Классическая теорема Ляпунова для дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.91

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

С. А. Вавилов1, В. С. Федотова,2

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

198904, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9.

2 Ленинградский государственный университет им. А. С. Пушкина,

196605, Санкт-Петербург, Пушкин, Петербургское шоссе, 10.

E-mails: svavilovamail.wplus.net; vera1983ayandex.ru

Формулируется теорема, аналогичная классической теореме Ляпунова для случая дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах. В качестве примера рассматривается дифференциальное уравнение в частных производных. Полученный результат автоматически даёт хорошо известные условия существования континуума периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того, с использованием теории топологической степени, эти условия могут быть сделаны менее жесткими, чем они были сформулированы с использованием бифуркационной теории Хопфа.

Ключевые слова: теорема Ляпунова, гильбертово пространство, периодические решения, фредгольмов оператор, специальная неэквивалентная замена переменных.

Введение. В своей классической теореме Ляпунов [1] исследовал класс квазилинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

ж = Az + F м. (1)

где z € Rn, A — матрица [nxn], F — нелинейный вектор-функционал, такой, что F(0) = 0, который образует континуум периодических решений в окрестности начала координат. Этот класс систем был определен Ляпуновым для аналитических правых частей (1) и при выполнении следующих предположений.

a. Матрица A невырожденная и имеет пару собственных значений ±гио.

b. Для всех k € Z, k = ±1, ikwо не является собственным значением A. Следует отметить, что выполнение предположений а) и b) подразумевает

Вавилов Сергей Анатольевич — профессор кафедры экономической кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета; д.ф.-м.н., профессор.

Федотова Вера Сергеевна — ассистент кафедры высшей математики Ленинградского государственного университета им. А. С. Пушкина; аспирантка.

более конкретную структуру системы (1):

(х

(М

(у

= —Шоу + (х,у,х3,... ,Хп),

< (■ = ШоХ + ^2(Х,У,Х2 ,...,Хп),

(Хі ^ .

(. ~Ж = аізХ3 + • • • + аіпХп + рі(х, У, Х3,

(2)

. ,Хп),

= 0, г = 3,..., п, и отсюда матрица А:

А =

! 0 — Шо

Шо 0

V о

о

А

)

(3)

с. Система (1) допускает первый аналитический интеграл вида Ь(х,у, Хз,, хп), причем члены второго порядка последнего не обращаются в нуль при х3 = ... = хп = 0.

Можно показать, что выполнение условия с) вместе с условиями а) и Ь) приводит к следующей структуре первого интеграла:

Ь(х, у, Хз, . . . , Хп) = х2 + у2 + Ь2(хз, . . . , Хп) + Ьз(х, у, Х3, . . . , Хп), (4)

где Ь2, Ьз —члены начиная со второго и третьего порядка включительно. Следовательно, матрица В квадратичной формы, соответствующая первому интегралу (4), может быть записана следующим образом:

В =

I 1 0 0 1

о

о В )

(5)

Далее, с использованием бифуркационной теории Хопфа, классическая теорема Ляпунова была продолжена на класс систем (1), правые части которых неаналитические. Это продолжение было получено для нелинейного члена в (1) ^ € С2(Мп,Мп) при выполнении предыдущих утверждений а), Ь) и утверждения ^), которое состоит в следующем.

^. Система (1) имеет первый интеграл Ь € С2(Мп, М) такой, что матрица Ь"(0) невырожденная.

Главная цель настоящей работы — сформулировать прямую аналогию классической теоремы Ляпунова для случая дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Ниже рассмотрен пример из теории дифференциальных уравнений в частных производных и показано, что полученный результат автоматически дает вышеупомянутые условия для существования континуума периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того, используя теорию топологической степени, эти условия могут быть сделаны менее жесткими, чем они были сформулированы на основе бифуркационной теории Хопфа.

1. Главный результат. Рассмотрим дифференциальное уравнение

dt = Av + F (v), (6)

где v € C 1([0,t],H), H — произвольное гильбертово пространство, A — непрерывный линейный оператор, F — нелинейный оператор такой, что F(0) = 0. Пусть выполняются следующие предположения.

e. Оператор L действует в классе периодических функций v(T) — v(0) = 0 с некоторым фиксированным значением T и определен формулой Lv = v — Av; он является фредгольмовым оператором с нетривиальным ядром ker L = = spanj^i,^>2} и соответствующим коядром coker L = spanj^i,^2}.

f. Оператор F — непрерывно дифференцируемый в некоторой окрестности нуля и F(0) = 0.

g. Уравнение (6) имеет первый интеграл b(v) такой, что его градиент принимает вид

grad b(v) = Bv + R(v),

где B — линейный непрерывный оператор, а R — непрерывно дифференцируемый в некоторой окрестности нуля такой, что R(0) = 0.

Замечание. Здесь в соответствии с теоремой Рисса [2] линейный ограниченный функционал grad b связан с элементом гильбертова пространства H.

h. Существует вещественное число А| такое, что

(A^i, ^1) + A2(A^2, ^1) (B^i), ^1 + А2(В^2,^1)

det

(A^1 ,^2) + A2(A^2 ,^2) (B^1),^2 + A2(B^2,^2)

= 0.

