CC BY
7УДК 515.122.4+515.122.536
О ПОЛУРЕШЕТКАХ БИКОМПАКТНЫХ С-РАСШИРЕНИЙ
А. М. Соколовская
Для тихоновского пространства X определена полная верхняя полурешетка его бикомпактификаций К(X) (см., например, [1, § 3.5]), которая, как показано, например, в [2-4], содержит информацию и о топологических свойствах самого пространства. Для С-тихоновского пространства X множество всех его бикомпактных С-расширений Кс(Х) является подрешеткой полурешетки К(X) [5, предложение 1]. Изучать структуру полурешеток бикомпактных С-расширений начали Ю. М. Смирнов и его ученики в [6-8]. В частности, в [6] показано, что полурешетка бикомпактных С-расширений в случае, когда действующая группа бикомпактна, является решеткой, если и только если фазовое пространство локально бикомпактно. Там же высказано предположение о возможности существования минимальных (не наименьшего) бикомпактных С-расширений (см. также [5, вопрос 2]).
В настоящей работе, во-первых, показано, что любую полурешетку бикомпактных С-расширений можно реализовать как полурешетку бикомпактных С-расширений псевдокомпактного фазового пространства с дискретной действующей группой; во-вторых, приводятся примеры (полу)решеток бикомпактных С-расширений, которые не могут быть (полу)решетками бикомпактных расширений никакого тихоновского пространства; в-третьих, приведен (по-видимому, первый) пример псевдокомпактного С-пространства с дискретной действующей группой, полурешетка бикомпактных С-расширений которого имеет счетное число минимальных элементов. Тем самым дается частичный ответ на вопрос 2 из [5] и показывается, что структура полурешеток бикомпактификаций существенно беднее, чем ее аналог в случае С-пространств. Отметим, что случай, когда действующая группа дискретна, представляет особый интерес, при этом любое С-пространство является С-тихоновским [9].
Все рассматриваемые пространства предполагаются тихоновскими, отображения пространств — непрерывными. Основные понятия, касающиеся С-пространств, содержатся в [9, 10].
Необходимую информацию о решетках можно найти в [11]. Так как в дальнейшем будут рассматриваться только полные верхние полурешетки, то будем их называть просто полурешетками.
Разбиение С-пространства У на непересекающиеся подмножества Уа, а € А, назовем эквиразбиением, если для любых а € А, д € С существует индекс в € А, такой, что дУа = Уу. Если X — инвариантное подпространство С-пространства У, то эквиразбиение У на подмножества X и одноточечные подмножества У \ X назовем эквиразбиением У в подпространстве X. Пусть У — С-пространство, X — его инвариантное подмножество. Эквиразбиением пары (X,У) назовем полунепрерывное сверху (см., например, [1, § 2.4]) эквиразбиение У в подпространстве X на бикомпактные подмножества. Множество всех эквиразбиений пары (X,У) будем обозначать Кс^,У).
На множестве Ко (X,У) = {Яа : а € А} определен естественный частичный порядок: Яа > Яу, если каждый элемент эквиразбиения Яа содержится в некотором элементе эквиразбиения Яу.
Замечание 1. Аналогичный порядок можно ввести на множестве эквиразбиений С-пространства У и эквиразбиений С-пространства У в инвариантном подпространстве X. Легко проверить, что эти частично упорядоченные множества становятся полными решетками и решетка эквиразбиений С-пространства У в инвариантном подпространстве X изоморфна решетке эквиразбиений С-пространства X.
Предложение 1. Пусть У — С-пространство, X — его инвариантное подмножество. Тогда частично упорядоченное множество KG(X,У) является полной верхней полурешеткой.
Доказательство. Пусть {Яу : в € В} — произвольное подсемейство KG(X,У). Для произвольного в € В имеем У = и{У-у : 7 € Ву}, где У^ — бикомпакт при любом 7 € Ву, а Ву индексирует элементы Яу; У~в П У в = 0 при 7 = 7'; У^ П У \ X или пусто, или одноточечно; для любых д € С, 7 € В в существует индекс 7', такой, что дУ^ = У в.
Рассмотрим множество Г С П{Вв : в € В}, состоящее из таких элементов 7 € Г, что У^ := П{У^р : в € В} = 0. Тогда для любых различных € Г имеем У^ П Уу = 0 (так как существует индекс
в € В, такой, что Уу П Уу = 0); У = и{У^ : 7 € Г} (так как для любых у € У, в € В существует
индекс 7 € В у, такой, что у € Уу ). Значит, множество Яг = {У^ : 7 € Г} — разбиение У, все элементы которого бикомпактны, и множество У,Г П У \ X или пусто, или одноточечно. Более того, Яг является
эквиразбиением Y в подпространстве X, так как для любых g Е G, Y Е Г выполнено соотношение g(Y^) = g(n{Yßß : ß Е B}) = n{g(Yjßß) : ß Е B} = П^ : ß Е B} = Yf.
