О пороге вынужденного рассеяния в поле двумерно локализованной волны накачки при произвольных углах рассеяния Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951:533.9.082.5

О ПОРОГЕ ВЫНУЖДЕННОГО РАССЕЯНИЯ В ПОЛЕ ДВУМЕРНО ЛОКАЛИЗОВАННОЙ ВОЛНЫ НАКАЧКИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ УГЛАХ РАССЕЯНИЯ

К.Н. Овчинников1, Д. К. Солихов2

В поле двумерно локализованной волны накачки установлены зависимости порога различны,х мод вынужденного рассеяния от угла рассеяния, для, различны,х параметров среды и значений ■интенсивности накачки.

Ключевые слова: вынужденное комбинационное рассеяние. ВКР. ВРМБ. SBS, SR.S, ионно-звуковой. ионный звук. Мандельштама Бриллюэна.

В работе [1] была рассмотрена связанная с вынужденным рассеянием абсолютная неустойчивость для бесконечного слоя заданной ширины. Был указан критерий воз-НИКНОВ6НИЯ абсолютной неустойчивости, согласно которому n-ая неустойчивая мода огибающей возникает, если произведение инкремента безграничной волны накачки на квадратный корень из произведения времён прохождения двух неустойчивых волн через слой превышает величину п(п — 1/2). Такой результат был получен в пределе очень слабого затухания, когда для любого, сколь угодно слабого поля можно указать ширину слоя, при превышении которой возникает вынужденное рассеяние на встречных волн&х. При этом было также установлено, что абсолютная неустойчивость имеет наибольший инкремент для волн, проекции групповых скоростей которых примерно равны по абсолютной величине^ что выполняется для бокового рассеяния.

Позднее, в работах [2. 3], процесс вынужденного рассеяния под прямым углом оыл рассмотрен в условиях двумерной локализации волны накачки. Здесь было установлено. что абсолютная неустойчивость не возникает ни при каких размерах области локализации волны накачки, а конвективная неустойчивость в продольном направлении (вдоль лазерного луча) возникает, если размер области локализации волны накачки в поперечном направлении превышает некоторую пороговую величину, зависящую от

1 Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Россия, 119991, Москва, Ленинский пр., 53; e-mail: [email protected].

2 Таджикский национальный университет, Научно-исследовательский институт естественных наук, Таджикистан, 734025, Душанбе, пр. Рудаки, 17.

интенсивности волны накачки. Здесь, также как и в работе [1], всё рассмотрение было проведено в пределе слабого затухания, когда пороговая поперечная длина области взаимодействия меньше полусуммы длин свободного пробега неустойчивых волн.

В настоящей работе рассматривается вынужденное рассеяние для двумерно локализованной волны накачки под углами рассеяния, изменяющимися в пределах от нуля до п/2, без предположения о слабом затухании, т.е. при произвольном соотношении между инкрементом безграничной волны накачки и декрементами затухания рассеянной электромагнитной и низкочастотной продольной волн.

Рассмотрим процесс вынужденного рассеяния на примере конвективного ВРМБ, в котором локализованная в двумерной области волна накачки, имеющая частоту и0 и волновой вектор к0, распадается на ионно-звуковую волну с частотой волновым вектором к1? амплитуд ой Е1 и поперечную электромагнитную волн у с частотой и2, волновым вектором к2, амплитуд ой Е2. При этом частоты и волновые вектора всех трёх волн связаны соотношениями

к0

тора ^ и к2 составляют с положительным направлением осп ОХ углы 91 ж —в2 соответственно.

^0 = + ^2, ко = к1 + к2 .

а)

Рис. 1: Область взаимодействия волн и ориентация волновых векторов.

Будем рассматривать область локализации волны накачки, которая имеет вид бесконечной вдоль оси ОХ полуполосы (рис. 1).

