Моделирование неопределенности состояния воздушного судна, выполняющего маневры Текст научной статьи по специальности «Математика»

2006

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Студенческая наука

№ 110

АЭРОДИНАМИКА, ДИНАМИКА ПОЛЕТА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭКСПЛУАТАЦИЯ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ

УДК 629.735

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СОСТОЯНИЯ ВОЗДУШНОГО СУДНА, ВЫПОЛНЯЮЩЕГО МАНЕВРЫ

М.Е. КУЗЬМИНА, А.А. КРЫЛОВА Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Развивается новый подход для расчета функции распределения ошибок состояния воздушного судна, основанный на использовании кинетического уравнения. В качестве примера рассмотрена задача эволюции функции распределения при совершении воздушным судном маневра.

Введение

В задачах безопасности полетов одним из важнейших параметров, определяющих уровень риска катастроф, является вероятность столкновения воздушных судов (ВС) в расчете на один час полета.

На оценку этой величины можно опираться при проектировании воздушных трасс и определении пропускной способности воздушного пространства. Особенно важна оценка риска столкновений в зоне аэропорта, где скапливается большое количество ВС, одновременно совершающих маневры. Существующие модели риска катастроф [1,2] подчеркивают важность степени неопределенности положения ВС как источника опасных сближений и катастроф на воздушном транспорте.

Под ошибками (неопределенность) состояния ВС будем понимать случайные отклонения его координат г и скорости V от плановых параметров полета. Эти ошибки порождаются множеством факторов, например:

ошибки наземных радиотехнических и бортовых навигационных комплексов при решении задачи определения состояния (координат и скорости) ВС;

ошибки летчика или автопилота при совершении маневров; неблагоприятные погодные условия.

Рис. 1. Графическое представление опасных сближений ВС

Для задачи оценки риска катастроф можно выделить несколько постановок [3]: расчет риска катастроф для ВС, движущихся по одной трассе или по пересекающимся, столкновения ВС с наземными объектами и т.д. В случае, если известна функция распределения ошибок состояния ВС, то математические постановки этих задач будут очень близки, в определенном смысле эквивалентными.

Для оценки вероятности столкновения, как и во всех существующих моделях подобного рода [1-3], используется функция распределения ошибок состояния ВС, т.е. вероятность отклонения ВС от предполагаемых параметров полета. Поэтому в данной статье будет рассмотрена следующая задача: найти функцию распределения ошибок состояния ВС, считая, что пилот управляет идеальным образом. Катастрофа или опасное сближение (рис. 1) происходит из-за некорректного определения начального положения ВС системами навигации и управления.

1. Постановка задачи

Пусть в момент времени определено состояние ВС - (г1,у1). Заметим, что из-за ошибок навигационного оборудования реальные параметры полета отличаются от плановых параметров. В данной работе функцию плотности вероятности состояния ВС в начальный момент времени будем считать известной:

/ Г, УГ1 , VI ) (=0 = р[(г - г^Ху-у^ (1)

где ^[(г - г1 ), (у - у1)] - некоторая заданная функция в 6-мерном пространстве.

Так как скорость и координата измеряются различными приборами, то ошибки при определении координаты и скорости будем считать независимыми и нормально распределенными. Будем полагать, что пилот управляет ВС «оптимальным образом», исходя из того, что зарегистрированное состояние (Г, V ) является истинным, а в некоторый конечный момент времени

I = 1к > 0 ВС должно быть переведено в состояние (гк, Ук ). На интервале времени [0,1к ] пилот

больше не получает дополнительную информацию о состоянии ВС.

Требуется определить функцию распределения ошибок в последующие моменты времени, т.е. плотность вероятности отклонения реального положения ВС от планового, как функцию времени, и исследовать трансформацию функции распределения при совершении ВС таких маневров, как: смена эшелона, поворот в горизонтальной плоскости и т. д.

2. Метод решения кинетического уравнения для функции распределения ошибок

Для определения функции распределения / воспользуемся кинетическим уравнением, записанным в 6-мерном пространстве:

д/ у д/ ^ д/ _ (2)

— + у- — +------— = 0, (2)

дt дг т д У

здесь У = (ух,У ,Уг), г = (х,у, г), а — = ар (т) - ускорение ВС, как материальной точки, кото-у т

рое мы полагаем заданной функцией времени.

Несильно ограничивая общность задачи, рассмотрим её в одномерном случае. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

д/ д/ д/ п (3)

-^- + У~ + ар (т)-^- = 0. (3)

дt дх дУ

Для удобства введем следующие обозначения для расчетных скоростей и координат ВС:

Ґ

Пр | аР

0 (4)

г

хр (г) _ ¡ур (*')а*+X

р

0

Решение уравнения (3) будем искать с помощью метода редукции переменных [4]. Для его использования необходимо знание интегралов движения. Перейдем к их определению. Уравнение (3) может быть представлено в виде следующих равенств.

