Классификация подмножеств b^n и аддитивные каналы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.725

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОДМНОЖЕСТВ Bn И АДДИТИВНЫЕ КАНАЛЫ В. К. Леонтьев1, Г. Л. Мовсисян2, А. А. Осипян3

Рассматривается задача о классификации подмножеств вершин единичного п-мерного куба по "симметрическому" признаку. Даются приложения к изучению аддитивных каналов связи.

Ключевые слова: аддитивные каналы, действие группы на множестве, стабилизатор, транзитивное множество.

п

on the basis of "symmetry". Applications to the study of additive channels are presented. Key words: additive channel, action of a group on a set, stabilizer, transitive set.

1. Классификация подмножеств Вп. Пусть Е = {0,1} — двухэлементное поле Галуа и — п-мерное пространство над этим полем, или ЕП — это множество вершин единичного п-мерного куба Вп = {0,1}п .Подмножества Вп имеют много разных интерпретаций в терминах теории булевых функций, теории корректирующих кодов, частично упорядоченных множеств, аддитивных каналов и т.д. При этом каждый из этих разделов связан с определенным классом ограничений, накладываемых на свойства подмножеств Вп. Мы рассматриваем "сдвиг" подмножеств Вп и определяем эквивалентность как равенство с точностью до "сдвига." Для определения стабилизаторов подмножеств и транзитивных семейств используются классические средства, связанные с леммой Бернсайда.

Вп п

Пусть I I — семейство всех т-элементных подмножеств куба Вп. На этом множестве действует

/ Вп\

группа преобразований Вп следующим обр азом: у + А = {у + х | х £ А} для А £ I I и у £ Вп. То

есть А + у — это сдвиг множества А на вектор у. Транзитивное множество, порожденное А, выглядит стандартным образом: Z(А) = {А + у | у £ Вп}.

( Вп

Совокупность Ьт всех транзитивных множеств Z (А) порождает разбиение семейства I т

Вп) = и Z(A)■

Мощность ^ (А) | транзитивного множества может быть найдена в терми пах стабилизатора С а множества А : С а = {у £ Вп; у+А = А}. Хорошо известно [1, 2], что С а — подгрупп а в Вп и мощность транзитивного множества Z (А) равна индексу подгруппы С а, т.е.

^ (А)| = шс1 Вп/Са , (1)

где шё Вп/Са = — индекс группы Вп по подгруппе С а ■

Пример 1. Пусть А — подгруппа в Вп, {И\, Н2,..., Щ} — семейство смежных классов по подгруппе А и I = щ. Если из произвольной совокупности смежных классов Н^, ,..., образовать множество

к

м = и щ,

3=1

В

то М £ I ^|А| ) . Пуетъ х £ А и у + А = Н^ — произвольный смежный класс по подгруппе А, тогда

х + Нг = х+у+А = у+А = Н^. Отсюда следует, что любой элемент группы А принадлежит стабилизатору множества М и, таким образом, См | ^ |А| и М| = к • |А|.

Леонтьев Владимир Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. ВЦ РАН им. A.A. Дородницына, e-mail: vkleontievQyandex.ru.

2Мовсисян Гариб Лентрушевич — канд. физ.-мат. наук, ген. директор ЗАО хладокомбината "Западный", e-mail: garibQfirmbit.ru.

3 Осипян Артур Аркадьевич — асп. каф. математических методов прогнозирования ф-та ВМК МГУ, e-mail: osipyan.arthur.aQgmail.com.

