CC BY
146
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА Серия Прикладная математика. Информатика
№ 120
УДК 629.735
К ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ РИСКА СТОЛКНОВЕНИЙ
ВОЗДУШНЫХ СУДОВ
В. Л. КУЗНЕЦОВ, В. В. СОЛОМЕНЦЕВ
Проведен критический анализ современных моделей расчета риска столкновений на воздушном транспорте и предложена общая схема расчета, являющаяся инвариантным ядром в задачах рассматриваемого класса.
Введение
Множество современных моделей расчета риска столкновений на воздушном транспорте, отличающихся друг от друга степенью загрубленности принимаемых гипотез, отвечающей как сложности анализируемого элемента воздушного пространства, так и приверженности авторов к подходам Рейха [1] или Хсю [2], обладают общим недостатком, связанным с недостаточно корректным описанием неопределенности состояния воздушных судов (ВС).
Отметим, что стремление получить «инженерные» формулы для расчета реальных сложных динамических систем, каковыми являются пилотируемые автоматикой и человеком ВС, вряд ли можно считать оправданным, принимая во внимание малость допустимой величины риска столкновений и вытекающую отсюда необходимость работы с «крыльями» распределений. Кроме того, возможности современной вычислительной техники уменьшают притягательность простоты инженерных расчетов. Поэтому в этой работе мы, невзирая на потенциальные технические трудности реализации подхода, постараемся максимально корректно описать процедуру расчета риска столкновений на ВТ, выделив ее инвариантное ядро и акцентировав внимание на еще не решенных проблемах.
Анализ задачи расчета риска столкновений показывает, что она распадается на две основные части: расчет неопределенности состояния (координат и скоростей) каждого из ВС - участников потенциального конфликта в воздушном пространстве и собственно расчет вероятности столкновений при аналитически заданной неопределенности состояния конфликтующих ВС.
Подавляющее большинство авторов подобно Рейху и Хсю рассматривают лишь вторую часть задачи, полагая неопределенность состояния ВС заданной и соответствующей неопределенности состояния ВС, совершающего продолжительный автономный перелет по заданному маршруту. Однако, с точки зрения диспетчерской службы, постановка этой части задачи выглядит несколько иначе.
Получив сообщение о координатах и скорости объекта с борта ВС или от наземных служб контроля воздушного пространства, диспетчер должен либо одобрить программу полета, предложенную экипажем, либо внести корректирующие изменения. Обоснованно это можно сделать на основе решения задачи прогноза, т. е. расчета величины риска столкновений с использованием всей имеющейся на текущий момент информации о воздушной обстановке с учетом последних докладов экипажей. Другими словами, распределение неопределенности ВС должно иметь апостериорный, а не априорный, как это принято в современных работах [3-5], характер.
Для апостериорных распределений, учитывающих как исходную неопределенность состояния ВС, связанную с ошибками измерений, так и результаты ошибок пилотирования, гипотеза о независимости координатных и скоростных ошибок является некорректной. Учет корреляций этих ошибок существенно усложняет технологию расчета, но является необходимым элементом адекватной модели расчета риска столкновений. К сожалению, этот аспект задачи практически не исследован зарубежными авторами, а появившиеся в некоторых публикациях
замечания относительно необходимости учета ошибок пилотирования [6, 7] лишь подчеркивают предварительность стадии исследований в этом направлении.
Естественным, на наш взгляд, видится здесь кинетический подход к описанию эволюции функции распределения ошибок состояния ВС, позволяющий учитывать как ошибки навигационных систем, так и ошибки пилотирования.
1. Общая постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу. В момент времени t0 на границе зоны ответственности
диспетчерской службы фиксируется ВС, сообщающее параметры своего движения (статистика ошибок считается известной), декларирующее свои намерения и запрашивающее разрешение на вхождение в зону. До момента t0 в зоне находилось еще N ВС, плановые параметры полета
которых известны. Предполагается, что для этих ВС задача обеспечения безопасного пролета уже решена, и риск возможных катастроф находится в допустимых пределах. Необходимо оценить увеличение риска столкновений, связанное с появлением в зоне ответственности (N +1) - го ВС.
2. Общая схема расчета риска столкновений и значимые приближения
В этом разделе мы схематично рассмотрим этапы решения поставленной задачи, обсудим приближения модели и конкретизируем возникающие проблемы.
