CC BY
120
© Ю.А. Алюшин, В.М. Рачек, П.М. Вержанский, 2009
Ю.А. Алюшин, В.М. Рачек, П.М. Вержанский
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ И ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТИПОВЫХ ТРЕХЗВЕННЫХ МАНИПУЛЯТОРОВ
Приведены математические модели двух типов трехзвенных манипуляторов с двумя вращательными и одной поступательной кинематическими парами на основе описания движения в форме Лагранжа с применением принципа суперпозиции, позволяющими определять кинематические характеристики для любых частиц каждого из звеньев. Для расчета силовых параметров использован анализ энергетических потоков с учетом любых режимов работы приводов. Ключевые слова: уравнения движения, переменные Эйлера и Лагранжа, принцип суперпозиции, компоненты скорости и ускорения, энергетические потоки, обобщенные силы.
Манипуляторы являются механической основой большинства роботов с любой системой управления: с жёсткой программой действий, управляемые человеком-оператором или с искусственным интеллектом, действующие целенаправленно без вмешательства человека.
Благодаря простоте и надежности, манипуляторы с двумя вращательными и одной поступательной кинематическими парами широко применяются, наряду с традиционными средствами автоматизации, в мелкосерийном производстве и в производствах с вредными условиями труда, при выполнении вспомогательных операций технологического цикла, таких как транспортировка, установка или снятие деталей. В частности, в горном деле такие манипуляторы являются основным механизмом буровой каретки, используются для подъёма элементов крепи и т.д.
Приведенные ниже кинематический и динамический анализы проведены с использованием принципа суперпозиции, описанием движения в пространстве переменных Лагранжа, силового расчета на основе анализа энергетических потоков [1-2]. Методика отличается от общепринятой, основанной на использовании матричных уравнений [3-4]. В качестве переменных Лагранжа ав е (а, р, у)
приняты начальные координаты частиц а = О0, р = О0, у = z0 .
Нижние индексы «t» при обозначении линейных и угловых координат соответствуют их дифференцированию по времени.
Звено 1 робота, структурная схема которого показана на рис. 1, совершает вращательное движение относительно оси z с угловой скоростью ф2( за счет привода, условно расположенного в точке О.
Второй независимый привод, размещенный в точке А с начальными координатами (0, 0, LI), обеспечивает вращательное движение звена
2 относительно оси x1. Начальное значение угла принимаем равным 0, текущее значение в дальнейшем обозначено фб. Угловая скорость
фб t является независимой переменной и должна быть определена с
учетом маршрута передвижения захвата D с транспортируемой массой mD = = const.
Звено 3 с захватом D может перемещаться поступательно вдоль направления АВ за счет дополнительного независимого, например реечного, привода в точке В с переменными Лагранжа (0, L2, Li).
Рис. 1. Структурная схема трехзвенного робота с двумя вращательными и одной поступательной кинематическими парами
Для любых частиц звена 1 с начальными координатами а, p, у уравнения движения в форме Лагранжа имеют вид (Лфz - угол поворота звена 1):
X = а cosЛфz -p sin Лфz, У = а sin Лфz +p cosЛфz, z = у . (1)
Дифференцируя систему (1) по времени, получим выражения для скоростей частиц звеньев 1, 2 и 3, если приводы в точках А и В отключены:
Xt = -ф^ (а sin Лфz + p cos Лф.,) = -ф^У,
Уt = Фz,t(аcosЛф! - p sin Лфz) = ф!^, (2)
z = 0.
После повторного дифференцирования находим компоненты ускорения частиц:
Xtt = -фz tt (а sin Лфz + p cosЛфz) - (фz t )2 (а cosЛфz - p sin Лфz) =
= -фz,tty - (фz,t)2 X,
Уп = фz tt (а COSЛфz - p sin Лфz) - (фz t)2 (а sin Лфz + p cosЛфz) = (3)
= Фz,ttX - (ф^ )2 У,
Звено 2 совершает вращательное движение относительно оси х1, проходящей через точку А(0, 0, LI). Уравнения движения звена в переменных Лагранжа при условии, что вращение звена 1 отсутствует:
z = L, +РsinАфб + (у-L1)cosАфб .