В условиях, когда и1 ^ и2, имеем следующую связь между углами: 61 = п/2 — в2/2. Ограничимся рассмотрением случая, когда угол рассеяния в2 может меняться в пределах 0 < в2 < п/2. Ранее [2, 3] была рассмотрена задача рассеяния для случая в2 = п/2.

В предположении заданного поля накачки, амплитуды волн E1 и E2 удовлетворяют следующим уравнениям (см., напр., [1])

д д

vix d^Ei + viy dyEi + YiEi = aE2, (2)

дд V2x д^Е2 — V2y dyE2 + Y2E2 = f3Ei,

где v1>2,j1>2 — групповые скорости и декременты волн, а коэффициенты а и в определяют параметрическую связь волн. Коэффициент а ~ k1y поэтому а зависит от угла рассеяния как а = 2 sin (62/2)а0, где ао - коэффициент параметрической связи, отвечающий углу рассеяния п/3. Другой коэффициент параметрической связи в от угла рассеяния 62 не зависит. Коэффициенты а0,в линейно зависят от амплитуды волны накачки, Yo = а0в, Y0 - инкремент для безграничной волны накачки. В случае полностью ионизованнои плазмы имеем v1 = vs = sjz &Te/M - скорость ионного звука, ж -постоянная Больцмана, Te - температура электронов, Z, M - кратность ионизации и масса ионов соответственно, v2 = c,Y1 = 4viik'^v'2i/5u'2 + js,j2 = veiu2Le/2u\ [4]. Здесь vei, Vjj - частоты электрон-ионных и ион-ионных столкновений, vTi - тепловая скорость ионов, uLe - электронная ленгмюровская частота, Ys = \¡n/8uLiu1/uLe - декремент черенковского затухания звука на электронах.

Для определения порога рассмотрим решение уравнений (2) с нулевыми граничными условиями

E1(x = 0,y) = 0, E2 (x = 0,y) = 0, (3)

E1(x,y = 0) = 0, E2(x, y = L2) = 0.

Для решения системы уравнений (2) воспользуемся преобразованием Лапласа по x

оо

E1,2(p,y)= e-pxE1,2(x,y)dx.

Тогда для определения лапласовских изображений Ег,2(р,у) получаем однородную систему из двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Г~Ег(р,у) = - Ег(р, у) + аЕ2(р,у), (4)

ау Угу Угу

-Г-Е2(р,у) =--вЕг (р,у) + р)2х + 12 Е2(р,у)-

ау У2у У2у

Будем предполагать, что определитель матрицы системы (4) отличен от нуля

Ао(р) = ав - (рУгх + 1\)(рУ2х + 12) = 0. (5)

Тогда решение системы уравнений (4) выряж&ется через её собственные числа Аг2 и произвольные постоянные А и В (ср. [2])

Ег = АеХ1у + ВвХ2У, (6)

Е2 = - {АвХ1У(рУгх + 1г + ХгУгу) + ВеХ2у(рУгх + 1г + ^Угу)} . (7)

а

Последние соотношения будут справедливы только в условиях

Аг = А2. (8)

Для собственных чисел системы (4). находим выражение (ср. [1])

Аг,2 =--±— \^'Р2 - р20, 9

где использованы следующие обозначения

2Угу У2у 2Угу У2у /1ГЛ

wг =--—-- , 'Ю2 =--—-- , (10)

У2уУгх - УгуУ2х У2уУгх + УгуУ2х

„ = У2у 1г - Угу 12 = У2у 1г + Угу 12 п ,

qг = - , я_2 = -:- , Щ;

У2уУгх - УгуУ2х У2уУгх + УгуУ2х

Р1 = , .2 , Р = Р + ® . (12)

(У2у Угх + Угу У2х)2

Из граничных условий (3) следует соотношение, определяющее те значения величи-р

А2(р, 92) = (рУгх + 1г + А2УгуУ^2 - (рУгх + 1г + АгУгу)еХ1 = 0. (13)

Возможность появления неустойчивости, связанной с развитием вынужденного рассея-

р

Кер > 0.

