Кинематический анализ вибрационного механизма планетарного типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВИБРАЦИОННОГО МЕХАНИЗМА ПЛАНЕТАРНОГО ТИПА

Герасимов Михаил Дмитриевич, Мкртычев Олег Витальевич, ФБГОУ ВПО «Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова», Белгород

E-mail: mail_mihail@mail.ru

Аннотация. В статье приведены результаты кинематического анализа вибрационного механизма планетарного типа с различным расположением центра масс колебательной системы. Рассмотрены варианты движения центра массы по траектории линии укороченной, нормальной и увеличенной гипоциклоиды.

Ключевые слова: Планетарный вибратор, центр массы, уравнение движения, скорость, ускорение.

Рассмотрим возможности механизмов на базе гипоциклоиды [1, 2] -кривой, описываемой точкой (жёстко закреплённой с подвижной окружностью), отстоящей на фиксированном расстоянии / от центра окружности радиусом г, катящейся без скольжения по направляющей неподвижной окружности радиусом Я.

Если точка, описывающая циклоиду, лежит на самой окружности г (т.е. / = г), то кривая называется гипоциклоидой. Если точка, описывающая циклоиду, лежит внутри круга г (т.е. г > /), то кривая называется укороченной гипотрохоидой. Если точка, описывающая циклоиду, лежит вне круга г (т.е. г < /), то кривая называется удлинённой гипотрохоидой. Применение механизмов, построенных на основе циклоид, может быть полезно в разных областях техники. В частности, их можно применять для получения прямолинейно направляющих механизмов [3].

Рассмотрим общий вид уравнений движения. Итак, дана направляющая окружность радиуса Я, по которой перекатывается без скольжения окружность радиуса г (Я > г) (рис.1).

Рис. 1 Направляющая неподвижная окружность радиуса R по которой перекатывается окружность радиуса г. Угол качения ф.

Уравнения проекции на оси координат в параметрической форме (параметром является угол качения ф):

x = (R- г) cos (р + кг cos (“““<?) = т[(т- 1) coscp + к cos({m - 1}(р)] , (1)

у = (R - г) sin <р - кг sin - <р j = г[(ш - 1) sin <р - к sin({m - 1}(р)] , (2)

где промежуток изменения параметра 0 < ф < 2рг, к = l/г - характерное число гипотрохоиды (к = 1— гипоциклоида, к > 1—удлинённая

гипотрохоида, к < 1—укороченная гипотрохоида) и m = R/г > 1 - характерное число гипоциклоиды, от которой зависит её форма.

Для примера на рис.2 показаны треугольные и четырёхугольные гипоциклоиды, на рис. 3 - треугольные гипотрохоиды: укороченная с укороченная к = 0,5 и удлинённая с к = 1,5. Если отношение радиусов окружностей m = R/г можно представить в виде несократимой дроби b/a, то гипоциклоида будет иметь b заострений и опишется за а оборотов внутреннего круга. Если же b/a иррационально, то кривая имеет бесконечное число заострений и не замыкается никогда.

т 4, к = 1 /И / \

X \ Л

Т/Г

V \

N

N. 1

|"=з- \ /[Б1N N. в [ \

у

1 1 / ' / "

Рис. 2 Гипоциклоиды (жирно) треугольные: т = 3 (слева) и четырёхугольные, т

= 4 (справа). В обоих случаях к = 1.

Рис. 3 Гипотрохоиды (жирно) треугольные: укороченная к = 0,5 (слева) и удлинённая к = 1,5 (справа). В обоих случаях т = 3.

При т = 2 гипоциклоида вырождается в диаметр направляющей окружности (рис.4). Гипотрохоиды для этого случая приведены на рис.5.

Рис. 4 Гипоциклоида (жирно) с т = 2, вырожденная в отрезок (диаметр неподвижной окружности).

Рис. 5 Гипотрохоиды (жирно) вырожденной гипоциклоиды с т = 2: укороченная к = 0,5 (слева) и удлинённая к = 1,5 (справа).

В случае к = 0 гипотрохоида вырождается в окружность радиуса (Я-г), по которой движется центр катящейся окружности (рис.6).

3-3 3 -1 0 1 2 3

Рис. 6 Гипотрохоида (жирно) с т = 3 и к = 0, вырожденная в окружность радиуса (Я-г).

SCIENCE TIME

Дифференцируя (1) и (2) по времени дважды, получим для точки качения уравнения скорости и ускорения:

(3)

(4)

(5)

где со = ф — угловая скорость вращения центра подвижного круга е = ф — угловое ускорение этого движения.

(6)

Рассмотрим кинематические характеристики движения точки, описывающей треугольную и четырёхугольную гипоциклоиды с к = 1, показанных на рис.2. Положим е = 0 и т = 0,628 рад с-1. На рис. 7 и 9 показаны графики проекций скоростей ух, уу и ускорений ах, ау для треугольной и четырёхугольной гипоциклоиды, соответственно. На рис.8 и 10 показаны графики фазовых траекторий движения по координатным осям для треугольной и четырёхугольной гипоциклоиды, соответственно.