Следующий результат есть прямое обобщение классической теоремы Ляпунова для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.

Теорема 1. Пусть выполняются утверждения е)-Н). Тогда уравнение (6) допускает континуум периодических решений в достаточно малой окрестности начала координат.

Доказательство. Вместе с (6) рассмотрим следующее уравнение с произвольным вещественным параметром ^ = 0:

— = А-и + ^ (V) + ^гаё Ь(-и) = (А + ^В )-и + ^ (V) + ^Л(-и). (7)

Хорошо известно, что если V = -и(£) —периодическое решение (7), то V —фактически решение (6). После замены независимой переменной £ ^ (1 + еА1)£ возьмем ^ = еА2 и запишем ниже уравнение (7) в операторной форме

^ = V — Av = е[А1 Av + А2Bv] +

+ е2А1А2 Bv + еА2Л^) + ^ (V) + еА1^ (V) + е^А^^). (8)

Здесь е — малый параметр, вещественные числа А1, А2 —неизвестные величины. Далее, следуя технике, представленной в [3-5], сведём операторное уравнение (8) с фредгольмовым оператором С к системе уравнений разветвления

Ляпунова—Шмидта, а затем введём специальную неэквивалентную замену переменных, которая исключает из множества её решений тривиальное решение исходной задачи (8).

А именно, после замены

V = 6 (и + ^1 + А2^2), (9)

полагая, что £1 =0 и А2 —некоторое фиксированное число, получаем вспомогательную операторную систему уравнений относительно неизвестного элемента и € Н фактор-пространства [6] Н = С([0,£],Н)/кегС, конечномерного вектора А = {А1, А2}:

и = еС-1Т(и, А1, А2, е, £1),

(10)

(Т(и, А1, А2,е,£1),^7-) = 0 (; = 1, 2),

где

Т(и, А1, А2, е, £1) = А1А(и + ^1 + А2^2) + А2В(и + ^1 + А2) +

+ е—1—2В (и + ^1 + А2) + —— Д [£1 (и + ^1 + А2^2)] +

£1

+ -р р [£1(и+^1+а2^2 )] + т1 р [£1(и+^1 + А2)] + Д[£1(и ^1+а2^2 )].

е£1 £1 £1

Параметр £1 = 0 является свободным. Непрерывный оператор

С-1 : С([0, £], Н) ^ Н

— обобщённый оператор для С, построенный согласно лемме Шмидта [2]. Из представления (9) следует, что £1 =0 подразумевает V = 0 (иначе получается противоречие фактор-пространству), поэтому все решения системы (10) соответствуют нетривиальным решениям соответствующих исходных уравнений (8), (7) и (6).

Вместе с (10) рассмотрим систему алгебраических уравнений

(Т(и,—1, А2 ,е,£1 ^) =0 0' = ^ 2) (11)

с неизвестными —1 и —2. Удовлетворяя условиям /), д), Л), можно легко увидеть, что (11) допускает решение для достаточно малых е, £1 и соответствующий якобиан (см. условие Л)) не обращается в нуль. Следовательно, используя стандартные аргументы, основанные на идее малых решений первого уравнения системы (10) и применении теоремы о неявной функции, мы получаем вывод о разрешимости системы (10) для достаточно малых е, £1 и, следовательно, законность утверждения теоремы 1. □

2. Применение в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим случай, когда (6)—обыкновенное диффренциальное уравнение. Вместе с условиями а) и Ь) рассмотрим условия /) и д) и отметим, что матрица В в д) имеет следующую структуру:

В=

( 01 /° о \

0 о1

V о В )

(12)

Тогда исходная центральная теорема Ляпунова может быть обобщена следующим образом.

Теорема 2. Пусть выполняются условия a), b), f), g) и b1 =0. Тогда, если H = En, система (6) допускает континуум периодических решений в достаточно малой окрестности начала координат.

Замечание. В теореме 2 условие невырожденности матрицы B, сформулированное в d), заменяется на b1 = 0, которое автоматически выполняется в условиях исходной теоремы Ляпунова.

Доказательство. Без потери общности в (3) можно взять Wo = 1. Условия a) и b) подразумевают выполнение условия е) при

^1 = ^1 = (cos t, — sin t, 0,..., 0)T, ^>2 = ^2 = (sin t, cos t, 0,..., 0)T.

Поэтому, чтобы доказать теорему 2 (как следствие теоремы 1), необходимо только проверить справедливость условия h).

Можно записать

A^1 = (sin t, cos t, .. .)T, A^>2 = (— cos t, sin t, .. .)T,

B^1 = (b1 cos t, —b1 sin t, .. .)T, B^>2 = (b1 sin t, b1 cos t, .. .)T.

Следовательно,

(A^1 ,^2) = 2n, (A^2 ,^2) = 0,

(A^1 , ^)=0, (A^2 ,^1) = —2n,

(B^1 ,^1) = 2nb1, (B^2,^1) = 0,

(B^1, ^2) = 0, (B^2,^2) = 2nb1.