Компоненты скоростей и ускорений частиц звеньев 2 и 3 при вращении звена 2:
X = а,
У = p cosЛфб - (у - Li)sin Лфб,
(4)
Xt = О,
Уі = -фx,t[p sin Лфx + (у - L1 )cosЛфx] = -фx,t (z - L1 )>
zt = Ф^[p cos ЛФx,t - (у - L1 )sin ЛФx,t] = Ф^У ,
хи = 0,
Ytt = -фхд [P sin Афх + (у - L1 )C0S Афx] - (фх,( )2 IP C0s Афх -
-(у - L, )sin Афх ] = -фхд (z - L, ) - (ф^ )2 y, (6)
zt =фx,tt [P COs Афх - (у-L1)sin Афх] - Kt )2 X x[p sin Афх + (у- ^)^Афх ] = фх,„У - (фхд )2(z - L, ).
Привод звена 3 обеспечивает поступательное движение захвата D вдоль оси у
х = a, y = р + u, z = у, (7)
где u(t) — перемещение захвата вдоль прямой АВ в произвольный момент времени, u(t)=0 при t=0. Компоненты скорости и ускорения частиц звена 3 при отсутствии вращений от приводов О и А:
х t = 0, yt = ut, zt = 0, (8)
х tt = 0 Ytt = utt, ztt = 0 . (9)
Движение звена 3 является внутренним по отношению к движению звена 2. Заменяя переменные Лагранжа в уравнениях движения (4) звена 2 соответствующими выражениями для переменных Эйлера (7) звена 3, получим уравнения совмещенного движения для частиц звена 3 [1] х = а,
у = (р + u)cosАфх - (у- L,)sin Афх, (10)
z = L, + (р + u)sin Афх + (у - L, )cos Афх,
которым соответствуют компоненты скорости х, = 0,
yt = ut cos Афх - фхд [(р + u)sin Афх + (у - L, )cos Афх ], (11)
z, = u sin Афх + фхд [(р + u)cosАфх - (у - L, )sin Афх].
Эти уравнения справедливы для любых частиц звена 3, в том числе при одновременной работе приводов в точках А и В, т.е. при фх t Ф 0 и ut Ф 0 .
Совмещенное движение (10) звеньев 2 и 3 является внутренним по отношению к движению звена 1. Чтобы получить уравнения совмещенного движения за счет всех приводов робота, достаточно вместо переменных Лагранжа в системе (1) подставить правую часть соответствующих уравнений (10) совмещенного движения звеньев 2 и 3
х = a cos Аф2 - [(р + u)cos Афх - (у - L,)sin Афх ]sin Аф2, у = а sin Аф2 + [(р + u)cosАфх - (у - L,)sin Афх]cosАф2, (12)
z = L, + (р + u)sin Афх + (у - L, )cosАфx .
Компоненты скорости совмещенного движения можно получить как по общепринятой методике (векторная сумма скоростей переносного и относительного движения), так и дифференцированием по времени уравнений (12)
х, = -ф^a sin Аф2 - ut cos Афх sin Аф2 + фх, [(р + u)sin Афх +
+(у - L,)cosАфх]sin Аф2 - ф2,,[(р + u)cosАфх - (у - L,)sin Афх] x X cos Аф2,
yt = ф2,а cos Аф2 + ut cos Афх cos Аф2 - фх, [(р + u)sin Афх +
+(у - L, )cosАфх]cosАф2 - ф21 [(р + u)cosАфх - (у - L, )sin Афх] x (13) X sin Аф2,
2t = u sin Афх + фхд [(р + u)cosАфх - (у - L,)sin Афх] .