1. Поскольку до появления (N +1) - го ВС конфликтующих пар в воздушном пространстве
не было, опасные сближения могут возникнуть лишь с участием вновь появившегося объекта, т.е. достаточно рассмотреть лишь возможность парных столкновений. Это допущение является общепринятым.
2. Обычно полагается, что после разрешения на пролет зоны и до вмешательства диспетчерской службы экипаж управляет ВС без учета воздушной обстановки, т.е. без учета реального расположения и скоростей других участников воздушного движения. Это допущение позволяет провести декомпозицию задачи о парном конфликте, рассматривая независимо поведение каждого из ВС. Совместная функция распределения состояний конфликтующей пары в этом случае факторизуется, т.е. распадается на произведение «одночастичных» функций распределения ВС. Таким образом мы не будем учитывать наличие систем предупреждения опасных сближений, полагая сам факт возможного срабатывания такой системы эквивалентом серьезного брака в работе диспетчерской службы.
3. В силу различных факторов координаты и скорость каждого ВС являются случайными функциями времени. Вероятности мгновенных отклонений различных реализаций этих процессов от плановых параметров полета можно описать с помощью функции распределения / ^, г, V) в шестимерном фазовом пространстве. В этом случае ВС моделируется материальной точкой - центром выпуклой трехмерной фигуры, отображающей реальные размеры ВС (здесь требование выпуклости диктуется особенностями применимости модели Рейха). Конечно, более правильным был бы выбор модели ВС как твердого тела, имеющего шесть степеней свободы, но при этом размерность фазового пространства возросла бы до двенадцати, что создало бы несоразмерные с поставленной целью проблемы в решении задачи об определении соответствующей функции распределения ошибок. Поэтому разумным компромиссным решением при моделировании отклонений ВС от плановых параметров полета видится сочетание описаний ВС как материальной точки при нахождении / (^ г, V) и как твердого тела при определении его ускорений.
В таком приближении эволюция функции распределения ошибок описывается простым кинетическим уравнением вида
где а (^ - ускорение, определяемое из хорошо известной системы уравнений динамики ВС как твердого тела [8]. Эта система уравнений позволяет связать навигационные ошибки и ошибки пилотирования с 8а ^)- случайными вариациями ускорения ВС как материальной точки.
При решении (1) полагается, что плановые параметры полета, т.е. зависимости - г0^) и V (;) известны, и функция /(^ г, V) описывает вероятностные отклонения от них реальных значений параметров. Это обстоятельство можно учесть, трактуя / как условную плотность распределения и записывая / = /(^г,V | г)^),у0^)). Принимая во внимание очевидную связь у0^) = )/Л, зависимость от плановых скоростей полета будем опускать.
Заметим, что уравнение (1) оснащается начальными условиями: при t = t0 /(t0,г,V)- известная функция распределения, определяемая возможной величиной ошибок измерительной аппаратуры.
Существенным моментом для упрощения решения кинетического уравнения (1) является величина временного интервала, на котором это решение ищется. Так в режиме АЗН-В интервал Т между сообщениями о состоянии ВС равен 10 секундам. За это время, если ВС не совершает маневра, вкладом вариаций ускорений можно пренебречь, положив, что объект движется с постоянной скоростью, и уравнение (1) существенно упрощается:
В режиме АЗН-К интервал Т = 600 с, и сделанное выше предположение становится неправомерным - необходимо честно решать уравнение (1). Это наиболее сложный случай, в котором при учете управления, компенсирующего отклонения ВС от плановых параметров полета, кинетическое уравнение (1) следует дополнить динамической моделью ВС, учитывающей конкретные особенности управления (режим автопилота, ручное управление и т.д.) и случайные внешние воздействия (например, поле ветровых потоков).
Можно видеть, что в этом случае функция распределения ошибок становится нестационарным случайным полем, функционально зависящим в каждый момент времени t от случайных вариаций ускорения ВС во все предшествующие моменты времени. Более подробное обсуждение этих вопросов можно найти в работе [9].
После получения в том или ином приближении явного вида функции / = /^, г, v|Г)(t), )), t е Т для каждого ВС из конфликтующей пары можно переходить к
расчету вероятности столкновения - наиболее исследованной части задачи расчета риска катастроф. Здесь также целесообразно выделить два этапа.
