Моделирование плоских кривых в среде FMSLogo Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.758.2 (004.438)

ББК 22.151.5

© И.И. Баглаев

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ E-mail:bii@bsu.ru

Моделирование плоских кривых в среде FMSLogo

Статья посвящена моделированию кривых с помощью метода, основанного на законах перемещения черепашки Тортилы - исполнителя команд среды FMSLogo. Этот метод называется кинематическим методом. В статье рассмотрены 2 способа моделирования плоских кривых: пошаговый и поворотный. Приведены примеры моделирования конкретных кривых с листингом процедур на русифицированном Лого.

Ключевые слова: Лого, FMSLogo, черепашка Тортила, моделирование плоских кривых, кинематический метод, астроида, кардиоида, спираль Архимеда, эвольвента окружности, клофоида, трактриса.

© I.I. Baglaev

Buryat State University, Ulan-Ude E-mail:bii@bsu.ru

Modeling of plane curves in FMSLogo envinronment

The article is devoted to the modeling of curves using a method based on the laws of movement of turtle Tortilla - executive of instructions of FMSLogo environment. This method is called the kinematic method. The article considers two ways of modeling of plane curves: angle-control and step-control. The examples of modeling the specific curves with the listing procedures in russified Logo are given.

Key words: Logo, FMSLogo, turtle Tortila, modeling of plane curves, kinematic method, astroid, cardioid, Archimedes spiral, involute of circle, klofoida, tractrix.

Введение

Язык программирования Лого был разработан Сеймуром Пэйпертом первоначально для проведения исследований в области искусственного интеллекта и робототехники в Технологическом Институте Штата Массачусетс. Один из роботов, управляемых Лого, имел выпуклый защитный кожух для электронной начинки, из-за чего он напоминал черепаху. В дальнейшем физическая черепаха была заменена виртуальной черепахой на экране компьютера. Виртуальную черепаху снабдили пером, так, что, перемещаясь, она могла создавать рисунки. Но рисование пером посредством перемещений черепашки, конечно, специфично и значительно отличается от процесса рисования пером в руке. Имеется много версий языка Лого, одна из них FMSLogo - свободнораспространяемая среда программирования, которая является наиболее простой, мощной и лучшей, из всех существующих. Можно загрузить дистрибутив FMSLogo-6.25.0 с проектного портала SourceForge [5] или с сайта геометрического образования Geometrie [6] . Релиз 6.25.0 имеет русскую локализацию, выполненную сотрудниками Бурятского государственного университета под руководством автора. В локализованной версии черепаха названа Тортилой и в дальнейшем в данной статье будет использоваться это имя для исполнителя команд среды программирования FMSLogo. Тортила характеризуется позицией на экране, задаваемой декартовыми координатами х, у, и азимутом И, задаваемым углом между направлением головы Тортилы с направлением на «север” экрана. Декартовы координаты определяются датчиком место, а азимут - датчиком направление. В среде FMSLogo исходная позиция Тортилы центр экрана x = 0, у = 0, первоначальный азимут h =0. Положительное направление оси абсцисс слева-направо по горизонтали, а положительное направление оси ординат снизу-вверх по вертикали. Единицей измерения служит один пиксель.

Кинематический метод

Наличие системы координат в среде FMSLogo позволяет вычерчивать линии по их уравнениям [2]. Такой подход является традиционным при компьютерном моделировании геометрических объектов. Однако особенность рисования на экране с помощью перемещений Тортилы позволяет реализовать альтернативные подходы к генерированию геометрических образов, основанные на кинематических закономерностях перемещений реального робота-черепашки [1], [4].

Пример 1: Окружность

Пусть Тортила циклически делает 1 шаг вперед и поворачивается на 1 градус по часовой стрелке. Повернувшись на 3 600 , она сделает 360 шагов и вернется в исходное положение. При этом она опишет окружность длиной 360 ед., следовательно, радиус г этой окружности

будет равен 360 ~ 57.2957.

2 • я

повтори 360[вперед 1 направо 1 ]

Длина С окружности ш радиуса И равна 2-ж-И. Длина I дуги меры 10 окружности ш рав-2-Ж-И И

на---------~-----. Отсюда следует, что для рисования окружности радиуса И нужно в цик-

360 57.3

ле на каждый поворот на 10 перемещаться на I ед. Процедура окр рисования окружности

ш радиуса И имеет вид: это окр :И

повтори 360[вперед :И/57.29 направо 1 ] конец

Данный способ рисования окружности назовем «пошаговым».

Из дифференциальной геометрии известно, что окружность является кривой постоянной

1 2-п

кривизны к = —. Длина С окружности кривизны к равна--------- ед. Следовательно, при пе-

И к

ремещении по окружности на 1 ед. Тортила поворачивается на 57.3-к градусов. Альтернативная процедура рисования окружности по заданной кривизне к имеет вид: это окр1 :к

повтори целый 360/(:к*57.29)[вперед 1 направо 57.29*:к] конец

Этот способ рисования окружности назовем «поворотным».

1. Пошаговый способ моделирования кривой

2.

Окружность, имеющая с данной кривой в данной ее точке касание 2-го порядка, называется соприкасающейся окружностью.