йг _ йх _ йу

1 у ар (О '

Интегральные кривые этих соотношений называются характеристиками уравнения (3). Вдоль этих характеристик решение (3) сохраняет постоянное значение. Используя (5), вычислим первый интеграл уравнения (3):

г

йу _ ар (т)йт®у_ | ар (т)йт_ур (г) + у1 . (6)

0

Отсюда: у _у-ур (г)

Теперь подставим результат (6) в исходное и уравнение (3) и найдем второй частный интеграл для координаты, вводя следующую замену переменных.

~ _ г; х _ ~; у _у _у-ур(г);

Э/ Э/

Э~+(у+ур« ))-э~

Последнее эквивалентно следующему уравнению:

01 = Сх 1 У +Ур (~)

Интегрируя, находим:

х = |У +ур(~))с~ = у • г + Хр (?) .

0

Отсюда следует, что второй интеграл уравнения (3) имеет вид:

У 2 = У •г + хр(г) - х . (7)

Повторяя процедуру редукции переменных, имеем: 7 = г, х = у2;

% = 0 .

а г

Последнее означает, что решение (3) не зависит явно от времени и представляет собой произвольную функцию интегралов (6), (7). Из этого множества решений выбирается то, которое

удовлетворяет начальному условию (1).

Из (6) и (7) при 1=0 имеем:

|У = У +УР (0) = У +У1 (8)

1 х = -у2 + у • 0 + хр (0) = х1 - у2

Подставляем полученные выражения (8) в уравнение (1), т.е. запишем функцию плотности вероятности, учитывая, что при этом истинное состояние ВС описывается парой (г ,у ):

р[х у] = р[(х - х1 X (у - у)] = р[(х - хр (г)) - г(у - ур (г)), (у - ур (г))]. (9)

Обобщим теперь результаты на 6 мерное фазовое пространство. Будем использовать следующие обозначения:

У = {ух,УуУ), Г = (хy,г), (10)

г

V

,(г) = | ар (т)Ст + ^ X Ур (гк ) = Vк

0 (10а)

Гр (г) = I Ур (т)Ст + Г0(гX Гр (гк ) = Гк

0

Следовательно, функция плотности вероятности для 6-мерного случая имеет вид:

/(t, г, У) = рр - Гр(г) - (V - Vр(г)) •г; V - Ур(г)]. (11)

3. Пример эволюции функции распределения при конкретном виде управления

Предположим, что управление воздушным судном осуществляется по следующему закону:

х = -а(х - х0) -Ь х. (12)

Решение (13) имеет вид:

\(Р+4Р2-4 а)/2) • г1 \(Р-1Р2-4а)/2) • г "1

х = с1 •е\ 1 + с2 •е\ ]. (13)

Константы с1, с2 находятся с учётом начальных условий х(г 1) = х1, х/(г1) = у1 :

с = (х-у^-а1х^)/еаг‘; с2 = у1- а^х1 . (14)

Ь - а 2 (Ь - а) • ен

Здесь

а _

2 2 С помощью (13) и (4) находим расчетные параметры полета:

Ъ _р ^ . (15)

і

ур(г)_{Х(г)йг + у1 _.г + у1 _с1 а-еа‘ +с2 ■ Ъ■ еЪ‘ + у1

(16)

хр(г) = \ур(г)Сг + х1 = х(г) +х1 = с1 •еа'г + с2 • еь'г + х1

0

С учетом (16) закон эволюции функции распределения ошибок в состоянии ВС, описываемый в (9), полностью определен.

Положим, что ошибки состояния ВС в начальный момент времени распределены по нормальному закону, т.е.:

-[(х-хр )-г • (У-Ур )]2 -У-Ур ]2

р[х, у] =-----1------е 2 °х2 е 2 Сту2 . (17)

2^ °у °х:

В результате получаем:

р[хуУёу

~(х-хр ) 2-а2

л/2

р а

(17а)

Здесь а - стандартное отклонение а = ^

а0х2 + І2 -аУУ

Рис. 2. Зависимость стандартного отклонения ВС от плановых параметров полета

Из приведенного графика видно, что стандартное отклонение по каждой из координатных осей монотонно возрастает, асимптотически приближаясь к линейной зависимости вида о х = оу -7, которое определяется стандартными отклонениями по скоростям в начальный момент времени.

Обобщая (17) на 6-мерный случай, имеем:

р\ху] = -

р)]2 -[(у-уР )-І-(у -у е

ї-їр )-І-У г -п

2- а

2- аг'

р )]2 -[У -Ухр \2 -Уу-Уур ] -[У-Угр \2

2- аУ 2 2- а 2 2- аУ 2

е е е Уг

(2р) ахауага,хаа

Проводя выкладки, аналогичные приведенным в п.2, получаем:

1

-( х-Хр )2 -( у-ур )2 -( г - гр )2

Ы7

-■е

2-а‘

2- а:

2-а‘

ах ау а г

(18)

(18а)

где ах

■4

■4

а0 у 2 + І 2 ауу 2; аг

■4

а0г2 + І2 аУ2".

Это соотношение понадобится нам в дальнейшем. Зависимость о от I представлена на рис.2.

