Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц, не обладающих
осевой симметрией
Шмидт В.А. [email protected]) Красноярский государственный технический университет
Введение
В изотропных рассеивающих средах с учетом поляризации излучения используется разложение элементов матрицы рассеяния в терминах метода Т-матриц [1] в ряды по обобщенным сферическим функциям или функциям Вигнера [2].
В настоящей работе известные результаты - алгоритмы расчета коэффициентов разложения для хаотически ориентированных осесимметричных частиц [3], обобщаются на случай хаотически ориентированных частиц, не обладающих осевой симметрией.
СР - представление вектора электрической напряженности. Вектор Стокса и матрица
Мюллера
Пусть направление распространения излучения задается вектором п = (в, р), где в, ф -углы сферической системы координат. Вектор напряженности электрического поля
Е = Евев + Ефеф,
где ев, ер - орты сферической системы координат.
Представление оптических характеристик в базисе [4]
-1 (ев-/ер), е+1 =~т;( + /ер(
будем называть СР - представлением, а орты е_ц, е+1 интерпретировать как право и левоциркулярно поляризованные излучения единичной интенсивности.
В дальней волновой зоне (кг>>1) рассеянная частицей волна является сферической [4]
/ С Л
е_1 v е+1)
Акг
кг
■С (п С, п)
/ 1 л е_ 1
v е+1)
где С =
С {Срч },
- амплитудная матрица рассеяния в ср-представлении, г - расстояние
' Р,Ч=_1,+1
до точки наблюдения, к - волновое число, индексы с, 1 обозначают рассеянное и падающее поля соответственно.
Параметры Стокса в СР - представлении определим следующим образом -
1 _2 = = 2 (0 _ 1и), 1_0 = Е_1Е*_1 = 2 (i + V), 1+0 = е+е*1 = 1 (1 _ v), 12 = Е+1Е_Х = 2 (0 + -и)
здесь I, Q, U, V - параметры вектора Стокса в LP - представлении [2-3].
Преобразование параметров Стокса описывается матрицей Мюллера и имеет в CP -представлении следующий вид:
^-р(пs) = ~Г2 5срчс*ч^-ч(П)' р,р'4 = -1,+1 ,
к г ч ч
где знак нижнего индекса Iр-р совпадает со знаком р .
Метод Т - матриц
Следуя формализму метода т-матриц, развитому для решения задач дифракции электромагнитного излучения частицами несферической формы, падающее и рассеянное поля представляются соответственно [1,3,5]
да п
Е (г) = 5 5 [ашпЯ2Мтп (кг) + ЪтпЯе^п (кг)_
п=1 т=-п да п
ЕS (Г) = 5 5 [РтпМтп (кГ) + ЦтпNтп )],
п=1 т=-п
где Штп (^)' Nmn (кг)' (кг) Я2^п (кг) (п = 1,2,-> -п ^ т ^ п) - канонический
базис в пространстве решений векторного уравнения Гельмгольца [6], преобразующийся по неприводимым представлениям веса п группы вращения и не зависящий от способа задания вращения.
Коэффициенты разложения связаны линейным преобразованием [1]
р Т11 Т12 а
_ ч _ Т 21 Т 22 Ъ _
2'
так называемой Т - матрицей, которая является инвариантом относительно направления распространения падающего излучения в фиксированной системе координат, зависит от размера, формы, относительного показателя преломления частицы.
При вращении 2 системы координат (1 ^ 2 ) т-матрица преобразуется согласно [6]
■Тч , ,= 5 5 вп) (2-1 )т' В(п(2-1) 11 = 12 (1)
*тпт'п' А.1 тт^ / т1пт2п' т'т2 /' ' ' (1)
т1=-п т2 =-п'
где 2 - последовательное вращение системы координат относительно подвижных или неподвижных осей 2, X, 2 или 2, 7, z, ^^(2) - соответствующие элементы матрицы неприводимого представления веса п группы вращения, левые верхние индексы 2 и 1 соответствуют лабораторной системе координат и физической системе координат, связанной с частицей. В дальнейшем используем последовательное вращение системы координат
относительно подвижных осей 2,7,2, для которого В^т'(2-1) = '(овО - В -функции
Вигнера [7], а, в,у - углы Эйлера. При вращении пространства 2-1 в формуле (1) следует
заменить 2 . В дальнейшем полагаем, что 1Т - матрица частицы известна.
Матрица рассеяния хаотически ориентированных частиц
Элементы амплитудной матрицы рассеяния в СР - представлении имеют вид [8]
1 да да п п + ' '
Cpq = 2 XX X X tnn' (_1) Атт' (рр, р ^т (вс (в1 ^пШп' п ',
п=1 п '=1 т=_ п т '=_ п'
Т (рс) = т 11 + пТ 12 + рТ 21 + т 22 а (р р) = /(т(5 _т () (2)
тпт'п' тпт'пАтпт'п У тпт'п' гЧ1 тпт'п'' тта'
= -п_п'_1 [(2п +1) (2п'+1)]12, р, q = _1,1,
где ётт '(в) - функции Вигнера [7].
Пусть положительное направление оси 2 лабораторной системы координат совпадает с направлением распространения падающей волны, и полагаем р5 = 0, так как ансамбль хаотически ориентированных частиц обладает вращательной симметрией. Матрица Мюллера в этом случае является и матрицей рассеяния.
