CC BY
22
2. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967.
3. Кавешников А.Т. Особенности расчетов и конструирования элементов траншейных водосбросов. М., 2001.
4. Гидравлические расчеты конструкций, управляющих бурными потоками: Рекомендации для проектирования. Л., 1974.
5. Гидравлические расчеты водосбросных гидротехнических сооружений: Справоч. пособие М., 1988.
6. Григорович Г.А., Вакулюк Б.В. Рекомендации по гидрав-
лическому расчету быстротоков на мелиоративных системах / УкрНИИГиМ. Киев, 1979.
7. Большаков В.А., Константинов Ю.М. и др. Справочник по гидравлике. Киев, 1984.
Новочеркасская государственная мелиоративная академия 11 февраля 2004 г.
УДК 532.59
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ПАВОДКА НА РЕКАХ © 2004 г. Ю.Г. Иваненко, И.И. Калистратов, В.А. Сологубов
Кинематическими волнами называются длинные волны, при распространении которых в открытом водотоке сохраняется однозначная связь между расходом и уровнем воды, которая может иметь различный вид на разных участках русла [1]. Кинематические волны называются также моноклинальными волнами или волнами со стационарным профилем [2]. Теория этих волн может быть применена для исследования волн паводка на реках.
Будем рассматривать уравнения длинных волн в виде:
dAQ
+ 2U
dAQ
- (Uо2 - C2)Bc
dt dx
+ ßAQ - yB0 AH = 0 :
dAH dx
+
(1)
где
C 2 = g
C0 = gBo
ß =
2 go
U о
Y = (2gio - ¿oCo20); (2)
Bo ЭАЯ + ЭА£ = o_
dt
dx
(3)
полагая, что допущение о сохранности однозначной связи между расходом и уровнем воды идентично тому, что ищется решение для ДЛ и ДQ в виде функции типа /(X - С0/), где С0 - постоянная (3). Следовательно,
- = -C — dt o dX '
(4)
Вводя оператор (3) в уравнение неразрывности (2), получаем
- C o Bo dAH+dAQ = o.
o dX dX
Из формулы (4) следует
dAQ = с o
Bo dAH
(5)
(6)
После интегрирования дифференциального уравнения (6) можно получить функцию
AQ = C o Bo AH + A ,
(7)
где А - постоянная.
Формула (6) является модификацией формулы Бретона (4). Физически она означает скорость распространения расхода. Для малых возмущений расхода и уровня воды постоянная А=0.
Из уравнения движения (1) получаем
[o(Co - 2Uo) + (Uo2 - C2)] dAH
dX
= (ßCo -Y) Bo AH .
(8)
Общим решением дифференциального уравнения (8) является функция
(ßC o-Y)
-X
AH = Ke
[ (Co -Uo)2 -C2 ]
где К - постоянный параметр.
Определим значение постоянного параметра К для граничного условия ДЛ = АЛ при X = Ь. Получим
(ßCo-Y)
K = AH j f
[(C o -U o)2 -C2 ? L
Найдем
(ßCo-Y)
AH =AH1e
[ (Co -Uo)2 -C2 ]
(X -L)
(9)
Вводя соотношение (9) в выражение (7), выведем формулу для определения расхода кинематической волны
(AC o-Y)
AQ = C o Bo AH je[ (C o -U o)2 -Co2 ]
(X-L)
(1o)
L
Применяя оператор (4), приведем уравнение движения (1) к виду
- Со[о (Со - 2Uо) + (Uо2 - C,2
= (ßCo - у)Во АЯ.
)] ¥
(11)
Общим решением дифференциального уравнения (11) является функция
(Y-ßC о)
АЯ = Re
Со[ (Со-ио)2-Со2 ]
(12)
где Яе - постоянный параметр.
Определим значение постоянного параметра Яе для граничного условия АН = ДН2 при / = Т. Имеем
(Y-ßC 0)
R = АЯ 2/ e
Со [(С0 -U0)2 -С2
Подставив выражение (13) в (12), найдем
(Y-ßC 0)
АЯ = АЯ 2e
Со [ (С0-Uо)2-с2 ]
(t -T )
(13)
(14)
Вводя соотношение (14) в выражение (15), получим формулу для определения расхода кинематической волны
(Y-ЗС 0)
Ад = С 0 В0 АЯ 2e
Со [ (С0-Uо)2-С2 ]
(t-T)
(15)
Анализ решений (9), (10) и (14), (15) показывает, что кинематическим волнам соответствуют длинные волны со стационарным профилем. Можно показать, что кинематическая волна имеет экстремум в точке перегиба волны, с выпуклостью вверх. Для этого продифференцируем уравнение (9) по переменной X и приравняем полученное выражение нулю. Определим
Y^ о = 0.
(16)
Из уравнения (1) следует, что выражение (16) соответствует условиям, характеризующим специфические особенности неустановившегося движения при больших силах трения, когда силами инерции можно пренебречь из-за их малости. Формально это означает, что уравнение неразрывности (2) рассматривается совместно с уравнением равномерного движения Шези.
Из уравнения (16) выведем формулы для определения скорости добегания кинематических волн
С 0 =у/р.
Применяя уравнение (2), найдем:
- Y (2gi0 - /оСо2Ф)
С 0 =ß =
U0 J
= U о -
U оСо2Ф
2g
(17)
В (17) параметр Ф зависит от принятого закона сопротивления русла и от формы поперечного сечения русла. Для трапецеидального сечения:
Ф = (1 + 2 у)
2л/1
+ т
b + 2тЯ 0
b + 2Я J1 + т 2 (b + тЯ о)Я о
где Ь - ширина русла по дну; т - заложение откоса. Для треугольного сечения: Ф = (1 + 2у)(—~).