SCIENCE TIME

/\ #^|Ч / Л // V

/ \ / \ \

/ \ У V // ч \

/ V \ / \\

/' \ У / ' X.

\ /

\ /

Л /

t 1 \ /

V / \ /

\ /

ч./

25

\

/ / 1 \ \

\ I \ 1 \ I \ 1 /» \ / ' \ / ' \ / 1 \

✓ / / N / \ / 1 1 1 1 \ \ i \ г \

/ / / /\ / \ I 1 1 1 \ \ V \ t \ 1 \

1 I » \ f / \ * / \ 1 / \ \ \ \ \ \ 7 / / /

1 1 \ 1 t \ \ у \ \ \ \ * / / /

\ 1 / / /

/ / \ /

/ ч-'/

Рис.7 Графики проекций скоростей ух, уу (слева) и ускорений ах, ау (справа) на оси абсцисс ух, ах (сплошные линии) и оси ординат уу, ау (штриховые линии) в зависимости от времени ? для треугольной гипоциклоиды. _________________г = 1, Я = 3, I = 1, е = 0, т = 0,628 и ф = ш?.________

Рис. 8 Графики на фазовых плоскостях х-ух (слева) и у-уу (справа) для треугольной гипоциклоиды

г = 1, Я = 3, I = 1, е = 0, т = 0,628 и ф = ш?.

Рис. 9 Графики проекций скоростей ух, уу (слева) и ускорений ах, ау (справа) на оси абсцисс ух, ах (сплошные линии) и оси ординат уу, ау (штриховые линии) в зависимости от времени і для четырёхугольной гипоциклоиды. г = 1, Я = 4, I = 1, є = 0, т = 0,628 и ф = ті.

Рис. 10 Графики на фазовых плоскостях х-ух (слева) и у-^у (справа) для четырёхугольной гипоциклоиды. г = 1, Я = 3, I = 1, е = 0, т = 0,628 и ф = ш?.

На рис. 11 и 12 для сравнения приведены аналогичные графики (проекций скоростей ух, уу, ускорений ах, ау и фазовых траекторий) для треугольной гипотрохоиды с к = 1,5, а на рис. 13 и 14 - для треугольной гипотрохоиды с к =

SCIENCE TIME

0,5. Сравнение фазовых траекторий показывает, что характер движения не меняется. Меняется только диапазон изменения этих величин.

Рис. 11 Графики проекций скоростей ух, уу (слева) и ускорений ах, ау (справа) на оси абсцисс ух, ах (сплошные линии) и оси ординат уу, ау (штриховые линии) в зависимости от времени і для треугольной гипоциклоиды. ____________________г = 1, Я = 3, I = 1,5, є = 0, т = 0,628 и ф = ті.__________

Рис. 12 Графики на фазовых плоскостях х-ух (слева) и у-уу (справа) для треугольной гипоциклоиды. г = 1, Я = 3, I = 1,5, е = 0, т = 0,628 и ф = ш?.

Рис. 13 Графики проекций скоростей ух, уу (слева) и ускорений ах, ау (справа) на оси абсцисс ух, ах (сплошные линии) и оси ординат уу, ау (штриховые линии) в зависимости от времени і для треугольной гипоциклоиды. г = 1, Я = 3, I = 0,5, є = 0, т = 0,628 и ф = ті.

Рис. 14 Графики на фазовых плоскостях х-ух (слева) и у-уу (справа) для треугольной гипоциклоиды.

____________г = 1, Я = 3, I = 0,5, е = 0, т = 0,628 и ф = ш?._____

SCIENCE TIME

Чтобы понять характер изменений скорости и ускорения описывающей гипоциклоиду точки, рассмотрим последовательность гипоциклоид с 3, 5, 7 и 9 углами при равных параметрах г = 1, е = 0, т = 0,628, т.е. придавая параметру Я последовательно значения 3, 5, 7 и 9 (рис.15, 16 и 17). Видно, что с увеличением характерного числа гипоциклоиды т проекции скорости и ускорения совершают колебательные движения схожие по форме, амплитуда и частота которых увеличиваются.

Рис. 15 Графики проекций скоростей ух (слева) и уу (справа) для различных значений т (3, 5, 7 и 9). Чем тоньше линия графика, тем больше радиус неподвижной окружности Я = 3, 5, 7, 9.

г = 1, I = 1, е = 0, т = 0,628 и ф = т?._____________

Рис. 16 - графики проекций ускорений ах (слева) и ау (справа) для различных значений т (3, 5, 7 и 9). Чем тоньше линия графика, тем больше радиус неподвижной окружности Я =3, 5, 7, 9.

____________________г = 1, I = 1, е = 0, т = 0,628 и ф = т?.______________

SCIENCE TIME

Аналогично проекциям ведут себя и модули скоростей и ускорений, что показывают графики на рис.17.

Рис. 17 - графики модулей скоростей V (слева) и ускорений а (справа) для различных значений т (3, 5, 7 и 9). Чем тоньше линия графика, тем больше радиус неподвижной окружности Я =3,

5, 7, 9.

г = 1, I = 1, е = 0, т = 0,628 и ф = т?.

