CC BY
82
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ
УДК 514.181.22:004 Б 144
И.И. Баглаев
Бурятский государственный университет Россия, 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, раб.тел: 219549. E-mail:[email protected]
Моделирование циклоидальных кривых в среде FMSLogo
Язык программирования Лого ориентирован на черепашью геометрию и облегчает обучение "Компьютерной геометрии". В частности, средствами черепашьей геометрии очень удобно и наглядно осуществлять моделирование циклоидальных кривых.
I.I. Baglaev
Buryat State University Russia, 670000, Ulan-Ude, Smolin str.,24a. E-mail:[email protected]
Modelling cycloid curves in FMSLogo environment
The Logo programming language is oriented on turtle geometry and facilitates training of «Computer geometry». In particular, by means of turtle geometry it is very convenient and visual to execute modelling of cycloid curves.
Отличительная особенность Лого - акцент на графическом пакете черепашьей геометрии, подчеркивающей дискретные изменения локальных кривизн кривых. Несмотря на простоту, черепашья геометрия весьма мощна и обеспечивает альтернативную точку зрения на отдельные геометрические концепции, в частности кинематическое задание кривых. Проблема заключается в кинематическом задании известных кривых, заданных уравнениями. В данной статье представляется метод кинематического задания в черепашьей геометрии циклоидальных кривых. Этот материал предоставляет хорошие упражнения для интегративного курса информатики и математики [3].
Одним из кинематических способов образования циклоидальных кривых является их задание в виде траектории точки некоторого подвижного круга, который катится по неподвижной окружности (прямой) [2].
Рассматривают 2 случая:
A. Точка лежит на окружности производящего круга (эпициклоида, циклоида, гипоциклоида).
B. Точка не лежит на окружности производящего круга (эпитрохоида, гипотрохоида).
В данной статье рассматривается вопрос о другом способе кинематического задания первого класса циклоидальных кривых, а именно эпициклоид, циклоид, гипоциклоид.
1. Черепашья геометрия.
Среда программирования Лого характеризуется наличием графического курсора - черепашки, которая может перемещаться по прямой, поворачиваться вокруг основания и рисовать линии [1]. С применением динамической черепашьей геометрии, в которой используются только команды FORWARD (вперед) и RIGHT (направо по часовой стрелке), можно сформулировать кинематическое задание циклоидальных кривых.
Так как мы рассматриваем только первый случай, то будем говорить о катящейся окружности, а не круге. Эту окружность будем также называть производящей окружностью. Если производящая окружность касается неподвижной окружности внутренним образом, то получаемая кривая называется гипоциклоидой. Если вместо неподвижной окружности имеем прямую, то получаем циклоиду. И если производящая окружность касается неподвижной окружности внешним образом, то получаемая кривая называется эпициклоидой.
2008/15
Пусть г и R - радиусы производящей и неподвижной окружностей соответственно. Обозна-r
m = —
чим через R параметр, называемый модулем, причем для гипоциклоиды считаем m < 0, для циклоиды m = 0, а для эпициклоиды m > 0. Тогда параметрические уравнения этих кривых можно записать в виде
[х = (R + m ■ r) cos m ■ t - m ■ R ■ cos(t + m ■ t),
[y = (R + m ■ r )sin m ■ t - m ■ R ■ sin(t + m ■ t), ^
где t - угол радиусами производящей окружности, проведенными в вычерчивающую точку и точку касания производящей окружности с неподвижной окружностью (прямой) [2]. Дифференцируя уравнения (1) по t, получим
X = 2 ■ R ■ m ■ (1 + m) ■ sin t ■ cos(m ■ t +t), y' = 2 ■ R ■ m ■ (1 + m) ■ sin t ■ sin(m ■ t +t). x' t. 1
tga = — = tg(m ■t + -) a = (m + -) ■ t,
Поэтому y и, следовательно, 2
где а - направление касательной к кривой (1) в текущей точке. Отсюда следует, что
da 1
СО =----= m + —.
dt 2 (2)
Из равенства (2 ) следует, что скорость ю угла поворота касательной к кривой постоянна.
dS I 72 72~
— Чх +у
Находя dt для кривой (1), получим
dS t
v = — = 2 ■ R ■ m ■ (1 + m) ■ sin —.
dt 2 (3)
Соотношения (2) и (3) задают альтернативный кинематический способ построения циклоидальных кривых с помощью перемещения черепашки вперед со скоростью v и поворота по часовой стрелке со скоростью ю. Отсюда легко написать процедуру рисования гипоциклоид (цик-
Р
m = —,
лоид, эпициклоид) для q где p - целое число, а q - целое положительное число.
to cicl :r :p :q make "m :p/:q make "phi 3 60 * :q
for [t 1 :phi 1][fd :r * sin (:t/2) rt (:m +1/2)] end
n0 Особенности формы.