Повторным дифференцированием можно получить компоненты ускорений частиц, в том числе транспортируемой массы mD. В данной работе уравнения не приведены из — за ограниченного объема статьи.
Применяя приведенные выше кинематические соотношения для центров масс звеньев, определим скорость изменения кинетической и потенциальной энергии, а затем, используя закон сохранения энергии, обобщенные силы, приведенные к точкам крепления каждого из 3 приводов, обеспечивающих работу механизма. В частности, для определения обобщенных сил, приведенных к точке В, запишем уравнение энергетического баланса для звена 3 (направление силы Р совпадает с направлением вектора скорости ut)
(0хх, + ОуУ, + Q2zt )B + Мхвфх< + M2B ф 2, t + Pu =
= (^Л + Fyyt + F22t )C3 + JxC3фх ,,фх,, + J2C3ф2,ttф2,t + (14)
+ mD (х,,х, + yttyt + ztztt )D + JxDфх ,,фх,, + JzDф2,ttф2,t +
+mзg(z, )nз + mDg(z, )d .
Компоненты скорости точки В можно получить из уравнений (13), принимая u = 0 и соответствующие лагранжевы координаты точки,
(х, )в = ф 2, t а в sin Аф2 +фх,, [рв sin Афх + (у в - L,)cos Аф х ]sin Аф2 -ф2,t [рв cos Афх - (у в - L, )sin Афх ] cos Аф2 ,
(У, )в = ф 2,tа в cos Аф 2 -фх,, [рв sin Афх + (у в - L,)cos Афх ]cos Аф 2 -ф 2, t [рв cos Афх - (у в - L,) sin Афх ]sin Аф2, (15)
(z, )в = фх,, [рв cos Афх - (у в - L )sin Афх ].
Переходим в правой части от скоростей точек С3 и D к компонентам скорости точки В (15) с помощью кинематических соотношений (13), например для центра массы звена С3 исходные уравнения
(xt)/vз = ф2,tамз sin Аф2 - ut cosАфх sin Аф2 +
+фх,,[(рйз + u)sin Афх + (у^ - L,)cosАфх]sin Аф2 --ф2,,[(рйз + u)cosАфх - (у^з - L,)sin Афх]cosАф2,
(у, )N3 = ф2, tаМ3 cos Аф2 + u cos Афх cos Аф2 -
-фх,,[(рЙ3 + u)sin Афх + (уЯ3 - Li)cosАфх]cosАф2 - (16)
ф2,t[(рй3 + u)cosАфх - (у^ - L,)sin Афх]sin Аф2,
(z,N = u, sin Афх + фх,,[(рш + u)cosАфх - (уЛ3 - L,)sin Афх]
преобразуем к виду
(xt )N3 = (xt )а - ф2, t (аЛ3 - а в )sin Аф2 - ut cos Афх sin Аф2 +
+фх,, [(рЯ3 + u -рв )sin Афх + (уЯ3 - L -у в )cos Афх ]sin Аф 2 -ф 2, t №/V3 + u -рв )cos Аф х - (у N3 - L - у в )sin Афх ]cos Аф 2,
(У, )м3 = (У, )а + ф*,ай3 ^ЛФг + и C0SЛФх C0sЛФ2 -
-ФхдКРлз + и-Рд)э1пЛфх + (у^ - L1 - уд)cosЛфх]cosЛф2 - (17)
-фz,t №/N3 + и -рл )c0s Лф х - (у N3 - Ц -у л )siп Лф х ]^п Лф 2 >
2 N = (Zt )д + и, 9П Лфх + фх,, [(Ря 3 + и -Рл )^ Лфх -
-(уN3 - L1 -ул ^п Лфх ].
