CC BY
74
2006
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика
№ 105
УДК 629.735
КИНЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ЭВОЛЮЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СОСТОЯНИЯ ВОЗДУШНОГО СУДНА В ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА РИСКА КАТАСТРОФ
В.Л. КУЗНЕЦОВ
Предложен новый подход к оснащению модели расчета риска катастроф на воздушном транспорте, основанный на выводе кинетического уравнения для функции распределения ошибок состояния ВС. Полученное уравнение для функции распределения учитывает не только неточность определения состояния ВС с помощью имеющихся технических средств, но и ошибки в управлении, допускаемые при пилотировании.
Введение
Одним из важнейших параметров, определяющих уровень безопасности полетов, является гипотетическая вероятность столкновения в расчете на один час полета воздушного судна (ВС). Ограничения, наложенные ИКАО на эту величину, должны учитываться как при разработке новых ВС и наземных средств обеспечения полетом, так и при планировании воздушного пространства, особенно в зоне аэропорта.
Во всех существующих математических моделях расчета риска катастроф важнейшую роль играет функция распределения ошибок состояния ВС, т.е. вероятностные характеристики отклонения реального положения и скорости ВС от их номинальных (плановых) значений [1 - 4]. Полученные эмпирические оценки для функции распределения, используемые при конкретных расчетах риска столкновения, базируются на обработке экспериментальных данных, относящихся к полетам ВС по прямолинейной трассе (маршруты над Атлантикой [5]). Вопрос о том, как трансформируются эти функции при изменении параметров полета, например, при смене эшелона по высоте или при изменении курса, практически не исследованы. В появившихся недавно работах [6, 7] лишь «нащупывается» возможный подход к решению этих проблем. Именно этим обстоятельством объясняются непреодолимые в настоящий момент препятствия, возникающие при попытках расчета риска катастроф ВС в зоне аэропорта.
В настоящей работе развивается аналитический подход, основанный на аппарате кинетической теории, в основе которой лежит изучение эволюции функции распределения недоопреде-ленных динамических систем, к которым, без сомнения, можно отнести ВС, если принять во внимание неточность задания его координат, скоростей и случайные вариации управлений.
Под ошибками состояния ВС мы будем понимать случайные отклонения его координат - г и скорости - V от номинальных параметров полета. Эти ошибки порождаются множеством факторов, среди которых в первую очередь следует отметить такие, как:
- ошибки наземных радиотехнических и бортовых навигационных комплексов при решении задачи определения состояния (координат и скорости) ВС;
- ошибки летчика или автопилота при совершении маневров;
- неполная запаздывающая компенсация внешних воздействий на ВС (случайные вариации ветрового поля).
При иллюстрации роста неопределенности состояния ВС часто приводят множество реализаций его траекторий и строят соответствующие гистограммы (рисунок). Серия таких гистограмм, построенных в разные моменты времени ti, г = 1, п таких, что < 12 < t3 < ... < 1п, дает
представление о том, как эволюционирует функция распределения ошибок положения ВС.
Отметим, что аккуратный анализ модели риска катастроф [3,4] показал важность распределения ошибок именно в пространстве состояний (г , V ), а не только в координатном простран-
стве { г }, как это показано на рисунке. При этом гипотеза о независимости координатных и скоростных отклонений может быть принята только для некоторого начального момента времени - первичного изучения состояния ВС. Далее, с течением времени, скоростные ошибки трансформируются в координатные и их статистическая независимость исчезает. Это следует понимать в том смысле, что в любой момент времени і1 > і0 пространственные отклонения ВС от плановых координат не могут быть выражены лишь через соответствующие ошибки в момент времени і0. Необходимо привлекать информацию и об ошибках в определении скорости.
а б
Рисунок. Схематичное представление изменения ошибок в положении ВС:
а - множество возможных траекторий полета; б - гистограмма отклонений ВС от плановых па».* * раметров полета в некоторый момент времени і = і > і0
В этой работе мы будем рассматривать два фактора, приводящих к отклонениям ВС от плановых параметров полета. Это ошибки в определении реального состояния ВС и ошибки пилотирования.
Будем полагать, что все технические системы исправны, отказов нет и полет проходит в штатном режиме.
