Классическим подход к локально-неравновесной термодинамике Текст научной статьи по специальности «Математика»

7 - окружность |Я| = Я достаточно большого радиуса,

проходимая в положительном направлении. Покажем, что имеет место формула

Г(*.У) = :

ЛИ

о 1

-I о

+ гУ,(г)

(3)

где г, = ¡5 - я, , |, г = , JÍ|,J2 - функции Бесселя:

Будем для определенности считать, что точка х принадлежит верхнему открытому углу, тогда

Представляя в (2) е6 степенным рядом и далее 8" по формуле бинома Ньютона, получим

1 -А ¡\гГк

2 '&к\{п-к)\

х -]с!Хс1ц =

= 1 у -1у.-1- Га-*-'£/а

2 По 2" По 2лч' г

х-—-Г

2лг/ {

(м П -1 я

м-

с/м =

2^2" ~ *!(„-*)!

-'-Г

X--

2лч'

1 л-21-] 1 ;.-2<

Отсюда, используя очевидное равенство

2тс/, О,

N = -1

(АГеО)

нетрудно получить требуемую формулу (3). Такая же формула верна в случае, когда х принадлежит нижнему открытому углу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода // ДАН СССР. - 1982. - Т. 367, № 3. - С. 577580.

2. Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода // Матем. сб. - 1985. - Т. 127. № 4. - С. 494501.

3. Романовский Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Матем. сб. - 1987. - Т. 133.№ 3. - С. 341-355.

4. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. - Киев: ИМ АН УССР. - 1987. - С. 47-52.

5. Романовский Р. К. Усреднение гиперболических уравнений // ДАН СССР. - 1989. - Т. 306. № 2. - С. 286-289.

6. Романовский Р. К. Метод Римана для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. -Омск: ОмГТУ, 1995.

7. Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Сиб. матем. журнал. - 1998. - Т. 39. № 6. - С. 1290-1292.

8. Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости // Сиб. матем. журнал (в печати).

9. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солито-ны и нелинейные волновые уравнения. - М.: Мир, 1988.

10. Поддубный Г. В., Романовский Р. К. Математический анализ для радиоинженеров. - М.: Воениздат, 1976.

Романовский Р.К. - д.ф.-м.н., профессор каф. высшей математики.

Воробьева Е.В. - ассистент каф. васшей математики.

С А ™ КЛАССИЧЕСКИМ ПОДХОД

К ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОЙ

УДК 536.7

ТЕРМОДИНАМИКЕ_

В СТАТЬЕ СОПОСТАВЛЯЮТСЯ КЛАССИЧЕСКИЙ И СОВРЕМЕННЫЙ ПОДХОДЫ К ПОНЯТИЮ ТЕПЛОТЫ. МЕТОД КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ Ю1А-УЗИУСА-КЕЛЬВИНА РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ НА ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ. ЗАТРАГИВАЕТСЯ ПРОБЛЕМА БЕСКОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛОТЫ

Введение

В настоящее время в нашей стране и за рубежом ведутся интенсивные исследования по разработке термодинамики локально-неравновесных процессов [1, 2]. При этом классическая теория Клаузиуса-Кельвина считается термостатикой, хотя основные постулаты данной теории — второе начало1 и принцип эквивалентности между теплотой и работой — справедливы для любых

состояний термодинамической системы. В частности, уравнение Клаузиуса

8(1л(э,у)=^и(е,у)+р(е,у)1у (1)

полагается строго обоснованным лишь для квазистатических процессов. Здесь в, Л, и, р, V = 1 /р , р. температура, удельная (на единицу массы) энтропия и внутренняя энергия, давление, удельный объём и плотность соответственно.

1 Следует отметить, что в классической термодинамике равновесных процессов под вторым началом понимаются постулаты Клаузиуса и Кельвина [3]. В ней существование и свойства энтропии устанавливаются, а не постулируются. В современных Щ^Щ теориях второе начало ассоциируется с принципом существования и возрастания энтропии.

Чтобы применить уравнение (1) для описания неравновесных процессов, в классической термодинамике необратимых процессов постулируется принцип локального термодинамического равновесия [4, 5]. Согласно данному принципу в каждом элементарном объеме среды имеет место состояние локального равновесия, благодаря чему удельная энтропия описывается такой же функциональной зависимостью, как для равновесной системы, несмотря на то что в целом термодинамическая система не находится в состоянии глобального равновесия и в ней присутствуют, например, градиенты температуры и давления. Иными словами, неравновесные состояния системы определяются локальными термодинамическими потенциалами, которые зависят от пространственных координат и времени через классические параметры состояния и подчиняются уравнениям термостатики. В отношении данного положения отмечается, что оно "определенно не имеет места для состояний, далеких от равновесия" [5].