Теперь значение определителя в условии h) может быть легко вычислено,

и оно равно —2b1 ■ (1 + A22) = 0, когда b1 = 0. □

3. Пример из теории дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрим дифференциальное уравнение

д2 и д2 и 3 . .

+ 3u + и =0 (13)

ді2 дх2

с граничными условиями

и(і, 0) = и(і, п) = 0. (14)

Можно легко заметить, что краевая задача (13)-(14) подразумевает первый интеграл

ад=/ (К Ю +НЮ+3 “2+4 ”4} *■ (15)

0 ^ '

После замены переменных

du du

v =

уравнение (13) может быть переписано в операторной форме

и

V

ад

0

д2

дх2

1 0 - 3 0 0

0

и

0

0 —

0 дх

V 1-І и

ад

(16)

Первый интеграл (15) в новых переменных примет вид

Ь(и, V, эд) = У | 2V2 + 1 ад2 + 2.и2 + -4и4} ^Ж.

0

Отсюда линейный матричный оператор В, определенный в условии д), представляется следующим образом:

и 3и

В | V І = I V

ад I \ ад

(17)

Используя анализ Фурье, легко проверить, что оператор С определён фор-

мулой

- д2и д2и £" = д2 - 9Ї2 +3и

и действует в классе функций, удовлетворяющих граничным условиям:

и(£, 0) = и(£, п) = 0, и(£ + п, ж) — и(£, ж) = 0,

является фредгольмовым с базисными элементами кег С ^1, ^>2 и базисными элементами сокегС ^1, ^2, определёнными следующим образом:

8ІП 2t 008 х 2 008 2t 8ІП ж 2 8ІП 2t 008 ж

008 2t 8ІП ж ^2 = ^2 = | —2 8ІП 2t 8ІП ж 008 2t 008 ж

^1 = ^1 =

После несложных вычислений получаем соотношения:

(А^1 ,^2) = 0,

(А^2,^2) = —3п2,

(А^1 ,^1) = 3п2, (А^2,^1) = 0,

(В^1 , ^)=2п2, (В^2,^1) = 0,

(В^1 ,^2)=0, (В^2,^2) = 2п2.

Теперь значение определителя в условии Л) может быть легко вычислено, и оно равно — 12п4 = 0, когда —2 = 1. Поэтому в соответствии с теоремой 1 мы получаем вывод, что краевая задача (13)—(14) подразумевает континуум периодических решений в достаточно малой окрестности начала координат.

П

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Малкин, И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний [Текст] /И. Г. Малкин. —

М.: Едиториал УРСС, 2004. —496 с. — ISBN 5-354-00906-9.

2. Треногин, В. А. Функциональный анализ [Текст] / В. А. Треногин — М.: Физматлит, 2002. —488 с. — ISBN 5-9221-0272-9.

3. Вавилов, С. А. Геометрические методы исследования разрешимости одного класса операторных уравнений [Текст] / С. А. Вавилов // Докл. РАН. — 1992. — Т. 323, № 2. —

С. 206-210.

4. Вавилов, С. А. О нетривиальных решениях некоторых классов операторных уравнений [Текст] / С. А. Вавилов // Докл. РАН. — 1993. — Т. 331, № 1. — С. 7-10.

5. Vavilow, S. A. A method of studying the existence of nontrivial solutions to some classes of operator equations with an application to resonance problems in mechanics [Text] / S. A. Vavilov // J. of Nonlinear Analysis-TMA. — 1995. — Vol. 24, No. 5.—P. 747-764.

6. Комогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] /А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1981.—544 с.

Поступила в редакцию 23/VI/2008; в окончательном варианте — 23/VI/2008.

MSC: 35B32, 58D25, 58E07

CLASSIC THEOREM BY LYAPUNOV FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN HILBERT SPACES

S. A. Vavilov1, V. S. Fedotova2

1 Saint-Petersburg State University,

198904, St. Petersburg, Universitetskaya nab., 7-9.

2 Pushkin Leningradsky State University,

196605, St. Petersburg, Pushkin, Peterburgskoe, 10.

E-mails: svavilovamail.wplus.net; vera1983ayandex.ru

A theorem analogical to Lyapunov Classic Theorem is formulated for differential equations in Hilbert spaces. Example from the theory of partial differential equations is presented. The result automatically demonstrates the well-know conditions of continuum existence for periodic solutions of ordinary differential equations systems. Moreover, by applying the topological degree theory, these conditions can be set as less rigid than those formulated in Hopf Bifurcation Theory.

Key words: Lyapunov theorem, Hilbert space, periodic solutions, Fredholm operator, a special nonequivalent substitution of variable.

Original article submitted 23/VI/2008; revision submitted 23/VI/2008.

Vavilov Sergey Anatolievich, Dr. Sci. (Phis. & Math.) Prof., Dept. of Economic Cybernetics of Saint-Petersburg State University.

Fedotova Vera Sergeevna, Postgraduate Student, Dept. of Higher Mathematics of Pushkin Leningradsky State University.