4. Первый этап представляет интерес скорее в методологическом плане. Сведение задачи риска столкновений к классу задач о марковских процессах позволяет использовать хорошо развитый математический аппарат, не прибегая к рассуждениям, выглядящим порой с математической точки зрения не слишком убедительно [10].
Рассматривая случайную функцию Х = Х(Ю, t), tе[0, Т], юеО (О - пространство элементарных событий), равную нулю, если до момента времени t столкновения не произошло, и единице в противном случае, нетрудно убедиться, что она обладает марковским свойством, т.е. для любых ^ , t2, t3 е[0, Т] и удовлетворяющих условию 0 < ^ < t2 < t3 выполняется соотношение
(1)
э/
э/
(1а)
Р [Х^3 )|Х( t2 ) ,x(t1 )] = Р [Х( t3 )|Х( t2 )]
(2)
Для таких случайных процессов хорошо развит математический аппарат [11,12].
Вводя далее Р^) как вероятность того, что в момент времени t случайная функция ) равна нулю (катастрофы нет), а Р2^) как вероятность противоположного исхода, можно записать для них уравнения Колмогорова [11] с начальными условиями Р(0) = 1, Р2(0) = 0, которые означают, что в начальный момент достоверно известно, что катастрофы нет. В качестве параметра в этих уравнениях фигурирует величина Л12 - плотность вероятности перехода системы из состояния X = 0 в состояние Х2 = 1
столкновение произойдет, при условии, что в момент времени t катастрофы еще не было.
Решение системы уравнений Колмогорова для Р2^) имеет хорошо известный в литературе
вид
и его можно было бы не приводить, если бы не трактовка соотношения (3) как плотность вероятности перехода между состояниями. Различие в подходах к вычислению этой величины и определяет различие моделей Рейха и Хсю.
Отметим здесь важный момент. Плотность вероятности перехода между состояниями 12^) зависит от времени. Это связано с тем, что она определяется через /(^г, V| г)(t),у0^)),
где явно фигурируют зависящие от времени плановые параметры полета. Сохранение этой временной зависимости может оказаться полезной при анализе летных происшествий, например, выявлении моментов упущенной возможности коррекции полетов со стороны диспетчерской службы.
5. Следующий этап построения модели расчета риска столкновений связан с вычислением плотности вероятности перехода между состояниями ВС, т.е. величины \2(г). Здесь наиболее
значимыми являются два подхода - Рейха (основанном на формуле Райса) и Хсю. Далее мы покажем, что в этих подходах нет принципиального различия, если рассматривать основное соотношение подхода Хсю как некоторое приближение формулы Райса. Поскольку ни в пионерской работе Хсю [2], ни в дальнейших публикациях, касающихся этих вопросов, вывода основных соотношений не приводится, встречающиеся в литературе дискуссии о соотношении границ применимости моделей Рейха и Хсю вряд ли можно считать плодотворными.
Картина сопоставления указанных моделей вуалируется тем, что авторы рассматривают процессы сближения ВС в разных системах отсчета. Если у Рейха (формула Райса) для описания совместной функции распределения используется система отсчета, связанная с реальным (случайным) положением одного из ВС, то у Хсю система отсчета связывается с плановым положением ВС. Это означает, что если у Рейха функция распределения описывает случайный вектор положения второго ВС в случайной системе координат, то у Хсю близость ВС описывается статистикой разности уже двух случайных векторов (так называемой плотностью вероятности перекрытия), но в регулярной (неслучайной) системе отсчета. Оба способа описания являются корректными, и различие возникает лишь при интерпретации Хсю плотности вероятности перехода как объемного интеграла от плотности вероятности перекрытия по критической области. Здесь содержится основное приближение, сделанное Хсю. Замена
Здесь Р (Х(1 + At) = 1 X) = 0) - условная вероятность того, что к моменту времени ^ + Дt)
(4)
вычисления потока плотности вероятности (формула Райса) на указанный объемный интеграл справедлива лишь в случае, когда пересчитанная в другую систему отсчета плотность распределения вероятности состояния ВС практически постоянна внутри критической области. Выполнение последнего ограничения требует отдельной проверки, поскольку вертикальный размер критической области 1г » 15 г , а параметр распределения ошибок по ъ - компоненте в силу достаточно жестких ограничений эшелонирования по высоте - » 25 г .
