CC BY
19
РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА
Коэффициент усиления вынужденного рассеяния двумерно локализованной волны накачки при произвольных углах рассеяния
Д. К. Солихов1'0, К. Н. Овчинников2, С. А. Двинин3'6
1 Таджикский национальный университет, физический факультет.
Таджикистан, 734025, Душанбе, просп. Рудаки, д. 17.
2 Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН.
Россия, 119991, Москва, Ленинский просп., д. 53.
3Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физической электроники. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: а [email protected], ь [email protected]
Статья поступила 20.09.2011, подписана в печать 10.10.2011
В задаче вынужденного рассеяния двумерно локализованной волны накачки найдена зависимость коэффициента пространственного усиления от угла рассеяния и интенсивности накачки. Предложено описание коэффициента усиления при произвольных соотношениях между длиной свободного пробега звуковой волны и поперечным размером области взаимодействия.
Ключевые слова: вынужденное комбинационное рассеяние, ВКР, ВРМБ, SBS, SRS, ионно-звуковой, ионный звук, Мандельштама-Бриллюэна.
УДК: 533.951; 533.9.082.5. PACS: 52.38.Bv.
Введение
Процесс вынужденного рассеяния двумерно локализованной волны накачки рассматривался в работах [1, 2], где были изучены закономерности вынужденного рассеяния под прямым углом. В этих работах было установлено, что если размер области локализации волны накачки в поперечном направлении превышает некоторую пороговую величину, зависящую от интенсивности волны накачки, то возникает конвективная неустойчивость в продольном направлении (вдоль лазерного луча). Позднее в [3] было изучено поведение порога вынужденного рассеяния под углами, изменяющимися в пределах от нуля до 7г/2. В частности, было установлено, что рассеяние под прямым углом имеет наименьший порог в изученной области углов.
В настоящей работе изучен коэффициент пространственного усиления для вынужденного рассеяния в двумерно локализованной волне накачки под углами рассеяния, изменяющимися в пределах от нуля до 7г/2, при произвольных соотношениях между поперечным размером области взаимодействия, длинами свободных пробегов неустойчивых волн и интенсивностью накачки.
Расчет коэффициента пространственного усиления
Рассмотрим процесс вынужденного рассеяния, в котором локализованная в двумерной области волна накачки, имеющая частоту шо и волновой вектор ¿о. распадается на ионно-звуковую волну с частотой , волновым вектором , групповой скоростью , декрементом 71 и поперечную электромагнитную волну с частотой ш-2, волновым вектором групповой скоростью и-2, декрементом 72. При этом частоты и волновые
векторы всех трех волн связаны соотношениями Ша = + Ш-2, ¿0 = ^1 + ¿2-
Будем предполагать, что волновой вектор ¿о направлен вдоль оси л', а волновые векторы и ¿2 составляют с положительным направлением оси х углы в[ и —02 соответственно.
Будем рассматривать область локализации волны накачки, которая имеет вид бесконечной вдоль оси х полуполосы (рис. 1).
волновых векторов
В условиях, когда <С Ш2. имеем следующую связь между углами в[ = 7г/2—^/2. Угол рассеяния 6*2 может меняться в пределах 0 < в2 < тг/2 .
Введем обозначения 4 = У1/71, I/ = У2/72 Для длин свободного пробега звуковой и рассеянной поперечной электромагнитной волн соответственно [1], а также
характерную длину 1Е = \/щщ](аоД), которая определяется интенсивностью накачки. Здесь не зависящие от угла 02 коэффициенты «о и /3 определяют параметрическую связь волн и линейно зависят от амплитуды волны накачки. Отметим, что чем выше интенсивность накачки, тем меньше длина 1Е .
Система уравнений, описывающая процесс вынужденного рассеяния двумерно локализованной волн накачки, получена в работах [1-3]. В рассматриваемой геометрии (рис. 1) амплитуда звуковой волны равна нулю на входе этой волны в область взаимодействия (х = 0, и (у = 0, 0^х<оо), а амплиту-
да поперечной электромагнитной волны постоянна на входе в область взаимодействия (х = 0, и (у = Ь2, 0 ^ х < оо).