Как показывает равенство (1), для определения мощности транзитивного множества 2(А) достаточно знать мощность стабилизатора О а- Отметим теперь, что при заданном множестве А можно считать, что на А действует группа О а , т.е. стабилизатор О а , и воспользоваться теми же рассуждениями, что и выше. Если х € А, то транзитивное множество 2 (х) = {х + у, у € О а } определяется стандартным образом и

\2 (х)\ = шс1 Оа/Ох , (2)

где Ох — стабилизатор эле мента х € А. Так как Ох = {у € О а : у + х = х}, то Ох = {0} для всех х. Из (2) теперь имеем \2(х)\ = шс1 Оа/Е, т.е. норма равна индексу единичной подгруппы, или \2(х)\ = \Оа\-Лемма 1. Справедливо сравнение \А\ = 0(шоё \ О а \) -

Это утверждение сразу вытекает из формулы для разбиения А = УхеА 2(х).

Если Тр(п) — степень простого числа р, входящего в каноническое представление п, то справедливо Следствие 1. Имеет, место нещвенство \Оа\ ^ 2Т2(А\

( Вп \

Следствие 2. Для любого А € I \ стабилизатор О а = {0}.

V 2т 1)

Вп

Следствие 3. Пусть А € . ) и у ^^ х. Тогда О а = {0,у} либо О а = {0}.

\4т + 2) хеа

Вп

Лемма 2. Для произвольного множества А € I . ) стабилиз атор О а = {0}, если ^ х = 0 .

Лт хеа

Доказательство. Предположим, что существует элемент у = 0, такой, что у € О а- Тогда элементы множества А = {х\,х2,..., х4т} удовлетворяют следующей системе:

'хг + у = х2т+1, х2 + у = х2т+2,

^х2т + у — х4т-

2т 2т 4т 4т

Сложив уравнения системы, получим равенство хг + ^ у = ^ х1. Откуда следует хг = 0, что

г=1 г=1 г=2т+1 г=1

является противоречием и завершает доказательство леммы.

В общем случае если элемент у принадлежит стабилизатору О а подмножества А = {х\,х2, - - - ,хт}, то по определению

А + у = {хг + у,х2 + у,...,хт + у} = а. (3)

Пусть Бт — симметрическая группа степени т. Преобразованию (3), которое мы обозначим через ду, соответствуют элементы группы Бт. Таким образом,

хг х2 ... х^

ду ='

ду

ду = УгУ2 ...ук. (4)

Длину цикла Уг обозначим через \ьг\.

Лемма 3. Если ду ф е, то \Уг\ = 2, г = 1, к. Доказательство. Из (4) при уг = (хг1 ,хг2,... ,хгр) имеем

хг1 + у — хг2 ,

хг2 + у = хгз, (5)

ч хгр + у = хп .

Из (5) следует хг1 + у = (хгр + у) + у = хг2 = хгр, т.е. р = 2, что и требовалось доказать.

Для вычисления стабилизатора следует рассматривать мультимножество А + А = {хг + х^; хг,х^ € А, где г < ]}, которое играет ключевую роль в дальнейших рассмотрениях.

Итак, пусть А = {хг,х2,...,х2т}, тогда А + А = {aij(хг + х^)}, где аг:/ — кратность вхождения элемента (хг + х^) в А + А.

Лемма 4. Стабилизатор О а множест ва, А — это множество точек из А + А кратност и т и нулевая точка.

Доказательство. Пусть с^. = т, тогда имеют место соотношения х¿р + х^р = у, р = 1, т. Для разных р, ц пары (хгр ,х^р) и (хгч ,х^ч) не имеют общих элементов, так как в противном случае они совпадали бы. Таким образом, множество пар (хгр ,х^р) образует разби ение А и элемент у € О а в силу леммы 3.

Из леммы 4 следует простой алгоритм построения стабилизатора О а , который фактически сводится к построению мультимножества А + А. Сложность такого алгоритма есть 0(пт2 ^2 2т), где \А\ = 2т. Объем исходной информации — это длина записи множества А, т.е. О(тп).

Лемма 5. Если мощности подмножества А и стабилизатора О а удовлетворяют уел овиям \А\ = 2к, \Оа\ > 2к-2,т,о \Оа\ = 2к.