Аналогичные преобразования проводим для точки D подвески транспортируемого груза. Приравнивая коэффициенты при одинаковых линейных и угловых скоростях в обеих частях энергетического баланса (14), получаем усилие на приводе в точке В
В = -[(^х )С3 + mD (хи )й ]C0SЛфх SІП Лф2 + [(Ру )С3 +
(18)
+mD (у№ )D ]cos Лфх cos Лф 2 + [^ )С3 + mD 2 )D ]ап Лфх
и обобщенные силы, приведенные к точке В, характеризующие скорость изменения «работы внешних сил» или приток мощности от приводов в точках О (на поворот механизма относительно оси «г») и А (на поворот механизма относительно оси «х»)
(0Х )В = (^х )С3 + mD (х» )й , (0у )В = (^у )С3 + Щй (уп )й ,
^ )в = щ 3[(2,, )* 3 + д]+щ[(2 )й + д],
МхВ = (^хС3 + ^хй )фх,» + (^х )С3[(РС3 + и -РВ )Э*п Лфх +
+(уС3 - L1 -у В ) Х C0S Лф х ]SІП Лф 2 - (^у )С3[(РС3 + и-РВ )SІП Лф х +
+(Ус3 - L1 -уВ)cosЛфх]cosЛф2 +
+[(^т)С3 + тс3 9][(рс3 + и -рв)cosЛфх - (ус3 - L1 -уВ^п Лфх ] +
+(тх#)й[(Рй + и-Рв)апЛфх + (уй - ^ - уВ)^Лфх]апЛф2 - (19)
-(туп )й[(рй + и -рв ^п Лфх + (уй - L1 - уВ )c0sЛфх]c0sЛф2 +
+тй[д + 2 )й№й + и -РВ)а^Лфх - (уй - L1 - уВ^п Лфх]
M 2в = (JzC3 + JzD )ф 2, tt + (Fx )С3{[(рС3 + u рв )cos Афх -(ус3 - - ув)sin Афx]cosАф2 - (аС3 -ав)sin Аф2} +
+(Fy)с3{ас3 cosАф2 - [(рс3 + u- рв)cosАфx - (уС3 - - ув) X
X sin Афх ]sin Аф2} + (mx,, )d{[(рD + u- рв )sin Афх +
+(у D - - у в )cos Афх ]sin Аф2 - (аD - ав )sin Аф2} +
+(mytt )D {а D cos Аф 2 - [(PD + u -рв )sin Афх + (у D - -у в ) X
x cos Афх ]cos Аф2 } .
Уравнения (19) записаны в самом общем виде, с учетом совпадения части лагранжевых координат точек А, В и D
(а a = ав = а d = 0 , у A = у в = у D) они могут быть преобразованы к более простым формам.
Условие энергетического баланса для точки А имеет вид
(Qxxt + OyYt + Q2zt )а + MxAфх,, + M2Aф2,t =
= (Fxxt + Fyyt + Fzzt )C2 + JxC2 фх ,,фх,, +
+ J2C2 ф 2, tt ф 2,t + mC2 g(zt )C 2 + (<Q2xt + YttYt + ztztt к + (20)
+ M2вФz,t + MбвФб,t + тв (xtxtt + YtYtt + ztztt )в +
+ ^хЛфх,,,фх,, + JzAф2,ttфz,t + mAg(zt )a .
Первые четыре слагаемые в правой части определяют мощность, расходуемую на изменение кинетической и потенциальной энергии звена 2, последующие 3 — на перемещение звена 3 с массой mD. Мощность на поступательное движение звена компенсируется внешним источником через привод в точке В, который имеет массу тВ и моменты инерции JxB и JzB. Затраты энергии на движение привода (поворот относительно осей х и z) учитывают последние 5 слагаемых правой части уравнения.
Так как координаты точки А остаются неизменными, в левой части уравнения ненулевые значения могут принимать только последние слагаемые в виде произведения моментов пар сил и угловых скоростей
MxAфх,, + M2Aф2,t = (Fxxt + Fyyt + Fzzt )C2 + JxC2фx,ttфх,, +
+ J2C2ф2,ttф2,t + mc2 g(zt )C2 + (Q2xt + Yt,yt + ztztt )A + (21)
+M2вФ2,t + MбвФб,t + m (xtxt, + y,y,t + ztzt, )в +
+ ^хДфх,Пфх,, + JzAф2,ttфz,t + mAg(zt )A .