Для циклоиды p = 0, а q - целое число, т.е. производящая окружность делает q полных оборотов, и если исходная точка является точкой касания производящей окружности с неподвижной прямой, то в процессе движения производящая окружность будет q + 1 раз касаться неподвижной прямой в производящей точке. Соответственно этому циклоида будет иметь q арок и q - 1 точек возврата (см. строку №4 таблицы 1).
Для гипоциклоид и эпициклоид, после того как производящая окружность сделает q полных оборотов, вычерчивающая точка совпадет с исходной точкой и получится замкнутая кривая, имеющая q ветвей и q точек возврата. При |p| Ф 1 перед началом и концом каждой ветви будет находиться |p| - 1 точек возврата, отдельные ветви при этом будут пересекаться в u узловых точках (см. строки №1-3, 5-10 табл. 1).
Таблица 1
2008/15
В строках №11-14 таблицы 1 приведены известные кривые - кардиоида, нефроида, кривая Штейнера, астроида соответственно. В строках №15-16 таблицы 1 приведены эпициклоиды, у которых радиус производящей окружности больше радиуса неподвижной окружности.
Литература
1.Баглаев И.И., Очирова Н.В Лого-программирование: учеб.-метод. пособие. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2007.- 130 с.
2. Савелов А.А. Плоские кривые: справочное руководство. - М: Физматгиз, 1960. - 293 с.
3.Совертков П.И. Занимательное компьютерное моделирование в элементарной математике: учеб. пособие. - М: Гелиос АРВ, 2004. - 384 с.
References
1.Baglaev I.I., Ochirova N.V. Logoprograming: Text. Ulan-Ude: The BSU Publishing house, 2007. - 130 p.
2.Savelov A.A. Plane curves: Reference book. M: Fizmatgiz, 1960. - 293 p.
3.Sovertkov P.I. Entertaining computer designing in elementary mathematics: Textbook. М.: Gelios ARV, 2004. - 384 p.
УДК 373.3.016:004 Б 144
И.И. Баглаев, Н.В. Очирова
Бурятский государственный университет Россия, 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, раб.тел: 219549. E-mail: [email protected]
Опыт внедрения языка программирования Лого в начальных классах
В данной статье рассматривается опыт внедрения языка программирования Лого в национальных школах Республики Бурятия для младших школьников. Особенность работы заключается в адаптации среды Лого на бурятский язык, что, по мнению авторов, облегчает усвоение азов программирования.
I.I. Baglaev., N. V. Ochirova Buryat State University Russia, 670000, Ulan-Ude, Smolin str.,24a. E-mail: [email protected] The experience of introducing a programming language Logo in elementary classes
The experience of introducing a programming language Logo in the Republic of Buryatia national schools for junior school children is discussed in this article. The peculiarity of the work lies in adapting the programming language Logo with Buryat language which helps to distinguish the basics of programming by authors’ opinion.
Идущий в настоящее время процесс информатизации всех сфер деятельности человека предполагает модернизацию школьного образования с учетом необходимости внедрения инновационных технологий, расширения спектра возможных применений средств ИКТ в образовательном процессе. Определенные требования, нововведения касаются и начальной ступени образования. В начальных классах на сегодняшний момент применяются различные учебные курсы по информатике (авторы А.В. Горячев, Ю.А. Первин, А.Л. Семенов, Т.А. Рудченко и др.).
В данной статье рассматривается опыт применения языка программирования Лого в национальной школе. Надо отметить, что Лого популярен как начальный язык программирования, автором которого является Сеймур Пейперт, который в 1964 г. занялся созданием данной среды. Среда Лого базируется не только на четких правилах структурного программирования, но и на высокой степени обобщения различных понятий (объекты, процедуры, типы данных и т.д.). Концепция среды Лого исходит из того, что ребенок развивается, если имеет условия для креативной деятельности в соответствующей среде. Для развития абстрактного мышления необходима среда, позволяющая активно создавать продукт, используя и создавая новые абстрактные понятия. Такой средой, по Пейперту, может оказаться компьютер, если учащийся работает в среде программирования, использующей мощный в интеллектуальном смысле язык программирования.
Прослеживая историю становления Лого, источником развития новой идеологии обучения стали теория генетической эпистемологии Ж. Пиаже и идеи «структурированного открытия». Основная исследовательская и педагогическая задача в проектировании Лого микромиров должна состоять в том, чтобы, преодолевая трудности, связанные с большим количеством па-