Доказательство. Пусть \Оа\ = 2к-г. Для произвольного хг € А построим множество Аг = {хг + у; у € О а }, выберем любой элемент х2 из А\Аг и определим множество А2 = {х2 + у; у € О а }. Предположим, что существует х € Аг П А2 .Тогда вектор х можно представить двояко: х = хг + уг и х = х2 + у2, где уг,у2 € О а, откуда получаем х2 = хг + уг + у2 € Аг, что противоречит выбору элемента х2- Таким образом,

Аг П А2 = (6)

Учитывая, что |А1| = \А2\ = \Са\ = имеем

Аг и А2 = А. (7)

Обозначим г = хг + х2. Так как х2 € Аг, то г € О а- № (6), (7) следует, что любой элемент х € А представляется в виде х = хг + уг либо х = х2 + у2, где уг,у2 € О а .Если х = хг + уг, то х + г = хг + уг + г = х2 + уг € А. Аналогичным образом доказывается, что х + г € А и в случае, если х = х2 + у2. Следовательно, г € О а - Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

(Вп4 2к

Ее утверждение можно трактовать следующим образом: если удалось определить 2к-2 + 1 элементов, принадлежащих О а , то уже без дополнительных действий, учитывая, что стабилизатор О а является подгуппой в группе Вп, а следовательно, порядок О а является степенью двойки, получаем \Оа \ = 2к.

Пример 2. Если т = 1, то А = {хг,х2}. Отсюда следует, что А + А = {хг + х2}. В силу леммы 4 стабилизатор О а = {хг + х2, 0}.

Пример 3. Если т = 2, то А = {хг,х2,хз,х4}. Следовательно,

А + А = {хг + х2, хг + хз, хг + х4, х2 + хз, х2 + х4, хз + х4}.

Рассмотрим разбиения множества А = {хг,х2} и {хз,х4}. Если хг + х2 = хз + х4, то выполняются следующие равенства: хг + хз = х2 + х4, хг + х4 = х2 + хз, откуда следует

Утверждение 1. Если хг + х2 + хз + х4 = 0, то О а = {0, хг + х2, хг + хз, хг + х4}. Если же хг + х2 + хз + х4 = 0, то О а = {0}.

Пример 4. Пусть А = {хг = (0011), х2 = (1010), хз = (1110), х4 = (0111)}. Тогда

А + А = {(хг + х2), (хг + хз), (хг + х4), (х2 + хз), (х2 + х4), (хз + х4)} = {2(1001), 2(1101), 2(0100)}

и О а = {(0000), (1001), (0100), (1101)}.

Пример 5. Пусть А = {хг = (100), х2 = (010), хз = (001), х4 = (110), хь = (101), х6 = (011)}. Тогда А + А = {2(110), 2(101), 2(010), 2(001), 2(100), 3(111), 2(011)}. Так как т = 3, то О а = {(000), (111)}.

Обратимся теперь к вычислению числа транзитивных множеств относительно группы Вп. Инструментом для такого вычисления служит лемма Бернсайда [1, 2].

Лемма 6. Число \Ьт\ классов эквивалентности, или транзитивных множеств, равно

\ьш\ = ^ Е ш\,

уевп

где д (у) это множество неподвижных точек преобразования у :

(В п \

т) ; А + у = А}.

Вп

Лемма 7. Число решений X £ ( ) уравнения

у + X = X

(8)

у=0

уп— 1

2т

Доказательство. В силу леммы 3 уравнение (8) эквивалентно следующей системе:

хг1 + хг2 — у, хг2 + хгз у,

„ хгр + хг1 = у,

(9)

где разбиение ■] = {(12), (34),... , (2т — 1, 2т)} выбрано только для определенности. Отметим далее, что уравнение

х + г = у (10)

при х,г £ Вп имеет ровно 2п_1 решений и не зависит от у, если у = 0. Действительно, выбрав х, мы получим г = х + у. Далее, если (х, г) и (и, V) — два решения уравнения (10), то эти решения либо не пересекаются, либо совпадают. Действительно, из соотношений х + г = уии + V = у получаем х + г + и + V = 0, и потому из соотношения х = и следует, что г = V. Аналогично если х = V, то г = и. Таким образом, все решения системы (9) могут быть получены путем выбора из 2п_1 тар т пар, являющихся решением уравнения (10).