Одним из проявлений ограниченности классической термодинамики необратимых процессов считается параболический тип получаемого уравнения теплопроводности [1]

Э8/Э1 = а726 (2)

в котором а - коэффициент температуропроводности. Круг задач, решаемых на основании уравнения (2), исключительно обширен и непрерывно пополняется большим количеством новых результатов, которые имеют важное практическое значение [6]. Однако уравнение (2) из-за своей параболичности описывает распространение тепловых возмущений с бесконечной скоростью, что недопустимо с физической точки зрения. Поиску гиперболического уравнения теплопроводности посвящено значительное количество публикаций [1, 7-10].

Подход классической термодинамики необратимых процессов нашел дальнейшее развитие в расширенной необратимой термодинамике [10]. Вдали от локального равновесия в число аргументов, от которых зависит удельная энтропия, помимо классических переменных вводятся новые переменные, а именно: вектор теплового потока и тензор вязких напряжений. В результате для дополнительных переменных получаются релаксационные уравнения, посредством которых устраняется тепловой парадокс2. Тем не менее, достичь количественного согласия теории и опыта не удается. Поэтому в последней версии расширенной необратимой термодинамики вводятся понятия производства вектора теплового потока, потока теплового потока и постулируется уравнение сохранения вектора теплового потока, аналогичное уравнениям сохранения массы, импульса и энергии (см., например, обзор [1]). Однако и на этом пути возникают серьезные затруднения.

С другой стороны, в современных локально-неравновесных теориях не полном объеме используется потенциал физических положений, лежащих в основе термодинамики Клаузиуса-Кельвина. Распространение классического метода на локально-неравновесные процессы имеет смысл осуществлять не путем постулирования новых, зачастую радикальных обобщений, а за счет отказа от упрощающих допущений, ограничивающих общность классической теории. Именно такая цель ставится в настоящей статье.

1. Руководящая идея классической термодинамики

Чтобы распространить классическую термодинамику на локально-неравновесные состояния, достаточно обратить внимание на качественное отличие классической и современной теорий в подходе к понятиям теплоты и работы.

В современной термодинамике [4, 10, 11] и в теории теплопроводности [12] скорость подвода теплоты от внешних источников <5° и мощность внешних сил А' определяются в самом общем виде

(Зс=-Ц ткИ+^раУ, (3)

I V

А' = /у-Т-пс1£ + / рЬ- ус1У , (4)

I V

где V - скорость, вектор теплового потока, Т- тензор напряжений, р - плотность внешних массовых источников теплоты (например, за счет излучения), Ь - плотность внешних массовых сил (например, сил тяжести), п - орт внешней нормали в точке границы I индивидуального объема среды V. В расчете на единицу массы формулы (3), (4) приводят к следующим значениям скорости подвода внешней с)" и мощности внешних сил а' : ¿1' = -уУ (5)

=УУ -(у-Т)+Ь V , (6)

В классической термодинамике Клаузиуса-Кельвина понятие теплоты конкретизируется через калориметрическую формулу

с1Чс = сДе^е-)-16(е,у)с1у, (7)

где с1. - удельная изохорная теплоемкость, 10 - скрытая теплота изотермического расширения. Формула (7) справедлива только для квазистатических процессов в текучих средах (т.е. в газах и жидкостях). Однако по своему физическому значению она является всеобщей, так как содержит ключ к построению термодинамики локально-неравновесных процессов. Руководящую идею, заключенную в калориметрической формуле (7), можно сформулировать в виде парадигмы: если термодинамическую систему подвергнуть внешнему воздействию, то у нее должен измениться хотя бы один из параметров состояния. Математическая запись данного утверждения имеет вид

4е = П, . а1-' = Г, , (8)

где гч - удельная реакция точки среды на внешнее тепловое воздействие (5), г, - удельная реакция точки среды на внешнее механическое воздействие (6). Величины и г, должны представлять собой дифференциальные

формы относительно параметров состояния точки среды.

Руководящая идея классической термодинамики, объединенная с современными воззрениями на теплоту, обладает большой эвристической ценностью. Например, если неравновесное состояние точек недеформируемой среды задать посредством температуры 9 и скорости

ее изменения 8 , то тогда

гч = (ссю+с<ае)/а1,

где с, а - скаляры. Отсюда применительно к неподвижной среде, для которой справедлив классический закон

Фурье ^ = -ХУе с постоянным коэффициентом теплопроводности X, сразу получается гиперболическое уравнение теплопроводности

аэ2е/эг+сзе/Э1 = (*./р)?2е+р.

Подобный вид имеют уравнения электродинамики и теории упругости.