Если кривая у задана параметрически

Г х = х(г),

(1)

= у&),

то радиус И соприкасающейся окружности вычисляется по формуле

R

У(X2 + у2)3

I V / // ,

X - у - у -X

(2)

Радиус соприкасающейся окружности называется радиусом кривизны кривой у в данной точке. Величина к обратная радиусу кривизны, называется кривизной кривой у в данной ее точке.

В окрестности точки кривой дуга соприкасающейся окружности аппроксимирует дугу кривой, поэтому можно рисовать соответствующую дугу кривой как дугу окружности радиуса И или кривизны к пошаговым или поворотным способами, соответственно. Нас интересует только форма кривой, а не размер или ориентация, т.е. определяем кривые с точностью до подобия. Таким образом, мы игнорируем постоянные множители перед формулами радиуса кривизны, кроме знака. Является также несущественным место, с которого на экране начинает рисоваться фигура.

Пример 2: Астроида

x = a - cos —, 4

(3)

у

a - sin —. 4

Радиус кривизны астроиды в произвольной ее точке находится по формуле [3]

3

R = —■ a ■ sin 2 • t. (4)

8

В нашем случае в каждой точке M дуга астроиды апроксимируется дугой окружности радиуса (4). Пошаговый способ моделирования кривой предполагает равномерное вращение Тортилы и при каждом повороте перемещение, определяемое радиусом кривизны R.

это астр

повтори 360[вперед sin 2*счетчик направо 1] конец

Пример 3: Кардиоида

Уравнение кардиоиды в полярных координатах

р = 2 • а(1 - cos^).

Радиус кривизны кардиоиды в произвольной точке находится по формуле [3]

R=

S - a

■ 9 sin —.

2

(5)

(6)

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям из предыдущего пункта, напишем процедуру рисования кардиоиды, заданной уравнение (5).

t

t

Пример 4: Спираль Архимеда

к =

р = a ■р a ■ (р2 + 1У

р2 + 2

(7)

(8)

это арх

для [1 0 720 1][вп 0.005*частное степень сумма степень 2 1 1.5 сумма степень :1 2 1 пр 2 ] конец

2. Поворотный способ моделирования кривой

Если в качестве параметра кривой взята длина 8 дуги кривой, то такая параметризация называется естественной, а уравнение, выражающее кривизну к как функцию дуги ^ вдоль кривой называется натуральным уравнением кривой. Из дифференциальной геометрии известно, что натуральное уравнение к = к(я) определяет кривую с точностью до положения на плоскости.

Пример 5: Эвольвента окружности

Эвольвента является траекторией точки прямой, катящейся без скольжения по окружности радиуса а. Параметрические уравнения эвольвенты имеют вид:

х = а ■ (cos t +1 ■ sin t),

(9)

y = a ■ (sin t -1 ■ cos t.

Натуральное уравнение эвольвенты записывается в виде [3]:

1

к = .--------- (10)

V2 ■ a ■ s

Поворотный способ моделирования кривой предполагает равномерное перемещение по кривой и поворот на угол, определяемый кривизной к. В нашем случае Тортила перемеща-

й 0 5 6 ется равномерно вперед по кривои на и.5 ед. для каждого ^ и поворачивается на угол —1=

ыs

градусов по часовоИ (против часовоИ) стрелке для 1-ой (2-ой) ветви, соответственно. это эвол

пусть "т место пусть "И направление для [8 1 360 1][вперед 0.5 лв ~ частное 6 корень :8 ] пп нм :т новк :И по для [8 1 360 1][вперед 0.5 пр ~ частное 6 корень :8 ] конец

Пример 6: Клофоида

Клофоидой называется кривая, кривизна которой прямо пропорциональна длине дуги [3].

к = a-s.

(11)

это клоф

пусть "т место пусть "И направление пр 90 для [1 0 36 1][вперед 5 лв :1 ] пп нм :т новк :И по лв 90 для [1 0 36 1][вперед 5 лв :1 ] конец

Пример 7: Трактриса

Трактрисой называется плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Параметрические уравнения трактрисы имеют вид

х = a ■ ln tg — + a ■ cos t, 2 y = a ■ sin t.

Натуральное уравнение трактрисы записывается в виде [3]

(12)

к(s) = a • tg arcsin e

(1З)

это трак пр 180

для [s 0.1 1.4 0.01][вперед 2 лв tg arcsin exp -:s] пп домой пр 180 по для [s 0.1 1.4 0.01][вперед 2 пр tg arcsin exp -:s] конец

-s

a

25б

Литература

1. Abelson H., DiSessa A. Turtle Geometry. Изд.5-е."1Ъе MIT Press", 1983.- 480 с.

2. Баглаев И.И., Очирова Н.В. ЛОГО-ПРОГРАММИРОВАНИЕ: учеб.-метод. пособие. - Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2006.- 111 с.

3. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство). -М.: Физ.-мат. лит., 1960. - 293 с.

4. Rowe N.S. Some links between turtle geometry and analytic geometry// Int. J. Sci. Math. Edu. 16: 1, 1985, p. 101-112

5. http://sourceforge.net/projects/fmslogo