Для нахождения коэффициента усиления рассеянной поперечной волны используем уравнение [4]
sh + Л sh v?) = 0, (1)
корни которого р определяют значения коэффициента усиления 7 = Rep. В уравнении (1) использованы обозначения [3]
А =
U
lE cos(02/2)
h = 1ё- (\ -u А_ l +Plt \
' 2/s \ 24 sin(02/2)/ '
где L2 — поперечный размер области взаимодействия. Заменив tp = u + iv и отделив в уравнении (1) действительную и мнимую части, получим [4]
и + Ash u cos о = О, v + Achusino = жп,
где п= 1,2,... — номер неустойчивой моды. Тогда коэффициент усиления принимает вид
Решения с 7>0 возможны только при и = 0, поэтому для нахождения коэффициента усиления используем следующие соотношения:
¿2
lE cos(02/2) 7/£=4sin(02/2)
sin V = Tin,
n= 1,2,...,
4
^E I
C0S° ^ 24 \ 24 sin(02/2)
(2) (3)
Ранее [3] было найдено зависящее от угла рассеяния и интенсивности накачки пороговое значение параметра Ле), при превышении которого возникают решения с положительным коэффициентом пространственного усиления
Ь2
Согласно [31
lE cos(02/2)>Ath(02'/£)' при выполнении неравенства
4
^Е I
24 V + 24 sin(02/2).
<С 1
выражение для порогового значения вид [1, 3]
(4)
Ath имеет
Для большинства сред выполняется неравенство 4 -С 4, поэтому неравенство (4) в широкой области немалых углов рассеяния 02 будет эквивалентно условию слабого затухания /¿-С24, при котором интенсивность накачки достаточно велика для того, чтобы характерная длина, на которой происходит усиление волн, была мала по сравнению с характерной длиной свободного пробега звуковой волны.
В противоположном предельном случае слабой интенсивности накачки (или сильного затухания звука), когда выполнено условие
1Е ^ 24,
а также в области малых углов рассеяния, имеем [3] к) =
2(1 4W24X1+ 4/(24 sin(02/2))))
При незначительном превышении параметра А над пороговым значением А^{02, 1е) в случае слабого затухания (5) для коэффициента усиления из соотношений (2), (3) находим
= 4 sin(02/2)(A — Ath(02, lE)).
(6)
Такой случай реализуется в сильных полях при малом поперечном размере области взаимодействия Ь2 <С 7г4 и 12 ~ 1Е.
В общем случае соотношения (2) и (3) были проанализированы численно. Рис. 2 демонстрирует зависимость величины 7 1Е от отношения 1Е/4 в условиях, когда поперечный размер области взаимодействия значительно превосходит длину свободного пробега звуковой волны Ь2 = 104 при п = 1. Согласно рис. 2, в области с положительными значениями 7 выполнено неравенство /£/4 <2. Следовательно, рис. 2 отвечает большим значениям параметра А>12/4 = 5. Приближенное решение уравнения (2) в пределе А 1 с точностью до А^1 имеет вид [1, 3] и и тгп/Х, что позволяет получить следующее предельное выражение для коэффициента пространственного усиления:
7/£ = 4sin(6»2/2) х
f ls ^24 V +24 sin(02/2).
7Г
'n242
ll
cos2(02/2)if
Z.l—1 2 £
(7)
Формула (7) демонстрирует линейное уменьшение величины 7 1Е с ростом отношения /¿/4, на фоне которого проявляется малая, как А^2, квадратичная поправка /|//|. При этом с уменьшением угла рассеяния 02 падает как скорость линейного уменьшения, так и само значение 7.
Анализ формулы (7) показывает, что эта формула объясняет поведение коэффициента усиления, отвечающее рис. 2.
Рис. 3, построенный для случая 12 = 4 и п = 1, качественно повторяет закономерности рис. 2, однако теперь уменьшение величины 71Е с ростом /£/4 становится существенно нелинейным. Действительно, здесь для области, где коэффициент усиления положителен, справедлива оценка /¿/4 < 0.8, поэтому для величины параметра А имеем следующую оценку А > (4Д£)(£г/4) > 1 ■ В условиях А>1 формулу (7)
РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА
71
У к 3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0 Hs
Рис. 2. Зависимость безразмерного коэффициента усиления 7/£ от Ie/Is для п = 1 и различных углов рассеяния при ¿2 = Ю/ч: / — 6*2 = 7г/10; 2 — 6*2 = 7г/4; 3 - 6-2 = 2тг/5; 4 - 6>2 = 7Г/2
У к 3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 lE/ls
Рис. 3. Зависимость безразмерного коэффициента усиления 7/£ от Iß/ls для п = 1 и различных углов рассеяния при Ln = U'. 1 — во = 7г/10; 2 — во = 7г/4; 3 - 02 = 2тг/5; 4 - = тг/2
Рис. Зависимость безразмерного коэффициента усиления 7 /£ от угла рассеяния для п= 1 и различных значений интенсивности накачки при ¿2 = ^ (штриховые кривые): а — = 0.6; 6 — = 0.4; с - /£//5 = 0.2; й - /£//5 = 0.1 и при ¿2= 101* (сплошные кривые): / — /£//ч = 1.6; 2 — 1е/1ч = 1.2;
3 - /£//5 = 0.8; - /£//5 = 0.1
следует использовать только для качественного описания рис. 3.
