Матрицы Римана первого и второго рода системы уравнений Клейна-Гордона Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

рк романовский, МАТРИЦЫ РИМАНА ПЕРВОГО

е.в. воробьева

Омский государственный И ВТОРОГО РОДА СИСТЕМЫ технический университет урдВНЕНИЙ КЛЕЙНА - ГОРДОНА

удк 517.9

В работах [1-7] предложен метод исследования краевых задач для гиперболических систем на плоскости, основанный на построенном в [1, 2] аппарате матриц-функций Римана первого и второго рода, представляющих собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Получены явные формулы для решений, исследованы их качественные свойства.

В данной работе вычисляются матрицы Римана первого и второго рода для нулевой системы квантовой физики - линейной системы уравнений Клейна-Гордона [9]. Результат формулируется в терминах функций Бесселя [10] Рассмотрим систему

ПОСТРОЕНЫ ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ РИМАНА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КЛЕЙНА - ГОРДОНА, ИГРАЮЩЕЙ ВАЖНУЮ РОЛЬ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ. РЕЗУЛЬТАТ ФОРМУЛИРУЕТСЯ В ТЕРМИНАХ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ.

нениями = 5, (г, у), .у = ¿ч (/, у) где,

5, =ст + (/-т), 52=<т-(/-т)

Для вычисления функций и, (л, у), и2(х,у), У(х,у)

воспользуемся построенными в [2] формулами для и к, V в случае постоянных коэффициентов.

1.Имеем: 11к{х,у) = ехр[Вкк(г-т)], к = 1,2,

д" , ди „ — + А — + Ви ■ дг

0,

(1)

где

и,

А =

(I 0

В =

(0 -1 I о

Нетрудно убедиться, что система (1) эквивалентна линейному уравнению Клейна-Гордона [9]

Э2У д2у

э^аТ^0-

Через каждую точку у = (с,Т) плоскости проходят две характеристики ^ (г), ч2 С»1) системы (1) с урав-

где -г = (V )е с/к (у) . Так как в (1) 5,, = Вп = 0 , то

(/,(*, у) = 1, ¿ = 1,2 2. В случае, когда точка х принадлежит левому или правому открытому углу между (у), q2 (у), матрица-

функция второго рода У(х,у) - 0 . В верхнем и нижнем

открытых углах матрица V представляется двойным контурным интегралом

где а. -1,

5 =

У=-а,-I

в,=-1

Я $ - л, И

а, -л,

А 0 0 ц

I+В--

7 - окружность |Я| = Я достаточно большого радиуса,

проходимая в положительном направлении. Покажем, что имеет место формула

Г(*.У) = :

ЛИ

о 1

-I о

+ гУ,(г)

(3)

где г, = ¡5 - я, , |, г = , JÍ|,J2 - функции Бесселя:

Будем для определенности считать, что точка х принадлежит верхнему открытому углу, тогда

Представляя в (2) е6 степенным рядом и далее 8" по формуле бинома Ньютона, получим

1 -А ¡\гГк

2 '&к\{п-к)\

х -]с!Хс1ц =

= 1 у -1у.-1- Га-*-'£/а

2 По 2" По 2лч' г

х-—-Г

2лг/ {

(м П -1 я

м-

с/м =

2^2" ~ *!(„-*)!

-'-Г

X--

2лч'

1 л-21-] 1 ;.-2<

Отсюда, используя очевидное равенство

2тс/, О,

N = -1

(АГеО)

нетрудно получить требуемую формулу (3). Такая же формула верна в случае, когда х принадлежит нижнему открытому углу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода // ДАН СССР. - 1982. - Т. 367, № 3. - С. 577580.

2. Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода // Матем. сб. - 1985. - Т. 127. № 4. - С. 494501.

3. Романовский Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Матем. сб. - 1987. - Т. 133.№ 3. - С. 341-355.

4. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. - Киев: ИМ АН УССР. - 1987. - С. 47-52.

5. Романовский Р. К. Усреднение гиперболических уравнений // ДАН СССР. - 1989. - Т. 306. № 2. - С. 286-289.

6. Романовский Р. К. Метод Римана для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. -Омск: ОмГТУ, 1995.

7. Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Сиб. матем. журнал. - 1998. - Т. 39. № 6. - С. 1290-1292.

8. Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости // Сиб. матем. журнал (в печати).

9. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солито-ны и нелинейные волновые уравнения. - М.: Мир, 1988.

10. Поддубный Г. В., Романовский Р. К. Математический анализ для радиоинженеров. - М.: Воениздат, 1976.

Романовский Р.К. - д.ф.-м.н., профессор каф. высшей математики.

Воробьева Е.В. - ассистент каф. васшей математики.

С А ™ КЛАССИЧЕСКИМ ПОДХОД

К ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОЙ

удк 536.7

ТЕРМОДИНАМИКЕ_

В СТАТЬЕ СОПОСТАВЛЯЮТСЯ КЛАССИЧЕСКИЙ И СОВРЕМЕННЫЙ ПОДХОДЫ К ПОНЯТИЮ ТЕПЛОТЫ. МЕТОД КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ Ю1А-УЗИУСА-КЕЛЬВИНА РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ НА ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ. ЗАТРАГИВАЕТСЯ ПРОБЛЕМА БЕСКОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛОТЫ

Введение

В настоящее время в нашей стране и за рубежом ведутся интенсивные исследования по разработке термодинамики локально-неравновесных процессов [1, 2]. При этом классическая теория Клаузиуса-Кельвина считается термостатикой, хотя основные постулаты данной теории — второе начало1 и принцип эквивалентности между теплотой и работой — справедливы для любых

состояний термодинамической системы. В частности, уравнение Клаузиуса

8(1л(э,у)=^и(е,у)+р(е,у)1у (1)

полагается строго обоснованным лишь для квазистатических процессов. Здесь в, Л, и, р, V = 1 /р , р. температура, удельная (на единицу массы) энтропия и внутренняя энергия, давление, удельный объём и плотность соответственно.

1 Следует отметить, что в классической термодинамике равновесных процессов под вторым началом понимаются постулаты Клаузиуса и Кельвина [3]. В ней существование и свойства энтропии устанавливаются, а не постулируются. В современных Щ^Щ теориях второе начало ассоциируется с принципом существования и возрастания энтропии.