Уравнения для компонент скорости центра массы С2 звена 2 можно получить из системы (13), подставляя соответствующие координаты Лагранжа и принимая ut = 0. Линейные скорости точек С2 и В выражаются через угловые скорости фх, и ф2,
(xt )n2 = ф2,tаМ2 sin Аф2 + фх,, [р^2 sin Афх +
+^N2 - L1 )cos Афх ]sin Аф2 - ф2, t [рЛ2 cos Афх -
-(уn2 - L1 )sin Афх]cosАф2,
(yt )N2 = ф2,tаЛ2 cos Аф2 - фх,, [р«2 sin Афх +
+(уn2 - L1 )cos Афх ]cos Аф2 - (22)
ф 2, t ^N2 cos Афх - ^N2 - L1 )sin Афх ]sin Аф 2 ,
(zt )N2 = фх,, Pn2 C0SАфx - (у N2 - L1 )sin Аф х ] .
Для точки В уравнения сохраняют такой же вид, но должны быть использованы координаты Лагранжа ад, рд, уд. С учетом
этих кинематических соотношений для моментов Мха и MzA, обеспечивающих вращательное движение звеньев 2 и 3 с массой тВ, получаем
MxA = (Fx Ырс2 sin Афх + (у с 2 - LJcos Афх ]sin Аф2 -
-(Fy)С2[рс2 sin Афх + (ус2 - L1)cosАфх]cosАф2 +
+(F2 )С2[рС2 C0SАфx - (у С 2 - L1 )sin Афх ] + JxC2 ф х, tt +
+(Qx )в [рв sin Афх + (ув - LJcosАфх] sin Аф2 --(Qy)в [рв sin Афх + (ув - LJcosАфх]cosАф2 +
+(Q2)в[рв cosАфх - (ув - L1)sin Афх] + ^в + ^хвфx,tt +
+mc2 д[рс2 cos Афх - (у С2 - L1 )sin Афх ] + mвg[Pв cos Афх -+(ув - L1 )sin Афх]
482
M zA = -(Fx )с 2{[рс 2 cos Афх - (ус 2 - L )sin Афх ]cos Аф2 +
+ас2 sin Аф 2} - (Fy )с2{[рс2 cos Афх - (у C2 - LJsin Афх ]sin Аф 2 +
+ас 2 cos Аф 2} - (Qx )в {[рв cos Афх - (у в - LJsin Афх ]cos Аф2 +
+а в sin Аф 2} - (Qy )в {[рв cos Афх - (у в - L, )sin Афх ]sin Аф2 + (23)
+а в cos Аф 2} + mB [(x,t )в {[рв cos Афх - (у в - L1 )sin Афх ] sin Аф 2 +
+а в cos Аф 2} + mB (y ,t )в {[рв cos Афх - (у в - L1 )sin Афх ] sin Аф 2 +
+а в cos Аф2} + M2в + J2C2 ф2, tt + ^2вф2,„ .
Компоненты «главного вектора» силы в точке А не производят мощности, т. е. по существу являются «пассивными» силами. Их значения можно определить из общепринятых уравнений статики
(Qx )а = (Fx )с2 + (Qx )d , (Qy )а = (Fy )С2 + (Qy )d ,
(Q2 )A = (F2 )с2 + mc2 + (Q2 )D , (24)
однако нарушение используемых выше кинематических связей, в частности появление линейных скоростей точки А, может привести к превышению этих значений.