Элементы матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц в лабораторной системе координат имеют вид -
1 2п 2п ж
{СрсСм) = 8 _2
| ёа\ йу\^рар Cpq(ва/?Г)С*(ва^О- (3)
8п 0 0 0
В приведенных ниже формулах элементы т(рс) - матриц заданы в физической системе координат, где, в частности, для осесимметричных частиц ось 2 совпадает с осью вращения. Используя формулы (1-3) и опуская промежуточные выкладки, получим
/ \ да
(сРасрЛ = X и"11 Р -Р ~(в,),
\ т рЬр-рр-р---V ^ я^аЦ^-р|,|с--)
да п +п1 / 2п +. N У2 min(n,;5+q-í?) _ (4)
Р с =(2п1 +1) X 1 Сп? - X С^ ащР-\
йр-р--- V 1 / I 2п +1 ) прщр-р отта^с-- тптп '
п =1 n=max(l,| П-П1 ) ' m=max(-n,-n+q-q)
т = т + с/ _ с, р, с, р, с = _1,1, где и'Р1_рс_с - искомые коэффициенты разложения, СЩтЩт' - коэффициенты Клебша-Гордона
[7], величины В^П-П определяются из следующих соотношений -
да п
£)(рсрС) = X (2п1 +1) X б(рс) втр$* ,
тптп ¿.и 4 1 7 ¿-и тп Атщ тпАтщ'
п1=| т--| Ат=-п1
п+п 1
б( рс) = V Сп'с А( рс )
тп Атщ ¿.и птп 1--т Атп п'щ' (5)
n'=max(l,| п-п 1)
•п'-п min(n,n'-Аra)
а( РС ) = _ X сп'т1+атт( РС )
Атпп' п1 1/ ¿.и пт^Ат щпту+Атп' '
2(2п'+ 1)'2 т1=-min(n,n '+Ат)
Следствие 1. Для осесимметричных частиц ( Am = 0 )
<х>
D рфр = у (2Щ +1) B pq) Bipp*
mnmn ¿—i v 1 ' mnni m nni '
ni=| m-q|
n +ni ■n '-n min(n,n') (6)
в(pq) = v cn'q a(pq) A(pq) = '__v cn'mi t(pq)
mnni Z-u nmniq-m nn' n^ nn' ni i/ Z-u nmn0 minmi' ' n'=max(i,|n-ni|) 2(2n'+1) mi=-min(n,n')
Отметим ряд важных свойств, используемых при численной реализации алгоритма -
Т(рч) = х т(м) Т(= Т(-р-q) м) =(-1)и+и +и1 Л(-р) й(РЧ) = д(-р-Ч)
шиш' и' гага' шии ' ' шии' -шии' ' ии' и V / ии' п1 ' гаии1 -шит
a( pq) =
nn' ni
a( pq) =
nn' ni
(2n'+1
n1
min( n,n')
i ti(pq) cn0 + v cnmi ti(pq)
.......' " '0^ 0 1" n' m1n1^ m1nn'
minn' n '0nj0
(2n'+1
T1( pq) = ( t 11
i
2 minn 22
mi=1 min( n,n') '0ni0 + ^n' mini^ minn'
T i( pq) cn0 + cnmi T 2( pq)
T.......' °"'0n. 0 + У n'mini 0Tn
mi=1
,n + n + ni - четное,
, n + n + ni - нечетное,
(7)
pqT
)T 2( pq) = i t 12 + t 21 \ = i +1 , T minn' = \qTminmin' + pTminmin '), p, q = —1, +1-
^ш1ии' \^Ш1иш1и гч - Ш1иш1и у -ш1ии'
Следствие 2. Для сферических частиц
дЩ^Р = ¿«а ^ ^ ^ = ± (2и +1) («и + рч ■ ¿и ), (8)
где аи, Ъи - коэффициенты Ми [9].
Обсуждение результатов
Полученные формулы (4-8) имеют компактный вид, удобный для расчетов. Алгоритм численно реализован для осесимметричных частиц, в частности, для сфероидальных частиц получено совпадение всех значащих цифр с результатами, представленными в работе [3].
Коэффициенты разложения представляют эффективный способ хранения информации об ансамбле частиц и могут быть многократно использованы.
Полученные результаты будут в ближайшее время востребованы, так как представляют значительный интерес для интерпретации экспериментальных данных свойства симметрии матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц - 10 независимых элементов, если частицы не имеют плоскости симметрии; и 6 независимых элементов, если частицы обладают плоскостью симметрии, включая и осесимметричные частицы.
Литература.
1. Waterman P.C. Symmetry, unitarity and geometry in electromagnetic scattering // Phys. Rev. D. 1971. V. 3. P. 825-839.
2. Hovenier J.W., van der Mee C.V.M. Fundamental relationships relevant to the transfer of polarized light in a scattering atmosphere // Astron. Astrophys. 1983. V.128. P.1-16.
3. Mishchenko M.I. Light scattering by randomly oriented axially symmetric particles // J. Opt. Soc. Amer. A. 1990. V.8. P.871-882.
4. Kuscer I., Ribaric M. Matrix formalism in the theory of diffusion of light // Opt. Acta 1959. V.6. P.42-51.
5. Tsang L., Kong J.A. Radiative transfer theory for active remote sensing of layer of nonspherical particles // Radio Sci. 1984. V.19. N2. P.629-642.
6. Абдулкин В.В., Парамонов Л.Е. Решения волнового уравнения Гемгольца, инвариантные относительно группы вращений // Вопросы математического анализа. Красноярск: КГТУ, 2004. С. 3.
7. Варшалович Д. А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 439 c.
8. Paramonov L.E. T-matrix approach and the angular momentum theory in light scattering problems by ensembles of arbitrarily shaped particles // J. Opt. Soc. Am. A. 1995. V.13. P.2698-2707.
9. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир, 1986. 660 с.