(14)

Следовательно, задача отыскания условий возникновения вынужденного рассеяния сводится к задаче отыскания условий, при которых среди нулей уравнения (13) найдутся нули, удовлетворяющие неравенству (14).

Вслед за [1] преобразуем уравнение А2(р,92) = 0 с помощью замены еЬр = р/р0 к виду

+ А вЬ р) = 0 , (15)

А = = 7^ ' Л° = L4 С~ , f {х) = cos{x/2). (16)

w2 f{в2) V viv2

Уравнение (15) после замены р = iv [1] принимает вид

v + А sin v = nn,n = 0,1, 2.... (17)

При этом инкремент ВРМБ выражается через корни уравнения (17) как

y = Re p = po \ cos v — — ) . (18)

V PoJ

Следовательно. условие положительности инкремента (14) накладывает ограничения на возможные решения (17)

cos v > — . (19)

po

Система, состоящая из уравнения (17) и неравенства (19), полностью описывает решение задачи о возможности возникновения конвективного ВРМБ.

Прежде всего отметим, что при чётных n = 2k, k = 0,1, 2, 3,... уравнение (17) имеет очевидное решение v = 2kn, которое удовлетворяет неравенству (19). Однако в этом случае p = p0 и, следовательно, А1 = А2, что противоречит предположению (8). Поэтому при v = 2kn уравнение (13) неприменимо.

В работе [1] система (17), (19) была проанализирована в пределе слабого затухания, когда q2/p0 ^ 1, ^^и этом вели чина q2/p0 не зависела от угла рассеяния в2. В последующей работе [2] были использованы результаты такого анализа для бокового рассеяния. Постановка задач, решаемых в [1. 2]. позволяла выделить область параметров, где справедлив предел слабого затухания, и ограничиться нахождением решения только в этой области.

Настоящая постановка задачи рассматривает возможность рассеяния под произвольными углами в пределах 0 < в2 < п/2, поэтому, если в некоторой области углов из этого промежутка будет выполнено условие слабого затухания q2/p0 ^ 1, то в другой

области углов параметр /р0 может быть не малым. Действительно, в рассматриваемой задаче параметр q2/р0 имеет следующий вид

* * (ъ ^ + 72 ±) ^уОтд(20)

Ро 2Л \ Угу У2у; 2^/а0руУг д(х, Г) = 1 + Г/(2 8т(х/2)) ,

Г = 72 У1 /71У2,

Г

ризует отношение характерных длин свободного пробега ионно-звуковой и рассеянной электромагнитной волн, возможна оценка

Г = (5ш1 е/8^2/^тес2 < 1. (21)

Рис. 2: Зависимость величины Лп^ от д2/р0 для различных значений п.

Система (17), (19) была решена численно. У этой системы существует решение только в том случае, когда параметр Л превосходит некоторое значение Л^, зависящее от q2/р0. На рис. 2 изображены зависимости Л^(о_2/р0) отвечающие различным значениям натурального числа п в уравнении (17). При каждом значении п величина характеризует порог, при превышении которого (Л > Ап^ь) становится возможным воз-п

В области q2/р0 1 можно получить простую аналитическую зависимость, которая отвечает пределу слабого затухания и рассматривалась в работах [1-3]

Лп,1* = п(п - 1/2) + ^/ро, ^/Ро < 1.

(22)

В противоположном пределе, когда величина ц2/р0 близка к единице, имеем

пп

Ап,1Ь = , =, Я2/Ро < 1. (23)

Л/2(1 - д2/ро)

Согласно (20), при изменении угла рассеяния в пределах 0 < в2 < п/2 параметр д2/р0 изменяется в пределах

^(1 + F/V2) <® <

2jo\ vi po

(24)

причём величина q2/p0 в рассматриваемом промежутке углов достигает минимума при углах рассеяния 9min = п/2 (рассеяние поперёк). Напротив, в области малых углов рассеяния в2 ^ 1 величина q2/p0 неограниченно возрастает при стремлении угла рассеяния к нулю.