Для проверки полунепрерывности сверху разбиения Rr вначале рассмотрим случай конечного множества B = {ßi,..., ßn}, n Е N. Достаточно показать, что для любого замкнутого множества F С Y дополнение до его насыщения F' = U{Y7r : Y^ПF = 0,y Е Г} открыто. Пусть у Е Y\F' и у Е : k = 1,..., n}. Тогда n{F П Yßk : k = 1,... , n} = 0. В силу бикомпактности множеств F П Yß,k = 1,... , n, и полной регулярности Y существуют открытые множества Ok D F П Yßk,k = 1,...,n, такие, что П{0k : k =
1,...,n} = 0. Насыщения Fjk = U{Y-ßj : Y-П (F \ Ok) = 0,Y Е Bj} множеств F \ Ok, k = 1,...,n, замкнуты и, как легко заметить, при j = k не содержат точку у. Очевидно, что F' содержится в замкнутом множестве U{Fkk : k = 1,... ,n}, дополнению до которого принадлежит у.
В случае произвольного множества B пусть F' = U{Y^ : Y^ П F = 0,y Е Г} — насыщение произвольного замкнутого множества F С Y, у Е Y \ F' и у Е П{у~ф : ß Е B}. Зафиксируем произвольный индекс
а/ а/ а/ а/
ß' Е B. Если у Е Yßß и FПYßß = 0, то насыщение U{YYß : Yß ПF = 0,Y Е Bß/} множества F замкнуто, не содержит у и принадлежит F'. Иначе для любой точки x Е F П Yß существует индекс ßx Е B, такой, что x Е Y \ YßX, где у Е YßX. В силу бикомпактности множества F П Yß существует конечное подмножество
ß1 ,...,ßn, n Е N, такое, что у Е П^к : k = 1,...,n} и П^к : k = 1,...,n}ПF П Yß = 0. Все свелось к
случаю конечного множества B' = {ß',ßi,... ,ßn}, n Е N, который уже был рассмотрен. Полнота полурешетки Kg(X,Y) очевидна. □
Замечание 2. Можно показать, что полурешетка Kg(X,Y) изоморфна полурешетке совершенных отображений на Y, удовлетворяющих условию f-1f (у) = у при у Е Y \ X (о решетках отображений см., например, [4]).
Замечание 3. Несложно показать, что если X С Y С Z, где подмножества X и Y инвариантны, то полурешетка Kg(X,Z) — подрешетка Kg(X,Y). В частности, Kg(X,Y) — подрешетка Kg(X,X).
Лемма 1. Пусть Y — G-пространство, X — его инвариантное подмножество. Тогда полурешетка Kg(X, Y) изоморфна Kg(X, [X]).
Доказательство. Каждому элементу R Е Kg(X, [X]) поставим в соответствие разбиение Y, совпадающее с R на X, и одноточечные множества Y \ X. Оно будет эквиразбиением Y в подпространстве X и состоять из бикомпактных подмножеств. Если F — произвольное замкнутое подмножество Y, то его насыщение есть объединение замкнутого множества F и насыщения множества F П [X] относительно разбиения R, которое замкнуто в [X ], а значит, ив Y. Тем самым оно полунепрерывно сверху. Очевидно, что данное соответствие сохраняет порядок. Остается принять во внимание замечание 3. □
Лемма 2. Пусть R Е Kg(X,Y). Тогда факторпространство Y/R является G-пространством, а факторотображение q : Y ^ Y/R — совершенным эквивариантным отображением. Кроме того, инвариантные подмножества Y \ X и q(Y \ X) гомеоморфны.
Доказательство. Поскольку R Е Kg(X,Y), отображение q является совершенным [1, § 2.4]. Пусть Gd — группа G в дискретной топологии. Если рассмотреть действие на Y группы Gd (оно непрерывно), то в силу условия коммутативности диаграммы
Gd х Y —► Y
1 I
Gd х Y/R —► Y/R
и совершенности отображения q корректно определено непрерывное действие Gd на Y/R. Очевидно, что q — эквивариантное отображение.