Теорема 1. Справедливы равенства

\^2т\ — 2 п

2п

2т

+ (2п — 1)

п1

т

(11)

I 11 — Т^Г

— ( 2П 2~ V 2т + 1

(12)

Доказательство. Из леммы Бернсайда получаем

1 1 1 2п 1 = + ш\ = ~ ; + ~Еш\-

У=0

У=0

Далее, при к = 2т в силу леммы 7 имеем |g(y)| =

п1

т

при у = 0. Откуда непосредственно следует

справедливость формулы (11).

При к = 2т + 1 из следствия 1 получаем |д(у)| = 0 для всех у = 0, что и доказывает справедливость формулы (12).

с)

Вп п

туре стабилизатора С а множест ва А £ ( ^ ) и найти число транзитивных множеств Ьт ^ получающих-

т

Вп

Вп т с. ) т / Вп\

т = 2*(2д + 1), то |СA| ^ 2*, где А £ I т ) . ^ ДРУг°й стороны, как показано в примере 1, если взять

Вп п

произвольную подгруппу А £ I ^ I и любую совокупность смежных классов Нг1,..., Щк группы Вп по

А, то множество М = У Н. будет лежать в семействе

3=1

Вп 2* •к

и См | ^ 2*. При нечетном к = 2д + 1

мощность множества М равна 2*(2д + 1), а его стабилизатор См содержит 2* элементов. Это говорит о достижимости указанной выше границы для стабилизаторов рассматриваемых множеств. Пример смежного класса А = {у £ Вп : ||у|| = 1(тос1 2)} со стабилизатором С а = {у £ Вп : ||у|| = 0(тос1 2)}

иллюстрирует приведенные выше рассуждения, так как \Ол\ = 2п-1. Таким образом, граница \Ол\ ^ 2* при \А\ = 2*(2д + 1) является неплохой оценкой для мощности стабилизатора множества А. "Среднее" значений этой границы по всему интервалу мощностей [1, 2п], которое равно и/2, может служить "реалистичной" границей мощности стабилизатора при равномерном распределении на семействе множеств В п\

.Семейством Ьп всех транзитивных мн ожеств 2 (А), где А С Вп, порождается разбиение семейства

2В" = и ^ (А). (13)

т 2В":

Поскольку Ьп = У Ьт, то из теоремы 1 вытекает

т=1

Следствие 4. Для числа, \Ьп\ транзитивных множеств имеем следующую оценку:

г=0 и ' 4

2. Сдвиги и аддитивные каналы. Одним из приложений приведенных выше рассуждений являются так называемые аддитивные каналы.

Произвольное подмножество А = {у1,У2,...,Ут} С Вп будем называть аддитивным каналом [3, 4], если оно реализует следующую функцию:

х' = х + уг, г = 1, т. (14)

Таким образом, произвольное слово ж при передаче по аддитивному каналу А переходит в одно из слов X вида (14).

Определение 1 [5]. Для вектора V € Вп окрестноеть й-го порядка по С С Вп определим следующим образом:

Ск(V) = {и + у : и € Ск-1^),у € С}, С0^) = {V}.

Определение 2. Код V = {VI,..., им} исправляет ошибки аддитивного канала А = {у1,у2,..., Ут}, если выполняется условие

А1^) П = 0, где 1,] = г ф

Эквивалентное определение выглядит так: код V = {и1,...,им} исправляет ошибки аддитивного канала А = {у1 ,у2,..., ут}, если

+ ^ фуг + Уз, где г, ] = г,,в = 1,т, г ф (15)

Поскольку мощность окрестности й-го порядка не зависит от вектора V, то обозначим Ак = \Ак

Отметим, что для мощности кода V, исправляющего ошибки аддитивного канала А = {у1,... ,ут}, справедливы следующие границы [3, 4]:

2п 2п

342 < И < ^Т- (16)

В содержательном смысле условие (15) позволяет с помощью стандартной "таблицы декодирования" по любому слову на выходе канала восстановить исходное сообщение.