Для того, чтобы вынужденное рассеяние было возможным при некотором значении в2, необходимо, чтобы при таких углах, согласно (19), значение параметра q2/p0 не превышало единицу. Поэтому необходимым условием для существования ВРМБ будет выполнение следующих неравенств

Yo > (Yo)th = Y^(1 + T/V2). (25)

Условие y0 = (Y0)th является необходимым условием для возникновения рассеяния в поперечном направлении. Согласно (25), это условие не зависит от поперечных размеров области взаимодействия Ь2, а определяется только затуханием звуковой волны и отношением групповых скоростей взаимодействующих волн.

С ростом интенсивности накачки область углов рассеяния в2, для которых выполнено необходимое условие q2/p0 < 1, при малых превышениях надпороговости Y0 — (Yo)th ^ Y2y расширяется в соответствии с формулой

2л/2 Yo — (Yo)th а а /0 ,орЛ

п/2------—--= в* ^ 02 ^ п/2. (26)

1 (Yo )th

В области малых углов необходимое условие q2/p0 < 1 всегда будет нарушаться для сколь угодно сильной интенсивности накачки. В пределе сильной накачки y0 ^ Y2 область углов рассеяния, в которой ВРМБ будет запрещено, имеет вид

0 ^ 02 ^ в* = Д (27)

2Yo V V2

На рис. 2 изображены универсальные кривые, которые характеризуют зависимость порога п-ой моды от параметра q2/p0

Xn,th = $n(q2/po)- (28)

Т.к. величина q2/p0 зависит от угла рассеянпя в2, то последнее соотношение определяет зависимость порога от угла рассеяния. Поэтому при заданной интенсивности накачки и величине L2 вынужденное рассеяние будет возможно только для таких углов рассеяния, при которых зависящая от угла рассеяния величина Л (16) будет превышать зависящий от угла рассеяния порог, определяемый (28)

Ло - f (в2)Фп (TYo/f д(в2)) > (29)

где аргумент функции Ф n

YS<1 (30)

Аналитическая зависимость от угла рассеяния порога неустойчивости п-моды может быть получена для двух предельных случаев (22) и (23). В первом случае имеем

(Ло)п,th = cos (в2/2) (V - 1/2)п + ^ у^ д(в2)) ■

Согласно формуле (31), порог ВРМБ уменьшается с ростом угла рассеяния cos (в2/2)

лой поправкой, а условие применимости этой формулы определяется неравенством (Yi/2y0)\/v2/v\ д(в2) ^ 1. Поэтому угловая зависимость формулы (31) применима только в области углов в2 ~ п/2 для сильной накачки.

В другом предельном случае (23) в условиях сильной накачки Y0 ^ Y2 в области углов в2 > в+, близких к границе области, где ВРМБ запрещена (27), для порога неустойчивости п-моды имеем

<Л°)пЛ = ^2(1 П-в,/в2) - (32)

В общем случае угловая зависимость порога неустойчивости была изучена численно. На рис. 3 представлены результаты численного анализа неравенств (29) и (30) для первой и второй мод, в условиях, когда (yi/y0~)\JV2Jv\ = 1.

В условиях, когда надпороговость при рассеянии в поперечном направлении удовлетворяет неравенству

^ _ (^ и Г

(33)

70 " (70)л (п/2 - 02),

Ы)th ~ 2^2

порог в области углов рассеяния, близких кп/2, может быть описан предельной формулой

(Ло и=!(*„(

+

п/2 — 02

Фп

(7о )th

+ Ф'

1 ^ п

(7о V

(7оЬ _Г

(34)

Ъ ) \ 1о ) 1о

Согласно (34), в общем случае произвольной величины (71 /^о) у/у2/у1 , так же как и в предельном случае малых значений этого параметра (31), угловая зависимость порога от угла рассеяния для углов, близких к п/2, представляет собой линейную по п/2 — в2 функцию.