Для окончания доказательства достаточно применить лемму 6 из [2] и заметить, что q-1q(y) = у для любого у Е Y \ X. □
Замечание 4. Если пространство Y хаусдорфово и R Е Kg(X,Y), то и факторпространство Y/R хаусдорфово.
Замечание 5. Легко видеть, что если Ra, Rß Е Kg(X,Y) и Ra > Rß, то определено совершенное эквивариантное отображение qaß факторпространства Y/Ra на Y/Rß, такое, что qß = qaßоqa. Тем самым множества qa(Y \ X) и qß(Y \ X) гомеоморфны.
Лемма 3. Пусть X — G-тихоновское пространство. Тогда полурешетки ReißeX \ X,ßeX) и Kg(X) изоморфны.
Доказательство. Пусть beX G KeX. Тогда ввиду максимальности ßeX существует совершенное эквивариантное отображение ф : ßeX — beX, такое, что ф(X) = X. Разбиение ßeX \ X на прообразы при отображении ф точек из beX, очевидно, есть элемент Ke(ßeX \ X,ßeX). Приведенное отображение из Ke(X) в Ke(ßeX \ X,ßeX) обозначим через Ф. Легко видеть, что оно сохраняет отношение порядка.
Если R G KeißeX \ X,ßeX), то по лемме 2 и замечанию 4 пространство ßeX/R является бикомпактным G-расширением X. Обозначим данное отображение из KeißeX \ X,ßeX) в Ke(X) через Ф. По замечанию 5 оно сохраняет отношение порядка.
Легко видеть, что ФоФ(Я) = R и ФоФ^^) = beX для любых R G Ke(ßeX\X, ßeX) и be G Ke(X) соответственно. □
Из лемм 1 и 3 получаем следующее
Предложение 2. Семейство полурешеток бикомпактных G-расширений G-тихоновских пространств и семейство полурешеток эквиразбиений пар (X, Y), где Y — бикомпактное G-пространство, а X — его инвариантное подмножество, совпадают.
В [12, упражнение 9K] предложена конструкция построения по тихоновскому пространству X такого пространства Y, что нарост ßY \ Y гомеоморфен X.
Пусть K — бикомпактное G-пространство с действием а и X — его инвариантное подмножество. Положим
Y = (и + 1)х K \ {wi} х X (1)
и действие а' группы G на Y определим следующим образом: а'(т,х) = (т, ах). Легко видеть, что оно непрерывно продолжается на (и + 1) х K. Так как для любого бикомпакта K выполнено равенство ß(u1 х K) = (u1 + 1) х K (см., например, [1, задача 3.12.19]) и и1 х K С Y С (u1 + 1) х K, то ßeY = ßY = (u>1 + 1) х K. Используя, например, задачу 3.12.20 работы [1], легко показать, что пространство Y является псевдокомпактным. Кроме того, если Gd — группа G в дискретной топологии, то она непрерывно действует на Y и ßed Y = ßY. Тем самым верно следующее
Предложение 3. Для любого G-тихоновского пространства X существует псевдокомпактное Gd-тихоновское пространство Y, нарост максимального G-расширения ßed Y \ Y которого гомеомор-фен X.
В [3] с использованием приведенной выше конструкции для любого тихоновского пространства строится псевдокомпактное пространство, полурешетки бикомпактификаций которого изоморфны, т.е. показано, что семейство полурешеток бикомпактификаций тихоновских пространств может быть реализовано как семейство полурешеток бикомпактификаций псевдокомпактных пространств.
Предложение 4. Пусть K — бикомпакт, на котором задано непрерывное действие топологической группы G, и X — его инвариантное подпространство. Тогда полурешетки Ke(X,K) и Ke (Y), где пространство Y определено по формуле (1), изоморфны. Более того, если топология т' на группе G сильнее исходной (например, т' — дискретная топология) и G' — группа G с топологией т', то Ke(X, K) = Ke' (Y).
Доказательство. По леммам 1 и 3
Ke (Y ) = Ke(ßeY \ Y,ßeY)= ^({и^х X, (u + 1) х [X]) = Ke (X, [X]) = Ke(X,K).
Второе утверждение предложения следует из соотношения Ke(Y) = Ke' (Y), для доказательства которого надо использовать теорему 2 работы [5]. □
Из предложений 2 и 4 имеем следующий результат.
Теорема 1. Семейство полурешеток бикомпактных G-расширений G-тихоновских пространств и семейство полурешеток бикомпактных G-расширений псевдокомпактных G-пространств с дискретной действующей группой совпадают.
Пусть X — G-тихоновское пространство, beX — его бикомпактное G-расширение. Тогда полурешетка Ke(beX \ X, beX) является подрешеткой полурешетки Ke(X).