Остановимся на гипоциклоидах с характерным числом m = 2, когда гипоциклоида вырождается в диаметр направляющей окружности (рис.4). Именно их можно применять для получения прямолинейно направляющих механизмов [3,4,5]. При m = 2 движение описывается уравнениями:

х = г(1 + к) cos (р ^ (7 1)

х = — а)г(1 + к) sin ср ^ (8.1)

х = —£r( 1 + /с) sin ср — а)2г( 1 + к) cos (р , (9.1)

у = r(l - k)sin(p 5 (Ю.1)

У = OJr(l — /с) COS (р 5 (11.1)

У = £7"(1 — /с) COS — Ct)2r(l — /f) sin (р . (12.1)

В случае гипоциклоиды с к = 1 уравнения движения принимают вид:

х = 2r cos <р = R cos <р , (7-2)

SCIENCE TIME

x = — 2o)r sin <p = — u)R sin <p 5 (8.2)

л: = —2гг sin (p — 2co2r cos cp = —sin cp — a)2R cos (p 5 (9.2)

На рис.18 показаны графики проекций скорости V; и ускорения ах на ось абсцисс в зависимости от времени ? и график движения на фазовой плоскости х-V- для гипоциклоиды с т = 2 и к = 1.

*

1-5.----------.---------,---------,---------1--------г-----------.---------1---------,---------,--------- 15

Рис.18 Графики проекций скорости vx (слева сплошная линия) и ускорения ах (слева штриховая линия) на ось абсцисс в зависимости от времени ?. Справа график движения на фазовой плоскости х-^.

__________________г = 1, Я = 2, е = 0, т = 0,628 и ф = т?._______________

I

Рис. 19 Графики проекций скорости vx (слева сплошная линия) и ускорения ах (слева штриховая линия) на ось абсцисс в зависимости от времени ?. г = 1,

Я = 2, е = 0,628, т = 0,628 и ф = т? + е?2/2.

SCIENCE TIME

Остановимся на гипоциклоидах с характерным числом m = 2 и к = 0, когда гипотрохоида вырождается в окружность радиуса (R-r), по которой движется центр катящегося круга (рис.6). Движение описывающей точки описывается в этом случае уравнениями:

л: = г cos <р ,

х = —cor sin (р ,

X = — £Г sin <р - О)2Г COS <р , у = г sin <р ,

У = (i)T COS (р 5 У = £Г COS (р — (J)2r sin (р

(7.3)

(8.3)

(9.3)

(10.3)

(11.3)

(12.3)

Это уравнения движения точки по окружности, с угловой скоростью т и угловым ускорением е.

В последние годы коллективом исследователей БГТУ им. В.Г. Шухова выполнен ряд теоретических, аналитических, проектных и экспериментальных работ [4...9], посвященных разработке и созданию планетарных вибраторов направленного действия.

Вывод. Проведенные т еорет ические и аналит ические исследования кинематических параметров движения центра массы планетарного вибровозбудителя и позволяют использовать полученные результаты при проектировании реальных вибрационных машин с заданными законами колебаний.

Литература:

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров // Изд-во «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. / М. / 1973 г. / 832 с., с илл.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. // Издание переработанное, пер. с нем. Под ред. Гроше Г. и Циглера В. / Совместное издание изд-во «Тойбнер», Лейпциг, ГДР и изд-во «Наука», Москва, СССР. Главная редакция физико-математической литературы. / 1981 г. / 720 с., с илл.

3. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. // пер. с нем. Каменецкого С. А. / Объединённое научно-техническое издательство НКТП СССР. Главная редакция общетехнической литературы и номографии. / М., Л. / 1936 г. / 302 с.

4. Герасимов М.Д., Исаев И.К. Способ направленных колебаний и устройство для его осуществления. Патент Яи 2381078 С2, В 06В 1/00, 24.12.2007

5. Герасимов М.Д., Герасимов Д.М., Исаев И.К. и др. Одновальный планетарный вибратор направленных колебаний. Решение о выдаче патента по заявке Яи 2012 133129 от 2014.01.13.

6. Герасимов М.Д., Герасимов Д.М. Определение закона движения, скорости и ускорения центра масс планетарного вибровозбудителя. Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований, №11, 2013.

7. Герасимов М.Д., Алиматов Б.А., Герасимов Д.М., Чеботарев О.И. Направление совершенствования вибраторов направленного действия Научно-технический журнал Ферганского политехнического института. Узбекистан ( БТ1 Fer.PI), 2013, №3, с. 23-26. УДК. 666.97.033.16. КБК 2181-7200.

8. Герасимов М.Д., Алиматов Б.А., Герасимов Д.М., Чеботарев О.И. Теоретические и экспериментальные исследования вибрационных параметров генератора направленных колебаний планетарного типа. Научно-технический журнал Ферганского политехнического института. Узбекистан ( БТ1 Fer.PI),

2013, №4, УДК. 666.97.033.16. КБК 2181-7200.

9. Герасимов М.Д. Способ получения направленных механических колебаний для практического применения в технологических процессах. Журн. СДМ, №1,

2014.