Формула (34) показывает, что при выполнении неравенства (25), рассеяние в строго поперечном направлении имеет наименьший порог по сравнению со всеми другими углами рассеяния в промежутке 0 < 02 < п /2.

Рис. 3: Зависимость угловых границ области вынужденного рассеяния от параметра Ло при (71 /^о)д//у1 = 1 для первой (и = 1) и второй (и = 2) мод.

Согласно рис. 3, при уменьшении угла рассеяния порог возрастает, причём для второй моды быстрее, чем для первой, что отвечает предельным формулам (31), (32).

Ло

значениям интенсивности накачки или большим значениям поперечного размера Ь2, рис. 3 демонстрирует неограниченное нарастание порога при стремлении угла рассеяния к границе угловой области 0в которой ВРМБ запрещена. В случае сильной накачки 7о ^ 12 поведение порога здесь может быть описано предельным выражением (32).

Рис. 4: Зависимость угловых границ области вынужденного рассеяния от параметра Л0 для первой моды (и = 1) при различных значениях параметра (71 /70) д/у2/у1 : 1 — 1; 2 — 1.4; 3 — 1.7;4 — 1.8.

На рис. 4 представлена зависимость порога от угла рассеяния для первой моды для различных значений параметра (71 /^0) у//у1 , который определяет угловую ширину области ВРМБ. Для всех кривых выполнено условие (25). Все кривые имееют общие черты - монотонное нарастание порога с уменьшением угла рассеяния, носящее в окрестности п/2 линейный характер; неограниченное нарастание порога при стремлении угла рассеяния к в*. С ростом параметра (71 /^0) у/у2/V1 область ВРМБ сужается, исчезая при достижении накачкой порога рассеяния (25). Такой случай характеризуется тем, что в* стремится к п/2. Переход к пределу в* — п/2 в формуле (23) позволяет получить выражение для угловой зависимости порога в условиях нарушения неравенства (33)

(Л ) _(2 + п/2 — в2)пи_

(Л0 = —. . (35)

4у (70 — (70)/(70— Г(п/2 — в2)/2УД)

Формула (35) описывает зависимость порога от угла, когда порог рассеяния (25) незначительно превышен.

В рассмотренной задаче изучено вынужденное рассеяние в поле двумерно лока-

п/2

зависимости порога различных мод вынужденного рассеяния от угла рассеяния для различных параметров среды и значений интенсивности накачки. Показано, что рассеяние в поперечном направлении имеет наименьший порог по сравнению с рассеянием под другими углами из рассмотренного промежутка. С уменьшением угла рассеяния

порог возрастает, обращаясь в бесконечность при некотором значении угла, которое определяется отношениями декрементов взаимодействующих волн и инкрементом для безграничной волны накачки, а также отношением групповых скоростей взаимодействующих звуковой и рассеянной электромагнитной волн.

Авторы благодарны С. А. Урюпину за большое внимание к работе. Работа одного из авторов (К. Н. Овчинникова) была поддержана грантом РФФИ Л"2 09-02-00696.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Л. М. Горбунов, ЖТФ 47(1), 36 (1977).

[2] Л. М. Горбунов, Д. К. Солнхов, Физика плазмы 10(4). 824 (1984).

[3] Д. К. Солихов, Известия ВУЗов. Радиофизика ХХУП(Г), 34 (1984).

[4] А. Ф. Александров, Л. С. Богданкевич, А. А. Рухадзе, Основы электродинамики плазмы (М., Высшая школа, 1988).

[5] Л. М. Горбунов, ЖЭТФ 62(6), 2141 (1972).

Поступила в редакцию 27 января 2010 г.