3. Эволюция функции распределения ошибок состояния ВС на малых временных интервалах
Здесь мы рассмотрим подход, позволяющий определить явный вид функции распределения ошибок состояния ВС. Как было отмечено выше, в режиме АЗН-В интервал между сообщениями о состоянии (положении и скорости) ВС составляет 10 секунд. За столь короткий интервал времени изменением скорости ВС можно пренебречь, полагая его движение равномерным и прямолинейным. Такое допущение часто используется при моделировании риска катастроф [7], однако из него мы извлечем несколько иные следствия. Отсутствие ускорений позволяет переписать кинетическое уравнение (1) в виде
Э/ Э/ Э/ Э/
— + V, • — + V,, • —+ V • —
Эt Эх у Эу Эz В начальный момент времени t = t0 (в момент первого сообщения) неопределенность состояния ВС определялась лишь ошибками навигационной системы и с хорошим приближением гауссовыми распределениями по координатам и скоростям
51 ?0' - - - ’ --- ■■■'■ 212 21
/ (^, г , у\т0) =-----3----- ------------ехр \ ехр 1-------------\ ехр -{-----------[ х
(2р)3 ІЦааа [ 2% ] Р{ ^ Г П Г
а2
2а.
2
Здесь (х0, уо, z0, уох , у0у, у0г) - сообщаемые диспетчеру параметры движения ВС, а
( х, у, z, Vх , Vу, у2 )- возможные реальные значения этих параметров. При записи соотношения (6)
учтено, что измерения координат и скорости производятся независимо, поэтому независимы и соответствующие ошибки. Не слишком ограничивая общность задачи, мы допустили и независимость ошибок по различным координатам.
Закон изменения плановых параметров полета задается в рассматриваемом приближении простой системой
гоО) = го + ?о • (t - О ^) = сот1: (7)
Решение уравнения (5) будем искать методом редукции переменных [13]. Интегралы уравнения (5), необходимые для реализации редукции переменных, найдем методом характеристик. Согласно этому методу уравнение (5) эквивалентно следующей системе:
Лх Лу dz
= - = ^- = — (8) V V V,
2
Интегральные кривые этой системы называются характеристиками уравнения в частных производных. Вдоль этих характеристик решение (5) сохраняет постоянное значение.
Из (8) нетрудно видеть, что интегралом (5) является выражение вида
и = Г - V • t. (9)
Заметим, что фактически в (9) в векторной форме записаны три интеграла кинетического уравнения:
U = (их, иу, uz)
ux = x-V • t, иу = у-Vy • t, uz = z-vz • t.
Проведем в (5) замену переменных
t' = t, r ' = U (10)
О f
Учитывая, что вдоль характеристик решение не меняется, т.е. -------= 0, в новых переменных
dut
уравнение (5) приобретает очень простой вид
^ =о . (11)
о t
Отсюда следует, что функция распределения ошибок может быть представлена как произвольная скалярная функция p(U) интеграла U = r - V • t. Для конкретизации искомого вида за-
висимости теперь достаточно воспользоваться начальными условиями (6), подставив в них выражение для r из (9) при t = t0. Окончательное выражение для функции распределения ошибок состояния ВС как функции времени в компактном виде можно записать так
f foM)) =—-----------------------exp f-[F - (f + ^ - - (f0 + V<> -0] I x
(2p) L 2 J
exp J-(V - V)D'(V - V0) j (12)
и
Здесь В И и В-} матричные операторы, обратные к ВИ = diag (И, И, И) соответственно.
Выражение (12) показывает, что на относительно малых временных интервалах функция распределения отклонений ВС от плановых параметров полета остается гауссовой. Таким образом, основным результатом этого пункта является вывод о том, что при расчете риска столкновений в режиме АЗН-В использование рекомендованного ИКАО ВЕ - распределения, т.е. за-
^ И
висимости вида /ВЕ (х)=-----е И , является необоснованным.
2И
4. Вычисление плотности вероятности перехода между состояниями в модели Рейха
Рассмотрим пару ВС, плановые перемещения которых описываются вектор-функциями г01(ї) и г02(ї) в земной системе координат. Перейдем в систему отсчета, связанную с первым ВС (ВС1). Отметим, что поскольку истинное положение ВС1 случайно, то отдельно возникает вопрос о вычислении ошибок положения ВС2 в этой новой системе отсчета.