2 Релаксационные уравнения расширенной необратимой термодинамики содержат в себе, как частный случай, уравнение Каттанео [10].

2. Реакция среды на внешнее механическое воздействие

Исходя из уравнений переноса массы и импульса

p + pV v = 0, р v = V ■ "Г + pb и известного выражения для тензора скоростей деформации [11]

D = (F_')t É F"'

применительно к неполярной среде (Т = Тт ) легко выводится равенство

ae = v-v+TE:è = r, (9)

которое определяет значение удельной реакции точки среды на внешнее механическое воздействие г„. Здесь

F = 3x(t, х)/3х - градиент деформации, x(t,x)-закон движения (х - место, занимаемое точкой в актуальной конфигурации V, X - место той же точки в отсчётной конфигурации среды V0),

Tt.=vF-' Т (F-')T

-тензорная функция состояния, которую по примеру [13] будем называть энергетическим тензором напряжений.

3. Реакция среды на внешнее тепловое воздействие

Примем в качестве параметров состояния точек среды эмпирическую температуру 8, тензор конечной деформации е = 0.5 (ft F-l), где I - единичный тензор, полные

производные по времени 8, £ и градиент температуры G = 36(t,X)/3X . Именно так в рациональной термодинамике определяется состояние сред дифференциального типа [11 ]. Для усиления конечных выводов присоединим к перечисленным величинам некоторый набор неравновесных параметров К = (к,.к,,...), которые без ограничения общности будем считать независимыми переменными, обращающимися в нуль в состоянии равновесия. Тогда на основании классической парадигмы о свойствах теплоты общее выражение для удельной реакции среды на внешнее тепловое воздействие запишется так:

ru = A„è+ А( : É+Ас G+Beë+Be :е + С К (10)

где Ае, А£, Ас, В0, Вг, С - калориметрические коэффициенты, являющиеся функциями соответствующего тензорного ранга от параметров состояния.

4. Принцип эквивалентности между теплотой и работой

Согласно данному принципу в каждом круговом процессе

{(a'+Q'^O .

На основании выражений (3)-(6), (8)-(10) принцип эквивалентности в локальной форме записи имеет вид

f$»'+q')lt = f(r,+r> = 0.

Так как

f(v-v)dt = 0 ,

приходим к выводу о существовании функции состояния e(9,e,8,é,G,n)- удельной внутренней энергии, - изменение которой описывается уравнением

é = qe-à\ (11)

где а' = V- V- а* = -Те: е - удельная мощность внутренних сил.

5. Обобщённая калориметрическая формула

Введём понятия термодинамических координат г и неравновесных координат X , которые будем рассматривать как упорядоченные наборы параметров

2 = (в,е), х = (9.е.о,х) (12)

Тогда можно записать

е = е(г,х), ТЕ=ТЕ(г,х) Разложим данные зависимости на локально-равновесные и, Р и лакально-неравновестные составляющие \(/, Р":

е = и+у , ТЕ=Р+Р" иОЕ)=е(г.х = 0),Р(г) = Т,(г,х = 0), Ф,х)-е(г,х = 0), Р"Ы = тД^-ТДгд = 0). Понятно, что в равновесных условиях Р"(г,х = о)=0 ,

= о) = 0 . Благодаря данным разложениям из уравнения (11) получается обобщённая калориметрическая формула

Яе = (Эи/Э9) е + КЭи/Эе^-Р-Р^ё+у . (13)

6. Первое начало классической термодинамики

Посредством обозначений

с(г)= А„(г,х = 0), а0(^х)= А„(г,х)-с{г),

Цг)= Ае(2,х = 0), ас(7.)Х)= Ае(ах)+ Р*(г,*)- Цг) выражение (10) можно переписать в виде

Гч =(с + ав)9 + (Ь-Р!'+а1.):Е + АС; (З + Веё + В, :Ё + С К (14) В ходе квазистатических процессов

Следовательно, величина с(г) представляет собой равновесную удельную теплоёмкость при отсутствии деформации, а величина Цг) - равновесный тензор скрытых теппот изотермической деформации.

Сопоставим правую часть формулы (13) с выражением (14). Получим3

с = (ди/эе\, ь = (аи/э4-р(в,е), (15)

У = а„9 + аЕ : е + Ас 6 + Вв9+ В£ : е + С N . Из соотношений (15) вытекает, что

с(в,£>1е + ь(9,е):<1е = <1и(8,е)-Р(е,е):с1е. (16) Для текучих сред уравнение (16) имеет вид

с,(е,у)18 + 1в(9л)с1у = (Це,у)+р(е,у)с1у. (17) Так как при выводе уравнения (16) не делалось никаких допущений относительно степени неравновесности протекающих процессов, приходим к выводу, что первое начало термодинамики Клаузиуса-Кельвина, будучи записанным в виде (16) или (17), справедливо для любых неравновесных состояний.