Следствие 1. Для любого G-тихоновского пространства X и любого его бикомпактного G-расширения beX существует псевдокомпактное G-тихоновское пространство Y с дискретной действующей группой Gd, такое, что Ke(beX \ X, beX) = Ked(Y).
Лемма 4. Пусть X — G-пространство, на котором действие транзитивно. Тогда любое эквиразбиение R пространства X состоит из элементов вида gK, g G G, где K С. X и K GR.
Доказательство. Пусть K — произвольный элемент эквиразбиения R. Тогда множества вида gK, g G G, также являются элементами эквиразбиения R, причем их объединение есть все пространство X, поскольку действие транзитивно. □
Следствие 2. Пусть О — топологическая группа, действующая на себе левыми сдвигами. Тогда всякое ее эквиразбиение является разбиением на левые смежные классы по некоторой подгруппе.
Доказательство. По лемме 4 достаточно показать, что элемент эквиразбиения Н, содержащий единицу е группы О, есть подгруппа О. Если х,у £ Н, то из того, что е,х £ Н, следует, что у и ух (х-1 и е) содержатся в одном элементе эквиразбиения К. Но е и у принадлежат Н. Поэтому ух и х-1 содержатся в Н. □
Замечание 6. Пусть О — топологическая группа, действующая на себе левыми сдвигами. Тогда ее полурешетка эквиразбиений изоморфна полурешетке ее подгрупп с порядком Н > Н', если Н С Н' (порядок, обратный естественному порядку включения).
Лемма 5. Пусть X — инвариантное подмножество О-пространства У, на котором ограничение действия транзитивно, и У \ X = {у}, причем стабилизатор у совпадает с действующей группой. Тогда любое эквиразбиение У или состоит из одного элемента, или совпадает с эквиразбиением У в подпространстве X.
Доказательство. Если элемент эквиразбиения Я, содержащий у, не содержит других точек, то имеем эквиразбиение У в подпространстве X. Иначе, если х = у £ Я, то дх £ Я для любого д £ О. Так как ограничение действия на X транзитивно, то Я = У. □
Пусть О — локально бикомпактная группа, действующая на себе левыми сдвигами. Согласно [13], действие продолжается на ее одноточечную бикомпактификацию аО и стабилизатор аО \ О совпадает с действующей группой.
Следствие 3. Эквиразбиение аО или состоит из одного элемента, или совпадает с эквиразбиением аО в подпространстве О.
Замечание 7. Пусть X — инвариантное подмножество О-пространства У, на котором ограничение действия транзитивно, и У \ X = {у}, причем стабилизатор у совпадает с действующей группой. Тогда решетка эквиразбиений У изоморфна решетке эквиразбиений У в подпространстве X с добавленным наименьшим элементом.
Рассмотрим следующие полурешетки (в пп. 1 и 3 даже решетки):
1) линейно упорядоченное множество из п элементов, п £ М;
2) полурешетка натуральных чисел с порядком, обратным естественному;
3) полурешетка из п. 2 с добавленным наименьшим элементом;
4) полурешетка, состоящая из счетного числа несравнимых между собой (минимальных) элементов и наибольшего элемента.
Предложение 5. Для каждой полурешетки Ь из пп. 1-4 существуют О-пространство У и его инвариантное подмножество X, такие, что Ко) = Ь.
Доказательство. Чтобы получить решетку из п. 1, рассмотрим группу О = Ъ2 п, действующую на У = X = О левыми сдвигами, и сошлемся на следствие 2 и замечание 6.
Чтобы получить полурешетку из п. 2, возьмем квазициклическую группу О = (см., например, [14]) в дискретной топологии, действующую на X = О левыми сдвигами, и положим У = аX. Поскольку все собственные подгруппы О конечны и их полурешетка изоморфна натуральному ряду, то в соответствии с замечаниями 1 и 6 остается проверить, что каждое эквиразбиение У в X, отличное от одноэлементного, полунепрерывно сверху. Но как У, так и его факторпространство гомеоморфны сходящейся последовательности, и, значит, факторпространство хаусдорфово. Согласно [3, лемма 1.0], эквиразбиение У в X полунепрерывно сверху.
В п. 3 достаточно взять О и У такими же, как в п. 2, а X = У. Тогда по замечанию 7 решетка эквиразбиений У изоморфна решетке эквиразбиений У в подпространстве X с добавленным наименьшим элементом. Остается заметить, что в п. 2 показано, что каждое эквиразбиение У в X, отличное от одноэлементного (т.е. наименьшего в решетке эквиразбиений X), полунепрерывно сверху.