Будем полагать, что в каждый момент времени і известны распределения плотности вероятности состояний обоих ВС в шестимерном фазовом пространстве, связанным с землей, т.е.
известны функции распределения / (Г ,у| г01(і), У01(і)) и /2 (Г ,у| г02(і), У02(і)). Необходимо получить вероятностное описание состояния ВС2 в системе отсчета, связанной с реальным положением ВС1, координаты и скорость которого случайны.
Изменение состояния (6-вектора (г (і),у (і))) ВС при переходе из неподвижной (земной) системы отсчета в движущуюся описывается преобразованиями Галилея:
г'(і') = г (і) - V- і, і' = і (13)
и закону сложения скоростей
у'(і) = $(і)-V (14)
Здесь штрихованные величины относятся к движущейся системе, а не штрихованные к неподвижной (земной) системе координат.
При переходе в собственную систему координат ВС1 соотношения (13), (14) приводят к следующему выражению для вектора состояния ВС2 в фазовом пространстве
(г\$)=(г2 - $, $2 - V! ) (15)
Из (15) следует, что вектор состояния (г', V) представим в виде разности двух случайных 6-мерных векторов (г2,У2 ) и (тх,V ).
В теории вероятностей хорошо известна формула для распределения суммы двух независимых случайных векторов [12], записываемая в виде свертки соответствующих функций распределения. Нетрудно показать, что в нашем случае мы имеем:
™(г', $| 4(і X 4(і)) = | ^ / (гіА Іг01(і) )/2 ($+^ $+?1 |4(і)) (16)
Здесь штрихованные величины соответствуют новой системе координат. Плановые характеристики полета, исполняющие роль зависящих от времени параметров распределения, в новую систему не пересчитываются. \2 - реальная скорость ВС2 в системе, связанной с истинным
положением ВС1 (по модулю совпадает с относительной скоростью движения ВС).
Пусть О - критическая область (область столкновения), т.е. область вокруг ВС1, при попадании в которую центра ВС2 неизбежно произойдет столкновение. Далее мы будем полагать О сферой радиуса Я, хотя полученные результаты справедливы для любой выпуклой области, в частности для цилиндра или прямоугольного параллелепипеда.
Пусть событие А заключается в том, что \2 є Ж,Ж + ДЖ и к моменту времени (і + Ді)
катастрофа произойдет при условии, что до момента времени і столкновения не было. Оно может иметь место в том, и только в том случае, если в момент времени і ВС2 было вблизи области О (область 8 О на рис.1), но не внутри нее
Рис. 1. Графическая иллюстрация соотношения области столкновения по Хсю (G ) и области грядущего столкновения (80), определяющей переход в состояние катастрофы за время &
В соответствии с формулой (3) Аt необходимо устремить к нулю. Тогда для малых Аt 8О есть множество точек, удаленных от границы О на расстояние не большее, чем (\2,п, где п - внутренняя нормаль к границе ЭО области О в точке ее пересечения реализацией случайной траектории ВС2. Вероятность события А может быть записана как в виде объемного интеграла по области 8 О, так и в виде поверхностного интеграла по ЭО - границе области О . Поскольку, в соответствии с формулой (3), перед предельным переходом Аt ® 0 соответствующая условная вероятность делится на Аt, то из двух возможных представлений для Р(А), записанных в (17), следует оставить второе выражение, описывающее поток плотности вероятности через границу области
р( А) = | w(H,/, у2 |?010 X 4 ^ ))Ог2 -АЖ »
8О
А | (у2,п)•#((тл2,п))(^Х^Фйа Ш (17)
ЭО
Проинтегрировав (17) по спектру возможных относительных скоростей, находим:
р (^+А0=1 Х(0 =0 )=А^ ^2 • | (т?2,п )•#(( у2,п )) ^(ад ^ (18)
ЭО
Отсюда для 12 (t) имеем
Л,2(0 = |^2 • | (^2,п)-#(($2,п))™&2 К^Х^^. (19)
ЭО
В (17)-(19) в((у2, п)) - #-функция Хевисайда, учитывающая тот факт, что ВС может только влететь в критическую область, но не вылететь из нее. То есть в поверхностном интеграле
(19) следует учитывать только «входящий» в О поток плотности вероятности. Это соответст-
вует символу «+» в модели Рейха.
