CC BY
9
ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ
УДК 532.543:517.926
РАСЧЕТ ОБЩЕГО РАЗМЫВА РУСЛА КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ВОЛНАМИ
© 2004 г. Ю.Г. Иваненко, Г.Л. Лобанов, С.В. Синерукий
Система одномерных линейных дифференциальных уравнений динамики русловых потоков в частных производных гиперболического типа с двумя неизвестными функциями Аю , А и двумя независимыми переменными х и : для расчета общего размыва русла кинематическими волнами получена в работе [1] в виде
дАю
(Cо -+ (Co2 -Mq2) dt
dAz
ЭАю
dx
+ grao---О- - ßCo)AA = 0;
dx
П
dAz ЭАю dt dt
-- m0
ЭАю
dx
= 0.
(1)
(2)
В области гладких решений соотношения (1), (2) могут быть приведены к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик.
Запишем систему (1), (2) в виде
(Cо - 2m0 )Arot + (C0 - u0)Arnx + + gff>0Azx - (X - ßCo^ = 0 ;
n0Azt - Аюг - м0Аюx = 0 .
Здесь Azt =
dA z dt
Azx =
dAz dx
Arn t =
(3)
(4) dAro
~dT'
Aro x =
dAro dx
- частные производные. Функции Аю.
А?, удовлетворяющие уравнениям (3), (4), определенные в некоторой замкнутой области изменения переменных х и t и имеющие в этой области непрерывные производные первого порядка, называются решениями этих уравнений.
Рассматриваемому нестационарному процессу соответствуют некоторые решения Аг = Аг( х, :), Аю = Аю(х, t), называемые волной, а перемещающаяся граница, отделяющая одну волну от другой, -фронтом волны [2]. Будем предполагать, что первые производные от Аю и Аг, вдоль фронта терпят разрыв непрерывности, оставаясь ограниченными.
Пусть уравнение кривой, вдоль которой задается решение системы (3), (4), будет
X = X (t).
(5)
Вдоль этой кривой выполняются очевидные соотношения:
й?Аю = Аюxdx + Аюtdt;
dAz = Azxdx + Aztdt .
(6)
(7)
Рассмотрим систему алгебраических уравнений (3), (4), (6), (7) относительно четырех частных производных Аг:, Агх, Люt, Аюх. Доказательство существования единственного решения этой системы дает одновременно ответ на вопрос об условиях однозначного определения частных производных вдоль кривой х = х(: ).
Можно определить:
А!
Аю: =
A
Aro x =■
A^
A
(8)
Здесь
А: =
I (ßCо - Х)Аю + яю0 'dAz-
dx
(
2 , „2 , göo dt
- c0 + M0 +
П0 dx
dAю
dx
А2 =
А=
2m0 - С0 + ^ *
0 0 П0 dx
dt
(ßcо - Х)Аю + güio dAю
dAz
dx
2uo - c0 + dt
gю0 dt П0 dx
\
c 2 + M 2 + gÖ0 - Со + Mq +
dt
П0 dx
dx
Если определитель А Ф 0, то уравнения (8) вдоль кривой (5) однозначно разрешимы относительно производных Агх и юх. Однако наибольший интерес представляет случай А = 0, когда система (8) имеет бесчисленное множество решений на кривой (5) и нельзя однозначно определить Агх и Аюх. Такая кривая х = х(:) называется характеристической кривой. Физическая интерпретация рассмотренного случая состоит в следующем: если кривая (5) есть фронт волны, нарушающей данную волну, то вдоль этой кривой существует два значения уклона и различные значения производных Аг:, Агх, Аю:, Аюх, соответствующих волнам, отделенным этим фронтом. Поэтому вдоль фронта волны А = 0, а кривая (5), описывающая фронт волны, является характеристикой.
Если система уравнений (8) совместна, то определители А] = 0 и А2 = 0 . Физически это означает, что
вдоль фронта волны производные от Агх и Аюх терпят разрыв непрерывности, оставаясь ограниченными. Можно определить:
(Со - 2и о)(%2 - (С о2 - и 2 + ^ + # = 0 ; (9)
dt
dt П,
П 0 dt П 0
о
Уравнения (9), (10) приводятся к двум системам:
dx -
(Со2 - «о2 + g®0) ±.
,2 2, ё®0ч2 л s0o 1ТТ \
(со -ио + -4^Г(Со -2ио)
П0
По
2(Со - 2«0)
dt;
(11)
(Со2 - «о2 - g®0) ± L2 - «о2 + g®0)2 - 4П°(Со - 2U0)
х dAro - 2(X - ßC0)Arodr + 2g®0dAz = 0. (12)
с нелинейными коэффициентами А^ Основной метод решения дифференциальных уравнений (13) состоит в линеаризации коэффициентов и замене их на некоторой линии дифференцирования т - п, на которой они имеют место, конечно-разностными уравнениями Эйлера
Е
j=0
(Am + Aj ) 2
(P1 - P1) = 0
У m n ' •
(14)
((2u 0 - Со) — + ^T°)dA® + (X - ßС 0 )Amdx - g® 0dAz = 0.
(10)
Таким образом, используя конечно-разностную схему Эйлера, следует заменить дифференциальные уравнения (11), (12) соответствующими разностными соотношениями.
Коэффициенты, входящие в дифференциальные уравнения характеристик, заранее неизвестны, поэтому система рекуррентных соотношений (14) решается методом итераций при заданных начальных и граничных условиях. Знак (+) в уравнениях (11), (12) отвечает прямой волне возмущения и прямой начальной характеристике, знак (-) отвечает обратной волне возмущения и, соответственно, обратной начальной характеристике.
В качестве начальных условий в методе характеристик применяются решения дифференциальных уравнений начальных характеристик.
Выражения (11), (12) называются дифференциальными уравнениями характеристик общего размыва открытых призматических русел.
Дифференциальные уравнения характеристик (11), (12) относятся к классу дифференциальных уравнений вида:
ЕAjdPj =0 1=о
(13)
Литература
1. Иваненко Ю.Г., Лобанов Г.Л., Синерукий С.В. Одномерные дифференциальные уравнения динамики русловых потоков для случая кинематических волн.
2. Иваненко Ю.Г. Устойчивые потоки в не размываемых и размываемых руслах. Новочеркасск, 1990.
Новочеркасская государственная мелиоративная академия
29 марта 2004 г.
х