Если в качестве А выбрать шар радиуса Ь с центром в нуле, то мы получаем классический канал, в котором происходит не более чем Ь искажений вида 0 ^ 1, 1 ^ 0.

Основная задача при исследовании заданного аддитивного канала А состоит в построении кода V

А.

порождает свою собственную теорию кодирования и возможности разобраться во всем этом многообразии средств связи весьма ограниченны. В то же время совсем простые соображения показывают, что многие из аддитивных каналов являются одинаковыми (эквивалентными) в содержательном смысле этого понятия. Действительно, для любого у € Вп каналы А и А + у эквивалентны в том смысле, что любой код V, исправляющий ошибки аддитивного канала А, исправляет и ошибки аддитивного канала {А + у} и наоборот. Это соображение и легло в основу той классификации аддитивных каналов, которая была проведена выше.

В частности, всегда можно считать, что вектор (0,..., 0) принадлежит каналу А, так как в противном случае без потерпи общности можно перейти к эквивалентному каналу, содержащему нулевой вектор.

Другое определение эквивалентности аддитивных каналов уже непосредственно связано с кодом, корректирующим ошибки.

Пусть х(А, V) — предикат, заданный на декартовом произведении 2В" х 2В" следующим образом:

1,

Х(Л V) = < _ 0

Определение 3 [5]. Два аддитивных канала А и С назовем эквивалентными и обозначим А ~ С, если выполняется условие

Х(АV)= х(С, V) (17)

для всех V С Вп.

Содержательно условие (17) означает, что если код V исправляет ошибки канала А, то код V исправляет и ошибки канала С и наоборот. В частности, х + А ~ у + А для любой пары точек х,у £ Вп. М(А) А.

Пример 6. Пусть А = {(000), (100), (101)},С = {(010), (110), (111), (011)}. Нетрудно убедиться, что эти каналы эквивалентны, хотя |А| = 3, С = |4|. На самом деле в общем случае мощность канала не является определяющей для классификации, но в некоторых случаях однозначно задает класс эквивалентности канала.

Утверждение 2. Для любого канала А с мощностью |А| > 2п_1 имеет место равенство

М (А) = М (Вп).

Доказательство. Из (16) следует, что любой код V, для которого х(А, V) = 1 или х(А, V) = Х(ВпV) = 1, состоит из одного вектора. С другой стороны, для любого кода V, состоящего из одного вектора, справедливо равенство х(А, V) = х(Вп, V) = 1, т.е. х(А, V) = х(Вп, V) = 1, что и требовалось доказать.

Заметим, что следующий пример исключает справедливость обратного утверждения. Пример 7. Пусть А = {(0000), (1000), (0100), (0010), (0001), (1111)}. Тогда М(А) = М(Вп) в случае А < 23.

Вернемся к примеру 6. Имеем Z(А) = Z(С), ^(А^ = 8, ^(С^ = 4, М(А) = М(С) = Z(А) и Z(С). Очевидно, что этот пример не является исключением, поэтому воспользуемся равенством

Z(А) = {х + А, х £ Вп},

где Z(А) — транзитивное множество канала А по группе преобразования Вп. Следовательно, Z(А) £ М(А).

Теорема 2. Для любого канала, А С Вп существуют ка,налы А1,... ,Ак из Вп, такие, что М(А) = ик=1 Z (Аг).

Теорема 2 показывает связь между классами эквивалентности для каналов связи и транзитивными множествами подмножеств Вп, которые образуются при действии на них группы Вп.