Я о
Для прямоугольного сечения
Во
Ф = (1 + 2 у)(—
Н о( Во + 2Н о)
Для параболического сечения Ф = (1 + 2 у) х
i
2( p + 2Я 0)
Яо
,]2Я о( p + 2Я 0) + p ln
Шо - 1+2
2Я о
где р - параметр параболы.
Введем в соотношения (1) и (3) такую функцию у , которая бы удовлетворяла зависимостям:
Ад =
Эу ~dt
АЯ = -
Во dx
получим одно дифференциальное уравнение второго порядка
Э2у д —f + 2U 0^ +
dt2
dx dt
(о2 - С2 )
dx
+
+ = о.
dt dx
(18)
Введем в соотношение (18) функцию у =ДН, преобразовав его к виду
Э2ДН _ Э2ДН (2 \Э2ДН
dt2
(02 - С02)
dx dt { 0 0/ dx2
- + 2Uо + (0 - Со )—г +
„ ЭЛЯ . ЭАЯ п + ß —— + ^ —— = 0.
(19)
dt
dx
Аналогично можно получить
д2 Ад
dt
д 2нд
2 + 2U0 ^ + ( - С02
)Э2А<3 dx 2
„ ЭА0 ЭА0 А +ß + Y = о.
dt
dx
(2о)
Будем рассматривать уравнения длинных волн в виде (19), (20), полагая, что допущение о сохранности однозначной связи между расходом и уровнем воды идентично тому, что ищется решение для АН и А0 в виде функции типа /(X - С о/), где С0 - постоянная.
T
3
X
Вводя оператор (5) в уравнение (20), находим [ C0(C0 - 2Ц,) + (U02 - Co2) ]^AH =
dX2
= (ßCo -Y)
dAH
dX
(21)
R =-
(Y-ßC0)
(AH2 -AHi)
C0 [(C0 - U0)2 - C02
(Y-ßC0)
C0[ (C0 -U0)2 -c2 ]
-1
;(28)
Общим решением дифференциального уравнения (21) является функция
(ßC 0 -Y)
AH = K
[ (C0 - U0)2 - Cp ]g[ C-и0)2-C02 ]
(ßC0 -Y) ^
+ K 2
(22)
где К1 и K2 - постоянные параметры.
Определим значение постоянных параметров К1 и К2 для граничных условий: ДЛ = ДЛ1 при X = 0 и ДH = ДН2 приX = Ь. Получим:
K =
(ßC0 -Y)
(AH2 -AHO
1 [ (C0 -U0)2 -C2 ]
(ßC0-Y)
■; (23)
к 2 =AHj--
[ g [ (C0 -U0)2 -C0 ] -1 ]
(AH2 - AHt)
(ßC 0 -Y) r
(24)
[
,[ (C0-u0)2-C02 ] -1 ]
Подставив уравнения (23), (24) в (22), найдем
(ßC0-Y)
AH = AHj + (AH2 -AHj)
[ (C0 -U0)2-C2 ]
-X
-1 ]
(ßC0-Y)
. (25)
[ e [ (C0-U0)2-C02 ] -1 ] Применяя оператор (5), приведем уравнение (19) к
виду
- C0
[ 0(C 0
- 2U0) + (U02 - C02)]] AH
dt2
= (ßCo - Y)
dAH dt
(26)
R2 =Ah--
(AH 2 - AHt)
( Y-ßC 0)
(29)
[
С0 [ (C0 -U0)2 -C02 ] - 1 ]
Подставив уравнения (28), (29) в (27), найдем
(Y-ßC0)
AH = AHj + (AH2 -AHj)
C0[ (C0-U0)2-C2 ]
-1 ]
(Y-ßC0)
.(30)
[ еСо[ (Со-Щ)2-С2 ] _ 1 ]
Дифференциальное уравнение (20) для малого возмущения расхода ДQ совпадает по структуре с уравнением (19) для малого возмущения глубины. Поэтому при заданных граничных условиях, точными решениями уравнения (20) будут эквивалентные уравнениям (25), (30) выражения. Для граничных условий: ДQ = ДQ1 при X = 0 и ДQ = ДQ2 при X = Ь можно получить
(ßC 0-Y)
X
Aß = AQ + (Aß2 - AQ1)
J (C0-U0)2-C2 ] -1 ]
(ßC0-Y)
[ g [ (C0 -U0)2 -C02 ] -1 ]
Для граничных условий: ДQ = ДQ1 при ( = 0 и ДQ = ДQ2 при t = Т можно получить
(Y-ßC0)
AQ = AQ + (AQ2 -AQX)
[ eC0[ (C0-U0)2-C2 ] -1 ]
(Y-ßC 0)
[
С0[ (C0-U0)2-C2 ] -1 ]
Общим решением дифференциального уравнения (26) является функция
AH = R
C0[ (C0 - U0)2 - C2
(Y-ßC0)
(Y-ßC 0)
x e
C 0 [ (C0 -U0)2 -C02 ]
+ R2
(27)
где Я1 и Я2 - постоянные параметры.
Определим значение постоянных параметров Я1 и Я2 для граничных условий: ДЛ = ДЛ при t = 0 и ДН = ДЛ2 при t = Т. Получим
Литература
1. Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов. Л.,
1974.
2. Иваненко Ю.Г. , Ткачев А.А. Теоретические принципы и решения специальных задач гидравлики открытых водотоков. Новочеркасск, 2001.
3. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л., 1974.
4. Форхгеймер Ф. Гидравлика. М., 1935.
Новочеркасская государственная мелиоративная академия
17 февраля 2004 г.
[
[
[