Структурная схема, начальное положение и система координат для второго робота приведены на рис. 2. Ось z совмещена с вертикальной стойкой, вдоль которой может перемещаться звено 1, например за счет привода в точке А(0,0, h). В точке В звена 1 с начальными координатами а = а, р = 0, у = h закреплен привод, обеспечивающий вращательное движение звена 2 относительно вертикальной оси с угловой скоростью у,. Звенья 2 и 3 образуют в точке
D также вращательную кинематическую пару с возможностью вращения (за счет дополнительного привода) относительно вертикальной оси с угловой скоростью .
При лагранжевых координатах точек А(0, 0, h), В(а, 0, h), D(b, 0, h) независимые движения каждого звена из показанного на рис. 2 исходного состояния описывают уравнения:
звено 1: х = а, y = р, z =у + u2 (t), (25)
Рис. 2. Система координат и обозначения для механизма с 3 степенями свободы
звено 2:
звено 3:
х = а + (а - а) cos Ау - р вїп Ау, у = (а - а) вїп Ау + рCOSАу,
г = у,
х = Ь + (а - Ь) сов А^-р вїп А£, у = (а - Ь) вїп А^ + р сов А^, г = у.
(26)
(27)
Уравнения совмещенного движения при любых режимах работы приводов можно получить, используя дважды, как для робота с кинематической схемой на рис. 1, принцип суперпозиции. В результате получаем
х = а + [b - а + (а - b) cosАЕ -р sin АЕ]cosАу--[(а - b) sin А^ + р cosАЕ]зп Ау, y = [b - а + (а - b) cosА^-р sin А^эт Ау + +[(а - b)sin А^ + рcosАЕ]C0SАу,
z = у + uz (t).
Первые два уравнения системы могут быть преобразованы к виду
x = a + (b - a) cos Ащ + (a - b)cos^^- + А£) - (sin(Ащ + А£), (29) y = (b - a) sin Ащ + (a - b)sin( Ащ + А£) + ( cos^^- + А£).
Этот же результат для частиц звена 3 можно получить более простым путем, если учесть, что шарниры В и D при неподвижной точке А допускают лишь плоскопараллельное движение. В общем случае при вращении относительно подвижного полюса уравнения плоскопараллельного движения имеют вид [1-2]
x = xD +(a- aD) cos А^- ((- (D )sin А^, (30)
y = yD +(а-а D ) sin Аф+ (р-ро )cos Аф.
По существу системы (29) и (30) совпадают, так как при работе двух приводов угол поворота равен алгебраической сумме Аф = Ау + АЕ,, а текущие координаты полюса D будут
xD = а + (b - a)cos Ау, yD = (b - a)sin Ау.
Совмещая внутреннее движение (30) с поступательным внешним движением звена 1, окончательно получаем систему
x = a + (b - a) cos Ащ + (a - b) cos^^' + А£) - ( sin( Ащ + А£), y = (b - а^ Ау + (а - b) 9П(Ау + АЕ) + р C0S(Ау + АЕ), (31)
z =у + uz (t) .