1. Постановка задачи
Пусть в момент времени і = і0 = 0 с помощью имеющихся технических средств определено состояние ВС - (г *, V *). Будем полагать, что плотность вероятности того, что при этом реальное состояние ВС описывается парой (г, V), определяется формулой
/(^ ^, V | Г \ V*) і=0 = рр — г \V - V* ] 0)
где: рр — г *, V — V * ] - известная скалярная функции векторных аргументов. Вид этой функции может быть получен при анализе технических систем, определяющих состояние ВС. Эти вопросы выходят за рамки данной работы и будут рассмотрены нами позднее. Здесь же мы будем полагать функцию р[»] заданной на основанных некоторых соображений.
В некоторый конечный момент времени і = ік > 0 ВС должно быть переведено, по возможности, в состояние (гк, Ук). Переход предполагает совершение ВС одного или нескольких ма-
невров. В процессе пилотирования на борт ВС непрерывно поступает информация о состоянии ВС, которой, вообще говоря, присущи ошибки, статистические характеристики которых будем полагать известными. Кроме того, ошибки допускаются и при пилотировании, т.е. даже при безошибочном определении состояния ВС траектория движения последнего отличается от плановой. Будем полагать, что статистические характеристики источников ошибок в управлении также известны.
Требуется определить распределение ошибок состояния ВС в момент времени 1к, т.е. плотность вероятности отклонений вектора реального состояния ВС от планового
Моделируя ВС материальной точкой, рассмотрим соответствующее 6-мерное фазовое пространство. Закон движения ВС в таком пространстве - векторный случайный процесс, где стохастика порождена как неполнотой информации о его состоянии, так и ошибками в управлении. Разобьем эти факторы на две группы следующим образом. К первой группе причислим неполноту информации о начальном состоянии ВС, а ко второй - ошибки в определении состояния ВС в последующие моменты времени и коррелированные с ними ошибки пилотирования.
На первом этапе вывода кинетического уравнения управление будем считать фиксированным, выбрав в качестве такового одну из реализаций случайного процесса управления. Мы получим уравнение относительно функции распределения / (V, г, V), которая сама будет функционалом от реализации случайного процесса управления.
На втором этапе проведем усреднение полученного уравнения по ансамблю реализаций управлений.
2.1. Эволюция ошибок, порожденных неточностью определения исходного состояния ВС
Рассмотрим множество реализаций возможных перемещений воздушного судна в 6-мерном фазовом пространстве. Оно представляет собой пучок траекторий, подобный изображенному на рисунке. Отличие заключается в том, что траектории рассматриваются в фазовом, а не координатном пространстве.
Именно расширение 3-мерного координатного пространства до 6-мерного фазового, как будет видно из дальнейшего, и позволяет записать замкнутое уравнение для эволюции / (V, г, V)
- функции распределения ошибок состояния ВС.
Припишем каждой реализации случайного процесса в фазовом пространстве отображающую точку, движение которой вдоль траектории (вдоль реализации) соответствует возможному изменению состояния ВС во времени. Множество изображающих точек, не взаимодействующих друг с другом (по построению статистического ансамбля), можно рассматривать как идеальный газ. Т.к. точки не рождаются и не исчезают в процессе движения, то для них можно записать уравнение непрерывности (в фазовом пространстве).
р(1, г, р) - плотность изображающих точек в фазовом пространстве 6-вектор, соответствующие компоненты которого имеют вид:
а «пространственное» дифференцирование, содержащееся в операторе Шіу , ведется по всем координатам фазового пространства - х, у, z, рх, ру, рг.
/ (ік, ? — гк, V — ).
2. Вывод основного уравнения кинетического подхода
(2)
(3)
Поскольку при выводе исходных уравнений будет использован гамильтонов формализм, целесообразно перейти к стандартным обозначениям:
Чх = X Чг = ^ Чз = z, Рх = Рх, Р2 = Ру, Рз = Рг .
В принятых обозначениях уравнение непрерывности (2) может быть представлено в виде:
—+Е ді 1=1
. др . др
Чг Р г -д-
Чі Р г
+рЕ
дЧг +дРг_
дЧг дРг
0 .