5. Вычисление плотности вероятности перехода между состояниями в модели Хсю
Отличие подхода Хсю [2] от описанной выше модели Рейха заключается в следующем.
1. Система отсчета, в которой Хсю рассматривает вероятное столкновение ВС, связывается с номинальным, а не реальным, как у Рейха, положением ВС1. В этом случае центр критической области смещен относительно начала системы отсчета и его координаты случайны.
2. Фактически Хсю предлагает заменить интегрирование по области 80 на интегрирование по О (рис. 1). При этом предполагается, что в соотношении (3) предельный переход можно не совершать, положив временной интервал Аї равным среднему времени пролета критической области. Заметим, что погрешности, связанные с таким приближением и сделанные для каждого момента полетного времени ї є (0, ї), могут многократно увеличиваться при интегрировании по времени (4).
Рассмотрим реальное взаимное расположение двух ВС в системе координат, связанной с плановым (номинальным) положением ВС 1 (рис. 2).
На рис. 2 введены следующие обозначения: г1 - радиус-вектор, описывающий реальное положение ВС 1, Б0(ї) - радиус-вектор планового положения ВС 2, г2 - вектор, описывающий отклонение в положении ВС 2 от планового, р - вектор смещения геометрического центра ВС 2 относительно от центра ВС 1, 0К (т^) - критическая область перекрытия с центром в точке реального расположения ВС 1 .
Из рисунка видно, что
Г2 + ^) = Г1+Р
(20)
Если р| < Я, то есть конец вектора г2 принадлежит области Ок , то имеет место столкнове-
ние.
х
Рис. 2. Схема взаимного расположения ВС в модели Хсю
Полагая реальные положения ВС независимыми и распределенными в соответствии с плотностями распределения /1(Г1), /2(Г2), можно найти вероятность столкновения Рд (ї) в момент времени ї с помощью следующих рассуждений: вероятность того, что центр ВС 1 будет находиться в малой окрестности некоторой точки г* (это значитР(<3тх) = УК^*)^), а центр
ВС 2 попадет в критическую область ( | /2(г2)ёг2) в силу независимости положений ВС
ок (г -ад))
определяется произведением
/Ю | у2 (г2 )^г2 .
(21)
0Я (г $0(ї))
Отметим, что /2(г2) определена в системе отсчета, связанной с плановым положением
ВС 2 . Поэтому центр области перекрытия ОЯ соответствует точке (т[* -£0^)), что нашло свое отображение при задании области интегрирования в (21).
Интегрируя (21) по возможным реальным положениям ВС 1, находим
Р„ (0 = К/^) I Л^)^ (22)
Ок (?! —^))
Фигурирующий в (22) интеграл является повторным, т.к. область интегрирования внутреннего интеграла зависит от тх.
Делая последовательно две замены переменных во внутреннем интеграле (22) г2 = г}+ р — £0 ^), ? = £0 - р, приходим к выражению:
Рио(t) = || /2(г1— $0(0+р)Лр = || /2 (^— ?)^ (23)
Ок (0) ое (.?0(г))
Первая замена переменных соответствует переходу в систему координат, связанную с реальным положением ВС 2 , поэтому центр области интегрирования имеет нулевую координату
- 0Я (0). Вторая замена упрощает подынтегральное выражение и смещает центр области перекрытия в точку £0 (;). Отметим попутно, что поскольку при замене переменных в подынте-
гральном выражении (23) появляется модуль якобиана преобразований, то вторая замена не приводит к смене знака всего выражения.
Теперь в повторном интеграле в (23) можно изменить порядок интегрирования. В результате получаем:
где СС?) = | ?) - введенная Хсю плотность вероятности перекрытия ВС.
Соотношение (24) дает значение вероятности столкновения ВС в момент времени t, которое, согласно допущению 2 настоящего пункта, совпадает с условной вероятностью
Р (Х( + Аt) = 11 X) = 0), фигурирующей в формуле (3).