Рис. 4 демонстрирует зависимость коэффициента усиления от угла рассеяния для п = 1 и для некоторых значений параметра /¿/4-. Случаю большого поперечного размера области взаимодействия, когда Ь2 = 104 и А» 1, отвечают сплошные кривые на рис. 4, а случаю ¿2 = 4 (А>1) — штриховые. Согласно формуле (7), зависимость коэффициента усиления от угла имеет вид Лэт(02/2), где множитель А слабо зависит от угла при малых значениях /¿/4 (кривая 4). С ростом /¿/4, согласно (7), степень зависимости множителя А
от угла возрастает, что приводит к отклонению кривых 3, 2 и 1 от вида эт^/З).
Штриховые кривые на рис. 4 также качественно могут быть поняты исходя из формулы (7) — кривая й отвечает достаточно сильному полю накачки /£/4 = 0.1, для которой справедлива оценка А > 1012/4 = Ю. Поэтому кривая й имеет вид эт^/З). Для кривых с, Ь и а параметр /¿/4 увеличивается, что приводит к значениям А > 1 ив соответствии с формулой (7) ведет к отклонению этих кривых от формы $т{в2/2).
Формулы (6), (7) являются обобщением на случай переменного угла рассеяния соответствующих формул работ [1, 3].
Из анализа рис. 3 и рис. 4, а также формулы (7) следует, что, во-первых, при заданной интенсивности накачки в области углов рассеяния 0 < в2 < тг/2 коэффициент усиления для рассеяния под прямым углом будет максимален и, во-вторых, для коэффициента усиления в сильном поле накачки, когда 1е <С тт(24,£2). имеем универсальное соотношение, которое не зависит от отношения ¿2/4:
7 = 48т(02/2 )/1Е.
Заключение
В рассмотренной задаче вынужденного рассеяния двумерно локализованной волны накачки найдена зависимость коэффициента пространственного усиления от угла рассеяния и интенсивности накачки.
Получены аналитические выражения для коэффициента усиления в случае, когда поперечный размер области взаимодействия волн значительно превышает длину свободного пробега звуковой волны. Проведено сравнение аналитических и численных результатов и показана возможность качественного описания коэффициента усиления полученным аналитическим выражением и при умеренном поперечном размере области взаимодействия, когда он сравним с длиной свободного пробега звуковой волны.
Предложена аналитическая зависимость для коэффициента усиления в случае узкой области, когда ее поперечный размер много меньше, чем длина свободного пробега звука, а интенсивность накачки достаточно велика так, что длина свободного пробега звуковой волны значительно превосходит длину, необходимую накачке для усиления рассеяния.
Для случая сильной накачки, когда длина, необходимая для усиления рассеяния, мала по сравнению как с поперечным размером области взаимодействия, так и с удвоенной длиной свободного пробега звука, для коэффициента пространственного усиления найдена универсальная зависимость от угла рассеяния и интенсивности накачки, не зависящая от поперечного размера области взаимодействия.
Авторы выражают благодарность С. А. Урюпину за большое внимание к работе.
Работа К. Н. Овчинникова выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-02-00696).
Список литературы
1. Горбунов U.M., Солихов Д.К. // Физика плазмы. 1984. 10, № 4. С. 824.
2. Солихов Д.К. // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. XXVII, № 1. С. 34.
3. Овчинников К.Н., Солихов Д.К. // Крат, сообщ. по физике ФИАН. 2010. № 10. С. 3.
4. Горбунов Л.М. // ЖТФ. 1977. 47, № 1. С. 36.
The gain of stimulated scattering of the two-dimensionally localized pump wave at arbitrary scattering angles
D.K. Solikhov1,0, K.N. Ovchinnikov2, S.A. Dvinin3ft
1 Faculty of Physics, Tajik National University, Pr. Rudaki 17, Dushanbe 734025, Tajikistan.
2 Lebedev Physical Institute, Russian Academy of Sciences, Leninskiy pr. 53, Moscow 119991, Russia.
3 Department of Physical Electronics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a [email protected], b [email protected].
For the task of stimulated scattering of the two-dimensionally localized pump wave the dependence of the spatial gain on scattering angle and pump intensity is found. A description of the gain at an arbitrary ratio between the free path length of the sound wave and the transverse dimension of the interaction region is proposed.
Keywords: stimulated combination scattering, SBS, SRS, ion-acoustic, ion sound, Brillouin scattering, Raman
scattering.
PACS: 52.38.Bv.
Received 20 September 2011.
English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2012).
Сведения об авторах
1. Солихов Давлат Куватович — канд. физ.-мат. наук, декан физ. ф-та ТНУ; тел.: (99237) 237-51-90, e-mail: [email protected].
2. Овчинников Константин Николаевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник; тел.: (495)135-78-08, e-mail: [email protected].
3. Двинин Сергей Александрович — докт. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (495) 939-48-39, e-mail: [email protected].