(4)
Поскольку все изображающие точки (элементы ансамбля) в один и тот же момент времени имеют одинаковые ускорения- а (і) , то функция Гамильтона для них может быть записана в виде:
Н (Л Р, Ч )= Е I Чг • т • аг (і) + Р\
і=1
2т
(5)
где: т - масса ВС;
аI (V) - заданная функция времени - компоненты вектора ускорения. Нетрудно убедиться, что (6) удовлетворяет уравнения Г амильтона
ЭИ ЭИ
Р; =-—; Ч =
Отсюда получаем
дЧг
дЧу д2 Н
дРу дР у
(6)
(7)
ЭЧ; ЭЧ1ЭР] ЭР3
Подставляя (7) в (4) приходим к уравнению Лиувилля для плотности изображающих точек в фазовом пространстве:
і=1
др др
Чі Р г д— дЧг дРг
0
(8)
Очевидно, что плотность изображающих точек гиббсовского (статистического) ансамбля р представляет собой функцию распределения ошибок состояния ВС. Поэтому, переходя к прежним обозначениям для / (V, г, V), получаем уравнение
д/ - д/ - . ,д/ — + V — + а (і)—--ді дг Л }дї
0
(9)
По своей структуре (9) совпадает с кинетическим уравнением с обнуленным столкнови-тельным членом, поэтому подход, основанный на решении этого уравнения, будем называть кинетическим подходом.
Заметим, что аР (і) в уравнении (9) представляет собой одну из реализаций некоторого
случайного процесса. Далее нам придется провести усреднение (9) по ансамблю этих реализаций.
г=1
2.2. Трансформация функции распределения при совершении ВС маневров
Рассмотрим эволюцию функции распределения ошибок ВС при совершении им различного вида маневров: поворотов, изменений эшелона по высоте и т. д.
В математическом плане эта задача сводится к задаче Коши для кинетического уравнения (9) с начальным условием (1). Решение будем искать методом редукции переменных [8]. С помощью метода характеристик нетрудно определить интегралы уравнения (9), необходимые для реализации метода редукции переменных:
Ûj = v -vp(Г), где vp(t) = Jар(r)dr + v* . (10)
0
t
Ûz = r'-rp(t,) -U1 • f , гДе ((t) = Jvp(t)dt + (* . (11)
0
Заметим, что фактически в каждом из приведенных выражений в векторной форме записаны три интеграла кинетического уравнения, например:
и 1 = (М1х , и1у , и1г ),
и1х = V* - РХ (!) , и1 у = Vy - Vpy (!) , Щг = ^ - ^ ^) .
Очевидно, решение (9) представляет собой произвольную функцию интегралов (10) и (11). Произвол снимается начальным условием (1), т.е. из полученного множества решений (9) выбирается то, которое удовлетворяет соотношению (1). Из (10) и (11) следует, что:
V = и1 + VР (0
r = rp + u2 + u1 ■ t
(12)
Подставляя (12) в (1) и учитывая, что при t = 0 по условию задачи rp (0) = r *, vp (0) = v * , находим
f(t,( v)lt=0 = j(( -(*; V - V *)=ç(u2, u1 ) . (13)
Функция j(u2, Uj ), с одной стороны, является решением уравнения (9), а с другой стороны удовлетворяет начальному условию (1). Поэтому решение поставленной задачи имеет вид:
f (Х (, v) = (р [( - ( (t) - (v - Vp (t)) ■t; v - vp (t)] (14)
Заметим, что вектор функции rp (t ) и vp (t ), определяемые в (10) и (11), могут широко варьироваться, описывая в частности любые маневры ВС как материальной точки.
2.3. Влияние ошибок пилотирования на эволюцию функции распределения отклонений ВС от плановых параметров полета
До сих пор мы предполагали, что отклонения ВС от номинальных параметров связаны лишь с неточностью определения его исходного состояния, а управление реализуется по некоторому известному закону. Теперь учтем, что на борт ВС поступает информация (возможно с ошибками) о текущем состоянии ВС, и управление корректируется с учетом этой обновленной информации. При этом при выборе корректирующего управления могут допускаться ошибки, т.е. в качестве управления может быть реализована вектор-функция а (t ) - одно из множества возможных управлений A = {а (t )}.
Мы можем представить а (t ) в виде а (t ) = ap (t ) + d а (t ). Здесь ap (t ) можно интерпретировать как некоторое среднее управление на множестве A . Будем полагать, что ошибки управления d а (t ) представляют собой реализации гауссового случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и матричной корреляционной функцией K(t', t"') .
Выше говоря об управлении ВС, мы не конкретизировали его вид. Это значит, что соотношение (14) справедливо для любого а (t ) е A. Выделим эту функциональную зависимость функции распределения от управлений в явном виде:
f(t, ( () ^ f(t, (,( |a(•)), а(*) = â(т), te[0, t] . (15)
Теперь само распределение f становится случайной функцией (а точнее случайным функционалом), где стохастика генерируется случайным выбором а (t ) . Естественно положить, что
при расчете риска столкновений следует использовать функцию распределения, усредненную по ансамблю реализаций управлений, т.е. функцию (/(I,г,у\а(•)))
d а
Одним из возможных путей получения искомого распределения является вывод уравнения, описывающего эволюцию усредненного распределения. Рассмотрим этот подход. Усреднив кинетическое уравнение (9) по ансамблю управлений А , получаем:
Л Л
-(/ (^|а«)) " + V-{/ (I, Г.У^») За +^ {а(>) - / ^ = 0 . 06)
К сожалению, уравнение (16) не является замкнутым, т.к. в нем фигурируют две неизвест-
ные функции (/(I,гу\а(•))) и (а(1)-/(I,гу\а(•))) . Заметим также, что в последнем выра-
\ ' / ёа \ ' / ёа
жении оба сомножителя зависят от случайного управления и поэтому (а(1) - /(1, г,У ф (а(1))- (/(1, г? .
Перейдем к решению этой проблемы.
Выражение, являющееся последним членом уравнения (16), можно интегрировать как корреляцию двух случайных процессов, статистически связанных друг с другом. Расщепление корреляции можно получить, используя формулу Фуруцу-Новикова [9, 10]. Из нее следует, что в приближении гауссовости возмущений, сделанном нами ранее относительно ёа(I), можно записать:
a
д
'd{t, Г, v/a))
(17,
где: Ka (t, t) - корреляционная функция для i -й компоненты ускорения ВС как материальной точки;
/Э/(t, г, v/a)\
да г('
усредненная вариационная (функциональная, производная. Согласно оп-
ределению вариационной производной и формуле (14, имеем:
df_
да,
■ lim
А®0
(р\т - rp (t' (t' - (v - Vp - dv(t' • t; V - - dv(t'] -
- rP (t' - (V - vp ' •t; v - VP (t,]
Iдаг (t'dt
(18,
Учитывая, что варьируемый функционал представим в виде некоторой дифференцируемой функции (функции ср(г, V) ) от других функционалов, (18) можно переписать в виде:
=I
j=1
д f ( дГ +1 df
д r
і V
д а д а
' J
д v
V,
j \
да
г J
(19,
Здесь функционалы г^ [а(т)] и у}. [а(т)] определяются соотношениями (10),(11) и их вариационные производные имеют вид :
ёг,■ [а (т)]
= ёу. - (I-т)-0-(1 -т) ; (20)
ё [а (т)] ёа{
где: ёу - символ Кронекера;
в(} - т) - обобщенная функция Хевисайда.
(21,
А
С учетом полученного выражение для вариационной производной (19) приобретает вид:
= гв(г-г)У.-в(г-г)У- . (22)
8аг д г д уг
Полученная формула решает проблему замыкания кинетического уравнения (16). Подставив (22) в (17) и далее в (16), находим вид уравнения, описывающего эволюцию функции распределения ошибок при определении состояния ВС:
1+v 4+a 4+f JL, JL1+f l<2> ±, 4'
dt dr dv l dv dr J 1 dr dr ,
fa = 0 ■ (23)
где L(1) и L(2) - диагональные матрицы с элементами:
t t
j* Kai (t-t)dr, jKai (t-T)dr, i = 1,3. (24)
0
Другими словами в покомпонентной записи оператор f L(1) | имеет вид
l dv dr J
3 t d 2
E j * • Кщ (t - t)dt--------. Аналогично расшифровывается и второй оператор.
i=1 0 i dri dvi
В качестве начального условия для (23) используется (1). Естественным дополнительным ограничением, накладываемым на решение, является условие нормировки:
jdvJdr^ft, r, v/a)3 = 1 . (25)
2.4. Замечания относительно способа вычисления корреляционной функции для компонент ускорения ВС
Решение уравнения (23) с начальным условием (1) гипотетически позволяет получить вид функции распределения ошибок состояния ВС, совершающего маневры, что необходимо для оценки риска столкновения воздушных судов. Для реализации этого подхода необходимо конкретизировать вид корреляционной функции для компонент ускорения ВС. Остановимся подробнее на этом вопросе.
Обозначим вектор в пространстве состояний ВС как твердого тела за X . Тогда da(t) = MX,
где M - прямоугольная матрица, «вырезающая» из X только те компоненты, которые описывают ускорения ВС как материальной точки.