Построим полурешетку из п. 4, взяв в качестве X группу целых чисел Ъ, О — ее подгруппа четных целых чисел и У = аX.
Если элемент эквиразбиения пары (X, У) содержит числа одинаковой четности, то, рассуждая как в доказательстве следствия 2, получаем, что мощность этого элемента эквиразбиения не конечна. Так как он бикомпактен, то ему должна принадлежать и точка У \X. Этого быть не может, поэтому никакой элемент эквиразбиения пары (X, У) не может содержать чисел одной четности, т.е. он не более чем двухточечный. Значит, полурешетка Ко ) не более чем счетна.
С другой стороны, легко проверить, что при каждом фиксированном к £ Ъ разбиение пространства У на множества {1 + п, 2к + п}, п £ О, и точку У \ X является эквиразбиением пары (X, У). □
Из теоремы 1 и предложений 2, 5 получаем следующую теорему.
Теорема 2. Для каждой полурешетки из пп. 1-4 существует обладающее такой же полурешеткой бикомпактных G-расширений псевдокомпактное G-пространство, на котором действует дискретная группа.
Следствие 4. Существует псевдокомпактное G-пространство с действием дискретной группы, полурешетка бикомпактных G-расширений которого имеет счетное число минимальных элементов.
Замечание 8. Полурешетки из пп. 2 и 4 и решетки из п. 1 при n > 2 и п. 3 не могут быть (по-лу)решетками бикомпактификаций тихоновских пространств.
Автор выражает благодарность участникам семинара по топологической алгебре под руководством О. В. Сипачевой, Е.А. Резниченко и К. Л. Козлова за плодотворные обсуждения и полезные вопросы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
2. Magill K.D. The lattice of compactifications of a locally compact space // Proc. London Math. Soc. 1968. 18, N 3. 231-244.
3. Rayburn M.C. On Hausdorff compactifications // Pacif. J. Math. 1973. 44, N 2. 707-714.
4. Bludova I.V., Nordo G., Pasynkov B.A. On the homeomorphism of spaces and Magill-type theorems // Q&A in General Topology. 2001. 19, N 1. 95-105.
5. Козлов К.Л., Чатырко В.А. О бикомпактных G-расширениях // Матем. заметки. 2005. 78, вып. 5. 695-709.
6. Smirnov J.M., Stojanov L.N. On minimal equivariant compact extensions // C. r. Acad. bulgare sci. 1983. 36, N 6. 733-736.
7. Смирнов Ю.М. Могут ли простые геометрические объекты быть максимальными компактными расширениями для R" // Успехи матем. наук. 1994. 49, вып. 6. 213-214.
8. Смирнов Ю.М. Минимальные топологии на действующих группах // Успехи матем. наук. 1995. 50, вып. 6. 217-218.
9. Vries J. de. On the existense of G-compactifications // Bull. Acad. pol. sci. ser. math. 1978. 26, N 3. 275-280.
10. Vries J. de. Topological transformation groups I // Math. Centre Tracts. N 65. Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1975.
11. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1983.
12. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. Princeton; N.Y.: D. Van Nostrand Co., Inc., 1960.
13. Palais R. The classification of G-spaces // Mem. AMS. 1960. 36, N 2. 1-72.
14. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.
Поступила в редакцию 13.10.2006
УДК 521.542
О НИЛЬПОТЕНТНОЙ п-ДЛИНЕ КОНЕЧНЫХ ^-РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ПОДГРУППЫ
О. А. Шпырко
Рассматриваются только конечные группы. Хорошо известно, что в разрешимой неединичной группе О подгруппа Фиттинга Е(О) является неединичной. Поэтому цепочка подгрупп
Е = Ео(О) < Е (О) < ... < Ег(О) = О,
где Е^(О)/Е^-1 (О) = Е (О/Е-1 (О)) — подгруппа Фиттинга группы О/Е-1 (О), г = 1, 2,..., достигает группы О. Наименьшее натуральное число Ь, при котором Е^О) = О, называется нильпотентной длиной группы О и обозначается через п(О). Для единичной группы Е полагают п(Е) = 0.
Пусть п — некоторое множество простых чисел. Через п' обозначают множество всех простых чисел, не содержащихся в п, а через п(О) — множество простых чисел, делящих порядок группы О. Если О — группа и п(О) С п, то О называют п-группой; если п(О) С п', то — п'-группой.
Группа О называется п-разрешимой [1], если она обладает субнормальным рядом