7. Уравнение Клаузиуса

Левая часть уравнения (16) имеет интегрирующий множитель, который зависит от эмпирической температуры:

с(8,Е>18 + Ц8,е):ае = д(8)с1л(0,е), (18)

Дпя доказательства этого соотношения достаточно рассмотреть квазистатические циклы Карно и воспользоваться вторым началом термодинамики в форме постулатов Кельвина и Клаузиуса (см., например, [3]). По-

3 Обычно полагается, что у = 0. Но, как показано в работе [14], присутствие локально-неравновесной составляющей внутренней энергии в законе сохранения и превращения энергии восстанавливает симметрию данного закона и позволяет получить гиперболическое уравнение теплопроводное™ без внесения изменений в классический закон Фурье ]ч = -л.У0.

добное упрощение никак не сказывается на общности конечного результата, поскольку величины c(z), L(z) не зависят от неравновесных координат (12).

Входящая в соотношение (18) функция й(9) является отличной от нуля монотонной функцией. Поэтому ее можно взять в качестве новой эмпирической температуры. Если а одном из фиксированных состояний приписать величине й положительное численное значение, то она станет абсолютной температурой, а величина т| - удельной энтропией. Причём, если до этого эмпирическая температура определялась по идеально-газовому термометру, то тогда й(э) = 9 .

Если для абсолютной температуры сохранить прежнее обозначение в, то из соотношений (16), (18) следует уравнение Клауэиуса

8dn(e,E)=du(9,e)-P(0,E):dE которое для текучих сред принимает традиционный вид (1).

Выводы

Предсказания любой теории являются убедительными ровно в той степени, в какой убедительны принимаемые исходные посылки. Если классическую парадигму о свойствах теплоты признать истинной наравне с первыми принципами, то можно считать доказанным, что классическая теория Клаузиуса-Кельвина является локально-неравновесной теорией. Данный результат является обоснованием методов расчёта, широко применяемых в инженерной практике. Теперь причины ряда неточностей не нужно искать в основных соотношениях классической термодинамики, что позволит сосредоточить усилия на других направлениях. Теоретическое значение полученных результатов заключается в том, что в них содержится указание на новую, до сих пор не исследованную возможность устранения теплового парадокса, которая, будучи совместимой с законом Фурье, может расширить наши представления о свойствах внутренней энергии в локально-неравновесных состояниях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса//УФН. 1997. - Т. 167. - № 10. - С. 10951106.

2. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Recent Bibliography on Extended Irreversible Thermodynamics and Related Topics (1995-1998) // J. Non-Equilib. Thermodyn. - 1998. - V. 23. - P. 277-298.

3. Кудинов B.A., Карташов Э.М. Техническая термодинамика. - М.: Высш. шк., 2000. - 270 с.

4. Гроот С. де, Мазур П. Неравновесная термодинамика. - М.: Мир, 1964. - 456 с.

5. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 127 с.

6. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами // Изв. РАН. Энергетика. -1999.-№ 5.-С. 3-34.

7. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. - М.: Мир, 1986. - 288 с.

8. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массо-обмена // ИФЖ. - 1965. - Т. 9. - N 3. - С. 287-304.

9. Соболев С.Л. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах // УФН. - 1991. - Т. 161. -№3. -С. 5-29.

10. Meiler I., Ruggeri Т. Extended Thermodynamics. - New York: Springer-Verlag, 1993. - 240 p.

11. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

12. Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. - М.: Высш. шк., 1979. - 415 с.

13. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980.-512 с.

14. Корнеев С.А. К парадоксу бесконечной скорости распространения теплоты II Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену. - Т.7. -Теплопроводность и теплоизоляция. - М.: Изд-во МЭИ, 1998.-С. 124-127.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович - к.т.н., доцент каф. «Основы теории механики и автоматического управления».

_(информации)

Диплом доктора технических наук получил Калекин B.C. Его диссертация "Рабочие процессы поршневых компрессорно-расширительных агрегатов с самодействующими клапанами" по специальности 05.04.06 - вакуумная компрессорная техника и пневмосистемы" посвящена важной проблеме совершенствования процессов сжатия воздуха в комп-рессорно-расширительных агрегатах путем замены принудительного воздухораспределения самодействующими клапанами и использования более эффективного промежуточного и концевого охлаждения. Результаты рекомендуются к внедрению конструкторским организациям и предприятиям машиностроения.

(Защита диссертации состоялась в диссертационном совете ОмГТУ 25 февраля 2000 г.)