Линеаризованные уравнения динамики ВС хорошо известны (см. например, [11]). Они представимы в виде:
X = AX + Bu, (26)
где u - вектор управлений, понимаемый традиционно [11]. Если управление идеально, то
u = К • X, (27)
если же отклонения от рекомендованных параметров полета фиксируется с ошибками
(i.e. X —— X + i(t)), а действиям пилота (или автопилота) также свойственны ошибки, описываемые случайной векторной функцией p(t), то соотношение (27) следует переписать:
u = К (X + X(t)) + Np (t) . (28)
Подставляя (28) в (26), находим
X -(A + BK )x = BK%(t) + BN • p(t) . (29)
Пусть G(t, t') матричная функция Грина для уравнения (29), тогда его решение можно записать в виде:
0
* ^ Г„ „ . ^ ^ "1
X(t) = X(0) + jG(t, t)[B •Kg(r) + B • Np(t)Jdt , (30)
0
где X(0) - случайный вектор, описывающий состояние ВС в начальный момент времени.
Подставляя (30) в (28), а затем полученный результат в (26), находим
. /„ » „ г„„. „„ л „„
X = (a + BK)X(0) + (a + BK)JG(t, t)[BKX(t) + BNp(t)Jdt + BK%(t) + BNp(t) . (31)
0
Если (31) домножить слева на матрицу М, то, как нетрудно видеть, мы найдем связь случайного процесса da (t) с порождающими его процессами £(t) и p(t):
da = M (A+BK )X (0)+M (A + BK )j G (t, *)[BK • X(t) + BN • p (*)]d*
0 (32)
+MBK • X(t)+MBK • p (t)
Соотношение (32) позволяет связать матричную корреляционную функцию ускорений ВС, необходимую для решения уравнения (23), с корреляционными функциями ошибок измерений состояния ВС и ошибок управления пилотом (автопилотом).
Заключение
В работе предлагается метод описания эволюции функции распределения ошибок состояния ВС при совершении им различных маневров. Такая постановка задачи особенно актуальна при анализе риска катастроф ВС в зоне аэропорта, поскольку отсутствие сколь либо достоверной методики вычисления этих функции приводит к невозможности использования существующих моделей расчета риска катастроф.
Полученное уравнение для функции распределения (23) учитывает не только неточность определения «начального» состояния ВС с помощью имеющихся технических средств, но и ошибки в управлении, допускаемые при пилотировании ВС.
Приведенные в работе результаты фактически закладывают основы полного оснащения универсальной марковской модели риска катастроф на воздушном транспорте.
ЛИТЕРАТУРА
1. Reich P.G. Analysis of long-range air traffic systems - separation standards. Part I, II, III // The Journal of Institute of Navigation, 1966, vol.19, p.88,169,331.
2. Hsu D.A. The evaluation of aircraft collision probabilities at intersecting air routes // The Journal of Navigation, 1981, vol.34, N1, p.78.
3. Kuznetsov V.L. Markov collision risk model. ICAO SASP-W6/WHL7/-IP/2, Monreal, May, 2005.
4. Кузнецов В.Л. Марковская модель оценки риска катастроф на воздушном транспорте.// Научный Вестник МГТУ ГА, серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов, № 91, 2005.
5. Анодина Т.Г., Кузнецов А.А., Маркович Е.Д. Автоматизация управления воздушным движением. - М.: Транспорт, 1992.
6. Lezaud P., Mehadhebi K. A synthesis of current collision risk models, SASP/WHL/5/WP30, Tokyo, Japan, 1728 May, 2004.
7. Mehadhebi K. On the integration of failure modes in quantitative risk assessment. ICAO SASP-W6/WHL7/-WP/12, Monreal, May, 2005.
8. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. - М., 1966.
9. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. 4.II Случайные поля. - М.: Наука, 1978.
10. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения. - М.: Физматлит, 2001.
11. Воробьев В.Г., Кузнецов С.В. Автоматическое управление полетом самолетов. - М.: Транспорт, 1995.
KINETIC APPROACH TO DESCRIPTION FOR EVOLUTION OF AIRCRAFT STATE UNCERTAINTY IN A PROBLEM OF COLLISION RISK CALCULATION
Kuznetsov V.L.
A new approach to equipment of collision risk model is proposed. It’s based on getting kinetic equation for mistake distribution function of aircraft state. Received equation takes into account not only inexactitude of technical equipment for aircraft state determining but also mistakes in driving during piloting.
Сведения об авторе
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор МГУТ ГА, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 80 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах.