4. Функция распределения ошибок при совершении маневра ВС

Рассмотрим эволюцию функции распределения ошибок состояния ВС, приступающего к совершению маневра в некоторый момент времени і1 = 0 . Пусть этот маневр заключается в повороте ВС на прямой угол. При этом ВС движется по дуге окружности радиусом Я0, со скоростью ,0 на фиксированной высоте Н . Такие маневры часто совершаются пилотом в воздушном

пространстве аэропорта.

Явная зависимость плановых параметров полета от времени выглядит следующим образом:

Г0(ґ) = {^0 8Іп(«І), Я0 - Я0 С08(®І), Н}

у0(і) = У0 со$(аі)У0 $,Іп(аі),0}

1

е

2 а

е

е

е

Рис. 3. «Расползание» эллипсоида ошибок при совершении маневра, представленное в сопровождающей системе отсчета

Будем полагать, что в начальный момент вид функции распределения ошибок гауссов. Тогда ее можно представить в следующем виде:

(р[г,гу | г0,п0] = —^ехр}- gTЕ Д (20)

(2р)3

где

^х - Я0 8Іп(ш?) - і(ух - у0 сов(аґ)), у - Я0 + Я0 сов(аґ) - і (уу - у0 8Іп(ш?)), г - Н - і уг, Ух -у0 С0$(ЮІ),Уу -у0 $Іп(Ш), уг

Е =

1

2а2х 2а2у 2а2г 2ау 2 2ау 2 2ау

-}.

Тогда квадратичная форма ятX я при повороте системы координат будет изменяться следующим образом

яте я = я'тЕ'я , где я = и-я, х' = (ит)-1 Е ия'т = ятит,

тт р

где и - матрица поворота на —.

В результате получим:

ехр

/ (І, г, V) = -

у1

- + -

2ау2 2ах2

+

(г - Н -угг)2 , (ух -у0Ь)2 , (уу -у0а)

2аг

+

2а„

+ -

2а„

- + -

2а„

(л/2р)3

- аааа а а

к-'х^ у^

(21)

где а = Бт(^ г), Ь = соб(^ г),

х1 = х -Я0а - г(ух -уоЬ), у = у -Я0 + Я0Ь -г(уу -у0а).

В обычном анализе используется не фазовое, а координатное пространство. Для этого проинтегрируем распределение (21) по компонентам вектора скорости. Рассмотрим два момента

ттЯ0 ^

времени г1 = 0 - начало маневра и г 2 =---- - окончание маневра. Проделав соответствующие

2 у

выкладки, получим:

X

1

1

1

1

1

2

2

2

V

х

)

г

2

2

2

2

у

i i К —0dV — фру

-¥-¥-¥ 'V /

-i-S +4-+^

2sX 2а\ 2sZ

SSySz

(22)

где

А

¥ ¥ ¥ Ш

j

dv —

' x2 2 y ( z -H)2

e 2 • sx e 2 • Sy e 2 • Sz

(V2p)3 • ах' Sy s2

pR 0 2,

sn

Sy —

Sy2 +

^pRo' 2,

r

s, —

pRo

2,

(23)

В настоящее время в работах по безопасности полетов подразумевается по умолчанию, что функция распределения ошибок состояния ВС после совершения маневра (например, поворота) сохраняется, т.е. эллипсоид ошибок поворачивается вместе с ВС. В силу этого предположения, для ВС, совершившего маневр, используются те же распределения, что и при прямолинейном полете. Сравнивая (22) и (23) видно, что эта посылка ошибочна.

U —

2v.

2

2

2

2

2

2

2

Sx +

—

Заключение

В работе развивается новый подход к описанию эволюции функции распределения ошибок состояния ВС, совершившего маневр. В основе рассмотрения лежит аппарат кинетической теории.

Рассмотрен пример изменения функции распределения ошибок для конкретного вида маневра (поворота) при заданном управлении.

На примере поворота ВС показано, что функция распределения ошибок приобретает существенные изменения, поэтому нельзя считать, что после выполнения маневра функция распределения имеет тот же вид, что и при прямолинейном полете.

ЛИТЕРАТУРА

1. Reich P.G. Analysis of long-range air traffic systems - separation standards. Part I, II, III // The Journal of Institute of Navigation, 1966, vol.19, p.88,169,331

2. Hsu D.A. The evaluation of aircraft collision probabilities at intersecting air routes // The Journal of Navigation, 1981, vol.34, N1, p.78

3. Кузнецов В.Л. Марковская модель оценки риска катастроф на воздушном транспорте // Научный Вестник МГТУГА, серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов, №90(8), 2005

4. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М., 1966.

MODELING OF AIRCRAFT STATE UNCERTAINTY DURING MANEUVERING

Kuzmina M.E., Krylova A.A.

A new approach to a problem of mistakes distribution function calculation of aircraft state is developed. Kinetic equation forms of a basis of this approach. The problem of distribution function evolution during maneuvering has been considered as example.

Сведения об авторах

Кузьмина Мария Евгеньевна - студентка 4 курса МГТУ ГА факультета прикладной математики и вычислительной техники.

Крылова Анастасия Александровна - студентка 4 курса МГТУ ГА факультета прикладной математики и вычислительной техники.

12 М.Е. Кузьмина, А.А. Крылова