Для конструкции робота на рис. 2 соотношения между компонентами скоростей частиц различных звеньев принимают более простой вид, чем для робота на рис. 1, в частности для частиц звена
3 (за полюс принята точка D)
х = (х, ь-Е, (у - УD), Уі = (у, )D+Е, (х - xD), г = г ^ , (32)
и частиц звена 2 (за полюс принята точка В)
х, =-у, (У - УА), У, = Е, (х - хд), г, = (г, )А . (33)
При массе транспортируемого груза тЕ, закрепленного в точке Е с координатами Лагранжа Е^=Ь+с, 0, к), обобщенные силы, приведенные к кинематическим координатам точки D, с учетом энергетического тождества
(0хх, + ОуУі + )D + МгЬЕ, = (рхх, + руУ{ + )С3 + ^С3Е,,Е +
+тсъд(г,)с2 + тЕ (х,,х, + У,,У, + г,г,,)D + ^Е,,Е, + тЕд(г,)е определяют уравнения
(Ох )D = тЕ (х,, )Е + (Рх )С3 , (Оу ^ = тв С^гг )в + С^у )с3,
(Ог )D = тЕ [д + (г,, )е ] + р )ез + тез д, (35)
MzD = ^С3Е ,, + ^еЕ,, - (Рх )С3(УС3 - УЬ ) - тЕ (х,, )Е (УЕ - УD ) +
+(Ру )С3(х03 - хь ) + тЕ (Ун )Е (хЕ - хь )
Мощность МгЬЕ, на поворот звена 3 с грузом т поступает через привод в точке D от внешнего источника и не передается на шарнир В, на котором поставляемую от приводов в точках А и В мощность определяют обобщенные силы
(Ох )в = (Ох )D + (Рх )с2 , (Оу )А = (Оу )ь + (Ру )с2 ,
О )В = (те2 + ть )д + (Ог )Ь + (Рг )С2 ,
М гВ = (^С2 + )у,, - (рх )С2(УС2 - УВ ) - (Ох )Ь (УЬ - УВ ) +
+(РУ )С3 (х02 - хв ) + (Оу )Ь (хь - хв )
В дополнение к силам (Qx )0 , (@у)В в правой части учтены
масса тВ и момент инерции JD привода, закрепленного на шарнире
B, энергия на перемещение которых должна поступать от приводов в шарнирах А и В.
Обобщенные силы, приведенные к кинематическим характеристикам шарнира А, составляют
(Qx )А = (^ )В + (^х )С1 , (0у )А = (0у )В + (^у )С1 ,
(Qz )А = (тС1 + тв )9 + (Qz )В + (Fz )С1 ,
М А = (^С1 + ^В )Е» - (^х )С1 (ус1 — У А ) — (0Х )В (ув — У А ) +
+(^у )С1 (ХС1 — ХА ) + ^у )В (ХВ — ХА )
Моменты МхА и МуА относятся к пассивным обобщенным силам (не производят мощности) и поэтому должны быть определены на основе поля виртуальных скоростей или общепринятых уравнений статики, т. е. можно принять
МхА = —(Fz )С1 (ус1 — уА ) — ^ )В (УВ — уА ),
МуА = (^ )С1 (ХС1 — ХА ) + (Qz )В (ХВ — ХА )
Приведенные выше уравнения позволяют анализировать энергетические потоки в системе, определить требуемую мощность каждого из приводов, оценить прочность элементов механизма и его устойчивость по получаемым результатам и общепринятым методикам.
------------------------------------------ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных Лагранжа.// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. №3.
C. 13-19.
2. Алюшин Ю.А. Силовой расчет шарнирно-рычажных механизмов на основе анализа энергетических потоков. Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. №2, с. 125-133.
3. Механика промышленных роботов: Учеб. пособие для втузов: В 3 кн./Под ред. К. В. Фролова, Е. И. Воробьева.—М.: Высш. шк., 1989.— 383 с.: ил.
4. Теория механизмов и механика машин: Учеб. для втузов/ К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др. М.: Высш. школа, 1998. — 496 с.: ил. ШИН
Alyushin Y.A., Rachec V.H., Verganskiy P.H.
THE KINEMATIC AND DYNAMIC ANALYSIS TYPICAL THREE —
LINKS MANIPULATORS
Mathematical models of two types three — links manipulators with two rotary and one forward in kinematics steams on the basis of the description of movement in the form of Lagranzh with application of a principle of the superposition Are resulted, allowing to define kinematics characteristics for any particles of each of links. For calculation of power parameters the analysis of power streams taking into account any operating modes of drives is used.
Key words: The movement equations, variable Euler and Lagranzh, a superposition principle, components of speed and acceleration, the power streams, the generalised forces.
Коротко об авторах
Алюшин Ю.А. — доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика», е-mail alyushin7@gmail.com Рачек В.М. — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика», е-mail kaf_tpm@msmu.ru
Вержанский П.М. — профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика».
Московский государственный горный университет,
Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru
