CC BY
20
ГИДРОТЕХНИЧЕСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 532. 543
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕЧЕНИЮ ОТКРЫТЫХ ВОДНЫХ ПОТОКОВ
© 2008 г. В.Н. Коханенко, И.В. Папченко, Н.Г. Папченко
Донской государственный агротехнический университет
Donskoy State Agrotechnical University
Целью настоящей работы является обоснование метода аналогии между течением двухмерных в плане открытых водных потоков и плоскими течениями несжимаемой жидкости. Аналогия заключается в сведении решения задач по течению двухмерных водных потоков к решению плоских задач по течению несжимаемой жидкости при одних и тех же граничных условиях (при одинаковом расположении преграждающих стенок, одинаковых скоростях в бесконечно удаленных точках и при одинаковых скоростях на граничных линиях тока).
Ключевые слова: открытый водный поток, метод аналогии, плоское течение несжимаемой жидкости, двухмерный водный поток.
The subject of our research work is the proving of analogical method between the moving binary measured equations for open water streams and flat subcontracted streams. The analogy is in reduction ofproblem decision subcontracted streams under the same border conditions (the equal place of blocked walls and the speed of infinitely moved offpoints under the same borderline currents).
Keywords: open water flow, method to analogies, flat current to incondensable liquid, binary water flow.
Известно, что в плоскости годографа скорости уравнения движения двухмерного в плане открытого стационарного потенциального водного потока имеют вид [1-3]:
Зф дв
Зф Зх
2h
Зу _
H0 1 -х Зх
3х-1 Зу
2Hо х(1 -х)2
Зв
(1)
V 2
Н 0 = —— + ^ - постоянная, определяемая параметра-2 g
ми потока V0, ^ в некоторой характерной точке потока; h - глубина потока.
Наряду с уравнениями (1), (2) во всей области течения потока выполняется интеграл Бернулли:
V2
V" + h = H о 2 g
З [ 2х Зу
Зх 11 -х Зх
1 - 3х
З2у
2х(1 -х)2 Зв2
Приведем вначале сведения о частных решениях = о. (2) уравнения (2) и их свойствах [1 - 3].
Рассмотрим частные решения вида:
При этом уравнение (2) является следствием системы уравнений в частных производных (1).
В уравнениях (1), (2) введены обозначения: Ф = ф(х, 6) - потенциальная функция; у = у(х, 6) -
2
функция тока; х =
V2
- квадрат скоростного ко-
У k = zk sin(2k0 + аk).
(3)
Разделив переменные в уравнении (2) и положив замену
2gH о
эффициента; 6 - угол наклона скорости к оси 0х (оси симметрии потока); V - величина скорости; g - ускорение свободного падения (силы тяжести);
Ч =хЧ:
(4)
находим для определения Yk гипергеометрическое уравнение с действительными коэффициентами
х
h
о
d 2Y dY
т(1 -х)-k + [2k +1 - + k (2k +1) Yk = 0. (5)
dx2 d х
Его интегралы имеют вид
Yf = 41}(х), Y(2 =x-2kKf(x);
где К (т) обозначает ряд С0 + С1х + С2 т +...
41}(х) = F (ak, bk, Ck, х) =
= 1 + aÉL +_L ak (ak + 1)bk (bk +1) x2 + (6) Ck 2! Ck (Ck +1) -
K®(x) = F(ak - 2k, bk - 2k, 1 - 2k, x).
Для k = -2:
Y-2 =x4(1 -x)2; z-2) =x-2-х4(1 -x)2 =x2(1-x)2.
Для рассматриваемого примера С = 5, и, следовательно, второго линейно-независимого решения У2(2)
не существует. Аналогично не существует и решения
у (1)
-2 ■
Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что уравнению (2) также удовлетворяет частное решение
V 0 = [1п т-т1 + С,9 , 0 2йп 1 1
а системе уравнений (1) соответственно:
При этом следует учитывать, что Ск не должно равняться нулю или целому отрицательному числу. Эти решения необходимо выбросить из спектра частных решений уравнения (5). Ряд К(т) сходится абсолютно и равномерно при |т| < 1 [4]. Сходимость распространяется и на единичную окружность, если
Re(ak + bk - Ck )< 0.
Так как согласно [5]:
2k
ak =-+ -
-1 л/ш2 +1
(7)
= СH [ln х-х^ + С]0; 0 2h L J 1
Фо =
C1h0
2И
ln-
1-х 1-х
+ C20.
Определим далее частные решения уравнения (2)
вида
=z*sin [(2k -1)6+у; ]. (io)
Разделением переменных в уравнении (2) и заме-
ной
k -1 z* =х 2Yt*
(11)
bk =
2k
-1 y¡12k 2 +1
(8)
приходим к следующему гипергеометрическому уравнению:
Ck = 2k +1,
то ак + Ьк - Ск = 2к-1 - 2к -1 = -2 < 0 и условие (7) выполняется.
Полагаем, пользуясь обозначением Гаусса,
К1) _
Yk = F (ak, bk ,2k +1, х).
(9)
Покажем, что К может проходить только целые положительные значения, т.е. к = 1, 2, 3 ... .
При к = -1,-2,-3... будем получать уже имеющиеся по условию (9) решения для zк. Покажем это
на примере.
Для к = 2 получим:
d2Y dY
х(1 - х) —f + [2k - (2k - 1)х1 —— + k(2k -1)Yk = 0 . d х d х
Его интегралы следующие: У;(1) = F (ак, Ьк ,2к, т) =
„. , 1 ak (ak + 1)bk (bk +1)„2 , = 1 +--х +---х + ...
Ck 2! Ck (Ck +1) lY*(2) = х1~2к F (ak +1 - 2k, bk +1 - 2k ,2 - 2k, х),
где Ck = 2k; a, = k-1W3k3 - 3k +1
(12)
Y2(1) = (1 -х)2; z21) =х2(1 -х)2.
bk = k -1 -V3k 2 - 3k +1
2
x
2
2
2
2
Как и в случае (3) k пробегает целые значения, так как можно показать, что при условии
kj + k2 — 1
(13)
очевидно решения (11) совпадают. В равенстве (13) кх > 0; кх < 0.
Из равенства (13) следует, что решение при k = 0 совпадает с решением при k = 1, при ^ = - 1 решение совпадает с решением при ^ =2, при ^ = - 2 решение совпадает с решением при ^ = 3 и т. д.
Покажем, что решения (10) совпадают, к примеру, для ^ = 1 и ^ = 0 с точностью до знака.
При k = 1 согласно формулам (12) а1 = 1, Ь1 = -1,
С, = 2 и 71*(1) = 1 -1; г*(1) =х1/2(1 -Х)8Ш(6+У1);
Г1*(2) =х-1^(0,-2,0) = 1; г*(2) = 5Ш(6+у1) .
х х1/2
При k = 0 имеем С0 = 0; а0 = 0 ; Ь0 = -2 и
Y *(1) — 1 ■ 7-v) — -
1 П — 1 •> ¿П —
*(1) _.
Yo*(2) — tF (1, -1,2) — х(1 -f);
sin(9 + y о)
.1/2
^2) =-х1/2(1 - 2 )sin(6 + y 0).
Посмотрим, какие из задач по течению двухмерных в плане водных потоков могут быть разрешены при помощи функции у , выраженной формулой
у — A + c,e + E Впу п + E В„у„ —
n—1 n—1
— A + Qe + E Bn7n sin(2ne + an) +
ад |- -,
+E B*7* sin [(2n - 1)e + a*n ]
n—1
Если известно, что вдоль каких-либо линий тока х = const, то эти линии в плоскости годографа скорости будут представлять собой дуги окружности с центром в начале координат. Обратим внимание на тот факт, что в бесконечно удаленных точках по течению потока параметр х = 0 для спокойных потоков и х = 1 для бурных потоков.
Не останавливаясь в настоящей работе на собственно постановке и решении краевых задач по течению двухмерных в плане водных потоков, покажем метод сведения решения этих задач к уже решенным задачам по течению несжимаемой жидкости. Для этого сравним поставленную задачу о движении двухмерного в плане потока с соответствующей плоской задачей о течении плоской несжимаемой при одних и тех же граничных условиях (при одинаковом расположении преграждающих стенок, одинаковых скоростях в бесконечно удаленных точках и одинаковых скоростях в характерных точках). Последняя задача решается посредством метода Н.Е. Жуковского [6, 7]. Пользуясь этим методом можно найти зависимость между комплексными переменными
м = ф1 + /у1 и и = + i6 в виде м = /(и),
где ф1, у1 - потенциал скорости и функция тока, соответствующие плоской задаче.
Допустим, что зависимость «/>> найдена; преобразуем выражение для комплексного потенциала разло-
х
жением в ряд по степеням — для спокойных потоков
в виде:
Kin^0+ie
w — к + CjOnJ-0- + ie) +
2n-1
+ E К(-)ne2nie + E k*(—) 2 e(2n-1>e.
n—1 t0 n—1 t0
Тогда
где А,С1,Вп,Вп,ап,ап - некоторые постоянные, а 2п, 2*п определяются формулами (3), (4), (6), (8) и (10), (11), (12).
При формулировке граничных условий будем учитывать, что масса водного потока ограничена граничными линиями тока и, следовательно, вдоль граничного контура области (х, 6) функция у должна принимать постоянное значение.
Если в какой-либо характерной точке известны параметры х0 , 60 , то они должны удовлетворять линии тока, проходящей через эту точку.
Если область растекания потока ограничена плоскими стенками, то на ней угол 6 (угол скорости с осью 0х) должен сохранять постоянную величину, а следовательно, часть границы будет представлять отрезок прямой.
у1 = А + С16 + Е Вп (—)п 8ш(2п6 + ап) +
п=1 х0 ш 2п-1
+ Е В*(—)~яп[(2п -1)6+ ап ].
п=1 х0
Справедливо утверждение, что задача о течении двухмерных в плане стационарных водных потоков разрешится формулой
ш х Y Ху — A + Qe+E Bn (—)n — sin(2n +a n) +
n—1 T0 Yn,0
2n-1
ад * х — Y г * t
+ E B*(—) n -n-sin |_(2n - 1)e + an ],
n—1 t0 Yn,0
х
0
n—1
где Уп - гипергеометрический ряд; Уп0 - частное значение гипергеометрического ряда при замене т на т0; X - некоторое постоянное число.
Более подробное доказательство справедливости сделанного утверждения приводится в работе [7] при сведении решения задачи о газовых струях и решению соответствующей плоской задачи несжимаемой жидкости.
Так как уравнения движения двухмерных в плане открытых водных потоков и уравнения движения газовых струй совпадают, то и выводы о газогидравлической аналогии можно полностью перенести в аналогию между двумя жидкостями: двухмерными в плане водными потоками и плоским течением несжимаемой жидкости.
Для бурных потоков разложение комплексного потенциала производим по степеням т0 /х. Вывод в
работе о сведении решения задачи по растеканию двухмерного в плане водного потока и плоскому течению несжимаемой жидкости сохраняется и для бурных потоков.
Поступила в редакцию
Литература
1. Коханенко В.Н., Волосухин Я.В., Ширяев В.В., Коханенко Н.В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков / Под общ. ред. В.Н. Коханенко. Ростов н/Д., 2007.
2. Ширяев В.В., Мицик М.Ф., Дуванская Е.В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков / Под общ. ред. В.В. Ширяева. Шахты, 2007.
3. Методы решения гидравлических задач по течению плановых спокойных стационарных потоков воды / В.Н. Коханенко, Ю.М. Косиченко, Е.В. Дуванская, Б.Ю. Калмыков; Под ред. В.Н. Коханенко. Шахты, 2003.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1970.
5. Коханенко В.Н. Вывод основной системы уравнений движения двухмерного потока в плоскости годографа скорости и поиск ее частных решений. М., 1996. - Деп. в ВИНИТИ 10.12.96 № 3584 - В.
6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: 5-е изд. М.,
1978.
7. Чаплыгин С.А. Избр. тр. // Механика жидкости и газа. Математика. Общая механика. М., 1976.
9 июня 2008 г.
Коханенко Виктор Николаевич - докт. техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Механика и гидравлика» Дон ГАУ. Тел. 3-55-21.
Папченко Игорь Владимирович - ассистент кафедры «Механика и гидравлика» Дон ГАУ. Папченко Наталья Геннадиевна - ассистент кафедры «Высшая математика» Дон ГАУ.