М(А)

жении, порождаются разной совокупностью "базисных" каналов А1, А2,..., Ак.

Изучение каналов связи мы свели к изучению транзитивных множеств, а изучение транзитивных множеств — к изучению классов эквивалентности, которые в дальнейшем можно описать, введя отношение частичного порядка

М(А) < М(С); х(С, V) = 1 — х(А, V) = 1 доя всех V С Вп.

Следовательно, мы приходим к необходимости введения инварианта класса эквивалентности, характеризующего данный порядок. Роль инварианта любого М(А) играет множество А2(0), содержащее нулевой элемент и отличающееся от множества А + А, определенного в первой части работы.

АС

А ~ С ^ А2 (0) = С2(0).

Доказательство. Пусть А2(0) = С2(0) и код V = {V1,... ^^} исправляет ошибки канала А. Тогда из (15) имеем соотношение у3-\-уг ф. С2(0), где в, г = 1, Ж, которое равносильно тому, что код V исправляет ошибки канала С. Если А2(0) = С2(0), то, не нарушая общности, можно предположить, что существует

элемент у € А2(0), такой, что у € С2(0). Рассмотрим код V = {0,у}. Покажем, что V исправляет ошибки С, А.

АС

преобразование не меняет множеств А2 (0) и С2(0). Итак, код V = {0, у} исправляет ошибки канала С, так как

у + г = 0 + , Угг, € С.

Но у € А2(0), т.е. у = уг + у^. Откуда у + уг = 0 + у^, т.е. код V те исправляет ошибки А. Теорема доказана.

Вп

лентности, имеет отрицательный ответ. Например, все множества мощности 3 или 5 таковыми не являются.

Утверждение 3. Класс эквивалентности содержит не более одной группы.

Доказательство. Пусть каналы С1 и С2 являются группами из М(А). Из очевидных равенств М(С1) = С2(0) = С1, М(С2) = С|(0) = С2 следует, что С1 = С2, что и требовалось доказать.

А

С, М(С)

Другими словами, групповой канал является "предпочтительным порождающим" в своем классе эквивалентности .

В конце работы отметим, что предыдущие определения являются симметричными относительно пары (А, V), и потому "порождение" и "исправление" ошибок имеют одинаковую природу. Следовательно, все утверждения относительно каналов связи А верны и для кодов V тары (А, V).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лет С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

2. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1977.

3. Леонтьев В.К., Мовсисян Г.Л. Совершенные коды в аддитивных каналах // Докл. РАН. 2006. 411, № 3. 306-309.

4. Леонтьев В.К., Мовсисян Г.Л., Маргарян Ж.Г. О совершенных кодах в аддитивном канале // Проблемы передачи информации. 2008. 44, № 4. 12-19.

5. Леонтьев В.К., Мовсисян Г.Л., Маргарян Ж.Г. Коррекция ошибок в аддитивном канале // Вестн. РАУ. Физико-математические и естественные науки. 2010. № 2. 12-25.

Поступила в редакцию 17.04.2013

УДК 517.54

О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ПРОИЗВОДНЫХ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Е. П. Долженко1, C.B. Колесников2

Рассматриваются конформные отображения на круг или полуплоскость односвязных областей G, в состав границ которых входят какие-либо гладкие и достижимые изнутри G дуг и Г. Указываются достаточное условие ограниченности производной конформного отображения вблизи таких дуг и достаточное условие наличия углового предела производных от таких отображений в какой-либо заданной точке достижимой дуги. В качестве следствия приводится достаточное условие наличия ограниченной производной рассмат-

GG

границей.

Ключевые слова: конформные отображения, угловой предел, условие Липшица.

G

in the case when boundaries consist of smooth boundary arcs Г reachable fem inside of G.

1 Долженко Евгений Прокофъевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eugenQngcom.ru.

2 Колесников Сергей Викторович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики ИГЭУ, e-mail: servikkol0rambler.ru.