Напомним, что это совпадение искусственное, оно обусловлено специальным выбором величины Аt, равной среднему времени пролета критической области О . Усреднение здесь проводится по различным точкам пересечения ВС 2 границы ЭО с некоторой, вообще говоря, случайной относительной скоростью. Для упрощения выкладок мы опустили в этом пункте упоминание о зависимости распределений /1(г1), /2(г2) от скоростей ВС. После восстановления этой зависимости - расширения до фазового пространства, плотность вероятности перекрытия начинает зависеть не только от ?, но и от скоростей конфликтующих ВС. Окончательный ответ получается после усреднения по этим скоростям:
Анализ подходов к проблеме расчёта риска столкновений на воздушном транспорте показывает, что современная модель, которую можно положить в основу оценки уровня безопасности ОрВД, включает в себя две основные последовательно решаемые задачи. Первая посвящена оценке степени неопределённости состояния ВС, вторая опирается на решение первой и связана непосредственно с расчётом вероятности столкновения. Исторически так сложилось, что основное внимание аналитиков было приковано в первую очередь ко второй задаче. Поэтому ее, учитывая отмеченную в этой статье взаимосвязь подходов Рейха и Хсю, можно считать фактически решённой, а оставшиеся технические препятствия - носящими субъективный характер.
Относительно первой из выделенных задач важно отметить следующее. Использованное в настоящее время большинством авторов и рекомендованное ИКАО т.н. ДЕ - распределение для позиционных ошибок ВС вряд ли можно признать удовлетворительным, по крайней мере по двум причинам: во-первых, использование только координатного представления автоматически влечёт за собой принятие жёсткой гипотезы о независимости позиционных и скоростных ошибок; во-вторых, на коротких интервалах автономного полёта при интенсивном обмене информацией по каналу борт-земля ошибки состояния ВС однозначно определятся ошибками измерительной аппаратуры и на интервалах между докладами экипажа остаются гауссовыми.
Таким образом, задача об эволюции функции распределения ошибок состояния ВС в процессе автономного полёта с учётом как уровня навигационного обеспечения, возможных отказов технических систем, так и ошибок пилотирования представляется сейчас весьма актуальной.
(24)
0Х ( So(t))
(25)
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
1. Reich, P.G. Analysis of long-range air traffic systems - separation standards. Part I, II, III // The Journal of Institute of Navigation, 1966, vol.19, p.88,169,331
2. Hsu, D.A. The evaluation of aircraft collision probabilities at intersecting air routes // The Journal of Navigation, 1981, vol.34, N1, p.78
3. Lezaud P., Mehadhebi K., A synthesis of current collision risk models, SASP/WHL/5-WP30, Tokyo, Japan, 1728 May 2004
4. Mehadhebi K., Application of the Rice formula to the desing of stationary and non stationary collision risk models, Honolulu, SASP-WG/WHL/4-WP/30
5. Грибков И.М., Спрысков В.Б., Щербаков Л.К. Модель оценки риска катастроф ВС при движении по пересекающимся воздушным трассам на одной высоте // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов, №91, 2005
6. Mehadhebi K., On the integration of failure modes in quantitative risk assessment, SASP/WHL/7-WP12, Montreal, Canada, 9-20 May, 2005
7. Fujita M., Nagaoka S., Amai O., Safety assessment prior to implementation of 50NM longitudinal separation minimum in R220 and R580, SASP/WHL/9-WP14, Montreal, Canada, 22 May - 2 June, 2006
8. Воробьев В.Г., Кузнецов С.В. Автоматическое управление полетом самолетов. - М.: Транспорт, 1995.
9. Кузнецов В.Л. Кинетический подход к описанию эволюции неопределенности состояния воздушного судна в задаче расчета риска катастроф // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, № 105, 2006.
10. Mehadhebi K., A unified framework for collision risk modeling in the airspace planning manual document with further applications, , SASP/WHL/9-WP12, Montreal, Canada, 22 May - 2 June, 2006
11. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М., Наука, 1985.
12. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.В. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М., Наука, 1985.
13. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.,
1966.
ON A PROBLEM OF COLLISION RISK MODELING OF AIRCRAFT
Kouznetsov V.L., Solometsev V.V.
A critical analysis of current collision risk models on air transport was performed. A general calculation procedure, as an invariant core of problems in consideration is suggested.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 90 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, безопасность полетов.
Соломенцев Виктор Владимирович, 1957 г.р., окончил МИЭМ (1980), доктор технических наук, профессор, академик Российской академии транспорта, директор ФГУП «Г осНИИ «Аэронавигация», заведующий кафедрой ВМКСС МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов -системы связи, навигации и наблюдения, организации воздушного движения, моделирование.
