X X tnn' (_1) Атт' (рр, р ^т (вс (в1 ^пШп' п ',

п=1 п '=1 т=_ п т '=_ п'

Т (рс) = т 11 + пТ 12 + рТ 21 + т 22 а (р р) = /(т(5 _т () (2)

тпт'п' тпт'пАтпт'п У тпт'п' гЧ1 тпт'п'' тта'

= -п_п'_1 [(2п +1) (2п'+1)]12, р, q = _1,1,

где ётт '(в) - функции Вигнера [7].

Пусть положительное направление оси 2 лабораторной системы координат совпадает с направлением распространения падающей волны, и полагаем р5 = 0, так как ансамбль хаотически ориентированных частиц обладает вращательной симметрией. Матрица Мюллера в этом случае является и матрицей рассеяния.

Элементы матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц в лабораторной системе координат имеют вид -

1 2п 2п ж

{СрсСм) = 8 _2

| ёа\ йу\^рар Cpq(ва/?Г)С*(ва^О- (3)

8п 0 0 0

В приведенных ниже формулах элементы т(рс) - матриц заданы в физической системе координат, где, в частности, для осесимметричных частиц ось 2 совпадает с осью вращения. Используя формулы (1-3) и опуская промежуточные выкладки, получим

/ \ да

(сРасрЛ = X и"11 Р -Р ~(в,),

\ т рЬр-рр-р---V ^ я^аЦ^-р|,|с--)

да п +п1 / 2п +. N У2 min(n,;5+q-í?) _ (4)

Р с =(2п1 +1) X 1 Сп? - X С^ ащР-\

йр-р--- V 1 / I 2п +1 ) прщр-р отта^с-- тптп '

п =1 n=max(l,| П-П1 ) ' m=max(-n,-n+q-q)

т = т + с/ _ с, р, с, р, с = _1,1, где и'Р1_рс_с - искомые коэффициенты разложения, СЩтЩт' - коэффициенты Клебша-Гордона

[7], величины В^П-П определяются из следующих соотношений -

да п

£)(рсрС) = X (2п1 +1) X б(рс) втр$* ,

тптп ¿.и 4 1 7 ¿-и тп Атщ тпАтщ'

п1=| т--| Ат=-п1

п+п 1

б( рс) = V Сп'с А( рс )

тп Атщ ¿.и птп 1--т Атп п'щ' (5)

n'=max(l,| п-п 1)

•п'-п min(n,n'-Аra)

а( РС ) = _ X сп'т1+атт( РС )

Атпп' п1 1/ ¿.и пт^Ат щпту+Атп' '

2(2п'+ 1)'2 т1=-min(n,n '+Ат)

Следствие 1. Для осесимметричных частиц ( Am = 0 )

<х>

D рфр = у (2Щ +1) B pq) Bipp*

mnmn ¿—i v 1 ' mnni m nni '

ni=| m-q|

n +ni ■n '-n min(n,n') (6)

в(pq) = v cn'q a(pq) A(pq) = '__v cn'mi t(pq)

mnni Z-u nmniq-m nn' n^ nn' ni i/ Z-u nmn0 minmi' ' n'=max(i,|n-ni|) 2(2n'+1) mi=-min(n,n')

Отметим ряд важных свойств, используемых при численной реализации алгоритма -

Т(рч) = х т(м) Т(= Т(-р-q) м) =(-1)и+и +и1 Л(-р) й(РЧ) = д(-р-Ч)

шиш' и' гага' шии ' ' шии' -шии' ' ии' и V / ии' п1 ' гаии1 -шит

a( pq) =

nn' ni

a( pq) =

nn' ni

(2n'+1

n1

min( n,n')

i ti(pq) cn0 + v cnmi ti(pq)

.......' " '0^ 0 1" n' m1n1^ m1nn'

minn' n '0nj0

(2n'+1

T1( pq) = ( t 11

i

2 minn 22

mi=1 min( n,n') '0ni0 + ^n' mini^ minn'

T i( pq) cn0 + cnmi T 2( pq)

T.......' °"'0n. 0 + У n'mini 0Tn

mi=1

,n + n + ni - четное,

, n + n + ni - нечетное,

(7)

pqT

)T 2( pq) = i t 12 + t 21 \ = i +1 , T minn' = \qTminmin' + pTminmin '), p, q = —1, +1-

^ш1ии' \^Ш1иш1и гч - Ш1иш1и у -ш1ии'

Следствие 2. Для сферических частиц

дЩ^Р = ¿«а ^ ^ ^ = ± (2и +1) («и + рч ■ ¿и ), (8)

где аи, Ъи - коэффициенты Ми [9].

Обсуждение результатов

Полученные формулы (4-8) имеют компактный вид, удобный для расчетов. Алгоритм численно реализован для осесимметричных частиц, в частности, для сфероидальных частиц получено совпадение всех значащих цифр с результатами, представленными в работе [3].

Коэффициенты разложения представляют эффективный способ хранения информации об ансамбле частиц и могут быть многократно использованы.

Полученные результаты будут в ближайшее время востребованы, так как представляют значительный интерес для интерпретации экспериментальных данных свойства симметрии матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц - 10 независимых элементов, если частицы не имеют плоскости симметрии; и 6 независимых элементов, если частицы обладают плоскостью симметрии, включая и осесимметричные частицы.

Литература.

1. Waterman P.C. Symmetry, unitarity and geometry in electromagnetic scattering // Phys. Rev. D. 1971. V. 3. P. 825-839.

2. Hovenier J.W., van der Mee C.V.M. Fundamental relationships relevant to the transfer of polarized light in a scattering atmosphere // Astron. Astrophys. 1983. V.128. P.1-16.

3. Mishchenko M.I. Light scattering by randomly oriented axially symmetric particles // J. Opt. Soc. Amer. A. 1990. V.8. P.871-882.

4. Kuscer I., Ribaric M. Matrix formalism in the theory of diffusion of light // Opt. Acta 1959. V.6. P.42-51.

5. Tsang L., Kong J.A. Radiative transfer theory for active remote sensing of layer of nonspherical particles // Radio Sci. 1984. V.19. N2. P.629-642.

6. Абдулкин В.В., Парамонов Л.Е. Решения волнового уравнения Гемгольца, инвариантные относительно группы вращений // Вопросы математического анализа. Красноярск: КГТУ, 2004. С. 3.

7. Варшалович Д. А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 439 c.

8. Paramonov L.E. T-matrix approach and the angular momentum theory in light scattering problems by ensembles of arbitrarily shaped particles // J. Opt. Soc. Am. A. 1995. V.13. P.2698-2707.

9. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир, 1986. 660 с.