Управление движением навигационного робота мощностью приводов ведущих колес Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

© Ю.А. Алюшин, П.М. Вержанский, М.Н. Калинкин, 2013

УДК 531.8+681.51

Ю.А. Алюшин, П.М. Вержанский, М.Н. Калинкин

УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ НАВИГАЦИОННОГО РОБОТА МОЩНОСТЬЮ ПРИВОДОВ ВЕДУЩИХ КОЛЕС

Для описания движения мобильного навигационного робота использован принцип суперпозиции с описанием движений в форме Лагранжа с наложением трех простых движений. Уравнения для скоростей и ускорений получены дифференцированием уравнений пространственного движения. Угловые скорости и ускорения ведущих колес использованы в качестве аргументов при расчете составляющих кинетической энергии поступательного и вращательного движения, скорости их изменения и мощности, подаваемой на ведущие колеса. Приведены примеры управления простыми и сложными движениями робота.

Ключевые слова: принцип суперпозиции движений в форме Лагранжа, кинетическая энергия, мощность приводов, ведущие колеса.

В последнее время навигационные роботы получают широкое распространение для работы в особо опасных условиях, в том числе в горной промышленности. Алгоритмы управления ими реализуются, как правило, на основе точных аналитических выражений, которые не требуют интегрирования дифференциальных уравнений и поэтому могут быть использованы при моделировании работы навигационных систем на продолжительных интервалах времени [1, 2]. В данной работе предложен один из возможных вариантов управления роботом через мощности независимых электроприводов колес с использованием описания движения в форме Лагранжа [3, 4].

Систему отсчета наблюдателя (рис. 1, а) принимаем так, чтобы в исходном состоянии оси ведущих колес робота были ориентированы вдоль оси у, а их пересечения с плоскостями симметрии колес имели координаты А(с, b, r) и B(c, d, r). Движение робота в пространстве переменных Лагранжа можно рассматривать как наложение трех движений:

а) вращательного движения колес относительно собственных осей,

б) дополнительного вращения робота относительно оси, проходящей через произвольно выбранный полюс параллельно оси z, которое возникает за счет разности окружных скоростей ведущих колес,

в) поступательного движения полюса.

С учетом ориентации колес в исходном состоянии, вращение принадлежащих им частиц в плоскости xOz описывают уравнения x = c + (а - c) cos Дф + (у - r) sin Дф ,

У = P, (1)

z = r - (а - c) sin Дф + (у - r) cos Дф,

где а, р, у — лагранжевы (начальные) координаты рассматриваемой частицы по

направлениям осей x, У и z, соответственно.

а

A(c,b,r)R

б yi

t=0L

И

0t ■

B(c,d,r)R

о

A(c,b,

t>0L

(c,d'r)R

о

Рис. 1. Исходное (a) и текущее (b) положения навигационного робота

Разность угловых скоростей ведущих колес приводит к вращению относительно оси, параллельной оси z. В качестве полюса для описания этого вращательного движения можно принять точку А. Тогда уравнения внешнего наложенного движения принимают вид x = с + (а - с) cos Д9 - (Р - b) sin Д9 ,

у = b + (а-с)sinД9 + (р-b)cosД9 , (2)

z = у.

Используя принцип суперпозиции, получаем уравнения совмещенного движения для любых частиц колес А и В с начальными координатами (а, р, у)

x = с + [(а - с) cos Дф + (у - г) sin Дф] cos Д9 - (р - b) sin Д9 ,

у = b + [(а - с) cos Дф + (у - г) sin Дф] sin Д9 + (Р - b) cos Д9 , (3)

z = г - (а - с) sin Дф + (у - г) cos Дф.

Для частиц колеса А уравнения (3) за счет р = b принимают более простой вид

x = с + [(а - с) cos Дф + (у - г) sin Дф] cos Д9 ,

у = b + [(а - с) cos Дф + (у - г) sin Дф] sin Д9 , (3а)

z = г - (а - с) sin Дф + (у - г) cos Дф.

Расстояние от любой частицы колеса В до точки А остается постоянным (x - с)2 + (у - b)2 + (z - г)2 =

{[(а - с) cos Дф + (у - г) sin Дф] cos Д9 - (Р - b) sin Д9}2 + + {[(а - с) cos Дф + (у - г) sin Дф] sin Д9 + (Р - b) cos Д9}2 + + [-(а - с) sin Дф + (у - г) cos Дф]2 =

= [(а - ^cos Дф + (у - г) sin Дф]2 + (Р - b)2 + [-(а - с) sin Дф + (у - г)cos Дф]2 =

= (а-c)2 + (р-b)2 + (у-r )2

или (x - a)2 + (у - b)2 + (z - r)2 = (а - a)2 + (р - b)2 + (у - r)2 . (4)

Траектории точек А и В, ассоциируемых с осями колес, после наложения движений «а» и «б», можно найти по приведенным уравнениям с учетом указанных выше значений переменных Лагранжа. Точка А, которая принята в качестве полюса, остается неподвижной и сохраняет координаты (см. ур - ие 3а) х = с, у = b, z = r, а точка B перемещается по окружности (см. ур-ие 3)

x = с - (d - b) sin Д9 , у = b + (d - b) cos Д9 , z = r (5)

или (х - с)2 + (у - b)2 = (d - b)2 , z = r . (5а)

Будем считать, что точка А совершает поступательное движение по некоторой плоской кривой

х = x(t) , х = х(t) , z = r = const ф z(t) . (6)

Платформа и ось колеса В в этом внешнем движении также перемещаются поступательно в соответствии с уравнениями

х = а + uA (t), у = р + vA (t), z = r = const ф z(t) . (7)

Особо отметим, что если заданы угловые скорости, тогда компоненты перемещения точки А должны быть получены интегрированием линейных скоростей по времени. Поэтому в дальнейшем сначала находим скорости

(xt)a = ^r cos 9 , (yt )a = y^ sin 9 , (8)

а затем перемещения

t t t t Ua(t) = J(xt)Adt = rJ y cos[9(t)]dt , Va(t) = J(yt)Adt = rJy sin[9(t)]dt. (9)

0 0 0 0

Для простейших вариантов движения, например, для движения по кругу, интегрирование может быть выполнено в явном виде (см. ниже).

Уравнения совмещенного движения можно записать через компоненты вектора перемещения

x = a + u(t) + [c - a + (а - c) cos Дф + (у - r) sin Дф] cos Д9 - (р - b) sin Д9 ,

y = b + v(t) + [c - a + (а - c) cos Дф + (у - r) sin Дф] sin Д9 + (р - b) cos Д9 , (10)

z = r - (а - c) sin Дф + (у - r) cos Дф .

При одновременном вращении обоих колес кинематические связи сводятся к дифференциальным соотношениям

r(dф - dy) = Ld9 или d9 = (r / L)^ - dy) = (r / L)^t - yt )dt. Отсюда находим

9t = (r/L)^ -yt) при L = =lb-dl. (11)

Если изменение углов и угловых скоростей колес во времени будет известно, решение сводится к последовательному определению кинематических ха-

рактеристик вращательного, а затем поступательного движения, мощности, момента и сил на осях ведущих колес

r r r

9t = L^ ), 0ÍÍ = L), 9 = 0° + L(ф-V), (12)

t t

uA (t) = Хд -a a = rj v cos 0dt, ^ (t) = yA -PA = r Jvt sin 0dt. (13)

°°

Все последующие соотношения представлены через независимые функции угловых скоростей или углов поворота, которые определяют поведение робота в любой момент времени.

Ниже приведены уравнения для скоростей и ускорений осей колес и центра масс платформы симметричного робота при rA = rB = r, ac = 0,5(aA +aB),

Pc = 0,5(P a +pb ): точка A

(xt)A = Vtr cos 0 , (yt)A = V^ sin 0 ,

2

(Xtt)A = V^r cos 0 - Vt0tr sin 0 = yttr cos[L(ф - v)] - L Vt (фt - Vt) sin[L(ф - v)] ,

(Xtt)A = r jvt cos[-L (ф -v)] - -L Vt (фt - Vt) sin[L (ф - v)]^ , (Уи)A =Vtr sin 0 + Vt0tr cos 0 ,

(ytt) A = r jvtt sin[ L (ф-v)] + -L Vt (фt - Vt) cos[ -L (ф-v)]} ,

tt xA = aA + r J Vt cos 0dt, yA =PA + r J vt sin 0dt,

0 0

точка В

xB = xA - (d - b) sin Д0 , yB = yA + (d - b) cos Д0 ,

(Xt)в = (xt)a -0t (Ув - Уа) = (xt)a -0t (d - b) cos 0 ,

(yt)в = (yt)A +0t(xb -xa) = (yt)A -0t(d -b)sin0 ,

(xtt )b = (xtt)A - 0* (d - b) cos 0 + 02 (d - b) sin 0 ,

(ytt)в = (ytt) A - 0tt (d - b) sin 0 - 02 (d - b) cos 0 ,

(xtt )в = (xtt) a - (Ув - Уа ) - 02(xb - xa ) ,

(У^) в = (ytt)a +0^(xb - xa ) - 02 (Ув - Уа ) .

Лля точки С из простых геометрических соотношений находим

xc = 2Г(^a + хв), Vc = 2(Va + Ób),

(X,)с = 2[(Щ)д + (X,)в], (у,)с = 2[(у,)д + (у,)в],

()с = 2[(Х*)д + (Х*)в] > (у,, )с = 2[(У*)д + ()в] •

Составляющие кинетической энергии, характеризующие поступательное (Екп) и вращательное (Еку) движение колес и платформы, а также скорости их изменения (Щкп, Щ^) для каждого элемента робота определяют уравнения: колесо А

(Екп) д = 0,5 шА (гу, )2, () а = 0,5 ^ (у, )2

(Щкп ) А = тА (ХХ + УУ ) А = 0,5 тАГ 2(У2), = тАГ 2У, У* , (Щ ) А = 0,5 JA (У2), = ЗдУ, у^ , Щ ) А = (тдг2 + JА Н У* = ЗРдУ, У,, ,

колесо В

(Еп)в = 0,5тв(х,2 + у,2)в = 0,5тв[г2у2 + (d - Ь)2 92 - 2г(d - Ь)у,9, ], (Еь )в = 0,5 Зв (ф2),

(Щкп)в = тв(хА + У,У„)в = тв {г2У,У,, + (ё - Ь)2 ©^ - 2г(ё - Ь)(9,,у, + 9,у^)),

или (Щ)в = твФ,г2[ф,, - у^(1 + ё—Ь)] + тву,г2(1 + —Ь)(2у,, -ф,,),

Ь г

(Щ ) в = 0,5 Зв (Ф^ = Зв Ф, Ф,, , платформа С

(Еп )с = 0,5тс (х,2 + у,2)с = (1/8)тс {[[ )д -9, (Ув - Уд )]2 + [[, )д +9, (хв - Хд )]2),

(Екп)с = 8тс[4(х,2 + У,2)а - 4у,9,г(ё - Ь) +3292], (Екч)с = 0,59,2,

.... . 1 2Д .1 ё - Ь.. 1 2г .1 ё - Ь. ,5 0ё - Ь..

(Щкп)с = ^тсФ,г [2Ф,,(2+2тсУ,г [-Ф*(2+_Т~) + У„(2+2~Г~

г2 г2

(Щ )с = Зс9,9,, = 3Т(Ф, - У, )(Ф,, - Ук)Зс = 32 Зс[Ф, (Ф^ -У,,) -У, (Ф^ -У,,)].

При движении по прямой (ф, = у,) выполняются соотношения

(Щкп )А = тАг2У,У^ = (Щкп)в = твг2ф,Ф,, , (Щкп)с = тсг2У, У^ = тсг2Ф,Ф,, ,

(Щ )А = ЗдУ,У,, = (Щ )в = ЗвФ,Ф^ , (Щ )с = 0 •

Энергетический баланс Щ = МдУ, + МвФ, = (Щп + Щ ) А + (Щп + Щ ) в + (Щп + Щ )с (14)

должен выполняться при любом соотношении угловых скоростей 158

Рис. 2. Движение навигационного робота по кругу

Рис. 3. Вращение навигационного робота относительно центра масс

We = mAr2YtYtt + mBr\ [-Ytt (1 + + mBr2yrt (1 + ^ ) +

+2 mcr 2Фt [-2 ф^ -ytt (2+~L")]+2 mcr 2 Yt [-ф^ (2+r~) + Ytt (2+2 —H1)]+

.1 d - b.. 1

(— +-)] + —

2 L 2

. 1 d - b. .5 _ d - b,

(— +-) + Ytt (— + 2-

2 L Ttt 2 L

+JAYtYtt + JbФt+ L2 Jc(Фt - Yt )(Фtt - Ytt) •

Обобщенные силы в виде моментов на приводных валах можно найти по уравнениям

2 2/л d - bwo .1 2r ,1 d - b. ,5 0d-b.,

MA = mAr Ytt + mBr (1+- ф*)+2mcr [-ф*(2+~L~) + y^(2 + 2_L +

2

б

-0,15 -0,2

б)

Рис. 4. Движение робота по заданной траектории (а) и соотношения между моментами на ведущих колесах (б)

+ЗдУ,,- 32 Зс(ф* -у,, ^

ё - Ь

1 ё - Ь

мв=твг 2[ф^ - у,(1+гз1)]+2 тсг 2 [2 ф^ -у* (2+Г31)]+^ + 32 ^ (ф,, -у*) •

Проверку расчета проводим по выполнению баланса (14)

МдУ, + МвФ, = (Щп + Щ ) А + (Щп + Щ )в + (Щп + Щ )с •

Расчеты проведены для нескольких вариантов изменения углов поворота и угловых скоростей ведущих колес. Вариант 1:

... л, % . %,

ф = а) + а1 , ф, = т а1 со;5 2т", ф„ =

( ^ \ %

2Т

^ м У

А, б1П

2т1

у = в0 + в1 с°э

2Т

У, =

% %, -в Э1п-

2Т

2Т

У,, =■

( % ^

2Т

^ 12 У

в1 с°э

2т2

2

б

Рис. 5. Траектории точек А и В (а) при соотношении между моментами (б)

Если углы и угловые скорости изменяются пропорционально, например V = -ф ,

тогда получаем движение «по кругу» (рис. 2) с соотношениями

Vt = % , Vtt = ^,

. . . %t % . %t (% Y . %t

ф = A° + A-, sin-, фt =-A-, cos-, ф„ = -- A-, sin-,

^ 1 27 2T 1 2T a {2T) 1 27

r r r r

0t = L ^t -Vt) = L Фt(1 - k), 0tt = L ф -Vtt) = L Фtt(1 - k),

0 = 0° + -T (ф-v ) = 0° + L ф(1 - k),

uA (t) = xA - aA = r J vt cos 0dt = rk J c< 0 0 t t va (t) = Уа - Pa = r Jvt sin 0dt = rk J sin

-(1 - k)ф

dp = L

1-k

sin

L (1 - k) ф

^ф = -L

cos

-(1 - k )ф

L (1 - k) ф

-1

При вращении относительно центра масс (рис. 3) моменты и угловые скорости на колесах А и В равны по величине, но противоположны по знаку. Результаты расчетов для более сложных траекторий, а также соотношения моментов на ведущих колесах приведены на рис. 4 и 5.

Разработанная математическая модель с окончательными зависимостями, записанными через независимые функции угловых скоростей, позволяет определить их по заданной траектории движения робота, а затем найти любые другие кинематические или динамические характеристики, в том числе необходимые для реализации заданного движения мощности, подаваемые на приводы независимых ведущих колес.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Буданов в.М., Девянин Е.А. О движении колесных роботов.// ПММ. 2003. т.67, вып.2. С. 244—255.

2. Карпов в.Э. Об одной задаче управления мобильным роботом. Труды конференции по искусственному интеллекту. Обнинск, 2006. В. 3-т, т.2 - М: Физматлит, 2006 - 310 с., с. 719-727.

3. Алюшин Ю.А. Энергетические основы механики. Учеб. пособие для вузов: - М.: Машиностроение, 1999. — 192 с.

4. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных Ёагран-жа.// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. №3. С. 13-19.

5. Алюшин Ю.А., Рачек в.М., Балахнина Е.Е. Развитие методов моделирования в механике на основе общих уравнений динамики и описания движения в переменных Ёагранжа. Отчет по НИР. Номер гос. регистр. 01.2.006.140822. Инв. номер ВНТИЦ 02200950038, 122 с. 5233

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Алюшин Юрий Алексеевич — доктор технических наук, профессор, alyushin7@gmail.com, вержанский Петр Михайлович — кандидат технических наук, доцент, Калинкин Михаил Николаевич, студент

Московский государственный горный университет, ud@msmu.ru

- РУКОПИСИ,

ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ГОРНАЯ КНИГА»

ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ МИРОВОГО РЫНКА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ. ВЛИЯНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА СТРАТЕГИЮ ПРЕДПРИЯТИЙ

(№ 932/01-13 от 26.10.12, 14 с.)

Сейфуллаева Маиса Эмировна — доктор экономических наук, профессор, Андрашчикова Кристина — аспирант,

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова.

ESSENTIAL TRENDS OF THE GLOBAL IT MARKET. INFLUENCE OF THE IT ON STRATEGY OF THE ENTERPRISES

Seifullaeva Maisa Emirovna, Andrascikova Kristina